02 03 01 01 hh10 c3 b1 pt duong thang hdg p2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGDẠNG 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG {các bài toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tìm điều kiện có chứa tham số m để hai đường thẳng song s

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

DẠNG 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

{các bài toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tìm điều kiện (có chứa tham số m) để hai đường thẳng song song, cắt, trùng,….}

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d a x b y c1: 1  1  1 0 và

nghiệm đúng với mọi x  R thì hai đường thẳng trên

trùng nhau Tuy nhiên để thuận tiện cho việc xét nhanh vị trí tương đối của hai đường thẳng tachú ý nhận xét sau

Câu 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình 2 3 2

nên hai đường thẳng không vuông góc

Câu 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d x y1:2   15 0  và d x2:  2 y   3 0

Câu 3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 4x 3y 26 0 và 3x4y 7 0

A Trùng nhau B Song song.

C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải Chọn B

A Trùng nhau B Song song.

C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải Chọn D

cắt nhau nhưng không vuông góc.

Câu 3: [0H3-1.3-1] Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1:3 4 1

và d2: 3x4y10 0

A Trùng nhau B Song song.

C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải Chọn C

 

1 2

2 1 2 2

A Trùng nhau B Song song.

C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải Chọn B

u t

A m2 B m1 C m1 D m1

Lời giải Chọn C

Ta nhận thấy   song song với các đường      d2 ; d3 ; d4

Câu 7: [0H3-1.3-2] Giao điểm M của  : 1 2

M  

Lời giải Chọn C

Ta có  d y: 2x 1  d : 2x y   chọn D1 0

Câu 9: [0H3-1.3-2] Hai đường thẳng  1

2 5:

   d1 ; d2

song song nhau

2 2

111

11

2

2

m m m

m m

Câu 11: [0H3-1.3-2] Cho 4 điểm A1; 2 , B4;0 , C1; 3 ,  D7; 7 

Xác định vị trí tương đối của haiđường thẳng AB và CD

A Song song B Cắt nhau nhưng không vuông góc.

C Trùng nhau D Vuông góc nhau.

Lời giải Chọn A

Câu 13: [0H3-1.3-3] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình

m 

1.5

m 

Lời giải Chọn D

Câu 14: [0H3-1.3-3] Nếu ba đường thẳng : 2d1 x y – 4 0 , d2: 5 – 2x y   và3 0



C 12 D 12

Lời giải Chọn D

269

 

1

1 2 2

Chọn B

Thay điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được 1

Thay điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được 10

Thay điểm C vào phương trình đường thẳng d ta được 11

Suy ra điểm A và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AB

điểm A và C nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AC

điểm C và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh BC

Câu 18: [0H3-1.3-3] Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc

1

:2

Câu 19: [0H3-1.3-3] Cho 4 điểm A3;1 , B9; 3 ,  C6;0 , D2; 4

Tìm tọa độ giao điểm của 2đường thẳng AB và CD

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d a x b y c1: 1  1  1  và0

d M     

 

105

Suy ra số đo góc giữa d và 1 d là 2 450

Câu 3: Cho hai đường thẳng song d1: 5x 7y 4 0 và d2: 5x 7y 6 0 Phương trình đường

thẳng song song và cách đều d và 1 d là2

Lời giải Cách 1: Tự luận.

Gọi là d đường thẳng song song và cách đều d và 1 d 2

Diện tích tam giác ABC là

Tìm tọa độ điểm M nằm trên Oy sao cho

diện tích tam giác MAB bằng 6

m 



.Diện tích tam giác MAB bằng 6 nên

3 121

Câu 6: Xác định tất cả các giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng

Ta có cos cos ,u v 

.cos 45

a a

Câu 7: Đường thẳng  đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: 2x y  3 0 và d x2:  2y 1 0

đồng thời tạo với đường thẳng d y   một góc 3: 1 0 0

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M1; 1 

và hai đường thẳng có phương trình

 d1 :x y 1 0,  d2 : 2x y  5 0 Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên Biết rằng

có hai đường thẳng  d

đi qua M cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại hai điểm B C, sao cho

ABC là tam giác có BC3AB có dạng: ax y b  0 và cx y d  0, giá trị của

T a b c d    là

Lời giải

Với a b một vec tơ pháp tuyến n1;1  d x y:  0

Với a7b một vec tơ pháp tuyến n7;1  d: 7x y  6 0

Vậy: T     1 0 7 6 2

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ( )d1 :2x y- + =5 0 và ( )d2 :x+ - =y 3 0 cắt

nhau tại I Phương trình đường thẳng đi qua M(- 2;0) cắt ( ) ( )d1 , d2 tại A và B sao cho tam

giác IAB cân tại A có phương trình dạng ax by+ + =2 0 Tính T= -a 5b.

Lời giải

Đường thẳng ( ) ( )d1 , d2

có véc tơ pháp tuyến lần lượt là n 1=(2; 1 ,- )  n2=( )1;1

.Gọi ( )D

là đường thẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là n=(a b; )

.Góc giữa 2 đường thẳng ( ) ( )d1 , d2

a=- b

: chọn a= Þ1 b=- : phương trình đường thẳng là:2(x+ -2) 2y= Û -0 x 2y+ =2 0 (T m/ ) Do đó T = -a 5b= -1 5(- 2)=11.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A1;1, B  2; 4

và đường thẳng:mx y 3 0

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  cách đều hai điểm , A B

11

2

11

1

m m m

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi d là đường thảng đi qua M(4; 2) và cách điểm A(1;0)

101

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : d x 4y15 0 và điểm A2; 0

Tìm tọa độ điểm M thuộc d để đoạn AM có độ dài nhỏ nhất

3

I  

nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với d có phương trình:

523

15 152

  

nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất.

Mặt khác M thuộc trục tung nên MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên trục tung.

Vậy

10;

3

M  

 

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : x y 1 0   và hai điểm (2;1)A , (9;6)B Điểm M a b( ; )

nằm trên đường sao choMA MB nhỏ nhất Tính a b ta được kết quả là:

Lời giải

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng 

H A

Vì A’ đối xứng với A qua nên H là trung điểm AA’ A ' 0;3 

Đường thẳng A’B qua B có VTCP A 'B 9;3 3 3;1  nA 'B 1; 3 

Câu 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A2; 2

và trung điểm của BC

Câu 18: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là

điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử

Ta chứng minh được MPAN, nên P là hình chiếu của M trên AN

(Thật vậy gắn hệ trục toạ độ Dxy , D0;0 , C1;0 , B1;1 , A0;1 Khi đó

a 

, b 2 2a b 7

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M

, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC và BD; gọi P là giao điểm của MN và

AC Biết đường thẳng AC có phương trình x y   ,1 0 M0; 4 ,N2;2 và hoành độ điểm

A nhỏ hơn 2 Tìm tọa độ các điểm P,A,B.

Lời giải

P N M

C

* Ta chứng minh P là trung điểm của AC

Thật vậy: do các tứ giác ABMN , ABCD là các tứ giác nội tiếp nên ·AMP ABN· ·ACDLại do : AM CD (cùng vuông góc với BC ) nên ·// ACD CAM·  PAM· ·PMA

là vectơ pháp tuyến của BD nên phương trình BD là: 2x3y10 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 4 0 1  1; 4

Đường thẳng cắt tia Ox tại A a( ;0), a 0 OA a .

Đường thẳng cắt tia Oy tại B(0; ), b b 0 OB b .

4.1 Góc giữa hai đường thẳng.

Câu 1: [0H3-1.4-1] Góc giữa hai đường thẳng 1:a x b y c1  1  1  và 0 2:a x b y c2  2  2  được0

2

Lời giải Chọn D

Véctơ pháp tuyến của 1,  lần lượt là 2 n 1(2;3),n2(2; 3).

Véctơ pháp tuyến của 1,  lần lượt là 2 n 1(1; 3),n2(0;1)

Véctơ pháp tuyến của 1,  lần lượt là 2 n 1(1; 3),n2(1;0)

Véctơ pháp tuyến của 1,  lần lượt là 2 n1(1; 2), n2(2; 4).

1 2

1 2

Δ Δ

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là 1 n 1 1; 2 

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là 2 n 2 2; 1  

Ta có n n 1 2  0 d1d2

Câu 10: [0H3-1.4-2] Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng  : 1 10x5y1 0 và  :2

21

3 10

3.5

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là 1 n 1 (3;4).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là 2 n 2 (5; 12)

Câu 13: [0H3-1.4-2] Cho hai đường thẳng d1: 2x 4y 3 0; d2: 3x y 17 0 Số đo góc giữa d và1

d d   d d 

Câu 14: [0H3-1.4-3] Đường thẳng ax by  3 0, , a b  đi qua điểm M1;1

và tạo với đường thẳng

d d

Với

12

m 

hoặc m  0 C

34

m 

hoặc m  0 D m  3

Lời giải

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là d  3; 1  

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 'd là d 'm;1 

m m



  2 4a6 5 2 a24  7a296a 28 0

2.714

a a

Câu 18: [0H3-1.4-3] Cho d: 3x y 0 và d mx y' :   1 0 Tìm m để cos , ' 1

m m

d d

Câu 21: [0H3-1.4-4] Phương trình đường thẳng đi qua A  2;0

và tạo với đường thẳng

d d

Với

12

chọn B2; A1  :x 2y 2 0

Câu 22: [0H3-1.4-4] Đường thẳng đi qua B  4;5

và tạo với đường thẳng : 7x y  8 0 một góc

d d

chọn B2; A1  d x: 2y 6 0.

Với

211

chọn B11; A2  d: 2x11y63 0.

Câu 23: [0H3-1.4-4] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y:   3 0 Viết

phương trình đường thẳng đi qua điểm A2; 4 

và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45 

d d

a b





  

Với a  chọn 0 b  1  :y 4 0.

Với b  chọn 0 a  1  :x 2 0.

Câu 24: [0H3-1.4-4] Đường thẳng bx ay  3 0, , a b  đi qua điểm M1;1

và tạo với đường thẳng

d d

Với

12

chọn B2; A1  d x:  2y 1 0.

Câu 25: [0H3-1.4-4] Viết phương trình đường thẳng qua B  1; 2

tạo với đường thẳng d :

2 32

d d

a  b

chọn b3;a24 645  Δ : 645 24 x3y 645 30 0. 

Với

24 6453

a  b

chọn b3;a24 645  Δ : 645 24 x 3y 645 30 0. 

Câu 26: [0H3-1.4-4] Lập phương trình  đi qua A2;1

và tạo với đường thẳng d: 2x3y 4 0một góc 45 

Ta có

2

d d

Với

15

chọn b5; a1  Δ :x 5y 3 0.

Câu 27: [0H3-1.4-4] Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2x y  2 0

và d2: 2x4y 7 0 Viết phương trình đường thẳng qua điểm P3;1 cùng với d , 1 d tạo2

thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d và 1 d 2

chọn B3;A 1 d x:  3y0

Câu 28: [0H3-1.4-4] Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác cân PRQ, biết phương

trình cạnh đáy PQ: 2x 3y 5 0, cạnh bên PR x y:   1 0 Tìm phương trình cạnh bên

RQ biết rằng nó đi qua điểm D1;1

chọn B7;A17 RQ:17x7y 24 0 Với A B chọn B1;A11 RQ x y:   2 0 loại vì RQ// PR.

Vậy đường thẳng cần tìm là RQ:17x7y 24 0

Câu 29: [0H3-1.4-4] Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 đường thẳng d1: 3x4y 6 0 ; d2: 4x3y1 0

và d y  Gọi 3: 0 A d 1d2; B d 2d3; C d 3d1 Viết phương trình đường phân giáctrong của góc B

Suy ra A và C nằm khác phía đối với  1

Do đó đường phân giác trong góc B là  1 : 4x 2y 1 0

4.2 Khoảng cách

Câu 30: [0H3-1.5-1] Cho điểm M x y 0; 0

và đường thẳng :ax by c  0 với a2b2 0 Khi đókhoảng cách dM;

Xem lại công thức ở sách giáo khoa

Câu 31: [0H3-1.5-1] Khoảng cách từ điểm M5; 1 



Lời giải

Câu 38: [0H3-1.5-2] Khoảng cách từ điểm M15;1

M  

Câu 46: [0H3-1.5-3] Cho hai điểm A3;2

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : y  2 0 , x 2y 1 0

Câu 47: [0H3-1.5-3] Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng

5

13:

d x y  và: 4x 3y 10 0

Câu 48: [0H3-1.5-3] Cho 3 đường thẳng 1:x y   , 3 0 2:x y  4 0 , 3:x 2y Biết điểm0

M nằm trên đường thẳng  sao cho khoảng cách từ3 M đến  bằng hai lần khoảng cách từ1

M đến  Khi đó tọa độ điểm 2 M là:

Tìm tọa độ điểm C trên

đường thẳng :x 2y 8 0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17

c c

m  

14

Câu 54: [0H3-1.5-3] Cho tam giác ABC có A0;1 , B2;0 , C   2; 5

Tính diện tích S của tam giác ABC

A

52

S 

72

1

x m t d

Phương trình tổng quát của đường thẳng d x: 2y m  2 0

Đường thẳng d và đoạn thẳng AB có điểm chung

,

A B

 nằm về hai phía của đường thẳng d  (1 4  m 2)( 3 8   m 2) 0

(3 m)(3 m) 0

Câu 56: [0H3-1.5-3] Cho tam giác ABC có A0;1 , B  2;0 , C2;5

Tính diện tích S của tam giác ABC

A S  3 B S  5 C

52

S 

32

2 31

Câu 59: [0H3-1.5-4] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm

trên hai đường thẳng song song: d1: 3x 4y  và 6 0 d2: 6x 8y13 0

Câu 60: [0H3-1.5-4] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng x y 1 0 và

3x y  5 0 Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho,một đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I3;3

Từ đó suy ra tọa độ điểm H

Chú ý: Nếu điểm M x y 0; 0, khi đó tọa độ hình chiếu H của M trên:

+) Ox có tọa độ H x 0;0

.+) Oy có tọa độ H0;y0

2 Xác định điểm M đối xứng với điểm 1 M qua  d .

+) Xác định hình chiếu H của điểmM trên đường thẳng  d

+) Gọi M là điểm đối xứng với 1 M qua d thì H là trung điểm của MM , ta được:1 1

1

22

3 Viết phương trình hình chiếu đối xứng của đường thẳng

Bài toán: Cho đường thẳng d và 1 d Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với2

Chú ý: Nếu d1/ / d2ta làm như sau:

+) Lấy điểm M N d ,  1 sau đó xác định hình chiếu của điểm M N, qua d2

là M N', '.+) Viết phương trình đường thẳngd đi qua M N', '

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A2;1

lên đườngthẳng d: 2x y  7 0

Lời giải

Đường thẳng qua A2;1

và vuông góc với d có phương trình: x 2y 0  

Gọi A là hình chiếu của A lên d khi đó A  d Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:

x y

.Vậy M1; 2

x y

Với mọi điểm N   thì: NP NQ HP HQ PQ  NP NQ max PQ

.Dấu bằng xảy ra khi N trùng H

Câu 5: Cho tam giác ABC có diện tích bằng

32

a .

Với a 1 G1; 5  C2; 10 

.Với a 2 G2; 2  C1; 1 

.Vậy C2; 10 

hoặc C1; 1 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6: Toạ độ hình chiếu của M4;1

trên đường thẳng : – 2x y4 0 là:

Lời giải

Đường thẳng ( ) có 1 VTPT n   (1; 2), Gọi H t(2  4; )t là hình chiếu của M4;1

trên đườngthẳng ( ) thì MH t  (2 8; 1)  t 

n   cùng phương khi và chỉ khi

Câu 7: Cho đường thẳng d: 2 – 3x y  3 0 và M8; 2

Tọa độ của điểm M  đối xứng với M qua d

là:

Lời giải

Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm M  chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như

sau:

Thay y 8 vào ta được x 4

Thay y 8 vào thấy không ra đúng x  4

GọiIlà giao điểm của hai đường thẳngd d1, 2

Tọa độ điểmIlà nghiệm của hệ:

Phương trình đường thẳng  

3 4

5 5:

2; 1

I d

Câu 1: [0H3-1.6-3] Cho đường thẳng :x y  2 0 và điểm O0;0

Tìm điểm Ođối xứng với O

Có OO   I 1;1

Vì I là trung điểm của OO nên suy ra O  2;2

Câu 2: [0H3-1.6-3] Cho hình vuông ABCD có đỉnh A  4;5

và một đường chéo có phương trình

nên đường chéo BD: 7x y  8 0.

Phương trình đường chéo AC đi qua A  4;5

Câu 4: [0H3-1.6-3] Cho hai điểm A  1; 2

, B3;1

và đường thẳng

1:2

Nhận xét O và A nằm về cùng một phía so với đường thẳng 

Gọi điểm O là điểm đối xứng với O qua đường thẳng 

Ta có OM MA O M MA O A      Vậy độ dài đường gấp khúc ngắn nhất khi M O A  

Phương trình đường thẳng OO x y:  0

Có OO   I 1;1

Vì I là trung điểm của OO nên suy ra O  2;2