21 hsg9 gia lai 22 23

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 với O là gốc tọa độ.. Nếu cho vòi thứ nhất

Tỉnh Gia Lai

a) Chứng minh rằng: 2 2 2

1

1 k (k1)  k k( 1) (với k  ).0

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2 xy x y    5 0

a) Cho hàm số y(m2 m2)x2m 8 có đồ thị là đường thẳng d Tìm tất cả các giá trị

của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ).

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ

rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng

8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

là số chia hết cho 5

điểm A thay đổi trên ( )O (điểm Akhông trùng với B C, ) Đường phân giác trong góc A của

tam giác ABC cắt đường tròn ( )O tại K Hạ AH vuông góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2KH2 luôn không đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết

3 2

b) Đặt AH  Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất x

AH là đường cao Gọi IAB sao cho AI 2BI , CI cắt AH tại E Tính CE

rằng:

3 2

-Hết -9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Chứng minh rằng: 2 2 2

1

1 k (k1)  k k( 1) (với k 0)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2 xy x y    5 0

Lời giải

1 k (k1)

( 1) ( 1) ( 1)

k k





( 1)

k k





( 1)

k k





( 1)

k k

 





( 1)

k k

 





1

k k

 

* Ta có:

1 k (k1)  k k( 1) k  k 1

Khi đó:

1

2021 2021,5

2

b) Ta có : x2 xy x y    5 0 y x( 1)x2 x 5 (*)

Với x  không thỏa mãn đẳng thức 1 (*).

Khi đó

 

Vì x y, nguyên nên suy ra: (x  1) là ước nguyên của 7

Suy ra: (x 1)   1; 7

* x1 1  x 2 y11

* x1 1 x 0 y5

* x1 7  x 8 y11

* x17 x6 y5

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0; 5), (8;11), ( 6; 5)  

a) Cho hàm số y(m  m2)x2m 8 có đồ thị là đường thẳng d Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ).

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ

rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng

8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

Lời giải

a) Vì O A B, , tạo thành tam giác nên

4

m

m m

 









Đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B nên 2

;0 2

m A

 

(0; 2 8)

B m  .

Ta có:

2

OAB



Do giả thiết SOAB  nên 2

 2

m

  (TMĐK)

b) Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước,

0, 0

x y

Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được

1

x bồn, vòi thứ hai chảy được

1

y bồn.

Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

3 8

1

4

9









    

Đặt

,

hệ trở thành

1

9 8

1

9

12

b





Suy ra : x9,y12

Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy bồn

là số chia hết cho 5

Lời giải

Ta có:

33 3 3 39 3

x

33 33 39 1 2

x

3x x 6x 12x 8

3 3 2 6 4

x x x

Từ đó suy ra : x3 3x2 6x21 4 21 25   là số chia hết cho 5

điểm A thay đổi trên ( )O (điểm Akhông trùng với B C, ) Đường phân giác trong góc A của

tam giác ABC cắt đường tròn ( )O tại K Hạ AH vuông góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2KH2 luôn không đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết

3 2

b) Đặt AH  Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất x

Lời giải

a) BAC vuông tại A, AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính giữa

cung BC suy ra OHK vuông tại O

Ta có: OK2OH2 HK2  HK2 R2OH2

Mặt khác: AH2 OH2 R2  AH2 R2 OH2

AH HK R OH R OH R

OAH

 vuông tại H, có

3 2

R

AH 

nên OAH là nửa tam giác đều cạnh bằng R Suy ra: AOH 600

+ Nếu H thuộc đoạn OB thì OAB cân tại O ( OA OB R  ) có AOB 600 nên là tam giác đều Khi đó, ABC 600

+ Nếu H thuộc đoạn OC thì OAC cân tại O ( OA OC R  ) có AOC 600 nên là tam giác đều Khi đó, ACB600 ABC900 600 300

Vậy ABC 600 hoặc ABC 300

b) OAH vuông tại H nên AH2OH2 OA2

2 2

Suy ra:

2 2

OAH

S  AH OH  x R  x

2 2

OAH

, trong đó 4

R

không đổi

Dấu “=” xảy ra khi x =

2

R  x  x R  x  x R

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là

2 4

R

khi

2 2

AH là đường cao Gọi IAB sao cho AI 2BI , CI cắt AH tại E Tính CE

Lời giải

Trong ABC có BC  AB2AC2  , 5

12 5

AH 

5

BH BCAB  BH 

,

16 5

CH 

Dựng IK BC K,( BC) Khi đó:

BK  BH  CK  IK  AH  IC  IK CK 

Ta có :

11

CE

rằng:

3 2

Lời giải

Ta có: (a2bc b c)(  )a b a c b c bc2  2  2  2 b a( 2c2)c a( 2b2)

Tương tự: (b2ca c a)(  )c b( 2a2)a b( 2c2)

(c2ab a b)(  )a c( 2b2)b c( 2a2)

Đặt: x a b ( 2c2);y b c ( 2a2);z c b ( 2a2)

Khi đó:

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm x y z, , :

x y 2 xy

y z 2 yz

z x 2 zx  (x y y z z x )(  )(  ) 8 xyz

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm:

y z z x x y

, ta có:

3

y z z x x y y z z x x y

3



3 2