Đs chuyên đề 10 phương trình bậc nhất hai ẩn hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó5.. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm công thức nghiệm tổng quát

Chương 3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Chuyên đề 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

song hoặc trùng với trục hoành

4 Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  1 ax by c

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó

5 Tập nghiệm của hệ phương trình  1 được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chungcủa hai đường thẳng Vậy : d : axbyc và  d : a x b y c'

.Vậy :

● Nếu  d cắt  d thì  1 có một nghiệm duy nhất.

● Nếu    d // d thì hệ  1 vô nghiệm.

● Nếu  d trùng với  d' thì hệ  1 vô số nghiệm

6 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập

nghiệm

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm công thức nghiệm tổng quát của mỗi phương

trình sau và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó

Ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là:2

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

- Biểu thị ẩn y theo ẩn x

- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức chứa x

- Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng số nguyên t, ta được

Với x y, là số nguyên thì vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 3

Vậy không tồn tại số nguyên x y; thỏa mãn phương trình

● Nhận xét: Câu c, ta chỉ cần chú ý đến tính chia hết của hệ số các ẩn

a b c ; ;  1 Người ta đã chứng minh được nếu ƯCLNa b ;  1thì phương trình luôn

có nghiệm, nếu ƯCLNa b;   d 1thì phương trình luôn vô nghiệm

Ví dụ 3: Trên đường thẳng 8x13y 6 0, hãy tìm các điểm nguyên (là điểm có tọa

độ là số nguyên) nằm giữa hai đường thẳng x 15 và x 40

Giải

● Tìm cách giải Bản chất của bài toán là tìm nghiệm nguyên của phương trình

8x13y 6 0và chỉ lấy các giá trị của x sao cho15x40 Do vậy:

- Bước 1 Tìm nghiệm nguyên tổng quát của phương trình

- Bước 2 Xét miền giá trị 15x40để tìm nghiệm

● Trình bày lời giải:

Giả sử M x y ; với x y Z;  là điểm thuộc đường thẳng 8x13y 6 0 suy ra x y; lànghiệm nguyên của phương trình này

● Tìm cách giải Bản chất của bài toán là chứng tỏ phương trình 3x5y7không cónghiệm nguyên thỏa mãn 6x42và 2y17 Do vậy:

- Bước 1 Tìm nghiệm nguyên tổng quát của phương trình

- Bước 2 Xét miền giá trị 15x40và 2 y17 để từ đó chứng tỏ không tồn tại x

và y nguyên.

● Trình bày lời giải

Giả sử M x y ; với x y Z;  là điểm thuộc đường thẳng 3x5y7 suy ra x y; lànghiệm nguyên của phương trình này

Điều này không xảy ra

Vậy trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x 6;x 42 ;y 2;y 17không có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x5y7

Ví dụ 5: Không giải hệ phương trình, chỉ dựa vào các hệ số của các phương trình

trong hệ hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích tại sao?

hệ phương trình là số giao điểm của phương trình  1 và  2 do vậy:

- Nếu a a thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Nếu a a , b b thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu a a , b b thì hệ phương trình có vô số nghiệm

● Trình bày lời giải

a) Hệ phương trình có một nghiệm vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong

hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau (nên chúng cắt nhau tại một điểm duynhất)

b) Hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ

là hai đường thẳng khác nhau và có cùng hệ số góc ( nên chúng song song với nhau) c) Hệ phương trình vô số nghiệm vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong

hệ là hai đường thẳng trùng nhau và trùng với đường thẳng y2x1

Ví dụ 6: Không giải phương trình, chỉ dựa vào các hệ số của các phương trình trong

hệ, hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích tại sao?

c c để rút ra kết luận về số nghiệm của

abc thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Trình bày lời giải

Ví dụ 6: Cho đường thẳng m 2 xm1 y1(m là tham số)

a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của

m

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng là lớn nhất

Giải

a) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng m 2xm1 y1 1 đi qua điểm cố định

10.1 Tìm các số tự nhiên n sao cho:

a) n chia hết cho 9 và n 1 chia hết cho 25

b) n chia hết cho 21 và n 1 chia hết cho 165

c) n chia hết cho 9; n 1chia hết cho 25 và n 2chia hết cho 4

c) Theo câu a, n chia hết cho 9; n 1 chia hết cho 25 thì n225y99 y N 

10.3 Trên đường thẳng 11x18y120, hãy tìm các điểm nguyên (là điểm có tọa độ

là số nguyên) nằm giữa hai đường thẳng y 18và y30

Hướng dẫn giải – đáp số

Giả sử M x y ; với x y; Zlà điểm thuộc đường thẳng 11x18y120

Suy ra x y; là nghiệm nguyên của phương trình này.

Ta nhận thấy 18yvà 120 chia hết cho 6 nên 11xchia hết cho 6  x6

Đặt x6k k Z  thay vào  1 và rút gọn ta được: 11k 3y 20

Giả sử M x y ; với x y; Z là điểm thuộc đường thẳng 11x8y73

Suy ra x y; là nghiệm nguyên của phương trình này.

x x

Vậy trong hình chữ nhật giới hạn bởi đường thẳngx 5; x 23; y 6; y 60 không

có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 11x8y73

10.6 Xác định nghiệm của hệ phương trình sau bằng phương pháp hình học

Rút y từ mỗi phương trình đã cho để có hàm số bậc nhất của biến số x , sau đó biểu

diễn bằng phương pháp hình học rồi xác định nghiệm của hệ

.2

Nghiệm của hệ phương trình là:  x y ;    1;2 

10.7 Cho hai phương trình mx 2y3 và 3x 5y n 8 Biết rằng hai phương trình

có vô số nghiệm chung Hãy tính m n

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ các phương trình đã cho, suy ra: 3

m x

Hệ phương trình vô nghiệm.

Xét a 0, hệ phương trình vô nghiệm khi: 3 2 3 3

Vậy với a  0, hệ phương trình đã cho vô nghiệm

10.9 Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? vô

nghiệm?

Hệ vô nghiệm khi a 3.

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi 1 2

b) Với a  0 thì hệ vô nghiệm

Xét a 0, hệ có nghiệm duy nhất khi 3 1 1 3 1 1 1

c) Không có giá trị nào của a để hệ vô số nghiệm.

10.11 Không giải phương trình, chỉ dựa vào các hệ số của các phương trình trong hệ,

hãy cho biết vì sao các hệ phương trình sau tương đương

Hai hệ phương trình tương đương vì chúng đều vô nghiệm

10.12 Không giải phương trình, chỉ dựa vào các hệ số của các phương trình trong hệ,

hãy cho biết vì sao các hệ phương trình sau không tương đương

a) Chứng minh rằng đường thẳng  D luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường

thẳng  d với mọi giá trị của m

b) Tìm giá trị của m để góc tọa độ cách đường thẳng  D một khoảng cách lớn nhất

(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Kontum, năm học 2012 - 2013)

Khoảng cách từ O tới đường thẳng là 3

- Xét m  2 Gọi A là giao điểm của đường thẳng  D với trục tung

Ta có x   0 y  m  1 do đó OA m1

Gọi B là giao điểm của đường thẳng  D với trục hoành.

m OB m