0H2 bai giang tich vo huong hai vecto dap an chi tiet

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠDẠNG 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNGHình vẽ Tính  AB AC.. DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức

Bài 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

DẠNG 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.

Phương pháp giải

 Dựa vào định nghĩa a b   a b  cosa b ; 

 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải

2

2

a

AB BC 

 

b) AB AC.

 

Lời giải

2

a

c)  AC CB.

Lời giải

2 0

2

a

AC CB CA CB CA CB 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Hình vẽ a) Tính  AB AC. , rồi suy ra giá trị của góc A

Lời giải

2              AB AC  AB AC  AB AC

AB AC BC

Suy ra  AB AC . 20

Ta có  AB AC. 20  AB AC. .cosA20

0

1

2

b) Tính AC BC.

 

Lời giải

AC BC AC AC  AB

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

8 20 44

AC AB AC

                  

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD 3 Tính CD CB  .

Lời giải

Ta có

11

14

 

Do đó

 

Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG

Hình vẽ Tính  AB AC. , rồi suy ra giá trị của góc A

Lời giải

Ta có: AB AC AB AC .cosAB AC, 

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

AC AB BC  a  a  a

4

Suy ra  AB AC. 2a 2.4 cos 45a  8a2

Hình vẽ a) Phân tích BK

, AC

theo AB



và AD



Lời giải

Gọi M là trung điểm của cạnh BC

Ta có:

1 2

BK BA BM  AB AD

Mặt khác: ACAB AD 

b) Tính tích vô hướng BK AC.

 

Lời giải

Ta có: AB a 2,AC BD 2a2 4a2 a 6

2

BK AC  AB AD AB AD 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

                                                             

 2

2

Vậy BK AC   . 0

Ta có BK

vuông góc với AC

cho AN 3NC

Hình vẽ

a) Phân tích DN MN,

 

theo 2 vec-tơ AB và AD

Lời giải

Ta có

3 4

DN AN  AD AC AD

Mặt khác

MN AN AM  AB AD  AB

b) Chứng minh rằng DN MN

Lời giải

Ta có:

DN MN  AB AD   AB AD

     

     

     

     

 

(vì ABAD  AB AD. 0

)

Vậy DN MN DN MN

DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng.

Phương pháp giải

 Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức

2 2

AB AB



 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

 Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng

Câu 1 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý Chứng minh rằng :

MA MB IM  IA

 

Chú ý:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là

MA MB IM  IA

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Để làm xuất hiện IM

, IA

ở VP, sử dụng quy tắc ba

điểm để xen điểm I vào.

Lời giải

VT  MI  IA MI IB

 MI IA  MI IA

     

IM IA VP

  

(đpcm)

a)            MA MC    .                MB MD.

Lời giải

VT  OA OM    OC OM  OM  OA

b) MA2 MB MD               .               2MA MO.

Lời giải

VT MA MA MC 

Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG

VP  OB OM    OD OM  OM  OC

Suy ra MA MC               .                MB MD.        MA MA MC              MA MO VP.2 

2

1

4

MH MA BC

 

Lời giải

VT HM AM  HBHC ABAC

     

4 AB HB AC HC 4AB HC CB 4AC HB BC 4BC VP

                                                                   

3

GA GB GC  a b c

Lời giải

GA GB GC       GA GB GC   

      

      

      

      

      

      

      

                                                  

(*) Mặt khác 2GAGB GA2 GB2  GA GB 2 GA2 GB2  BA2

    

Tương tự 2GBGC GB2 GC2  BC2



, 2GCGAGC2 GA2  AC2



Thay vào (*) suy ra đpcm

DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài.

Phương pháp giải

Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:

Cho A , B là các điểm cố định M là điểm di động

 Nếu AM k



với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán

kính R k

 Nếu MA MB . 0

 

thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB

 Nếu MA a . 0

 

với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ a



Câu 1 Cho hai điểm A , B cố định có độ dài bằng a , vectơ a

 khác 0



và số thực k cho trước Tìm tập hợp điểm M sao cho

a)

2

3

4

a

MA MB 

 

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB ta có

MA MB   MI IA MI IB 

2

4

a

MI IA

(Do IB  IA

)

4 4

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

R a

b) MA MB  . MA2

Lời giải

Ta có MA MB  . MA2 2

MA MB MA

                 

MA MA MB

     

MA BA

MA BA

  

Câu 2 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

a) MA MB    2 MB MC  0

Lời giải

Gọi I là điểm thoả mãn 2IB IC0

ta có:

MA MB    2 MB MC                 0 BA MI 0

Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua I và

vuông góc với AB

b) MA  2MB  MB 2MC 0

Lời giải

Gọi D và E là các điểm thoả mãn:

DA DB 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

; EB 2EC 0

ta có:

 MA2MB  MB2MC  0 MD ME 0

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính DE

c) 2MA2 MA MB               .                MA MC.

Lời giải

Ta có: 2MA2   MA MB             .                MA MC.

MA MA MB MC

      

Gọi J là điểm xác định bởi 2JA JB   JC 0

ta có:

(*) 2         MA MJ       0 MA MJ

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AJ

DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

Phương pháp giải.

 Cho a( ; )x y1 1 , b( ; )x y2 2 Khi đó

+ Tích vô hướng hai vectơ là a b  x x1 2 y y1 2

+ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức

Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG

1 2 1 2



 

 

 

Chú ý: ab a b   0 x x1 2  y y1 2 0

 Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức

+ Nếu a ( ; )x y



thì a  x2  y2



+ Nếu A x y( ;A A), B x y( ;B B) thì AB  (x B  x A)2 (y B  y A)2

Câu 1 Cho tam giác ABC có A1; 2, B  2;6 , C9;8

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Lời giải

Ta có AB  3; 4

, AC8;6               AB AC 3.8 4.6 0

Do đó AB AC

hay tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính góc B của tam giác ABC

Lời giải

Ta có BC11; 2



, BA3; 4 



Suy ra cosB cos BC BA  , 

11.3 2 4 1

5

11 2 3 4

 

Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC

Lời giải

Gọi H x y ; 

là hình chiếu của A lên BC.

Ta có AH x  1;y 2

, BH x  2;y 6

, BC11; 2

AH  BC  AH BC   x  y 

  Hay 11x2y 15 0 (1)

Mặt khác BH , BC

cùng phương nên

2 11 70 0

11 2

x y

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

1 5

x 

,

32 5

y 

Vậy hình chiếu của A lên BC là

1 32

;

5 5

H  



, b4; 2 



a) Tính cosin góc giữa hai vectơ a



và b



Lời giải

b) Xác định tọa độ của vectơ c biết (a2 ).b c 1 và (b2 ).c a 6

  

Lời giải

  . 8 1

cos ;

a b

a b

a b



 

 



, ta có a2b 8;0

 

,

2 2 4;2 2

    Suy ra

1 ( 2 ) 1 8 1

8

a b c   x   x 

  

,

( 2 ) 6 4 2 2 6

4

       

Do đó

1 1

;

8 4

c   



Câu 3 Cho tam giác ABC có (5;3) A , (2; 1)B  , ( 1;5)C 

a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC

Lời giải

Gọi H x y là trực tâm tam giác ABC  ; 

AH x y

, BC  3;6



, BH x  2;y1

,

 6; 2

AC 



AH BC AH BC

BH AC BH AC







 

 

3;2

H

b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A

Lời giải

Gọi A x y ;  là tọa độ chân đường cao vẽ từ

A

Ta có

AA BC   AA BC   x  y  (1)

Và BA x'  2;y 1



, BC

cùng phương nên

2x y 3 (2)0

Từ (1) và (2) suy ra x y  1 A1;1 c) Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải

Ta có AA  5 1 2 3 1 2 2 5,

9 36 3 5

BC   

Suy ra

1

15 2

S  AA BC 

cho MBA   45

Lời giải

M Oy  M y Do đó ta có:

2

BM   y  BM  y  y

; BA ( 4;3) BA 5

Do đó ta có: BM BA. 3y 20

 

Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG

Ta có:

45 cos( , )

2

MBA  BM BA 

 

3 20 5 8 20

2

30 7 10

y y













Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là 1

30 0;

7

M   

  , M 2 0;10.

Lời giải

Gọi I x y ( , ) Khi đó IA IB và IA IC Do đó, ta có

(x 4) (y 3) (x 2) (y 7)

(x 4) (y 3) (x3) (y8)

Giải hệ phương trình ta được I ( 5,1)