Bài 2 biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ đáp án

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giácCho hai điểm A x y A; A... Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.. b Tìm tọa độ trung điểm

II Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

Cho hai điểm A x y A; A

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có A( 2;1), (2;5), (5; 2) B C Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và

trọng tâm G của tam giác ABC

- u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi x x1 2 y y1 2  0

Ví dụ 6 Một chiếc xe ô tô con bị mắc kẹt trong bùn lầy Để kéo xe ra, người ta dùng xe tải kéo bằng cách

gắn một đầu dây cáp kéo xe vào đầu xe ô tô con và móc đầu còn lại vào phía sau của xe tải kéo Khi kéo, xe tải tạo ra một lực F 1

có độ lớn (cường độ) là 2000 N theo phương ngang lên xe ô tô con.

Ngoài ra, có thêm một người đẩy phía sau xe ô tô con, tạo ra lực F2

có độ lớn là 300 N lên xe Các lực này

được biểu diễn bằng vectơ như hình sao cho  F F1, 2 5

Độ lớn lực tổng hợp tác động lên xe ô tô con là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA  5MB 0.

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA3NB1

a) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 3MA 2MB1.

Tìm tọa độ điểm N sao cho NA3NBAB.

Lời giải

Trên trục x' Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1 A3 ; B 1  AB4

a) Tọa độ điểm M sao cho 3MA 2MB 1 MA2MA MB  1

Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh rằng AC.ADAB.AJ

Câu 4. Trên trục x' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC    0.

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA 3NB NC.

Lời giải

Trên trục x' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a) Tọa độ trung điểm I i 

Câu 5. Trên trục x' Ox cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý.

a) Chứng minh rằng:AB.CD AC.DB DA.BC  0.

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ

và KL có chung trung điểm.

c) Biểu diễn vectơ c theo a,b.

DẠNG 3 TỌA ĐỘ ĐIỂM

Câu 8. Cho hai điểm A3; 5 ,B1;0.

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho: OC  3AB

.b) Tìm điểm Dđối xứng với A qua C

c) Tìm điểm M chia đoạn ABtheo tỉ số k  3

Lời giải.

a) Gọi C x y C; C

.Theo bài OC3AB

y y y

y y y

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB

AB BC

   

nên 3 điểm A B, và C thẳng hàng.

b) Ta có:

+

2; 21; 1

AB AC

BA AC

   

B chia đoạn AC theo tỉ số

23

CA CB

,AC,BC.b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ điểm Msao cho CM  2AB  3AC

y y y

M M

x y

N N

x y

a) CMR: Tồn tại tam giác ABC

b) Tính chu vi tam giác

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho Mcách đềuA B, .

f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B C,

y y y y

x y

b) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Xác định tọa độ trực tâm Hcủa tam giác.

e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

x y

G

;13

Tọa độ trực tâm H là giao điểm của BF và CK nên

x y

Phương trình trung trực của BC là y 1

Tâm đường tròn ngoại tiếp I là giao điểm của hai trung trực nên

3

;14

a) Tìm chu vi của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳngAB AC,

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

e) Tìm tọa độ trực tâm Hcủa tam giác

f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

M

;42

N

;12

x y

x y

Phương trình trung trực của BC là:

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy cho A1;1 , B2; 4 , C10; 2 

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông

u i j

và v ki  4j Tìm k đểa) uv b) u v

b) Tìm n để b n u v .  tạo với véc-tơ c i   j một góc 45.

Lời giải.

a) Ta có i 1;0

, a4m;1 4 m

.Véc-tơ a vuông góc với trục hoành khi và chỉ khi a i  0 4m 0 m4

b) Ta có b4n1;n4

, c i    j 1;1

.Góc giữa hai véc-tơ b, c là 45 khi

b) Tính các góc của tam giác ABC

AB AC

.Suy ra A 120

và vì tam giác cân tại Anên B C   30

Câu 21. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A  3;0, B3;0, C2;6 Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm

H của tam giác.

y y y y

6

H  

Câu 22. Cho điểm A1;1, B2; 4và C10; 2 .

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Vậy có hai điểm C có tọa độ 4;0, 2;2

Câu 24. Cho bốn điểm A7; 3 , B8; 4, C1;5, D0; 2  Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Vậy ABCD là hình vuông

Câu 25. Biết A1; 1  và B3;0 là hai đỉnh của hình vuông ABCD Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Lời giải.

Trang 13

Câu 26. Cho tam giác ABC với A2; 4, B  3;1 , C3; 1 .

a) Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tìm chân A' của đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC

b) Gọi A x y' ;  là chân đường cao AA' của tam giác ABC.



kb a k



a kb k



kb a k

Chọn A

Từ giả thiết suy ra a  4;6

Gọi M có tọa độ là x x2    2 x 3 x x6

Câu 7. Trên trục  O i;

tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA  2MC 0

, với A, C có tọa độ tương ứng là

1

 và 3

A

53

x 

B

23

x 

C

25

x 

D

52

x 

Lời giải

Trang 15

Ta có u v   3 8 4.6 0 suy ra u vuông góc với v.

Câu 9. Trong mp Oxy cho A4;6, B1; 4,

37;

Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy cho a1;3 , b  2;1

Tích vô hướng của 2 vectơ  a b. là:

Lời giải Chọn A

Phương án A: biểu thức tọa độ tích vô hướng a b a b   1 1 a b2 2 nên loại A

Phương án B: Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a b  a b  .cos ,a b 



Lời giải Chọn B

AB AC

Trang 17

3;6 ; 8; 4

Phương án A:a b . 24 24 0  nên loại A

Phương án B:a b . 0 suy ra a vuông góc bnên loại B

Câu 18. Cho các vectơ a1; 3 ,  b2;5

Tính tích vô hướng của a a  2b

Lời giải Chọn D

Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2k2m B 3k 2m C 2k3m0 D 3k2m0.

Lời giải Chọn C

cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần

lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA Xét các mệnh đề:

I e f      g h a b c d

II EG EF EH   

III AE CF  0

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?

Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho a2; 1  và b  3;4 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10 B Độ lớn của vectơ a là 5

C Độ lớn của vectơ b là 5 D Góc giữa hai vectơ là 90 o

Lời giải Chọn D

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , A3; 1 ,   B2;10 ,  C4;2 Tính tích vô hướng

Trang 19

Lời giải Đáp án B

Câu 29. Trên trục x Ox' cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB, AD,

BC Mệnh đề nào sau đây là sai?

c a   và c b   20

A c     1; 3 B c    1;3 C c   1; 3 D c  1;3

Lời giải Chọn B

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm , A1; 2

Câu 35. Cho tam giác ABC có A1; 2 , B0;3 ,C 5; 2    

Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của

tam giác ABC

A 0;3

Lời giải Chọn A

A

Ta có AB1;1 ; AC6; 4 ;  BC5; 5  

Nhận thấy rằng  AB BC  1.5 1.( 5) 0  

nên tam giác ABC vuông tại B.

Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC trùng với đỉnh B0;3 

Câu 36. Trên trục x Ox' cho 4 điểm A, B, C, D Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A DA BC DB CA DC AB BC CA AB2  2  2  0

B DA BC DB CA DC AB2  2  2 0

C AB BC CD DB DB CA2  2  2 0

D DA BC DB CA CD AB BC AB.  .  .  . 0

Lời giải Đáp án A

Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B, C.



vuông góc với v



A

12

m 

12

m 

C m  1 D m  1

Lời giải Chọn A

Trang 23

 

x a  b c  x a  b c

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ O i j; , 

, cho hai vectơ a2i j

và b    4; 2

Khẳng định

nào sau đây là đúng?

A a và b cùng hướng B a và b ngược hướng.

  và b ngược hướng.

Câu 43. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm B  1;3 và C3;1 Tìm tọa độ điểm A

sao cho tam giác

ABC vuông cân tại A

Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Gọi A x y ;  Tam giác ABC vuông cân tại

AB AC A

y y

y y

 

2

2 2

3

12

2



Lời giải Chọn A

A

22564

P 

10081

P 

9764

P 

19364

P 

Lời giải Chọn A

m n n

CD  AB AC

Lời giải Đáp án B

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC biết A2; 3 ,  B4;7 , C1;5

Tọa độ trọng tâm G của ABC

Lời giải Chọn D

Do G là trọng tâm ABC nên

x x x x

Áp dụng công thức: I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

y y y

I

I

x

I y

Trang 27

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A  1; 2, B2;0 , C  3;1 

Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABClà

A

2

;13

G  

2

; 13

G   

4

;13

G  

4

; 13

G   

Lời giải Chọn A

Giả sử G x y ; 

khi đó:

1 2 3

23

3

2 0 1

13

x

x y y

Câu 61. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A3;5, B1; 2 , C5; 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam

giác

A G  3; 4 B G4;0 C G2;3 D G3;3

Lời giải Đáp án D

  là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?

Lời giải Chọn B

G  

  là trọng tâm của tam giác BCD

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D3; 4 , E6;1 , F7;3

lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC CA, , .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC

N P

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có M1; 1 ;  N5; 3  và P thuộc trục Oy Trọng tâm

G của tam giác nằm trên trục Ox Tọa độ của điểm P là:

A P0; 4 B P2;0 C P2; 4 D P0; 2

Lời giải Đáp án C

Ta có M13;0 , M20; 4 

Câu 67. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M1; 1 , N5; 3  và P là điểm thuộc trục

Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox Tọa độ điểm P là

x y

Câu 68. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểmA1;1 , B2; 4

Tìm tọa độ điểm M để tứ giác

OBMA là một hình bình hành

A M  ( 3; 3) B M(3; 3) C M(3;3) D M ( 3;3)

Lời giải Chọn C

x y

Gọi I là trung điểm của AB

Tìm tọa độ M sao cho

12

Giả sử M x y( ; ) Ta có I(1; 3), - CIuur( 4; 2), - - AMuuuur= (x- 3;y- 3).

Câu 74. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A2;1 , B1; 3 

Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình bình

I là trung điểm của

Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A1;3 , B4;0

Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA MB   3 MC0

Lời giải Đáp án D

Câu 78. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A1; 1 ,  B0;1 , C3;0 Xác định tọa độ giao điểm I của AD

và BG với D thuộc BC và 2BD5DC , G là trọng tâm ABC

A

5

;19

I  

1

;19

I  

35

; 29

I  

35

;19

I  

Lời giải

Trang 33

;12

M  

32;

142

Câu 80. Tam giác ABC có đỉnh A  1;2, trực tâm H3;0, trung điểm của BC là M6;1 Bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Lời giải Chọn A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ đường kính AA' của đường tròn khi đó ta

có ABA'ACA' 90  hay A B' AB và A C' AC

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC và CHAB  BH A C ' và CH A B ' , do đó

'

điểm của A H' Từ đó suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHA' nên:

y y