Toan 11 c2 b5 1 day so tự luận vở bt

CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ a Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng b Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát c Dãy số cho bằng phương pháp mô tả d Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

1, , , ., , .,2 3 n

trong đó u n=u n( ) hoặc viết tắt là ( )u n , và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

Chú ý: Nếu  n *,u n cthì u n là dãy số không đổi

Mỗi hàm số u xác định trên tập M ={1,2,3, ,m} với mÎ ¥* được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của nó là u u u1 , , , , , 2 3 u n trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

2 CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó

3 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số ( )u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n+1 >u n với mọi nÎ ¥*.

Dãy số ( )u n được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n+1 <u n với mọi nÎ ¥*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số ( )u n với u = - n ( 3)n tức

là dãy - 3,9, 27,81, - không tăng cũng không giảm

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số ( )u : n u n f n( ) Hãy tìm số hạng u k

Tự luận: Thay trực tiếp n k vào u n

Câu 1: Cho dãy số ( )u biết n

5

n

u        

  Tìm số hạng u 6

Câu 2: Cho dãy số ( )u n có số hạng tổng quát 2 1 2 n n u n    Số 167 84 là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2: Cho dãy số ( )u cho bởi n

1

u a

u  f u









 Hãy tìm số hạng u k

Tự luận: Tính lần lượt u u2; ; ;3 u bằng cách thế k u vào 1 u , thế 2 u vào 2 u , …, thế 3 u k1 vào 1

k

u  .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u 1: a 

- Nhập biểu thức của u n1f u n

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

- Lặp dấu  lần thứ k  1 cho ra giá trị của số hạng u k

1 1

1

2 1

n n

n

u u u u















 Tìm số hạng u 10

Câu 4: Cho dãy số ( )u được xác định như sau: n 1 1 1 2 n n u u  u       Tìm số hạng u 50

Bài toán 3: Cho dãy số ( )u cho bởi n

,

u a u b

u  c u  d u e





 Hãy tìm số hạng u k

Tự luận: Tính lần lượt u u3; ; ;4 u bằng cách thế k u u vào 1, 2 u ; thế 3 u u vào 2, 3 u ; …; thế4

2, 1

k k

u  u  vào u k

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

- Nhập Cc.Bd.Ae: A B : B C 

- Bấm r nhập B b , ấn =, nhập A a ấn 

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k  2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng

k

u

1; 2

u  u  u





Bài toán 4: Cho dãy số ( )u cho bởi n    

1

u a

u  f n u









 Trong đó f  n u, n 

là kí hiệu của biểu thức

1

n

u  tính theo u và n Hãy tìm số hạng n u k

Tự luận: Tính lần lượt u u2; ; ;3 u bằng cách thế k 1,u1

vào u ; thế 2 2,u2

vào u ; …; thế3

k1,u k1 vào u k

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n

B : chứa giá trị của un

C : chứa giá trị của un+1

- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của dãy

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k 1 thì đó là giá trị của số hạng u k

Câu 6: Cho dãy số ( )u được xác định như sau: n  

1

1

0

1 1

u

n

n











 Tìm số hạng u 11

Câu 7: Cho dãy số ( )u được xác định bởi: n 1 1 1 2 2 n n u u  u n         Tìm số hạng u 50

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

Cách 3 : Nếu dãy số ( )u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp n

để chứng minh u n1 u n   n *

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số ( )u có n u n an b tăng khi a 0và giảm khi a 0

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số ( )u tăng hoặc giảm thì dãy số n q u n. n

không tăng, không giảm

Dãy số ( )u có n u n1 au n tăng nếu b 2 1

0 0

a

u u







 ; giảm nếu 2 1

0 0

a

u u







 và không tăng không giảm nếu a 0

Dãy số ( )u có n

1

*

n n

n n

au b u

cu d











0 0

ad bc

u u





 

0 0

ad bc

u u





 



Dãy số ( )u có n

1

*

n n

n n

au b u

cu d















  không tăng không giảm nếu ad bc 0

Nếu

( )

( )

n

n

u

v







 thì dãy số u nv n Nếu

( ) ( )

n n

u v







 thì dãy số u nv n 

Nếu

*

*

( ) ; 0









 thì dãy số u v  n. n

Nếu

*

*

( ) ; 0









 thì dãy số u v  n. n

Nếu ( )u  n và u n   0 n * thì dãy số  u  n

và dãy số ( )m *

n

u    m

Nếu ( )u  n và u n    0 n * thì dãy số  u  n

và dãy số ( )m *

n

u    m

Nếu ( )u  n và *

0

n

u    n thì dãy số

1

n u

 



 

  Nếu ( )u  n và *

0

n

u    n thì dãy số

1

n u

 



 

 

Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )u biết n 5 2 n n u n   

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )u biết n 2 5n n u n 

Câu 11: Cho dãy số ( )u biết n 1 1 2 ( ) : 3 1 2 4 n n n u u u u  n         

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số ( )u có n u n f n( ) là hàm số đơn giản

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n f n( )M,  n * hoặc u n f n( )m n,  *

k

a v

n

a a a

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số ( )u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp n

để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số ( ) u giảm thì bị chặn trên, dãy số ( ) n u tăng thì bị chặn dưới n

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số ( )u có n 3 1

u a n a n  a n a



bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên m 0

nếu a  m 0

Dãy số ( )u có n

 

 

n

P n u

Q n



trong đó P n 

và Q n 

là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P n 

nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q n 

Dãy số ( )u có n

 

 

n

P n u

Q n



trong đó P n 

và Q n 

là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P n 

lớn hơn bậc của Q n 

1

n u n







Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ( )u biết n 4 5 1 n n u n   

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ( )u biết n

3

n

n u n





Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ( )u biết n 2 2 2 1 1 1 1

2 2 3 n u n      Mệnh đề nào sau đây đúng ?

DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ

Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều

Giải sử cần tính tổng: S a 1a2 a n Trong đó: a n a n1d

- Tự luận:

Ta có: 2S a1a n  a2a n1 a na1n a 1a n

Từ đó suy ra:

n

2

n

a a

- Trắc nghiệm:

Công thức tính nhanh:

+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: u n u1n1d

với d là khoảng cách giữa 2 số

hạng

+ Số số hạng =: + 1

+ Tổng = •: 2

- Casio

Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

Bước 2: Sử dụng công cụ tính:  y

nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 tới n  số số hạng y =

Câu 16: Tính S     1 3 5 4001?

Câu 17: Cho tổng S n( ) 2 4 6 2     n Khi đó S bằng?30

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 18: Cho dãy số  u n

xác định bởi: u 1 150 và u n u n1 3 với mọi n  Khi đó tổng 100 số2

hạng đầu tiên là:

Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp

Giả sử cần tính tổng: S a 1a2 a n

- Tự luận:

Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b b1 2; a2 b2 b3;

Bước 2: Rút gọn: S b b 1 2b2 b 3 b n b n1 b b1 n1

- Trắc nghiệm:

+ Một số công thức tách thường sử dụng:

n(n a)

a

n n a

a

n n a n a n a

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

na a



   n n ! ( n1)! n!

+ Nhận định kết quả của tổng là: S b b 1 n1

- Casio:

Làm tương tự như dạng 1

1.3 3.5 5.7 97.99 S     

Câu 20: Cho tổng 1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) n S        Khi đó công thức của S là: n

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 21: Cho tổng 2 2 2 2 3 5 7 2 1

(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)] n n S n        Tính S10

Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính Giả sử cần tính tổng: S a 1a2 a n - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng:  1  1 2 1 1 1 1 1

1

n

S u u a u a u a S

a





 với a 1

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

- Casio:

Làm tương tự như dạng 1

Câu 23: Tính tổng 100 2 3 100 1 1 1 1 4.5 1

5 5 5 5 S          ?

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 24: Tính tổng: 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 8 2n S                   Tính S10

Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết

Giải sử cần tính tổng: S n a1a2 a n

- Tự luận:

Tìm cách tách: S n S1S2S3 Trong đó: S S1; ;S 2 3 đã biết công thức tính tổng.

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

- Trắc nghiệm:

Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.

- Casio:

Làm tương tự như dạng 1

1 2 3 ; 1 2 3

2 6 n n i i n n n n n i n i n                   

Câu 26: Cho: S n 1.2 3.4 5.6 (2    n1).2n Tính S biết rằng:100 2 2 2 2 1 1 ( 1)(2 1) 2 2 4 6 2 ( 1); 1 2 3

6 n n i i n n n i n n n i n                   

Câu 27: Cho tổng: S n 1.4 2.7 3.10    n n.(3 1) với n N* Biết: S  k 294 Giá trị của k là:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Nếu  Nếu  u n có dạng u n a1a2 a n thì biến đổi a thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu k gọn u n Nếu dãy số  Nếu  u n được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán công thức tính u theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp n Ngoài ra cũng có thể tính hiệu u n1 u n dựa vào đó để tìm công thức tính  u n theo n Câu 28: Cho dãy số  a n có   1 1 k a k k   Đặt 1 n n k k u a   Xác định công thức tính  u n theo n

Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát u theo n của dãy số sau: n 1 1 3 2 n n u u  u      

Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát u theo n của dãy số sau: n 1 3 1 1 1

u

n





 





PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I