Bài 6 tích vô hướng của hai vectơ đáp án

Nếu : Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính Cho hai điểm A, B cố định là hằng số thỏa thì tồn tại duy nhất một điểm I sao Cho ba điểm A, B, C cố định là hằng số thỏa thì tồn tại

PHẦN A LÝ THUYẾT

I Định nghĩa

1 Tích vô h ướ ng c a hai vect có cù ủ ơ ng đi m đ u ể ầ

Cho hai vectơ khác trong mặt phẳng

- Góc giữa hai vectở là góc giữa hai tia và được kí hiệu là

- Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu , được xác định bởi công thức:

Ví dụ 1 Cho tam giác vuông cân tại và

2 Tích vô h ướ ng c a hai vec t ủ ơ

Cho hai vectơ khác Lấy một điểm và vẽ vectơ

- Góc giữa hai vectơ , kí hiệu , là góc giữa hai vectơ

- Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu , là tích vô hưống của hai vectơ và Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực được xác định bởi công thức:

Quy ưóc: Tích vô hướng của một vectở bất kì với vectơ là số 0

Chú ý

-

- Nếu thì ta nói hai vectơ vuông góc với nhau, kí hiệu hoặc Khi đó

- Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng

- Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng

Ta có thể chứng minh chú ý thứ ba như sau:

Nếu là hai vectơ (khác ) cùng hướng thì Do đó, Vì vậy,

Nếu một trong hai vectơ là vectơ thì và nên Chú ý thứ tư được chứng minh tương tự như trên.

Ví dụ 2 Cho hình vuông tâm có độ dài cạnh bằng Tính:

Trong đó, kí hiệu và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ

Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng và là trung điểm của Chứng minh rằng với mỗi điểm ta có:

III Một số ứng dụng

1 Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét

Với hai điểm phân biệt, ta có:

Do đó độ dài đoạn thẳng được tính như sau:

Ví dụ 5 (Định lí coossin trong tam giác) Chứng minh rằng trong tam giác , ta có;

Giải

Ta có:

Suy ra:

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: Cho hai vectơ bất kì và khác vectơ Ta có:

Hai đường thẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Cũng như vậy, hai đường đường thẳng và vuông góc khi và chỉ khi , trong đó , giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng và giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng

Ví dụ 6 Cho tam giác có , Gọi là trung điểm của Về phía ngoài tamgiác vẽ các tam giác vuông cân tại là và

Chú ý rằng:

a)

b) với là điểm trên cạnh .

c) với nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông

Lời giải

J I

O

C B

N M

B

H

D A

Câu 7. Cho các vectơ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng Xác định cosin góc giữa

DẠNG 2 TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

a)

b) Do M thuộc AC sao cho

Vì là hai vectơ không cùng

phương nên biểu thức duy nhất

Câu 13 Cho tam giác có

a) Tính và độ dài trung tuyến

b) Gọi là phân giác trong của góc của tam giác Phân tích theo hai vectơ

Suy ra độ dài đoạn .

Theo tính chất đường phân giác ta có , do là hai vectơ

ngược hướng nên có

sao cho và thuộc sao cho

b) Tính và độ dài đoạn theo

Lời giải

M A

Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành…

Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng

Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức

Câu 15 Cho hình vuông có độ dài cạnh , gọi là giao điểm của và .

a) Tính tích vô hướng theo

b) Gọi là trung điểm cạnh Chứng minh rằng

Lời giải

M

O

C B

a)

b) Ta có:

Câu 18 Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì ta có:

Chú ý: Các công thức và thường xuyên được sử dụng trong khi giải các bài tập khác Đặc biệt, được gọi là định lí hàm số cosin, trong chương sau ta sẽ đề cập nhiều đến định lí này.

Câu 20 Cho tam giác có trung điểm của Chứng minh:

Đây chính là công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, sẽ được đề cập nhiều ở phần sau.

Câu 22 Cho tam giác , biết Có trọng tâm Chứng minh rằng

Câu 25 Cho hai điểm nằm trên đường tròn đường kính Gọi là giao điểm hai đường

M N

Vì nên là hình chiếu của vec tơ trên đường thẳng AI Vậy ta có:

Câu 27 Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm bán kính

b) Chứng minh với mọi điểm :

Lời giải

a) Vì tam giác ABC đều nên O cũng là trọng tâm của tam giác, do đó ta có

M thuộc đường tròn(O).

Câu 29 Cho tam giác , biết , các đường trung tuyến tương ứng

Gọi là trọng tâm tam giác Chứng minh rằng với mọi bất kì, ta có

Lời giải

Vì G là trọng tâm nên

Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.

a) Tính

b) Chứng minh vuông góc với

Lời giải

N M

A

a)

.b)

Ta có:

AM vuông góc với BN

Câu 33 Cho tam giác có góc nhọn Vẻ bên ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh

là và Gọi trung điểm của đoạn Chứng minh rằng vuông góc với

Lời giải

Câu 35 Cho tam giác cân tại Gọi là trung điểm của đoạn là hình chiếu vuông góc của

trên trung điểm của đoạn Chứng minh vuông góc với

Lời giải

M

D H

A

Vì M trung điểm của HD, nên có

J

I

C'

A' E B

Câu 37 Cho tứ giác có hai đường chéo và vuông góc với nhau và cắt nhau tại Gọi

là trung điểm của cạnh Chứng minh vuông góc với khi và chỉ khi

Gọi là độ dài cạnh hình vuông Nên có

Áp dụng định lí hàm số cosin cho các tam giác CMN và CDM:

Từ suy ra DMN vuông cân tại M

Câu 40 Cho tứ giác D có hai đường chéo cắt nhau tại Gọi lần lượt là trực tâm của các tam

giác ABO và Gọi lần lượt là trung điểm của và Chứng minh

Lời giải

I

O A

A

O

Do đó

, tức

DẠNG 5 TẬP HỢP ĐIỂM

Dạng 1: (A, B là hai điểm cố định)

: Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính .

 : Gọi I trung điểm của .

Nếu : Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính

A

k≠0

v

M' A'

Nếu : Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính

Cho hai điểm A, B cố định là hằng số thỏa thì tồn tại duy nhất một điểm I sao

Cho ba điểm A, B, C cố định là hằng số thỏa thì tồn tại duy nhất một điểm I sao cho Nếu với điểm M tùy ý trong mặt phẳng thì ta có:

Câu 43 Cho tam giác Tìm tập hợp các điểm sao cho

Lời giải

Ta có

Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua C vuông góc với .

Câu 44 Cho tam giác , tìm tập hợp điểm thỏa:

(Với E, F lần lượt là trung điểm của BC, AB).

Gọi K trung điểm của EF

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính

Câu 45 Cho tam giác , tìm tập hợp những điểm thỏa mãn điều kiện sau:

Lời giải

Ta có

MA vuông góc với .

Vì A, B, C cố định tập hợp những điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với .

Câu 46 Cho tam giác , tìm tập hợp những điểm sao cho:

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M và G trên BC, thì K cố định và hình chiếu của trên BC là , theo định lí hình chiếu ta có: , suy ra

, suy ra H cố định (H thuộc đường thẳng BC định bởi ) Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng vuông góc với BC tại H

Câu 47 Cho tam giác cân tại có Tìm tập hợp những điểm sao cho

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức

I là điểm cố định và nằm giữa hai điểm và Do

Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm I, bán kính

Câu 48 Cho là bốn điểm cố định cho trước, tìm tập hợp những điểm sao cho:

Lời giải

Gọi I là trung điểm của đoạn AD ta có:

Gọi J là điểm thỏa mãn hệ thức:

là điểm cố định

Ta có

Do đó

MJ vuông góc với MI

Do I, J cố định nên tập hợp điểm M là đường tròn đường kính IJ

Câu 49 Cho đoạn và số Tìm tập hợp các điểm M sao cho

Câu 50 Cho tam giác , tìm tập hợp những điểm sao cho

Lời giải a) Gọi I là trung điểm đoạn BC Khi đó

Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn đường kính AI

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Ta có

Ta có

Câu 51 Cho tam giác Tìm tập hợp những điểm sao cho:

a) Giả sử M là điểm thoả mãn

M nằm bên trong đoạn thẳng AB

Câu 52 Cho hai điểm và là một số không đổi Tìm tập hợp những điểm thoả điều kiện:

Câu 54 Cho tam giác Tìm tập hợp điểm sao cho:

Nếu vuông: Tập hợp điểm M là

Nếu nhọn: Tập hợp điểm M là đường tròn

b)

Cách 1: Gọi I trung điểm của BC, J là trung điểm của AI Ta có

thuộc đường thẳng vuông góc với AI tại điểm H, xác định bởi:

Cách 2: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác

Ta có

thuộc đường thẳng qua O vuông góc với AG.

Câu 55 Cho hai điểm cố định và số cho trước Tìm tập hợp những điểm sao cho

Lời giải

Ta có

Gọi I trung điểm của AB, khi đó có

Thay vào ta được:

tập rỗng

chạy trên đường tròn tâm I bán kính

Câu 56 Cho tam giác , tìm tập hợp những điểm thỏa mãn (với G là

trọng tâm tam giác ABC)

Lời giải

Gọi là hình chiếu vuông góc của B trên , trên ta lấy điểm H thỏa mãn

, vì cố định nên H cố định chạy trên đường thẳng CG đi qua H

Câu 57 Trong mặt phẳng cho cho tam giác có trọng tâm

a) Xác định vị trí điểm thỏa b) Chứng minh thẳng hàng

c)

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm H bán kính

Câu 58 Cho tam giác đều cạnh Gọi là điểm đối xứng với qua và là một điểm

thay đổi:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn (k là số thực cho trước)

Nếu thì quỹ tích chỉ gồm một điểm

Nếu thì quỹ tích là đường tròn tâm A, bán kính là

Câu 59 Cho tam giác Tìm quỹ tích điểm thỏa mãn:

a)

(với k là một số cho trước).

Lời giải

a)

Do đó điểm M thỏa mãn

(Với M’ là hình chiếu của M trên AD)

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với AD tại điểm M’ sao cho

b)

trước hết ta có

nên

Do vậy điểm M thỏa mãn

Gọi G là điểm thỏa mãn

Thành thử điều kiện trở thành:

(với a, b, c là độ dài ba cạnh BC, CA, AB)

Nếu thì quỹ tích là tập rỗng

Nếu thì quỹ tích chỉ gồm một điểm M

Nếu thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G bán kính

Câu 60 Cho tam giác số Tìm tập hợp các điểm sao cho

Lời giải:

Chú ý, tổng các hệ số nên không tồn tại tâm tỉ cự của hệ điểm

Gọi là điểm sao cho

Do đó cố định và

Ta có

Đặt không đổi, bài toán đưa về tìm tập hợp các điểm sao cho

Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của trên , ta có

Câu 2. Cho hai vectơ và khác Xác định góc giữa hai vectơ và khi

Lời giải Chọn A

Mà theo giả thiết , suy ra

Câu 3. Cho hai vectơ và thỏa mãn và Xác định góc giữa hai vectơ

và

Lời giải Chọn D

Ta có

Câu 4. Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng

Lời giải

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.

Đáp án B sai Sửa lại cho đúng

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán

Đáp án D đúng theo tính chất phân phối Chọn B

Câu 6. Cho hình vuông cạnh Đẳng thức nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn A

Ta có là trung điểm của nên

Khi đó

Câu 8. Cho tam giác Tập hợp các điểm thỏa mãn là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn.

Lời giải

Ta có

Câu 9. Cho tam giác đều cạnh Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Lời giải Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án So sánh vế trái với vế phải

Câu 10 Cho tam giác cân tại , và Tính

Lời giải Chọn B

Câu 13 Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là

trung điểm của Khi đó bằng :

A B C D

Lời giải Chọn B

Câu 14 Tam giác vuông ở và có góc Hệ thức nào sau đây là sai?

Lời giải Chọn D

Câu 15 Cho hình vuông , tính

Lời giải Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc sau đó mới tính

Câu 16 Cho tam giác vuông cân tại có Tính

Lời giải Chọn A

Câu 17 Cho hình vuông có cạnh Tính

Lời giải Chọn A

Câu 18 Cho là trung điểm , tìm biểu thức sai:

Lời giải Chọn D

Câu 19 Cho tam giác đều cạnh bằng và là trung điểm Tính

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn A

Câu 22 Cho tam giác vuông tại có , Tính

Lời giải Chọn B

Câu 23 Cho 2 vectơ đơn vị và thỏa Hãy xác định

Lời giải Chọn C

Câu 24 Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao Tính

Lời giải Chọn A

Câu 25 Cho tam giác vuông tại có , Tính

Lời giải ChọnB

Câu 26 Cho hai vectơ và Biết =2, = và Tính

Lời giải Chọn C

Câu 27 Cho hai điểm phân biệt Tập hợp những điểm thỏa mãn là :

C Đường tròn D Một đường khác.

Lời giải

Chọn A

.Tập hợp điểm là đường tròn đường kính

Câu 28 Cho ba điểm phân biệt Tập hợp những điểm mà là :

A Đường tròn đường kính

B Đường thẳng đi qua và vuông góc với

C Đường thẳng đi qua và vuông góc với

D Đường thẳng đi qua và vuông góc với

Lời giải Chọn B

.Tập hợp điểm là đường thẳng đi qua và vuông góc với .

Câu 29 Cho hai điểm , Tìm trên tia sao cho

Lời giải Chọn C

Gọi , với Khi đó Theo YCBT ta có

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên thử kiểmtra đáp án C và D.

Xác định được góc là góc ngoài của góc nên

Do đó

Câu 32 Cho tam giác đều có cạnh bằng và chiều cao Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải Chọn D

Xác định được góc là góc ngoài của góc nên

Do đó

Câu 33 Cho tam giác vuông tại và có Tính

Lời giải Chọn B

Ta có

Câu 36 Cho hình vuông cạnh Tính

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết suy ra

Câu 37 Cho tam giác có Gọi là trung điểm cạnh Đẳng thức nào

sau đây đúng?

Lời giải Chọn A

Vì là trung điểm của suy ra

Khi đó

Câu 38 Cho ba điểm không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng

là

A tam giác đều B tam giác cân tại

C tam giác vuông tại D tam giác vuông cân tại

Lời giải Chọn B

Ta có

Câu 39 Cho hình chữ nhật có Đẳng thức nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn D

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ theo các vectơ có giá vuông góc vớinhau

Câu 40 Cho hình thoi có và Đẳng thức nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn D

Gọi , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ theo các vectơ có giá

vuông góc với nhau.

Ta có

Câu 41 Cho tam giác Tập hợp các điểm thỏa mãn là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn.

Câu 44 Cho hai điểm cố định và Tập hợp các điểm thỏa mãn là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn.

Lời giải

Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Ta có

Theo giả thiết, ta có

Câu 45 Cho tam giác vuông tại có Tính tích vô hướng

Lời giải Cách 1: Vì tam giác vuông tại nên và từ câu a ta có

.Suy ra

giữa hai vectơ và

Lời giải

Với điểm bất kỳ ta có:

A

B

D

Gọi là điểm đối xứng của qua

điểm của Độ dài vectơ tổng bằng

Chọn D

Câu 51 Cho đều cạnh với là trung điểm Khẳng định nào đúng?

Lời giải Chọn D

Độ dài đường cao trong tam giác đều cạnh là:

Vậy khẳng định đúng là

Lời giải Chọn B

Ta có

Câu 54 Cho tam giác đều có cạnh bằng Tích vô hướng của hai vectơ và là

Lời giải Chọn A

Câu 55 Cho đều; và là trung điểm của Tích vô hướng bằng

Lời giải Chọn D

A

Câu 60 Cho hai vecto , sao cho , và hai véc tơ , vuông góc với

nhau Tính góc giữa hai véc tơ và

Lời giải Chọn C

Vì hai véc tơ , vuông góc với nhau nên

Câu 61 Cho hình chữ nhật có và Gọi là trung điểm của cạnh Đẳng

thức nào sau đây đúng?

K D

C B

A

Lời giải Chọn A

C A

Câu 63 Cho hình vuông cạnh là trung điểm của là trọng tâm tam giác Tính

giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì là trọng tâm tam giác nên

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có và

Câu 65 Cho các véctơ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng Xác định cosin góc giữa

hai vectơ và với ,

Lời giải

Có