Chuyên đề hệ phương trình

2 Tìm m để hệ phơng trình có nhiều hơn hai nghiệm... 2 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.. 2 Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt... giải các hệ phương trình s

= +

4 2

3 ) 2 (

x

x xy

=++

8

)1)(

1(

2

2 y x y x

m y

x xy

a Giải hệ khi m=12 b.Tìm m để hệ có nghiệm

=+

2 2

x

a y x

a) Giải hệ khi a=2

b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ

+

=+

y m x

x m y

2

2

)1(

)1(

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

=

−+

22

22

x y

y x

+

=++

+

m y

x x

y y

x

y x

11

11

311

a.Giải hệ khi m=6 b.Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2:

=+358

152

3 3

2 2

y x

xy y

−

=

−

)2(1

)1(33

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :

a y x

2 2

2 2

2x x a

y x

=

−+

22

22

x y

y x

−

=+

)1(

)1(

2

2

x a y

xy

y a x

)1(2010

2

2

y xy

x xy

y y

y

x= 5+ 2 = 5 + Cô si = 5 + y ≥2 5

y x

x2 ≥20 theo (1) x2 ≤20 suy ra x,y

=+

−+

a y

x

a y

x

3

21

x

y xy

3 3

2

y x

y y x

=++

64

9)2)(

2(

x

y x x

=

−

−+

4

)1(2

2 2 2

x

y x y x

đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1)

=+

2 2

3 3

3

6

191

x xy

y

x y

+

=+

a x y

a y x

2

2

)1

(

)1

(

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ

=+

3

322

xy y

x

x

y y

+

=+

78

17

xy y xy

x

xy x

y y

− +

−

= +

−

6 xy y x y x

3 y x xy 2

= + +

1 xy y x

3 y xy

= + +

4 y x

2 y ) 1 m ( mx 2

2 x 3 y x 2

2 2

2 2

= +

1 ay x

3 y 2 ax

cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x >1, y > 0

−

= +

5 y x

2

1 y

1 x 1 2 2

56 y 2 xy x 6

2 2

2 2

= +

+

=

6 y 3 x 3 y x

) xy ( 2 3 9

2 2

3 log )

xy ( 2 log

= +

−

= +

3 a 2 a y x

1 a 2 y x

2 2

= +

m 3 1 y y x x

1 y x

y

2 x x 3

x

2 y y 3

1 x log 2 1

0 k x 3 1 x

3 2

2 2

3

WWW.ToanCapBa.Net Bài tập 29:Giải hệ phơng trình

= +

−

=

−

2 y x y x

y x y x

3

Các đề thi những năm gần đây về hệ phơng trình Bài tập 1: ĐHCĐ B 2002 Giải hệ phơng trình 3

Bài tập 2:ĐHCĐ D 2002 Giải hệ phơng trình:

x x 1 x

x 4 | y | 3 0log x log y 0

log x 2x 3x 5y 3log y 2y 3y 5x 3



Bài tập 7: ĐHCĐ B 2003 Giải hệ phơng trình:

2 2 2 2

y 23y

x

x 23x

Bµi tËp 17: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2x y xy 158x y 35



+ =

Bµi tËp 25: §HC§ DB 2006 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

2 2

1 ( ) 4( 1)( 2)

Bµi tËp 27: §HC§ D 2006 chøng minh víi mäi a > 0

hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt e x e y ln 1( x) ln 1( y)

y x a

Bµi tËp 28: §HC§ DB 2006 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

3( )7( )

x

y

y e

y x e

3

2

2 92

++

=

−+++

3697

16

136

131

2

x

yyy

xx

mxxxy

2 3 2

2 3 2

=+

2

x

myx

1) Giải hệ phơng trình với m = 4

2) Tìm m để hệ phơng trình có nhiều hơn hai nghiệm

Bài tập 44: Giải và biện luận hệ phơng trình:

+

=+

xmyxyy

ymxxyx

2

2

2 2

++

=

−

−+

−+

+

011232

32

012323

1222

31

2 2

2 2

2 2

yx

x

yx

x

yx

222

1y x

yx

Bài tập 47: Chứng minh rằng với ∀m hệ sau luôn có nghiệm:

+

=++

mmyxxy

mxyyx

2

12

=+

223

223xylog

yxlog

y x

−

=+

32

2

2 2 2

ayx

ayx Gọi (x, y) là nghiệm của hệ Xác định a để tích xy là nhỏ nhất

xlog

x

y y x

3

324

−

= +

1

1 2

2 x m y xy

y m x xy

1) Giải hệ phơng trình với m = -1

2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài tập 52: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

−

=

−+

445

1xy)yx(

mxy

yx

−+

−+

+

=+

−+

14

2241

31

2

4

2 4 4

4 4

2 2 4

y

xlogx

yylogxy

log

yxlogx

logy

xlog

=

−+

0

0

2 2

aayx

xyx

1) Giải hệ phơng trình khi a = 1

2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng:

(x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 ≤1

−

111

239

2 2

3

2 2

yx

xy log

xy log

−

=

−+

1

1

2 2

2

yxtg

xsinya

ax

Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

log

xlog

y y

y

2

1 2

2

23

3

1532

+

=+

323

4

4 2

m y m x

m y mx

1) Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x ≥ y.2) Với các giá trị của m đã tìm đợc, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y Bài tập 59: Cho hệ phơng trình:

=+++

my

xxy

yxyx

11

8

2 2

= + +

2 2

2

9 3 2

2 2

2 2

y xy x

y xy x

= + + +

1

2 1 1

2

2 2

y x bxy a

2 2

434

3

434

3

mm

xy

mm

yx

= +

m y x

y x 2

8

4 22

+

=++

1) Giải hệ phơng trình với m = -3

2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất

=

−

12

6

2

cbyxb

acybx

Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với ∀b

=

+

1 1

3

2 3 2

2 2

3 2

1 3

x xy x

. y xy

=

−+

mx

y

my

x

12

12

Bài tập 66: Tìm a để hệ sau có nghiệm:

−+

+

≤+

21

2

2

a y

x y

x

y x

Bài tập 67: ) Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:

++

=+1

2

2 2

2

yx

axyx

=++

283

+

=+

+

=+

+

222

16 16

4

9 9

3

4 4

2

ylogxlogzlog

xlogzlogylog

zlogylogxlog

=+

2

1y2 xy m yx

myx

1) Giải hệ khi m = 4

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm

=

−+

−

−+

32

12

02

64

5

yxyx

yxy

xy

−

=

−+

222

11yy

x

yx

x

yyx

43

43

3

12

2

xyyx

xyyx

−

=+

13

5

4 2 2 4

2 2

yyxxyx

1

511

2 2 2

2

yxy

x

xyy

=+

2

2

32

32

yxy

xyx

411xy

yx

=

−

5

11522

22

1

2

yxx

ysinxsin

=

++

=

22

22

3

3

yxy

xyx

=++

095

183

2

2

2

yxx

yxxx

+

=+

yxy

x

yyxx

3

2 2

2 2

−

=+

y a x xy

432

2 2

2 2

yxy

xyx

=+

3 3

yxyx

yxy

2 2

yxyx

yxyx

32

Bµi tËp 93: §HNN 2001 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

11

11

11

2 ( ) 3.( ) 10

8

)1)(

1(

2

2 y x y x

m y

x xy

=+

2 2

x

a y x

a) Giải hệ khi a=2

b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ

+

=+

y m x

x m y

2

2

)1(

)1(Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

=

−+

22

22

x y

y x

+

=++

+

m y

x x

y y

x

y x

11

11

311

a) Giải hệ khi m=6

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 2:

23

y

x x

x

y y

(KB 2003)

HD:

Th1 x=y suy ra x=y=1

TH2 chó y: x>0 , y> 0 suy ra v« nghiÖm

=+358

152

3 3

2 2

y x

xy y

−

=

−

)2(1

)1(33

6 6

3 3

y x

y y x x

y

a y x

2 2

2 2

2x x a

y x

=

−+

22

22

x y

y x

−

=+

)1(

)1(

2

2

x a y

xy

y a x

)1(2010

2

2

y xy

x xy

y y

y

x=5+ 2 = 5 +

C« si = 5 + y ≥2 5

y x

x2 ≥20 theo (1) x2 ≤20 suy ra x,y

3

y x y

x

y x y x

=+

−+

a y x

a y

x

3

21

562

6

2 2

2 2

y xy x

y xy x

+

=+

)(3

2 2

2 2

y x y

x

y y x x

=++

095

18)3)(

2(

2

2

y x x

y x x x

=+

2 2

3 3

y x y x

y x y

x

y xy

3 3

2

y x

y y x

=++

64

9)2)(

2(

x

y x x

=

−

−+

4

)1(2

2 2 2

x

y x y x

®æi biÕn theo v,u tõ ph¬ng tr×nh sè (1)

=+

2 2

3 3

3

6

191

x xy

y

x y

11

3

x y

y

y x

+

=+

a x y

a y x

2

2

)1

(

)1

−

=+

3

322

xy y

x

x

y y

x

HD b×nh ph¬ng 2 vÕ

=+

78

17

xy y xy x

xy x

y y

x

HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi xy

HỆ PHƯƠNG TRÌNG ĐỐI XỨNG LOẠI I

Giải các hệ phương trình sau :

( 99)1

+

=+

+

2

4

2 2

y

x

xy

y xy

=++

30

11

2

2y xy x

y x xy

=+

092)(3

13

2 2

xy y x

y x

=+

20

6

2

2y xy x

x y y x

=+

4

4

xy y x

y x

=+2

34

4 4

y x

y x

1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1− − + 10;1− 10),(1− 10;1+ 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)4) (3; 2),( 2;3),( 2 10; 2 10),( 2 10; 2 10)

− − − + − − − − − + 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)7) (4;4) 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2)

xy1(x y )(1 ) 49

−

+

−

=+

36)1()1(

12

2 2

y y x x

y x y x

20

56

ìï + = +ïí

ïî có đúng 2 nghiệm thực phõn biệt.

23 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình : x2 y 2 2m 12

ì + = ïï

=+

m y

y x x

y x

311



30( 93)35

( 99)1

( 99)

1 32

x

QG y

23

( 2003)2

3

y y

x x y

M C

y x

y x y

1111

y x

y x y

3 giải các hệ phương trình sau:

x y