Miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục

Miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục Miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục Miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục

Hà N9i - 2020

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I

TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I

TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN

LU�N VĂN TH�C SĨ TOÁN HQC

Ngưoi hưong d§n: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Chu ttch h9i đ6ng: GS TS

Nguy�n Hii'u Dư

M1_c l1_c

Loi

M

Chương 1 Ki�n thuc chui:n bt

3

1.1

H� đ9ng lvc phi tuyen 3

1.2 Tính 6n đinh 5

1.3 Lý thuyet hàm Lyapunov 12

1.4 Lý thuyet hàm năng lưQng 15

1.4.1 Hàm năng lưQng 15

1.4.2 Hàm năng lưQng cho h� đ9ng lvc c[tp hai 18

Chương 2 Mi�n 6n đtnh và tlja 6n đtnh cua h� đ9ng lljc liên t1_c 23 2.1 Điem cân bang trên biên 6n đinh 23

2.2 Đ c� trưng cua biên 6n đinh 31

2.3 Mi@n tva 6n đinh và đ c� trưng cua biên tva 6n đinh 35

2.4 Thu t toán xác đinh biên 6n đinh 39

Chương 3 Ưoc lư<ng mi�n 6n đtnh cua h� đ9ng lljc liên

t1_c 46 3.1 T p mUc và đ c� trưng cua điem cân bang không 6n đinh g§n nh[tt 46

3.2 Mi@n tva 6n đinh và hàm năng lưQng 50

Loi cam ơn

Lu n văn này đưQc thvc hi n t0i Trưang Đ0i h9c Khoa h9c Tv nhiên,�Đ0i h9c Qu6c gia Hà N9i và đưQc hoàn thành dưai sv hưang dan cua

PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Tôi xin đưQc bày to lòng biet ơn sâu

siic và chân thành tai th§y giáo hưang dan khoa h9c cua mình, ngưai đã đ t�nhfrng v[tn đ@ nghiên cUu, dành nhi@u tâm huyet, thai gian hưang dan và t

n tình giai đáp nhfrng thiic miic cua tôi trong su6t quá trình làm lu n vănnày

Tôi cũng xin trân tr9ng cam ơn Ban Giám hi u� Trưang Đ0i h9c Khoah9c Tv nhiên, Lãnh đ0o Khoa Toán - Cơ - Tin h9c, B9 môn Toán h9c tínhtoán và Toán Ung d1,ng, cùng các giang viên đã tham gia giang d0y, đã t0om9i đi@u ki n t6t nh[tt đe tôi h9c � t p và nghiên cUu Đong thai, tôi cũng xing11i lai cam ơn tai t p the lap cao h9c Toán h9c (khóa 2018-2020), cam ơn giađình, b0n bè và cơ quan chu quan đã đ9ng viên, giúp đa tôi r[tt nhi@u trongquá trình h9c t p t0i đây

Hà N9i, ngày 10 tháng 11 năm 2020

H9c viên

Ph0m Hong Quân

Danh sách hình ve

1.1 Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh Lyapunov 51.2 Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh ti m� c n 61.3 Mô ta đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia

phương cua m9t điem cân bang

chUng minh Đinh lý 1.11 132.1 Giao gifra đa t0p không 6n đinh cua x1 và đa t0p 6n đinh cua

x2 không thoa mãn đi@u ki n� hoành 292.2 Mi@n 6n đinh cua điem cân bang 6n đinh (0 , 0) trong Ví d1, 2.1 352.3 Minh h9a sv khác nhau gifra mi@n 6n đinh và mi@n tva 6n đinh 382.4 Đưang cong A và B là giai h0n mi@n 6n đinh xác đinh bai các

phương pháp khác Đưang cong C là biên 6n đinh thu đưQcbang phương pháp hi n� t0i 422.5 BUc tranh pha cua h� (2.3) và biên 6n đinh 432.6 BUc tranh pha cua h� đ9ng lvc trong Ví d1, 2.3 Biên 6n đinh

là

đưang in đ m màu đo 453.1 M6i quan h� gifra m t� mUc năng lưQng S(r) t0i các giá trimUc khác nhau và mi@n 6n đinh ( x A s) 483.2 C[tu trúc m t� mUc năng lưQng khi tăng giá tri mUc 51

3.3 Mi@n 6n đinh ưac lưQng theo m t� năng lưQng hang 553.4 BUc tranh pha cua h trong� Ví d1, 3 1 So sánh gifra biên ưaclưQng và biên 6n đinh đinh chính xác 563.5 Mi@n 6n đinh chính xác và mi@n 6n đinh ưac lưQng trong Ví

d1,

3.2 593.6 Mi@n 6n đinh ưac lưQng trong Ví d1, 3.3 603.7 Mi@n 6n đinh ưac lưQng và biên 6n đinh chính xác trong Ví

d1,

3.3 61

M đ u

TU nhi@u the ky trưac, vi c� nghiên cUu tính 6n đinh cua h� đ9nglvc đã đưQc xem là m9t bài toán khó và h[tp dan đ6i vai con ngưai, bai nóxu[tt hi n � trong nhi@u lĩnh vvc khác nhau như kinh te, cơ h9c, v t lý, kythu t Cũng vì đây là m9t chu đ@ r[tt r9ng nên khái ni m � đ9 6n đinh có theđưQc hình thành theo nhi@u cách khác nhau tùy thu9c vào m1,c đích nghiêncUu tính 6n đinh Trong đó, m9t trong nhfrng chu đ@ quan tr9ng liên quan

ch t� che đen 6n đinh là mi@n 6n đinh cua h� đ9ng lvc phi tuyen

Trong thvc te, nhi@u h � th6ng v t lý và ky thu t đưQc thiet ke đe ho0tđ9ng a m9t tr0ng thái cân bang Nói cách khác, nó đưQc c[tu t0o đe v n hànht0i m9t điem cân bang ho c� xung quanh m9t điem cân bang nào đó vàđưQc mô ta quá trình v n hành bai m9t h � đ9ng lvc phi tuyen Yêu c§u quantr9ng nh[tt đe v n hành thành công các h� th6ng này là duy trì sv 6n đinhcua tr0ng thái cân bang này Tính 6n đinh đòi hoi sv chiic chiin cua điem cânbang đ6i vai nhieu nho do các tác đ9ng a trong và bên ngoài h� th6ng gây

ra Nói cách khác, tr0ng thái cua h� th6ng se d§n v@ điem cân bang dưainhfrng nhieu nho nh[tt đinh Tuy nhiên, h§u het các h � th6ng v t lý và ky thu

t đ@u không 6n đinh toàn c1,c Có the hieu rang các h � th6ng này chi có thequay tra l0i tr0ng thái cân bang dưai m9t kích thưac có giai h0n cua nhieu

M c� dù v[tn đ@ này khá quen thu9c nhưng bài toán đ t a đây là làm the�nào đe tính các mi@n 6n đinh xung quanh m9t điem cân bang cua h � đ9nglvc cho trưac TU đó, chúng ta cho phép ho c� h0n che các nhieu nho chidao đ9ng bên trong mi@n 6n đinh đã đưQc tính toán Cho đen nay, có m9t s6phương pháp đưQc dùng tính toán và x[tp xi mi@n 6n đinh cua m9t h�đ9ng lvc phi tuyen cho trưac nhưng h§u het các phương pháp này đ@u dvatrên hàm năng lưQng ho c� hàm Lyapunov, [5],[4], [9], [12] Tuy nhiên,m9t trong nhfrng cách tiep

c n không dva trên hàm Lyapunov đã đưQc xem xét và trình bày trong [5].

Phương pháp này cho phép chúng ta tìm mi@n 6n đinh chính xác cua m9t h�đ9ng lvc phi tuyen cho trưac M9t cách tiep c n khác dva trên các phươngpháp m t� mUc §n và t p mUc đưQc nghiên cUu trong [7], [11]

Trong lu n văn này, chúng tôi se trình bày v@ “Mi€n 6n đjnh cua h¢ đ(jng l,tc liên tv,c” C1, the hơn, chúng tôi se trình bày lý thuyet

v@ mi@n 6n đinh và cách tìm mi@n 6n đinh bang các phương pháp s6 Lu nvăn này đưQc chia thành ba chương như sau

• Chương 1: Kien thitc chudn bi Trong chương này, chúng tôi se nhiic l0i

m9t s6 khái ni�m v@ 6n đinh và các tính ch[tt liên quan Ngoài ra, các

lý thuyet v@ hàm năng lưQng, hàm Lyapunov cũng đưQc đ@ c p đen.Các lý thuyet này đưQc s11 d1,ng đe ưac lưQng mi@n 6n đinh cua các h�đ9ng lvc phi tuyen có s6 chi@u lan

• Chương 2: Mi n n đinh và t a như n đinh c a h đ ng l c liên t c.

Chương này se t p trung chu yeu vào trình bày đ c� trưng cua biên6n đinh và biên tva 6n đinh cua các h � đ9ng lvc 0 cu6i chương, chúngtôi se đưa ra m9t thu t toán đe xác đinh m9t biên 6n đinh m9t cáchhoàn chinh

• Chương 3: Ưdc tính mi n n đinh c a h đ ng l c liên t c Trong chương

cu6i, chúng tôi se t p trung vào các phương pháp ưac lưQng mi@n 6nđinh cua m9t h� đ9ng lvc cho trưac dva trên hàm năng lưQng và t pmUc Bên c0nh đó, m9t s6 th11 nghi m� s6 đưQc thvc hi n� cho m9t s6

h� đ9ng lvc phi tuyen tiên t1,c có s6 chi@u th[tp cũng đưQc đưa ra.Các tài li u� chính đưQc s11 d1,ng trong lu n văn này bao gom m9t s6 sách

và bài báo cua các tác gia Hsiao-Dong Chiang và Luís Fernando CostaAlberto, [2], [4], [5], [12] Ket qua cua lu n văn đưQc báo cáo t0i seminar B9môn Toán h9c tính toán và Toán Ung d1,ng, Khoa Toán - Cơ - Tin h9c vàđưQc trình bày t0i H9i thao M9t s6 bài toán ch9n l9c trong phương trình viphân và đi@u khien do Vi�n Nghiên cUu cao c[tp v@ Toán t6 chUc t0iTu§n Châu, Quang Ninh, ngày 05-07/11/2020

Chương 1

Ki�n thuc chui:n bt

Trong chương thU nh[tt này, chúng tôi se nhiic l0i các đinh nghĩa vàtính ch[tt v@ tính 6n đinh và h� đ9ng lvc Bên c0nh đó, lý thuyet v@hàm Lyapunov, hàm năng lưQng đ6i vai h đ9ng lvc và Ung d1,ng cua nó cũng�đưQc trình bày trong m1,c cu6i cua chương này Đây là các kien thUc cơ sacho n9i dung các chương sau Ph§n lan các n9i dung a chương này đưQc trìnhbày dva trên các tài li u� [1], [2], [4] và [5]

K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K vdi m9i t ∈ [0, w+] thì w+ = +∞, titc là nghi m t6n t9i và xác đinh vdi m9i t ≥ 0

Sau đây, ta se trình bày m9t s6 khái ni m� c§n thiet cho các ket quav@ sau Đưang cong nghi�m cua phương trình (1 1) xu[tt phát tU x0 t0ithai điem t = 0 đưQc g9i là m9t quy đ0o nghi m xu[tt � phát tU x0 và đưQc

ký hi u là � φ(., x0) Hơn nfra, quy đ0o nghi m xu[tt � phát tU x0 là m9t hàmtheo thai gian Vi c tham s6 hóa � t → φ(t, x0) sinh ra m9t đưang cong trong

Rn, đưQc g9i là m9t quy đ0o nghi m cua � (1.1) đi qua x0 Quy đ0o đi qua x0

đưQc ký hi u là � φ t (x0) và đưQc xác đinh bai φt (x0) = {φ(t, x0) ∈ Rn , t

∈ R} Trong m9t s6 trưang hQp, ta ký hi u� t p {φ(t, x) ∈ R n , x ∈ A}

bai φ(t, A), A ⊂ R n

Điem x ∈ R n đưQc g9i là m9t đii!m cân bMng cua (1.1) neu f (x) =

0,

tUc là điem cân bang là m9t nghi m đ c bi t không thay đ6i theo thai gian.� � �

Do đó, điem cân bang là m9t quy đao nghi m không dich chuyen T� p t[tt cacác điem cân bang cua (1.1) đưQc ký hi u� là E = {x ∈ Rn : f (x) =

0} M9t

d0ng quan tr9ng khác cua quy đ0o nghi m� đó là quy đ9o đóng M9t quy đ0o

nghi m� γ là m9t quy đ0o đóng neu γ không phai là m9t điem cân bang

và vai b[tt kỳ x ∈ γ, ton t0i T > 0 sao cho φ(T, x) = x Điem cân bang

và quy đ0o đóng có the 6n đinh ho c� không 6n đinh T p M ⊂ R n đưQcg9i là m9t t p b[tt bien cua (1.1) neu m9i quy đ0o nghi m cua h � � (1.1) xu[ttphát tU M luôn nam trong M vai m9i t HQp và giao cua các t p b[tt bien

cũng là t p b[tt bien T p M ⊂ Rn đưQc g9i là t p b[tt bien dương (âm)cua (1.1) neu m9i quy đ0o nghi m� cua (1.1) xu[tt phát tU M van nam M

vai m9i t ≥ 0 (t ≤ 0).

M9t điem p nam trong t p w-giai h0n cua x neu Ung vai moi ε >

0 và T > 0, ton t0i t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε Điem p nam trong

t p α-giai h0n cua x neu Ung vai moi ε > 0 và T < 0, ton t0i t < T

sao cho

|φ(t, x) − p| < ε Nói cách khác, p đưQc g9i là nam trong t p w-giai

h0n (t p α-giai h0n) cua x neu vai moi ε > 0, ton t0i m9t dãy {ti} ∈ Rsao cho φ(ti , x) → p khi t i → +∞ (t i → −∞).

Đtnh lý 1.2 ([5]) Các t?p w -gidi h9n và t?p α -gidi h9n c a m t quy đ9o

Hình 1.1: Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh Lyapunov.

M9t cách trvc quan, m9t điem cân bang đưQc g9i là 6n đinh neu cácquy đ0o xu[tt phát tU lân c n cua điem cân bang van còn nam g§n vai điemcân bang sau m9t khoang thai gian b[tt kỳ M c� dù v y, trong nhi@u bàitoán thì yêu c§u v@ quy đ0o nam g§n vai quy đ0o là chưa đu Thay vào đó,ngưai ta đưa ra m9t yêu c§u m0nh hơn là các quy đ0o g§n vai điem cânbang và h9i t1, v@ điem cân bang

x¯ x φ(t, x)

Đtnh nghĩa 1.4.

(i) Đii!m cân bMng x ∈ R n c a h (1.1) đư c g9i là n đinh ti m c?n neu

nó n đinh và t6n t9i m t lân c?n mo U c a x sao cho m9i quy đ9o φ(t, x) xuat phát tu lân c?n U đ u h i t v đii!m cân bMng x khi t → ∞ hay lim \φ(t, x) − x\ = 0 vdi m9i x ∈ U

(ii) Đii!m cân bMng x ∈ R n c a h (1.1) đư c g9i là n đinh ti m c?n toàn

c c neu nó n đinh và vdi m9i x0 ∈ Rn , φ(t, x0) → x khi t → ∞

(ii) M t t?p đóng, bat bien γ đư c g9i là n đinh ti m c?n neu nó n đinh

và t6n t9i m t lân c?n V c a γ sao cho t?p w -gidi h9n c a m9i đii!m trong V chita trong γ

(iii) M t t?p đóng, bat bien γ ⊂ R n đư c g9i là m t t?p hút neu t6n t9i lân c?n mo U c a γ sao cho vdi m9i x0 ∈ U , φ(t, x0) ∈ U vdi m9i t

Đe xác đinh tính 6n đinh cua m9t điem cân bang x, ta c§n m9t s6 công

c1, đe mô ta dáng đi�u cua quy đ0o nghi m� , ít nh[tt là v@ m�t đinh tínhquy đ0o nghi m� xung quanh điem cân bang x Đ6i vai h� đ9ng lvc tuyen

có philn th c dương, ta g9i x là đii!m cân bMng lo9i 1.

Nói chung, điem cân bang lo0i 1 đưQc xem là t6i quan tr9ng khi nghiêncUu các đ�c trưng v@ biên 6n đinh và biên tva 6n đinh Ta ký hi�u λ làm9t giá tri riêng cua Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy r9ng Ung

vai giá tri riêng λ Nhiic l0i rang E λ là b[tt bien đ6i vai h� (1.2) Neu g6ct9a đ9 là m9t điem cân bang hyperbolic thì ta có the viet như sau Rn = E s

⊕ E u, trong đó E s = ⊕E λ vai Re(λ) < 0 và E u = ⊕E λ vai Re(λ) >

0 Ngoài ra, neu điem hyperbolic là điem cân bang lo0i k thì Es và E u l§n lưQt

có s6 chi@u là n − k và k.

Đtnh lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]) Xét h phi tuyen t ng quát (1.1)

có đii!m cân bMng x Neu Df (x) không có giá tri riêng 0 và không có giá tri riêng thuiln ao, thì se có m t đ6ng phôi h , xác đinh trên m t lân c?

n U c a

W u (x¯) loc

x , bien quy đ9o φ(t, ) c a h đ ng l c phi tuyen (1.1) thành nghi m c a h tuyen tính hóa c a (1.2) có d9ng e tDf(x) Phép đ6ng phôi bao toàn các tính chat c a các quy đ9o nghi m và cách ch9n tham s6 hóa theo thoi gian.

Đinh lý sau đây đưa ra đi@u ki n đu cho m9t điem cân bang cua h� �

(1.1) là 6n đinh ti m� c n

Đtnh lý 1.8 (Tính 6n đinh ti m c n, � [5]) Gia sU rMng m9i giá tri

riêng c a ma tr?n Jacobi Df (x) trong h tuyen tính tương itng (1.2) đ u có philn th c âm Khi đó, nghi m cân bMng x = x c a h phi tuyen (1.1) là n đinh ti m c?n.

Vai x là m9t điem cân bang và U ⊂ Rn là m9t lân c n cua x Ta seđinh nghĩa đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia phươngnhư sau

s lo

c (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → +∞},

W u (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → −∞}.

Chú ý rang Ws (x¯) và W u (x¯) l§n lưQt theo thU tv là các t p b[tt bien

dương

và b[tt bien âm Hình 1.3 dưai đây mô ta các đa t0p đia phương này

Hình 1.3: Mô ta đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia phương cua m9t điem cân bang.

lo c lo

W

E u W u(x¯)

x¯

Đtnh lý 1.9 (Đa t0p 6n đinh và không 6n đinh, [5]) Gia sU h đ ng l c

phi

tuyen liên t c (1.1) có m t đii!m cân bMng hyperbolic x Các t?p W s (x) và

W u (x) đư c g9i là đa t9p n đinh đia phương và đa t9p không n đinh đia phương Khi đó, các đa t9p này liln lư t có chi u n s , n u gi6ng như các không gian véctơ riêng E s , E u c a h tuyen tính hóa (1.2) Hơn n a, các đa t9p này cũng tiep xúc vdi các không gian riêng E s , E u t9i x ; W s (x) và W u (x) trơn gi6ng như f (x) of (1.1) Đây là các t?p bat bien c a h phi tuyen (1.1)

và các quy đ9o nghi m c a h phi tuyen trên các đa t9p này có tính chat ti

m c?n như nghi m c a h tuyen tính hóa trong không gian véctơ riêng tương itng.

Hình 1.4 minh h9a đinh lý đa t0p vUa trình bày

E s

W s (x

¯)

Hình 1.4: Quan h gifra không gian con 6n đinh và không gian con không 6n đinh vai �

đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh t0i điem cân bang hyperbolic.

Chú ý 1.10 ([4]).

(1) Điem cân bang x là t p w-giai h0n cua m9i điem trong Ws (x) và là t p α-giai h0n cua m9i điem W u (x) Vai điem cân bang hyperbolic, chi@u

cua Ws (x) bang s6 giá tri riêng cua Df (x) có ph§n thvc âm T6ng s6

chi@u W s (x¯) và W u (x¯) bang s6 chi@u cua không gian pha.

lo c lo

c

lo

(2) Sv ton t0i và duy nh[tt nghi m� đam bao rang ca W s (x) và W u (x)

không the tv giao vai chính nó nhưng W s (x) và W u (x) có the giaovai nhau

(3) Đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh là các t p b[tt bien M9i quyđ0o nghi�m trên Ws (x¯) h9i t1, v@ x¯ khi t → +∞, trong khi m9i quyđ0o nghi�m trên Wu (x¯) h9i t1, v@ x¯ khi t → −∞.

Ví d1_ 1.1 Ta xét h� dao đ9ng Duffing như sau

x˙ = y y˙ = x − x3 − εy,ε > 0.

Bang cách giai f (x, y) = 0, ta thu đưQc ba điem cân bang là (±1, 0),

(0, 0) Trong đó, (0, 0) là điem cân bang lo0i 1 và các điem còn l0i làđiem cân bang 6n đinh Th t v y, sau khi tính toán ma tr n Jacobi Df (x), ta

có h � tuyen tính hóa xung quanh điem cân bang (0, 0) là

x˙ = y

TU ma tr n

01

Giai f (x, y) = 0, ta có điem cân bang hyperbolic (x, y) = (0, 0) Khi đó,

h� tuyen tính hóa tương Ung

x˙ = x y˙ = −y,

có các giá tri riêng là −1 và 1 Ung vai không gian véc tơ riêng 6n đinh và không 6n đinh là

Oy và tien đen (0, 0) khi t → ∞ Ngoài ra, không gian riêng con không 6n

đinh Eu là tr1,c Ox, ta có the suy ra rang W s là tr1,c Oy (xem Hình 1.5)

Ý tưang v@ “đi@u ki�n hoành1 ” là cơ sa đe nghiên cUu h� đ9ng lvch9c và đưQc giai thi u bai Palis, 1969; Palis và de Melo, 1981 và Smale, 1967,�

[4] Trưac het, ta nhiic l0i m9t s6 khái ni m� c§n thiet cho vi c� trình bày đi@u

ki n� này Cho M là m9t đa t0p trơn có biên ho c không có biên M9t đa t0p�con dìm2 cua M là m9t t p con A ⊆ M cam sinh m9t c[tu trúc tôpô (không c§nkhông gian con tôpô) tương Ung tU đa t0p tôpô (không có biên), và m9t c[tutrúc trơn trong đó A '→ M là m9t phép dìm trơn, [8] Bây gia, ta gia s11 A



lo

c

lo c

lo c

lo c

2

3

và B là các đa t0p con dìm thvc sv cua M , ta nói rang chúng thoa mãn đi@u

ki n� “hoành” neu m9t trong hai đi@u ki n� sau đây đưQc thoa mãn

1 Tài li�u ti@ng Anh: transversality condition

2 immersed manifold

Hình 1.5: Đa t0p 6n đinh và không 6n đinh cua (0, 0); các không gian riêng 6n đinh và

không 6n đinh tương Ung.

(i) T0i moi giao điem x ∈ A ∩ B, không gian véctơ tiep xúc cua A và B

sinh ra không gian véctơ tiep xúc cua M t0i x TUc là,

T x (A) + T x (B) = T x (M ), x ∈ A ∩ B.

(ii) Chúng hoàn toàn không giao nhau

M9t trong nhfrng đ c� trưng quan tr9ng nh[tt cua điem cân bang hyperbolic

x¯ đó là các đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh cua điem cân

bang

hyperbolic giao hoành t0i x¯ Điem giao hoành này r[tt quan tr9ng vì nó bao

toàn dưai các nhieu đ9ng cua trưang véctơ

1.3 Lý thuy�t hàm Lyapunov

Trong ph§n này, chúng tôi trình bày t6ng quan v@ hàmLyapunov Trưac het, ta s11 d1,ng ký hi u sau đây như là đ0o hàm theo thai�gian cua hàm V (x)

∂x

Đtnh lý 1.11 ([5]) Gia sU xˆ là m t đii!m cân bMng c a x˙ = f (x) , trong đó

f : R n → Rn Cho V : U → R là m t hàm liên t c xác đinh trong m t lân c?n U c a xˆ , kha vi trên U sao cho

Đ�t U1 := {x ∈ B δ (xˆ) : V (x) < α} Bây gia, ta xét x(0) ∈ U1 b[tt kỳ Ta có ngay V (x(0)) < α Ký hi u� x(t) là quyđ0o nghi m� thu đưQc

xu[tt phát tU x(0) TU gia thiet V˙ (x) ≤ 0, ta suy ra V (x(t)) < α

hơn t1 sao cho \x(t2) − xˆ\ = δ và min V (x) = α > V (x(t2)), x

∈ ∂B δ (xˆ), mâu thuan Do đó, tính 6n đinh theo nghĩa Lypunov đưQc

thoa mãn

Đe chUng minh tính 6n đinh ti m� c n khi đi@u ki n� (c) đưQc thoamãn, ta c§n chi ra x(t) → xˆ khi t → ∞ Vì hàm V (x(t)) đơn đi�ugiam d9c theo quy đ0o nghi�m x(t) và x(t) nam trong t p compact

B δ (xˆ) vai m9i t > T TU đi@u ki�n (c), ta có V˙ (z) < −ε, ε > 0

vai m9i z ∈ B δ (xˆ) \ U Khi đó,

Vì the, b − V (x0) > −∞, đi@u này mâu thuan TU đây, ta suy ra b = 0.

Do đó, m9i quy đ0o nghi�m nam trong B δ (xˆ) h9i t1, v@ điem cân bang và

ta ket thúc chUng minh

Nói chung, nhi@u hàm Lyapunov có the cùng ton t0i đ6i vai m9t h�đ9ng lvc phi tuyen Ching h0n, neu V là m9t hàm Lyapunov cua m9t h phi�tuyen thì V1 = pV α cũng là m9t hàm Lyapunov cua h� này vai p > 0

và α > 1 Hơn nfra, các lva ch9n c1, the cua hàm Lyapunov có the mang l0iket qua có đ9 chính xác khác nhau khi xác đinh mi@n 6n đinh trên cùng m9t bàitoán Ngoài ra, c§n nói thêm rang không có cách xây dvng hàm Lyapunovm9t cách có h� th6ng cho các h� đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát

Vai điem cân bang 6n đinh ti�m c n xˆ, ton t0i δ > 0 sao cho

\x0−xˆ\ <

δ: φ(t, x0) → xˆ khi t → ∞ Neu δ lan tùy ý thì xˆ đưQc g9i là m9t

đii!m n đinh toàn c c Tuy nhiên, r[tt nhi@u điem cân bang 6n đinh xˆ

không phai là điem cân bang 6n đinh toàn c1,c Tiep theo, chúng tôi trìnhbày khái ni�m v@

mi@n 6n đinh và biên 6n đinh cua m9t điem cân bang 6n đinh

Đtnh nghĩa 1.12 Mi n n đinh c a m t đii!m cân bMng n đinh x s đ6i vdi h đ ng l c phi tuyen (1.1) đư c ký hi u là A(x s) và đư c xác đinh như sau

A(x s ) := x Rn : lim

Rn : w(x) = x s}, trong đó w(x) ký hi u� t p w-giai h0n cua x

Thvc te, mi@n 6n đinh cua điem cân bang 6n đinh là đa t0p 6n đinh.Theo các tính ch[tt tôpô cua đa t0p 6n đinh cua x s trong [4], [6], mi@n 6nđinh A(x s) là m9t t p ma, b[tt bien và vi phôi vai Rn Nói cách khác,m9i quy đ0o nghi m� xu[tt phát tU m9t điem trong mi@n 6n đinh đ@u namtr9n

v n trong mi@n 6n đinh theo thai gian và s6 chi@u cua mi@n 6n đinh là n

Vì biên cua m9t t p b[tt bien cũng b[tt bien và biên cua m9t t p ma là m9t t pđóng nên ta có the ket lu n rang biên 6n đinh ∂A(x s) là m9t t p đóngb[tt

bien có s6 chi@u < n Neu mi@n 6n đinh A(x s) không trù m t trong Rn thìbiên 6n đinh ∂A(x s) có s6 chi@u là n − 1.

1.4 Lý thuy�t hàm năng lư<ng

Hàm năng lưQng đóng m9t vai trò quan tr9ng trong vi c � xác đinh cácmi@n 6n đinh cua m9t h � đ9ng lvc phi tuyen Dva vào đây, ngưai ta đưa raphương pháp hi�u qua đe ưac lưQng mi@n 6n đinh Lý thuyet v@ hàm nănglưQng cho các h� đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát se đưQc trình bày trongph§n này Các lý thuyet hàm năng lưQng này cũng có the đưQc áp d1,ngr9ng rãi trong các v[tn đ@ khác v@ h� đ9ng lvc phi tuyen

1.4.1 Hàm năng lư<ng

{

Xét h� đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát đưQc mô ta như sau

Gia s11 hàm V : Rn → R thu9c vào lap Cr vai r ≥ 1 Khi đó, V đưQc g9i là

m9t hàm năng lư ng cua h � đ9ng lvc phi tuyen (1.4) neu thoa mãn ba đi@u

ki n� sau đây

(1) Đ0o hàm cua hàm V (x) d9c theo quy đ0o nghi m� x(t) b[tt kỳ luôn không dương, tUc là

V˙ (x(t)) ≤ 0.

(2) Neu x(t) là m9t quy đ0o nghi m� không t§m thưang (tUc là x(t)

không phai là m9t điem cân bang) thì d9c theo quy đ0o nghi m�

có the hieu rang năng lưQng cua m9t ch[tt điem t0i điem xu[tt phát giam gi§ntheo thai gian Đi@u này là phù hQp vai các mô hình năng lưQng trong v t

lý, đưQc mô ta trong các phương trình truy@n nhi t, truy@n sóng Tuy nhiên,�

ta không yêu c§u biit bu9c hàm năng lưQng nh n giá tri dương trong đinhnghĩa này TU đinh nghĩa trên, de dàng quan sát th[ty rang m9t hàm nănglưQng có the không phai là m9t hàm Lyapunov và ngưQc l0i

Ví d1_ 1.3 Xét m9t lap h� đ9ng lvc đưQc mô ta như sau

x˙ = f (x) = −∇V (x),

trong đó V : Rn → R là m9t hàm vô hưang, tương thích thu9c lap C1 Rõràng, V thoa mãn đi@u ki n� (3) đ6i vai đinh nghĩa hàm năng lưQng Bâygia, ta se đi kiem tra các đi@u ki n� (1)-(2) Đ0o hàm V (x(t)), ta có

V˙ (x) = ∂V

(x) T

∂x f (x)

= (∇V (x), f (x))

= − (∇V (x), ∇V (x)) = −\V (x)\2 ≤ 0.

Do đó, đi@u ki n� (1) đưQc đam bao Ngoài ra, V˙ (x) = 0 khi và chi

khi

f (x) = 0 Nói cách khác, V˙ (x) = 0 khi và chi khi x là m9t điem cân

bang Do đó, đi@u ki n� (2) đưQc thoa mãn và V (x) là m9t hàm năng lưQng

Đtnh lý 1.13 ([5]) Gia sU t6n t9i m t hàm thoa mãn các đi u ki n

(1)-(2) c a hàm năng lư ng trong h đ ng l c phi tuyen (1.4) và m9i đii!m cân bMng là cô l?p Khi đó, m9i quy đ9o nghi m bi ch n c a h (1.4) đ u

h i t tdi m t trong s6 các đii!m cân bMng.

Chitng minh Gia s11 S là t p w-giai h0n cua quy đ0o bi ch n � x(t) Theo

Đinh lý 1.2, đây là t p khác rong Đe chUng minh S chi chUa điem cânbang, ta se chUng minh hai ph§n

(a) S nam trong t p mà đ0o hàm cua V t0i đó bang 0,

(b) xˆ ∈/ S if xˆ ∈/ E.

Gia s11 rang xˆ ∈ S TU đinh nghĩa t p w-giai h0n, suy ra ton t0i m9t

dãy tăng {tn}: x(tn ) → xˆ khi n → ∞ TU tính bi ch�n cua x(t) và đi@u

∈ S Như v y, ph§n (a) đưQc

Bây gia, ta gia s11 rang xˆ ∈ S và xˆ ∈/ E TU ph§n (a) và S là t pb[tt

bien, ton t0i m9t khoang I mà t0i đó, đ0o hàm cua nghi�m đi qua xˆ

cua h� (1.4) đ@u h9i t1, đen m9t điem cân bang.

Đinh lý 1.13 khing đinh quy đ0o nghi m cua h � �(1.4) ho c h9i t1, đen�m9t điem cân bang ho c� tien đen vô cùng Trong khi đó, đinh lý sau đâykhing đinh m9i quy đ0o trên biên 6n đinh h9i t1, đen m9t trong s6 các điemcân bang không 6n đinh trên biên 6n đinh

Đtnh lý 1.14 ([4]) Neu t6n t9i m t hàm năng lư ng đ6i vdi h phi

tuyen t ng quát (1.4) thì m9i quy đ9o nghi m trên biên n đinh ∂A(x s) đ u

h i t đen m t đii!m cân bMng trên biên n đinh ∂A(x s).

H� qua sau đây cua Đinh lý 1.14 cho phép ta s11 d1,ng các khái

ni m� đã trình bày đe x[tp xi biên 6n đinh Nói riêng, đây cũng là m9t đ c�trưng cua biên 6n đinh

H� qua 1.15 ([4]) Neu t6n t9i m t hàm năng lư ng đ6i vdi h phi

tuyen (1.4) có đii!m cân bMng n đinh ti m c?n x s (không phai là đii!m cân bMng n đinh toàn c c) thì biên n đinh ∂A(x s) chita trong mi n là h p các đa t9p n đinh c a các đii!m cân bMng không n đinh trên biên, titc là

∂A(x s ) ⊆ ∪W s (x i ), x i ∈ {E ∩ ∂A(x s )}.

Đinh lý tiep theo đưa ra c[tu trúc cua các điem cân bang trên biên 6nđinh Ngoài ra, đây là đi@u ki n� c§n thiet đe ton t0i m9t s6 lo0i điem cânbang đ c� bi t� trên biên 6n đinh bi ch n.�

Đtnh lý 1.16 ([4]) Gia sU t6n t9i m t hàm năng lư ng đ6i vdi h đ ng

l c phi tuyen t ng quát (1.4) vdi đii!m cân bMng n đinh x s (không phai là đii!

m cân bMng n đinh toàn c c) thì biên n đinh ∂A(x s) phai chita ít nhat m t đii!m cân bMng lo9i 1 Hơn n a, neu mi n n đinh bi ch n thì biên n đinh

∂A(x s) phai chita ít nhat m t đii!m cân bMng lo9i 1 và m t đii!m ngu6n.

H qua sau đây cua Đinh lý � 1.16 đưQc s11 d1,ng đe dv đoán tính không

bi ch n� cua mi@n 6n đinh

H� qua 1.17 Neu t6n t9i m t hàm năng lư ng đ6i h phi tuyen t ng quát

(1.4) vdi đii!m cân bMng n đinh ti m c?n x s (không phai là đii!m n đinh toàn c c) và neu ∂A(x s) không chita đii!m ngu6n thì mi n n đinh A(x s) là không bi ch n.

1.4.2 Hàm năng lư<ng cho h� đ9ng lljc c§.p hai

M c� dù các hàm năng lưQng có the cung c[tp thông tin rõ nét v@ quyđ0o nghi m� toàn c1,c cua các h� đ9ng lvc phi tuyen phi tuyen, nhưng v[tnđ@

quan tr9ng đ t ra đó là vi c tìm m9t hàm năng lưQng không h@ de Bên c0nh� �

đó, vi c xác đinh m9t h đ9ng lvc cho trưac có ton t0i hàm năng lưQng hay� �không cũng khá khó khăn Trong ph§n này, chúng tôi se trình bày cách tínhhàm năng lưQng cho m9t lap h� đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát

Nhi@u mô hình v t lý đưQc mô ta bai m9t h � đ9ng lvc h9c phi tuyen

và gia

s11 s6 điem cân bang trong h� đ9ng lvc này là hfru h0n Đinh lý sau đây chi

ra đi@u ki�n đu v@ sv ton t0i cua hàm năng lưQng và cũng chi rõ cách suy

ra m9t hàm năng lưQng đ6i vai h� (1.5)

Đtnh lý 1.18 Neu f (x) là m t trưong véctơ bao toàn, titc là t6n t9i m t hàm thu c ldp C1, vô hưdng V p : R n → R sao cho f = ∇Vp thì t6n t9i m t hàm V : R 2n → R for (1.5) thu c ldp C1 sao cho

(a) V˙ (x(t), y(t)) ≤ 0 ,

(b) Đ t (x(0), y(0)) ∈/ E thì t?p {t ∈ R : V˙ (x(t), y(t)) = 0} có

đ đo không trong R.

Chitng minh Ta xác đinh hàm V : R n × R → R có d0ng như sau

1

V (x, y) = (y, My) + V p (x). (1.6)

2Đ0o hàm V (x, y) d9c theo quy đ0o nghi m� cua (1.5) là

V˙ (x, y) = ∂V x˙ +

∂V y˙

= − (y, Dy) ≤ 0.

Do đó, ph§n (a) đưQc chUng minh Đe chUng minh ph§n (b), ta gia thiet phan chUng rang ket lu n trong ph§n (b) là không đúng Khi đó, có m9t khoang

T = (t1, t2) vai t2 > t1 ≥ 0 sao cho V˙ (x(t), y(t)) = 0 vai m9i t ∈

T Vì

V˙ (x, y) = − (y, Dy) ≤ 0 và D là ma tr n đ6i xUng, chéo tr9i và cóph§n t11 trên đưang chéo dương nên ta suy ra y(t) = 0 vai m9i t ∈ T

Đi@u này suy ra rang y(t) = 0 và x(t) là m9t hang s6 vai t ∈ T TU

(1.5), ta suy ra rang f (x(t)) = 0 Do đó, ta có (x(t), y(t)) ∈ E vai m9i

t ∈ T (E là t p các

điem cân bang cua (1.5)) Tuy nhiên, h � (1.5) là m9t h � ô tô nôm, nên suy

ra (x(t), y(t)) ∈ E vai m9i t ∈ R Đi@u này có nghĩa là (x(0), y(0))

Đtnh lý 1.19 (Sv ton t0i cua hàm năng lưQng, [5]) Xét h phi tuyen t ng

quát (1.5) Neu hàm f bi ch n và V p (x) là m t hàm tương thích thì t6n t9i m t hàm năng lư ng thu c ldp C1 như sau V : R2n → R đ6i vdi h

\e A(t−s) \\M −1\\f (x(s))\ds.

0

Vì M và D là các ma tr n đưang chéo vai ph§n t11 trên đưang chéo dương

nên ma tr n A = −M −1D có các giá tri riêng nam a bên trái m t phing�phUc Do đó, ton t0i m9t hang s6 thvc C > 0 và α > 0 sao cho \eAt\ ≤

Ce −αt vai m9i t ≥ 0 Neu \f \ ≤ b, ta có

Do đó, ta có the đi đen ket lu n y(t) là bi ch n Bây gia, ta gia thiet rang�

(x(t), y(t)) là không bi ch n� vai t ≥ 0 trong khi giá tri cua V (x, y)

tính toán đưQc d9c theo quy đ0o này bi ch n.� Vì y(t) là bi ch n� nên x(t)phai là không bi ch n và � V p (x) phai bi ch n � Đi@u này mâu thuan vai giathiet Vp là m9t

hàm tương thích Như v y, hàm V (x, y) trong (1.6) thoa mãn đi@u ki n � (3)

cua m9t hàm năng lưQng và ta ket thúc chUng minh

Tiep theo, ta xét lap các h� đ9ng lvc c[tp hai như sau

(1.7)

trong đó M và D là các ma tr n đưang chéo vai h� s6 dương, ε là s6thvc nho Ngoài ra, W : Rn → R là m9t hàm thu9c lap C2 còn g là hàm bi

ch n� đ@u thu9c lap C1 Rõ ràng, h� (1.7) là m9t d0ng nhieu cua h� (1.5)

và nhieu g : Rn → Rn không là m9t trưang véctơ gradient

H� đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát có d0ng (1.7) không có hàm nănglưQng Các h� d0ng này xu[tt hi n� nhi@u trong các h� th6ng vô tuyen

đi n,� [5] Sau đây, ta se xét m9t ví d1,

Ví d1_ 1.4 Xét h� đưQc mô ta như sau

Bây gia, ta chuyen h� đã cho v@ d0ng (1.7 ) bang cách ch9n

W (x) = − 1.78x1 − 3.83x2 − 3.16 cos x1 + 0.28 sin x1 − 7.85 cos

Chương 2

Mi�n 6n đtnh và tlja 6n đtnh cua h� đ9ng lljc liên t1_c

Chương này đưa ra các đ�c trưng v@ mi@n 6n đinh và tva 6n đinh.Sau đó, chúng tôi đ@ xu[tt thu t toán xác đinh chính xác mi@n 6n đinh Cáckien thUc này chu yeu dva trên [4], [5], [12]

Ngày này, các ky thu t dùng đe x[tp xi mi@n 6n đinh cua h � đ9ng lvcphi tuyen ngày càng tra nên quan tr9ng trong các mô hình tính toán như v t

lý, xây dvng, kien trúc, Vì the, chúng tôi se trình bày cách xác đinh mi@n6n đinh trong chương này Đây là m9t trong s6 ít các phương pháp khôngdva trên hàm năng lưQng M9t l§n nfra, ta l0i xét h� đ9ng lvc phi tuyennhư sau

Xuyên su6t chương này, ta luôn gia thiet hàm f : Rn → Rn thoa mãn đi@u

ki n đam bao bài toán giá tri ban đ§u đ6i vai � (2.1) ton t0i và duy nh[tt nghi m�trên toàn không gian

2.1 ĐiJm cân b�ng trên biên 6n đtnh

Trong ph§n này, chúng tôi se đưa ra các đ c trưng đ9ng lvc và tính�ch[tt tôpô cua biên 6n đinh Bên c0nh đó, chúng tôi đ@ c p đen đ c� trưngcua điem tai h0n trên biên 6n đinh Ta se biit đ§u vai các đ c trưng đia�phương, sau đó ma r9ng ra đ c� trưng toàn c1,c cua biên 6n đinh

Nhfrng đ c trưng quan tr9ng nh[tt cua m9t điem cân bang nam trên�biên 6n đinh cua m9t h đ9ng lvc phi tuyen t6ng quát � (2.1) se đưQc đưa ratrong đinh lý sau đây.

Đtnh lý 2.1 ([5]) Xét h đ ng l c phi tuyen t ng quát đư c mô ta boi

(2.1) Gia sU A(x s) là mi n n đinh c a đii!m cân bMng n đinh ti m c?n

x s Cho xˆ /= x s là m t đii!m cân bMng hyperbolic Khi đó,

(a) Neu {W u (xˆ)−xˆ}∩A(x s) /= ∅ thì xˆ ∈ ∂A(xs); ngư c l9i neu

xˆ ∈ ∂A(x s)

thì {W (xˆ) − xˆ} ∩ A(x s) /= ∅

(b) Gia sU /= ∅) thì xˆ không phai là m t đii!m ngu6n (titc là {W (xˆ) − xˆ}

s

xˆ ∈ ∂A(x s) khi và ch khi {W s (xˆ) − xˆ} ∩ ∂A(x s) /= ∅

(c) Gia sU xˆ ∈ ∂A(x s) Khi đó, xˆ là m t đii!m ngu6n khi và ch khi