Đs9 cđ2 chuyên đề hệ phương trình 2

Chú ý: Dạng này chỉ đúng khi tìm m là số nguyên hoặc các số là tập con của số nguyên như số tự nhiên, số chính phương, số nguyên tố….. Dạng 3: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ g

Dạng 4: Hệ chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Ta thực hiện theo 2 bước cơ bản sau

Bước 1: Đặt điều kiện xác định của hệ

Bước 2: Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ hoặc giải trực tiếp

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( ) (x y = −; 1;2 ; 3;2) (− )

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( ) (x y = −; 1;2 ; 3;2) (− )

Bài 2:

Giải hệ phương trình sau

2 1 3

2 1 3

y x

y x

2 1 3

y x

y x

Đặt

4

3( 0; 0)1

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai ngiệm ( ) (x y =; 25;1 ; 25;0) ( )

y

y y

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai ngiệm ( ) (x y =; 25;1 ; 25;0) ( )



Lời giải

Điều kiện y ≥ −3

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) (x y = −; 3;1 )

Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2018 - 2019 Giải hệ phương trình sau 4 2 3

Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Hà Nam (Toán chung), năm học 2020 - 2021 Giải hệ phương trình sau 3 2 1

1

1

1

x y y

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Dạng 1: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn một trong các điều kiện ( )K sau đây: ax by c ax by c ax by c xy+ = ; + > ; + < ; < 0;xy> 0;

Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm ( )x y; theo tham số m

Bước 2: Thay nghiệm ( )x y; vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K

Bước 3: Giải điều kiện ( )K tìm ( )K

a) Giải hệ phương trình với m =5

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn x= 3 1y+

=



 =

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 5;6

b) Hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thoả mãn x= 3 1y+ ⇔ =m 3(m+ + ⇔ = − 1 1) m 2

Vậy với m = −2 thì hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn x= 3 1y+

2 1 2

m x m m y m

m m

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y; thỏa mãn x= 3 y

b) Cách 1: Thay x= 3 y vào hệ phương trình rồi giải hệ với ẩn là m và y

Cách 2: Từ (2) ⇒ = −x 8 my, thay vào (1) ta được: m(8 −my)+ 4y= ⇔ 9 8m m y− 2 + 4y= 9

m

−

=

−

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠ ±2

- Giải hệ phương trình theo m

m y

m x m

2) Với ( )x y; là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm m để:

a) 2x− 3y> 0

b) Cả x và y là các số nguyên

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn 2 1 1

m= − m= thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 7:Tuyển sinh vào 10 Bình Dương, năm học 2021 - 2022

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm x> 0,y< 0

− < < thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 8:Tuyển sinh vào 10 Phú Thọ, năm học 2021 - 2022 Cho hệ phương trình 2 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y; thỏa mãn 2x2 − 3y= 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn 2 1 1

Vậy m = −1 hoặc m =5 thỏa mãn bài toán

Dạng 2: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên

a) Tìm các giá trị của m để hệ pt có nghiệm duy nhất

b) Trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm các số nguyên m để x; y là số nguyên

Lời giải

a) Từ ( )1 ⇒ = −y 1 x, thay vào (2) ta có: mx− −(1 x)= 2m⇔(m+ 1)x= 2m+ 1 3( )

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất ⇔ ≠ −m 1

b) Với m ≠ −1, từ (3) 2 1 2 1

m x

Ta thấy m = −2 hoặc m =0 thỏa mãn m ≠ −1

Vậy m = −2 hoặc m =0 thì x, y nguyên

Chú ý: Dạng này chỉ đúng khi tìm m là số nguyên (hoặc các số là tập con của số nguyên

như số tự nhiên, số chính phương, số nguyên tố…) Tức là nếu m không nguyên, hoặc m

hữu tỷ thì làm như trên sẽ bị thiếu đáp số

Dạng 3: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x và y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ta có m + >2 2 0 với mọi m nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Từ (3) ⇒ = +x m 1 thay vào (*) ta được: y m m= ( + − 1) m2 =m

Thay x m= + 1;y m= vào P x= 2 + 3y+ 4 ta được:

a) Giải hệ phương trình với m =2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn điều kiện x2 +y2 = 5.

Bài 4:Tuyển sinh Vĩnh Phúc, năm học 2018 - 2019 Cho hệ phương trình 2 3 ( )

a) Giải hệ phương trình với m =2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= 2 +y2, trong đó ( ; )x y là nghiệm duy nhất của hệ

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( )x y; theo tham số m

Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số hoặc qui tắc thế ta làm mất tham số m

Bước 3: Trả lời yêu cầu bài toán

1 1 2 1

m x

m m y

a Giải hệ phương trình khi a =2

b Giải và biện luận hệ phương trình

c Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y+ đạt GTNN

Lời giải

a Với a =2 hệ phương trình có nghiệm ( ); 5 3;

+) TH1: a = ⇒0 phương trình (4) vô nghiệm Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận: a ≠0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y; a2 21;a 21

- a =0 hệ phương trình vô nghiệm

c Hệ phương trình có nghiệm nguyên

2 2

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ( ; ) (2; 1)x y = −

c Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

d Với ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ, tìm hệ thức lien hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

e Gọi ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Hãy tìm m để:

1 Chứng minh điểm M luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

2 Tìm m để M nằm trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1

Vậy với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (m− 1;2 −m)

>



⇔  > ⇒ < <

4 Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y ax b= +

Thay tọa độ A B, vào y ax b= + ⇒ =a 2;b= ⇒ 1 AB y: = 2 1x+

c Giải và biện luận hệ phương trình theo m

d Với ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ, tìm hệ thức lien hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

e Gọi ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Hãy tìm m để:

1 Chứng minh điểm M luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

2 Tìm m để điểm M x y( ; ) thuộc góc phần tư thứ ba

- Với m =0 thì hệ phương trình vô nghiệm

- Với m =1 thì hệ phương trình vô số nghiệm

Cho hệ phương trình: mx 4y m 2( :m tham so )

c Giải và biện luận hệ phương trình theo m

d Với ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

e Gọi ( )x y; là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Hãy tìm m để:

6 Nghiệm ( ; )x y nhận giá trị nguyên với những giá trị nguyên của m

g Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm M x y( ; ) trong đó ( ; )x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình, hãy:

1 Chứng minh điểm M luôn thuộc 1 đường thẳng cố định Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng này

2 Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ tư

N tìm đường thẳng tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích là 2S1

h Cho các đường thẳng d mx1: + 4y m= + 2; :d x my m d2 + = ; : 23 x y− − = 3 0 Tìm m để ba đường thẳng đồng quy

k Xét đường thẳng d mx4 : + 4y m= + 2(m> 0). Gọi C D, là giao điểm của d1 với Ox Oy, Tìm

m để diện tích ∆OCD đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

m x m m y m

- Với m = − ⇒2 (*) vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm

- Với m = ⇒2 (*) có vô số nghiệm ⇒ phương trình có vô nghiệm x m my

>



⇔  < ⇒ ∈∅

3 Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b= +

Thay tọa độ A B, vào y ax b= + ⇒ = −a 2;b= ⇒ 2 AB y: = − + 2x 2

Từ đó tìm được hai đường thẳng y= 4x+ 2;y= − + 4x 2

h Gọi M d= ∩ 1 d2 → tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình mx 4y m 2

Để ba đường thẳng đồng quy thì 3 7 ( )

2

M d∈ → =m − tm Thử lại thấy 7