Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.. Xác định một vectơ; phương, hướng của
Trang 1Bài 1.KHÁI NIỆM VECTƠ
A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa vectơ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút
của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu là
uuur
Vectơ còn được kí hiệu là: a b x y, , , ,
r r r r
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0
r
2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương
AB
cùng phương CD
kí hiệu: AB
// CD
- Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
AB
cùng hướng CD
kí hiệu: AB
CD
AB
ngược hướng CD
kí hiệu: AB
CD
Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB
uuur
và CD
uuur
cùng hướng còn EF
uur
và HG
uuur ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
3 Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB
uuur , kí hiệu AB
uuur Vậy ABuuur=AB
.
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
AA BB
= 0 , | 0 |= 0.
E F
Hình 1.2
r
Hình 1.1
Trang 2Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó ABuuur=CDuuur
B- CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng toán 1 Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ:
Phương pháp giải
Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa
Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0
là AB BA,
vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.
Lời giải tham khảo
Có 10 cặp điểm khác nhau A B , , A C , , A D , ,
A E , , B C , , B D , , B E , , C D , , C E , ,
D E ,
Do đó có 20 vectơ khác 0
Lưu ý:
Với hai điểm , A B phân biệt, ta
luôn xác định được hai vectơ khác
0 là: AB và BA
Với một điểm A AA 0
Bài 1.1:Cho ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
có điểm đầu điểm cuối là các đỉnh A B C , , ?
Lời giải
Có 3 cặp điểm khác nhau A B , , A C , , B C , Do
đó có 6 vectơ khác 0
Bài 1.3: Có thể kể tên bao nhiêu vectơ- không có điểm đầu và điểm
cuối là những điểm có tên trong hình vẽ dưới đây ?
giao điểm của hai đường chéo.
Có bao nhiêu vectơ khác0 có điểm đầu điểm cuối là các đỉnh
, , , ,
A B C D O ?
Lời giải
Có 10 cặp điểm khác nhau A B , ,
A C , , A D , , B C , , B D , ,
C D , , O A , , O B , , O C , ,
O D ,
Do đó ó 20 vectơ khác 0 .
Hình 1.3
Trang 3Lời giải
Vectơ AA
, BB,CC
,DD
, EE, FF
Vậy có 6 vectơ-không.
a) Khi nào thì hai vectơ AB
uuur
và AC
uuur cùng hướng ?
b) Khi nào thì hai vectơ AB
uuur
và AC
uuur ngược hướng ?
Lời giải
a) Hai vectơ AB
uuur
và AC
uuur
cùng hướng khi A nằm ngoài đoạn BC
b) Hai vectơ AB
uuur
và AC
uuur
ngược hướng khi A nằm trong đoạn BC
Lưu ý:
Hai vectơ cùng phương nếu chúng
có cùng giá.
Hai vectơ cùng hướng khi chúng có cùng phương và cùng hướng.
Bài 2.1:Chứng minh rằng ba điểm A B C , , phân biệt thẳng hàng khi
và chỉ khi AB AC,
uuur uuur
cùng phương
Lời giải tham khảo
Nếu A B C , , thẳng hàng suy ra giá của uuur uuurAB AC,
đều là đường thẳng đi qua ba điểm A B C , , nên AB AC,
uuur uuur
cùng phương
Ngược lại nếu AB AC,
uuur uuur
cùng phương khi đó đường thẳng AB và
AC song song hoặc trùng nhau Nhưng hai đường thẳng này cùng
đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay
ba điểm A B C , , thẳng hàng.
Bài 2.3:Cho bốn điểm A B C D , , , phân biệt.
a) Nếu ABuuur=BCuuur thì có nhận xét gì về ba điểm A B C , , .
b) Nếu ABuuur=DCuuur thì có nhận xét gì về bốn điểm
, , ,
A B C D.
Lời giải:
a) B là trung điểm của AC.
b) A B C D , , , thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình
hành
Bài 2.4: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định
nào đúng ?
a) ABuuur=BCuuur
b) ABuuur=DCuuur
c) OAuuur=-OCuuur
Bài 2.2:Cho tam giác ABC Gọi
, ,
M N P lần lượt là trung điểm của
BC CA AB.
a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN
uuuur
có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB
uuur
có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho
Lời giải tham khảo:
a Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN
uuuur
là
, , , , , ,
NM AB BA AP PA BP PB
uuuur uuur uuur uuur uuur uur uur
b Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB
uuur
là
, ,
AP PB NM
uuur uur uuuur
Bài 2.5: Cho lục giác đều ABCDEF
tâm O Hãy tìm các vectơ khác
vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho
Trang 4d) OBuuur=OAuuur
e) ABuuur= BCuuur
f) 2 OAuuur =BDuuur
Lời giải:
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
e) Sai
f) Đúng
Bài 2.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Hãy tìm các vectơ
khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm
O sao cho
a) Bằng với AB
uuur
b) Ngược hướng với OC
uuur
Lời giải:
a) FO OC ED, ,
uuur uuur uuur
b) CO OF BA DE, , ,
uuur uuur uuur uuur
Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi Mlà trung
điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D
a Hãy tính độ dài của vectơ sau MD
uuuur
b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại
P Tính độ dài MN
Lời giải tham khảo
a Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta
có
= + = ç ÷ ç ÷ è ø ÷ + =
5 2
a DM
Suy ra
5 2
a
MD = MD = uuuur
a) Bằng với AB
uuur
b) Ngược hướng với OC
uuur
Lời giải:
a) FO OC ED, , uuur uuur uuur
b) CO OF BA DEuuur uuur uuur uuur, , ,
Bài 2.7: Cho tam giác ABC đều cạnh
a và G là trọng tâm Gọi I là trung
điểm của AG
Tính độ dài của các vectơ
BI
uur
Lời giải:
Ta có ABuuur=AB=a
Gọi M là trung điểm của BC
Ta có
uuur
2 2
a
uur
Trang 5b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại
P.
Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và
3
2 2
PM PA AM a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có
= + = + ç ÷ ç ÷ è ø ÷ =
13 2
a DM
Suy ra
13 2
a
MN = MN =
uuuur
.
các vectơ từ 5 điểm , , , , A B C D O có độ dài bằng OB
uuur
Lời giải tham khảo
, ,
BO DO OD
uuur uuur uuur
Dạng toán 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau.
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | | ,
a b
a b cung huong
.
+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì
,
AB DC BC AD
,…
(hoặc viết ngược lại) + Nếu a b b c , a c
của BC CA AB , ,
Chứng minh: EF CD
Lời giải tham khảo
Lưu ý
A
B
o
Trang 6E F
D B
A
C
Cách 1 : EF là đường trung bình của ABC nên
//
EF CD ,
1 2
EF BC CD EF CD EF CD
(1)
EF
cùng hướng CD
(2)
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2 : Chứng minh EFDC là hình bình hành
1 2
EF BC CD
và EF CD // EFDC là hình bình hành
EF CD
Bài 3.1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt
là trung điểm của BC và AD Điểm I là giao điểm của AM và
BN , K là giao điểm của DM và CN
Chứng minh: AM NC DK , NI
Lời giải
K I
N
M D
A
C
B
Ta có MC AN // và MC AN MACN là hình bình
hành
AM NC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung
điểm
của MD DK
=KM
Tứ giác IMKN là hình bình
hành,
Suy ra NI
=KM
DK NI
Bài 3.3: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường
tròn ngoại tiếp Gọi B là điểm đối xứng của B qua O Chứng
minh: AH B C '
Giải
Bài 3.2: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)
Lời giải
Giả sử AB AC
Khi đó AB AC , ba
điểm A B C , , thẳng hàng và B C ,
thuôc nửa đường thẳng gốc A
B C
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Bài 3.4: Cho tứ giác ABCD Gọi
, , ,
M N P Q lần lượt là trung điểm
AB BC CD DA Chứng minh
MN QP= uuuur uuur
Trang 7Vì BB là đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC nên
BAB BCB Do đó CH B A // và AH B C //
Suy ra tứ giác AB CH là hình bình hành Vậy
AH B C
Bài 3.5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm
của BC Dựng điểm B ' sao cho B Buuur' =AGuuur Chứng minh:
a) BIuur=ICuur
b) Gọi J là trung điểm của BB ' Chứng minh BJuur uur=IG
Lời giải:
a) Vì I là trung điểm của BC nên
BI = CI và BI uur cùng hướng với ICuur
do đó
hai vectơ BI
uur ,IC
uur bằng nhau hay BIuur=ICuur.
b) Ta có B Buuur' =uuurAG suy ra B B ' = AG và BB '/ / AG.
Do đó BJ IG,
uur uur
cùng hướng (1)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
1 2
IG = AG
, J là
trung điểm BB ' suy ra
1 ' 2
BJ = BB
Vì vậy BJ = IG (2)
Từ (1) và (2) ta có BJuur uur=IG.
Bài 3.6: Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn thẳng
,
DC AB theo thứ tự lấy các điểm M N , sao cho DM = BN
Lời giải:
Do M N lần lượt là trung điểm của , nên MN là đường trung bình của tam giác
suy ra MN / / AC và
1 2
(1).
Tương tự QP là đường trung bình
của tam giác ADC suy ra QP / / AC
và
1 2
QP = AC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN / / QP và
MN = QP do đó tứ giác MNPQ là
hình bình hành Vậy ta có MN QPuuuur uuur=
Bài 3.7: Cho hình bình hành ABCD
Gọi M N , lần lượt là trung điểm của ,
DC AB; P là giao điểm của AM DB ,
và Q là giao điểm của CN DB , Chứng
minh: DPuuur uuur uuur=PQ=QB
Trang 8Gọi P là giao điểm của AM DB , và Q là giao điểm của
,
CN DB Chứng minh DBuuur uuur=QB
Lời giải:
Ta có DM = BN Þ AN = MC ,
mặt khác AN song song với MC
do đó tứ giác ANCM là hình bình
hành
Suy ra uuuurAM=NCuuur.
Xét tam giác D DMP và D BNQ ta có DM = NB (giả
thiết), ·PDM=QBN·
(so le trong) Mặt khác DMP· =·APB
(đối đỉnh) và APQ· =NQB·
(hai góc đồng vị) suy ra DMP· =BNQ·
Do đó D DMP =D BNQ (c.g.c) suy ra DB = QB.
Dễ thấy DB QBuuur uuur,
cùng hướng vì vậy DBuuur uuur=QB.
Bài 3.8: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với
2
AB = CD Từ C vẽ CIuur=DAuuur Chứng minh:
a) DIuur=CBuur
b) uurAI=IBuur uuur=DC
Lời giải:
a) Ta có CIuur=DAuuur suy ra AICD là
Lời giải:
Ta có tứ giác DMBN là hình
bình hành vì
1
2
Suy ra DMuuuur=NBuuur.
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / / QC
do đó P là trung điểm của DQ Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB
Vì vậy DP = PQ = QB từ
đó suy ra DPuuur uuur uuur=PQ=QB
Bài 3.9: Cho tam giác ABC có trực tâm
H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp
Gọi B là điểm đối xứng B qua O
Chứng minh: uuurAH=B Cuuur'
Lời giải:
Trang 9hình bình hành
Þ uuur=uur
Ta có DC = AI mà AB = 2 CD do
đó
1 2
AI = AB Þ
I là trung điểm AB
Ta có DC = IB và DC / / IB Þ tứ
giác BCDI là hình bình hành
Suy ra DIuur=CBuur.
b) I là trung điểm của ABÞ uurAI=IBuur và tứ giác
BCDI là hình bình hànhÞ IBuur uuur=DC suy ra
AI=IB=DC
uur uur uuur
Ta có
B C ^ BC AH ^ BC Þ B C AH,
B A ^ BA CH ^ AB Þ B A CH
Suy ra AHCB ' là hình bình hành do
đó AHuuur =B Cuuur'
Dạng toán 3 Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ.
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a
, trong đó O và a
đã được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về: Trung điểm của một đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số
k, hình bình hành, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, …
Bài 4.Cho điểm A và vectơ a Dựng điểm M sao cho:
a) AM
=a ;
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng |a |.
Lời giải
Giả sử là giá của a Vẽ đường thẳng d đi qua A và d //
(nếu A thuộc thì d trùng ) Khi đó có hai điểm M1
và 2
M
thuộc d sao cho:
AM AM a
Khi đó ta có:
a) AM1
=a
b) AM1= AM2
cùng phương với a .
Lưu ý
biệt Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn
Trang 10trung điểm của BC CA AB , ,
Vẽ các vectơ bằng vectơ NP
uuur
mà có điểm đầu , A B
Lời giải
Trên tia CB lấy điểm ' B sao cho BB ' = NP
Khi đó ta có BB '
uuur
là vectơ có điểm đầu là B và
bằng vectơ NP
uuur .
Qua A dựng đường thẳng song song với
đường thẳng NP Trên đường thẳng đó lấy
điểm A sao cho ' AA '
uuuur cùng hướng với NP
uuur và '
AA = NP .
Khi đó ta có AA '
uuuur
là vectơ có điểm đầu là A
và bằng vectơ NP
uuur .
uuur uuur
.
Lời giải:
MA = MB Û MA=MBÞ
uuur uuur
Tập
hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB
