Toan 11 c2 b5 1 day so tự luận de

ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ¥* được gọi là một dãy số vô hạn.. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ a Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng b Dãy số cho bằng cô

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5: DÃY SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ¥* được gọi là một dãy số vô hạn

Kí hiệu:

 

* :

u

n u n



 Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

1, , , ., , .,2 3 n

trong đó u n=u n( ) hoặc viết tắt là ( )u n , và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

Chú ý: Nếu  n *,u n cthì u n là dãy số không đổi

Mỗi hàm số u xác định trên tập M ={1,2,3, ,m} với mÎ ¥* được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u u u1 , , , , , 2 3 u n trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

2 CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó

3 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số ( )u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n+1 >u n với mọi nÎ ¥*.

Dãy số ( )u n được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n+1 <u n với mọi nÎ ¥*.

C

H

Ư

Ơ

N

G

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Trang 2

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số ( )u n với u = - n ( 3)n tức

là dãy - 3,9, 27,81, - không tăng cũng không giảm

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

*

n

u £ M " Î ¥n

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

*

n

u ³ m n" Î ¥

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

,

m M sao cho

*

n

m u£ £ M " Î ¥n

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số ( )u : n u n f n( ) Hãy tìm số hạng u k

Tự luận: Thay trực tiếp n k vào u n

MTCT: Dùng chức năng CALC:

Nhập: f x( )

Bấm r nhập X k

Bấm   Kết quả

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

I

Trang 3

Câu 1: Cho dãy số ( )u biết n

5

n

u        

    

2

n

n u n





 Số

167

84 là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2: Cho dãy số ( )u cho bởi n

1

1 ( )

n n

u a

u  f u









 Hãy tìm số hạng u k

Tự luận: Tính lần lượt u u2; ; ;3 u bằng cách thế k u vào 1 u , thế 2 u vào 2 u , …, thế 3 u k1 vào 1

k

u  .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u 1 : a 

- Nhập biểu thức của u n1f u n

- Lặp dấu  lần thứ k  1 cho ra giá trị của số hạng u k

1

2 1

n n

n

u u u u















 Tìm số hạng u 10

1 1

1 2

n n

u

u  u







Bài toán 3: Cho dãy số ( )u cho bởi n

,

n n n

u a u b

u  c u  d u e





Tự luận: Tính lần lượt u u3; ; ;4 u bằng cách thế k u u vào 1, 2 u ; thế 3 u u vào 2, 3 u ; …; thế4

u  u  vào u k

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

Trang 4

- Nhập Cc.Bd.Ae: A B : B C 

- Bấm r nhập B b , ấn =, nhập A a ấn 

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k  2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng

k

u

n n n

u  u  u





Bài toán 4: Cho dãy số ( )u cho bởi n    

1

u a

u  f n u









 Trong đó f  n u, n 

là kí hiệu của biểu thức 1

n

u  tính theo u và n Hãy tìm số hạng n u k

Tự luận: Tính lần lượt u u2; ; ;3 u bằng cách thế k 1,u1

vào u ; thế 2 2,u2

vào u ; …; thế3

k1,u k1 vào u k

- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n

B : chứa giá trị của u

n

C : chứa giá trị của u

n+1

- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của dãy

- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k 1 thì đó là giá trị của số hạng u k

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

2

=

Trang 5

Câu 6: Cho dãy số ( )u được xác định như sau: n  

1

0

1 1

u

n











1

1 2 2

n n

u

u  u n









DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

Cách 1: Xét hiệu u n1 u n

Nếu

 Nếu

*

n n

u   u    n thì ( )u là dãy số tăng n

Nếu

 Nếu

*

n n

u   u    n thì ( )u là dãy số giảm n

Cách 2 : Khi u n    0 n * ta xét tỉ số

1

n n

u u



Nếu

 Nếu

1 1

n n

u



 thì ( )u là dãy số tăng n

Nếu

 Nếu

1 1

n n

u

  thì ( )u là dãy số giảm n

Cách 3 : Nếu dãy số ( )u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp n

để chứng minh u n1 u n   n *

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số ( )u có n u n an b tăng khi a 0và giảm khi a 0

Dãy số ( )u có n n

n

u q

Không tăng, không giảm khi

Giảm khi

 Nếu 0q1

Tăng khi

 Nếu q 1

an b u

cn d





 với điều kiện cn d 0 n    * Tăng khi

 Nếu ad bc 0

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

Trang 6

Giảm khi

 Nếu ad bc 0

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số ( )u tăng hoặc giảm thì dãy số n q u n. n

không tăng, không giảm

Dãy số ( )u có n u n1 au n tăng nếu b 2 1

0 0

a

u u







0 0

a

u u







 và không tăng không giảm nếu a 0

Dãy số ( )u có n

1

*

n n

au b u

cu d













0 0

ad bc

u u





0 0

ad bc

u u







1

*

n n

au b u

cu d









  không tăng không giảm nếu ad bc 0

Nếu

( )

n

u

v







 thì dãy số u nv n

Nếu

( ) ( )

n n

u v







 thì dãy số u nv n 

Nếu

*

n n









 thì dãy số u v  n. n

Nếu

*

n n









 thì dãy số u v  n. n

Nếu ( )u  n và u n   0 n * thì dãy số  u  n

và dãy số ( )m *

n

u    m

Nếu ( )u  n và u n    0 n * thì dãy số  u  n

và dãy số ( )m *

n

u    m

Nếu ( )u  n và u n    0 n * thì dãy số

1

n

u

 



 

  Nếu ( )u  n và u n    0 n * thì dãy số

1

n

u

 



 

 

5 2

n

n u n







5n n

u n



1

2

2 4

n

u







2

=

I

Trang 7

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số ( )u có n u n f n( ) là hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n f n( )M,  n * hoặc u n f n( )m n,  *

Cách 2: Dãy số ( )u có n u n  v1 v2  v k v n

Ta làm trội v k a k a k1

Lúc đó u n a1 a2  a2 a3 a n a n1

Suy ra u n a1 a n1M,  n *

Cách 3: Dãy số ( )u có n u n v v v v1 2 3 n với v n 0,  n *

Ta làm trội

1

k k k

a v a





Lúc đó

2

1 2

n n

n

a a a

u





Suy ra

* 1

1 ,

n n

a



Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số ( )u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp n

để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số ( ) u giảm thì bị chặn trên, dãy số ( ) n u tăng thì bị chặn dưới n

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số ( )u có n u n q n  q 1

bị chặn Dãy số ( )u có n n  1

n

u q q  không bị chặn

n

u q với q 1 bị chặn dưới Dãy số ( )u có n u n an b bị chặn dưới nếu a 0và bị chặn trên nếu a 0

Dãy số ( )u có n 2

n

u an bn c bị chặn dưới nếu a 0và bị chặn trên nếu a 0

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

Trang 8

Dãy số ( )u có n 1

1 1 0

m m

n m m



     bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên nếu m 0

0

m

a 

Dãy số ( )u có n n m 1 m1 1 0

n m m



với a  và m 0 q  1 không bị chặn

Dãy số ( )u có n m 1 m1 1 0

n m m



bị chặn dưới với a  m 0

Dãy số ( )u có n 3 1

1 1 0

m m

n m m



     bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên m 0

nếu a  m 0

 

n

P n u

Q n



trong đó P n 

và Q n 

là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P n  nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q n 

 

n

P n u

Q n



trong đó P n 

và Q n 

là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P n 

lớn hơn bậc của Q n 

1

n

u n







1

n

n u n







3

2 1

n

n u n





n

u

n

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ

Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều

Giải sử cần tính tổng: S a 1a2 a n Trong đó: a n a n1d

- Tự luận:

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

Trang 9

Ta có: 2S a1a n  a2a n1 a na1n a 1a n

Từ đó suy ra:

n

2

n

- Trắc nghiệm:

Công thức tính nhanh:

+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: u n  u1 n1d

với d là khoảng cách giữa 2 số

hạng

+ Số số hạng =: + 1

+ Tổng = •: 2

- Casio

Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng

Bước 2: Sử dụng công cụ tính:  y

nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 tới n  số số hạng y =

hạng đầu tiên là:

Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp

Giả sử cần tính tổng: S a 1a2 a n

- Tự luận:

Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b b1 2; a2 b2 b3;

Bước 2: Rút gọn: S b b 1 2b2 b 3 b n b n1 b b1 n1

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

Trang 10

+ Một số công thức tách thường sử dụng:

1 1 n(n a)

a

n n a

n(n a)(n 2 a) ( ) ( )( 2 )

a

2

na a



   n n ! ( n1)! n! + Nhận định kết quả của tổng là: S b b 1 n1

- Casio:

Làm tương tự như dạng 1

1.3 3.5 5.7 97.99

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)

n

  Khi đó công thức của S là: n

(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)]

n

n S

n



 Tính S10

Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính

Giả sử cần tính tổng: S a 1a2 a n

- Tự luận:

Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S

Tổng có dạng:

1 2

1

n

n u a

a





 với a 1

- Casio:

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

2

=

Trang 11

Câu 22: Tính tổng: S   1 3 32 3 50?

100

S          

Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết

Giải sử cần tính tổng: S n a1a2 a n

- Tự luận:

Tìm cách tách: S n S1S2S3 Trong đó: S S1; ;S 2 3 đã biết công thức tính tổng.

Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.

- Casio:

( 1)(2 1)

2 2 4 6 2 ( 1); 1 2 3

6

DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Page 11

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

I

2

=

I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

Trang 12

Nếu

 Nếu  u n

có dạng u n a1a2 a n thì biến đổi a thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu k

gọn u n

Nếu dãy số

 Nếu  u n

được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán công thức tính u theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp n

Ngoài ra cũng có thể tính hiệu u n1 u n dựa vào đó để tìm công thức tính  u n

theo n

1 1

k

a

k k



 Đặt 1

n

n k k





Xác định công thức tính  u n

theo n

1 1

3 2

n n

u

u  u







1

3 1

1

n n

u

n

u  u n





 





2

=

I

Tiêu đề	Dãy số
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập tự luận
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	597,17 KB