Mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m logarit
H m tuƯn ho n nhƠn tẵnh
ành nghắa 1.2 H m số f (x) ữủc gồi l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a; (a > 1) trản M náu M ⊂ D(f ) v
Vẵ dử 1.1 X²t f (x) = sin(2π log 2 x) Khi õ f (x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký 2 trản R + Thêt vêy, ta cõ ∀x ∈ R + thẳ 2 ±1 x ∈ R + v f (2x) = sin(2π log 2 (2x))
Tẵnh chĐt 1.9 Náu f (x) v g(x) l hai h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký tữỡng ựng l a v b trản M v ln ln |a| |b| = m n , m, n ∈ N ∗ thẳ F (x) = f (x) + g(x) v G(x) = f (x).g(x) l cĂc h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh trản M
Chựng minh Tứ giÊ thiát ln ln |a| |b| = m n suy ra |a| n = |b| m Ta chựng minh
T := a 2n = b 2m l chu ký cừa F (x) v G(x) Thêt vêy, ta cõ
Hìn núa, ∀x ∈ M, T ±1 x ∈ M Do â, F (x), G(x) l c¡c h m tu¦n ho n nhƠn tẵnh trản M
Tẵnh chĐt 1.10 Náu f (x) l h m tuƯn ho n cởng tẵnh chu ký a , a > 0 trản R thẳ g(t) = f (ln t) , ( t > 0 ) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký e a trản R +
Ngữủc lÔi, náu f (x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a ( a > 1 ) trản
R + thẳ g(t) = f (e t ) l h m tuƯn ho n cởng tẵnh chu ký ln a trản R.
Chựng minh GiÊ sỷ f (x) l h m tuƯn ho n cởng tẵnh chu ký a , a > 0 trản R X²t g(t) = f (ln t) , ( t > 0 ).
Ta câ g(e a t) = f (ln(e a t)) = f (ln e a + ln t)
Vêy g(t) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký e a trản R +
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f (x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a
X²t g(t) = f (e t ), ∀t ∈ R Ta câ g(t + ln a) = f (e t+ln a ) = f (e t e ln a )
= f (ae t ) = f (e t ) = g(t), ∀t ∈ R Vêy g(t) l h m tuƯn ho n cởng tẵnh chu ký ln a trản R
H m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh
ành nghắa 1.3 H m số f (x) ữủc gồi l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a (a > 1) trản M náu M ⊂ D(f ) v
Vẵ dử 1.2 X²t f (x) = cos(π log 2 x) Khi õ f (x) l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký 2 trản R +
Thêt vêy, ta cõ ∀x ∈ R + thẳ f (2x) = cos(π log 2 (2x)) = cos(π+π log 2 x) = − cos(π log 2 x) = −f (x), ∀x ∈ R +
2x)) − sin(2π log 2 x)] Khi â f (x) l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký √ 2 trản R +
Thêt vêy, ta cõ ∀x ∈ R + thẳ ( √ 2) ±1 x ∈ R + v f ( √
Tẵnh chĐt 1.11 Mồi h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh trản M ãu l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh trản M
Chựng minh Theo giÊ thiát tỗn tÔi b > 1 sao cho ∀x ∈ M thẳ b ±1 ∈ M v f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M.
Suy ra, ∀x ∈ M thẳ b ±1 ∈ M v f (b 2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M.
Nhữ vêy, f (x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký b 2 trản M
Tẵnh chĐt 1.12 f (x) l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký b ( b > 1 ) trản M khi v ch¿ khi f (x) cõ dÔng: f (x) = 1
2 (g(bx) − g(x)), trong õ, g(x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký b 2 trản M
Chựng minh (i) GiÊ sỷ f l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký b trản
M Khi õ g(x) = −f (x) l h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký b 2 trản M v
(ii) Ngữủc lÔi, f (x) = 1 2 (g(bx) − g(x)), thẳ f (bx) = 1
Hỡn nỳa, ∀x ∈ M thẳ b ±1 x ∈ M Do õ, f (x) l h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh trản M
CĂc b i toĂn liản quan án h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh 8
B i toĂn 1.1 Cho a > 1 XĂc ành tĐt cÊ cĂc h m f (x) thọa mÂn iãu kiằn f (ax) = f (x), ∀x ∈ R +
Líi gi£i. °t x = a t v f (a t ) = h 1 (t) Khi â t = log a x v f (ax) = f (x) ⇔ h 1 (t + 1) = h 1 (t), ∀t ∈ R , trong â h(t) = f (a t )
X²t x < 0 °t −x = a t v f (−a t ) = h 2 (t) Khi â t = log a |x| v f (ax) = f (x) ⇔ h 2 (t + 1) = h 2 (t), ∀t ∈ R Kát luên: f (x) = h(log a |x|) trong õ h(t) l h m tuƯn ho n cởng tẵnh tũy ỵ chu ký 1 trản R
B i toĂn 1.2 Cho a < 0, a 6= −1 XĂc ành tĐt cÊ cĂc h m f (x) thọa mÂn iãu kiằn f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R
Lới giÊi Tứ iãu kiằn cừa b i toĂn suy ra f (a 2 x) = f (x), ∀x ∈ R Vêy, mồi nghiằm cừa b i toĂn cõ dÔng f (x) = 1
2 [g(x) − g(ax)], trong â g(a 2 x) = g(x), ∀x ∈ R Thêt vêy, náu f (x) cõ dÔng trản thẳ ta cõ f (ax) = 1
2 [g(ax) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ R Ngữủc lÔi, vợi mội f (x) thọa mÂn iãu kiằn b i toĂn, chồn g(x) = f (x) Khi â g(a 2 x) = g(x), ∀x ∈ R v
2 [f (x) + f (x)] = f (x), ∀x ∈ R Suy ra nghiằm cƯn tẳm l f (x) = 1
2 log |a| |x| khi x < 0 vợi h 1 (t) , h 2 (t) l cĂc h m tuƯn ho n cởng tẵnh tũy ỵ chu ký 1 trản R
Mởt số ành lẵ liản quan án lợp h m lỗi v h m lỗi logarit 9 Chữỡng 2 ¯ng thực v phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit 14
Định lý 1.1 (Rolle) khẳng định rằng, với hàm số f : [a; b] → R liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trên khoảng (a; b), nếu f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một c ∈ (a; b) sao cho f'(c) = 0 Định lý 1.2 (Lagrange) mở rộng khái niệm này cho hàm số f : [a; b] → R liên tục và khả vi, cho biết rằng tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) Cuối cùng, định lý 1.3 (Bất đẳng thức Bernoulli) áp dụng cho giá trị x > -1, cung cấp các tính chất quan trọng liên quan đến hàm số.
Định lý Jensen cho biết rằng nếu hàm số f: [a, b] → R là một hàm lồi, thì với mọi x, y ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1], có f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) Điều này có nghĩa là hàm lồi sẽ không vượt quá giá trị trung bình có trọng số của các điểm đầu vào Ngoài ra, nếu f là hàm lồi trên khoảng (a, b), với n ∈ N và các số thực λ1, λ2, , λn ∈ (0, 1) thỏa mãn λ1 + λ2 + + λn = 1, thì với mọi x1, x2, , xn ∈ (a, b), ta cũng có f(λ1x1 + λ2x2 + + λnxn) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2) + + λnf(xn).
(1.2) ành lỵ 1.5 (BĐt ¯ng thực dÔng Karamata ối vợi h m logarit) Cho hai dÂy số {x k , y k ∈ I (a, b), k = 1, 2, , n} vợi 0 < a < b, thọa mÂn cĂc iãu kiằn x 1 ≥ x 2 ≥ ã ã ã ≥ x n , y 1 ≥ y 2 ≥ ã ã ã ≥ y n v
x 1 ≥ y 1 , x 1 + x 2 ≥ y 1 + y 2 , x 1 + x 2 + ã ã ã + x n−1 ≥ y 1 + y 2 + ã ã ã + y n−1 , x 1 + x 2 + ã ã ã + x n = y 1 + y 2 + ã ã ã + y n Khi õ, ựng vợi h m f (x) = log d x vợi d > 1 , ta ãu cõ f (x 1 ) + f (x 2 ) + ã ã ã + f (x n ) ≤ f (y 1 ) + f (y 2 ) + ã ã ã + f (y n ) (1.3) ành nghắa 1.5 Vợi cĂc số dữỡng a, b ta ành nghắa: i) Trung bẳnh cởng (Trung bẳnh số hồc):
2 ii) Trung bẳnh nhƠn (Trung bẳnh hẳnh hồc):
G(a, b) = √ ab. iii) Trung bẳnh iãu hỏa:
1 a + 1 b. iv) Trữớng hủp nhiãu bián: Kỵ hiằu a = {a k } n k=1 l dÂy cừa n số khổng Ơm Vợi n l số nguyản dữỡng cố ành, ta kỵ hiằu
Các ô lưỡng A(a), G(a), H(a) tương ứng với các trung bình cường, trung bình nhân và trung bình hàm hòa của các số a1, a2, , an Định nghĩa 1.6: Với hai số dương a, b và b khác 0, ta có thể hiểu rõ hơn về các mối quan hệ giữa chúng.
1 r Ôi lữủng M r (a, b) ữủc gồi l trung bẳnh lụy thứa cừa cĂc số a v b ối vợi trữớng hủp nhiãu bián chúng ta kỵ hiằu a = {a k } n k=1 (a k ≥ 0), M r (a) = 1 n n
1 r , r 6= 0. Ôi lữủng M r (a) ữủc gồi l trung bẳnh lụy thứa cừa cĂc số a 1 , a 2 , , a n ành lỵ 1.6 Vợi dÂy số dữỡng a = {a k } n k=1 , r 1 < r 2 thẳ M r 1 (a) 0, a 6= b. ành lỵ 1.8 Vợi 0 < a < b cõ cĂc bĐt ¯ng thực
L(a, b) < M 1/3 (a, b), L(a 3 , b 3 ) < A 3 (a, b) (1.5) Chựng minh Theo cổng thực Simpson, ta cõ
6480 f (4) (η), trong â c < η < d Cho c = ln a, d = ln b, f (x) = e x ta câ b − a =
Tứ Ơy suy ra bĐt ¯ng thực thự nhĐt trong (1.5) Trong bĐt ¯ng thực thù nh§t, thay a, b t÷ìng ùng bði a 3 , b 3 ta câ b§t ¯ng thùc thù hai.
Mằnh ã 1.1 Ta cõ hằ thực
Tứ Ơy suy ra iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 1.4 Cho b > a > 0, chựng minh bĐt ¯ng thực b 2 − a 2 ln b − ln a < 2 b + a
Theo ¯ng thùc (1.6) v b§t ¯ng thùc (1.4), ta câ
Tứ õ suy ra bĐt ¯ng thực cƯn phÊi chựng minh.
Ch÷ìng 2 ¯ng thùc v ph÷ìng trẳnh siảu viằt dÔng logarit
Nội dung chính của bài viết liên quan đến ứng dụng của logarit trong việc giải phương trình hàm số, đặc biệt là phương trình hàm Cauchy Bài viết cũng đề cập đến phương pháp giải phương trình siêu việt sử dụng logarit, cùng với các kết quả quan trọng được tham khảo từ tài liệu.
Phữỡng trẳnh h m Cauchy dÔng logarit
B i toĂn 2.1 (Phữỡng trẳnh h m Cauchy) XĂc ành cĂc h m f : R → R , liản tửc trản R v thọa mÂn iãu kiằn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2.1)
Lới giÊi GiÊ sỷ f l h m số thọa mÂn ã b i, khi õ ta cõ (2.1) Tứ (2.1) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) v vợi x = y thẳ f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R (2.2) GiÊ sỷ vợi k nguyản dữỡng, f (kx) = kf (x) , ∀x ∈ R , ∀k ∈ N Khi õ f ((k + 1)x) = f (kx + x)
Tứ õ, theo nguyản lỵ quy nÔp, ta cõ f (nx) = nf (x), ∀x ∈ N
Kát hủp vợi tẵnh chĐt f (−x) = −f (x) , ta ữủc f (mx) = f (−m(−x)) = −mf (−x) = mf (x), ∀m ∈ Z , ∀x ∈ R (2.3)
Sỷ dửng giÊ thiát liản tửc cừa h m f , suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R , a = f (1).
Thỷ lÔi, ta thĐy h m f (x) = ax thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.1).
Trong bài toán tràn, nếu ta thay giá trị hằng số f liên tục trên R bằng hằng số f liên tục tại x₀ ∈ R, thì kết quả tràn vẫn giữ nguyên Cụ thể, nếu hàm số f liên tục tại x₀ thì lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) và với mọi x₁ ∈ R, ta có f(x) = f(x - x₁ + x₀) + f(x₁) - f(x₀) với ∀x ∈ R.
Tứ õ suy ra x→x lim 1 f (x) = lim x→x 1 f (x − x 1 + x 0 ) + f (x 1 ) − f (x 0 )
Nhữ vêy, náu h m f xĂc ành trản R , liản tửc tÔi iºm x 0 ∈ R v thọa mÂn phữỡng trẳnh h m Cauchy thẳ f liản tửc trản R
B i toĂn 2.2 Tẳm cĂc h m số f (x) xĂc ành v liản tửc trản R v thọa mÂn iãu kiằn q f (x)f (y) = f x + y2 , ∀x, y ∈ R (2.5)
Tứ iãu kiằn (2.5) suy ra f (x) ≥ x ∀x ∈ R Náu tỗn tÔi x 0 º f (x 0 ) = 0 thẳ q f (x 0 )f (y) = f x 0 + y 2
X²t trữớng hủp f (x) > 0 ∀x ∈ R Khi õ (2.5) tữỡng ữỡng vợi ln f x + y 2
Hàm số \( g(x) = \ln f(x) \) thỏa mãn phương trình Cauchy, nên có dạng \( g(x) = ax + b \) Từ đó, ta suy ra hàm số \( f(x) = e^{ax+b} \), với \( a, b \in \mathbb{R} \) Điều này cho thấy hàm số \( f(x) = e^{ax+b} \) luôn thỏa mãn các điều kiện của bài toán Kết luận, hàm số \( f(x) \) sẽ bằng 0 trong trường hợp \( f(x) = e^{ax+b} \), với \( a, b \in \mathbb{R} \).
B i toĂn 2.3 Tẳm cĂc h m số f liản tửc trản R + v thọa mÂn iãu kiằn f ( √ xy) = f (x) + f (y )
GiÊ sỷ h m số f liản tửc trản R + v thọa mÂn iãu kiằn f ( √ xy) = 1
2 (f (x) + f (y)), ∀x > 0, y > 0 (2.6) °t x = e u , y = e v v g(u) = f (e u ) Khi õ g(u) liản tửc trản R Tứ (2.6) suy ra vợi mồi u, v ∈ R , ta cõ f √ e u e v = 1
Theo phương trình hàm Cauchy, hàm f(u) = au + b, với a, b là các hằng số thực Khi đặt x = e^u, ta có u = ln x và từ đó suy ra f(x) = a ln x + b, với a, b thuộc R Do đó, hàm f(x) = a ln x + b thỏa mãn các điều kiện của bài toán tổng quát.
B i toĂn 2.4 Tẳm cĂc h m số f liản tửc trản R + v thọa mÂn iãu kiằn f ( √ xy) = q f (x)f (y), ∀x, y ∈ R + (2.7)
Tứ iãu kiằn cừa b i toĂn suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R + Náu tỗn tÔi x 0 > 0 sao cho f (x 0 ) = 0 thẳ tứ (2.8) suy ra f ( √ x 0 y) = q f (x 0 )f (y ) = 0, ∀y ∈ R +
Trong trữớng hủp n y f (x) = 0 Náu f (x) > 0 vợi mồi x ∈ R + thẳ ta °t x = e u , y = e v , f (e u ) = g(u).
Khi xét hàm g(u) liên tục trên R, có điều kiện g√u + v = qg(u)g(v) cho mọi u, v ∈ R Theo kết quả của Bài toán 2.2, ta có g(u) ≡ 0 hoặc g(u) = e^(au + b) với a, b ∈ R Từ đó, ta nhận thấy rằng hàm f(x) có thể là 0 hoặc f(x) = e^(a ln x + b) = cx^a với c > 0, thỏa mãn các điều kiện của bài toán đã đưa ra Do đó, f(x) có thể nhận giá trị 0 hoặc f(x) = cx^a với c > 0.
B i toĂn 2.5 Tẳm cĂc h m số f liản tửc trản R + v thọa mÂn iãu kiằn f ( √ xy) = 2f (x)f (y) f (x) + f (y ) , ∀x, y ∈ R + (2.8)
GiÊ sỷ f l h m liản tửc v thọa mÂn iãu kiằn f ( √ xy) = 2
Tứ iãu kiằn trản suy ra f (x) 6= 0 ∀x > 0 , kát hủp vợi mồi x, y > 0 , ta cõ
2 °t g(x) = f (x) 1 Vẳ f liản tửc vợi mồi x > 0 m f (x) 6= 0 ∀x > 0 suy ra g(x) l h m liản tửc khi a > 0 M°t khĂc, ta cõ g ( √ xy) = g(x) + g(y)
Theo B i to¡n 2.3, ta câ g(x) = a ln x + b Khi â f (x) = 1 a ln x + b , ∀x > 0.
Ngữủc lÔi náu f (x) = a ln 1 x + b , a, b l cĂc hơng số.
Náu a 6= 0 , x²t phữỡng trẳnh a ln x + b = 0 ⇔ ln x = − b a ⇔ x = e − a b Vêy náu a 6= 0 thẳ f (x) khổng liản tửc tÔi x = x 0 = e − b a > 0
Do õ º f (x) liản tửc khi x > 0 thẳ a = 0 ⇒ f (x) = 1 b
Vêy f (x) = C , trong õ C 6= 0 l hơng số Thỷ lÔi, ta thĐy h m f (x) = C thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa b i toĂn °t ra. ối vợi h m logarit f (t) = log a t, (0 < a 6= 1, t > 0), ta cõ cĂc °c tr÷ng sau: f (xy) = f (x) + f (y) v f x y = f (x) − f (y) , ∀x, y ∈ R ∗ +.
Do cõ cĂc °c trững n y, h m số trản l nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh h m t÷ìng ùng.
B i toĂn 2.6 (Phữỡng trẳnh h m Cauchy dÔng logarit) XĂc ành cĂc h m số f (x) liản tửc trản R \ {0} thọa mÂn iãu kiằn f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} (2.9)
Líi gi£i. a) Trữợc hát ta tẳm h m số f (x) trản khoÊng (0, +∞) , muốn vêy, x²t x, y ∈ R + °t x = e u , y = e v v f (e t ) = g(t) Khi â (2.9) câ d¤ng g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (2.10)
Theo phữỡng trẳnh h m Cauchy thẳ (2.10) ⇔ g(t) = bt v do õ f (x) = a ln x, ∀x ∈ R + , a ∈ R tòy þ b) Tiáp theo ta tẳm h m số f (x) trản khoÊng (−∞, 0) , muốn vêy, x²t x, y ∈ R − thẳ xy ∈ R + Trong (2.9) lĐy y = x v sỷ dửng kát quÊ phƯn a) ta ữủc f (x) = 1
2 b ln x 2 = b ln |x|, ∀x ∈ R − , vợi b ∈ R tũy ỵ Thỷ lÔi ta thĐy h m f (x) = b ln |x| vợi b ∈ R tũy ỵ, thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa b i toĂn °t ra Vêy f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R \ {0}, vợi b ∈ R tũy ỵ
B i toĂn 2.7 XĂc ành cĂc h m f (x) liản tửc trản R + thọa mÂn iãu kiằn f x y
⇔ f (ty) = f (t) + f (y), ∀t, y ∈ R + Theo kát quÊ cừa B i toĂn 2.6, thẳ f (x) = b ln x, ∀x ∈ R + , b ∈ R tòy þ
Thỷ lÔi ta thĐy h m f (x) = b ln x, ∀x ∈ R + , b ∈ R tũy ỵ, thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa b i toĂn °t ra Vêy f (x) = b ln x, ∀x ∈ R + , b ∈ R tòy þ
B i toĂn 2.8 XĂc ành h m số f : R → R , liản tửc trản R v thọa mÂn iãu kiằn f x + y 2
Dạ thĐy h m f ≡ 0 thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa b i toĂn Tiáp theo ta giÊ sỷ f khổng trũng vợi 0 , nghắa l tỗn tÔi x 0 ∈ R sao cho f (x 0 ) 6= 0 Tứ (2.12) ta câ f (x)f (2x 0 − x) = f x + 2x 0 − x
Trữớng hủp 1 f (x) > 0, ∀x ∈ R X²t h m số g nhữ sau: g : R → R , g(x) = ln(f (x)), x ∈ R Khi õ g liản tửc trản R v g x + y 2
2 [g(x) + g(y)], ∀x, y ∈ R (2.13) X²t h m sè h nh÷ sau: h : R → R , h(x) = g(x) − g(0), x ∈ R Khi â, h(0) = 0 v h liản tửc trản R Tứ (2.13), ta cõ h x + y 2
Tứ (2.16), theo phữỡng trẳnh h m Cauchy ta ữủc h(x) = λx , ∀x ∈ R , vợi λ l mởt hơng số thỹc tũy ỵ n o õ °t à = g(0) Khi õ g(x) = λx +à ⇒ ln(f (x)) = λx+ à ⇒ f (x) = e λx+à = ae λx (a = e à > 0).
Thỷ lÔi thĐy h m số f (x) = ae λx , ∀x ∈ R ( a, λ l hơng số, a > 0 ) thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa ã b i.
Trữớng hủp 2 f (x) < 0, ∀x ∈ R Khi õ, −f (x) > 0, ∀x ∈ R Theo trữớng hủp 1 suy ra
Vêy f (x) = ce βx , ∀x ∈ R ( c, β l hơng số) Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
TĐt cÊ cĂc h m số thọa mÂn yảu cƯu cừa ã b i l f (x) = 0, ∀x ∈ R v f (x) = ce βx ∀x ∈ R (c, β l hơng số )
B i toĂn 2.9 XĂc ành h m số liản tửc f : R → R thọa mÂn f 2 (x) = f (x + y)f (x − y), ∀x, y ∈ R (2.17)
Kỵ hiằu P (u, v) ch¿ viằc thay x bði u , thay y bði v v o (2.17) GiÊ sỷ tỗn t¤i u ∈ R sao cho f (u) = 0 Khi â
P (x, u − x) ⇒ f 2 (x) = 0 ⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ R Thỷ lÔi thĐy f (x) ≡ 0 thọa mÂn (2.17) Tiáp theo giÊ sỷ f (x) 6= 0 , ∀x ∈ R
(2.19) ⇔g(2x) = g(x + y) + g(x − y ), ∀x, y ∈ R (2.20) Vợi mồi số thỹc u, v , °t u + 2 v = x, u − 2 v = y Tứ (2.20) ta cõ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (2.21)
Tứ (2.21), theo phữỡng trẳnh h m Cauchy ta ữủc g(x) ≡ ax Vẳ thá f (x) f (0) = e g(x) = e ax ⇒ f (x) = f (0)e ax ⇒ f (x) = αa x , ∀x ∈ R
Thỷ lÔi thĐy h m số f (x) = αa x , ∀x ∈ R thọa mÂn (2.17) Vêy, tĐt cÊ cĂc h m số thọa mÂn yảu cƯu cừa ã b i l f (x) = αa x , ∀x ∈ R , vợi α l hơng số tũy ỵ, a l hơng số dữỡng.
Phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit
Phữỡng trẳnh logarit cỡ bÊn cõ dÔng: log a x = m Vợi mội giĂ trà tũy ỵ cừa m , phữỡng trẳnh log a x = m luổn cõ mởt nghiằm duy nhĐt l x = a m Nâi c¡ch kh¡c, ∀m ∈ (−∞; +∞), log a x = m ⇔ x = a m
Trong phƯn n y, tổi trẳnh b y mởt số phữỡng phĂp logarit giÊi phữỡng trẳnh Ôi số.
• Phữỡng phĂp ữa vã cũng cỡ số v mụ hõa.
0 < a 6= 1 f (x) = a b +DÔng 2: Phữỡng trẳnh log a f (x) = log a g(x) ⇔
0 < a 6= 1 f (x) > 0 ho°c g(x) > 0 f (x) = g(x). °t t = log a f (x) Khi õ a t = f (x) , b t = g(x) , tứ õ ta thu ữủc phữỡng trẳnh mụ.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.1 GiÊi phữỡng trẳnh lg(x 3 + 8) = lg(x + 58) + 1
Khi õ phữỡng trẳnh (2.22) cõ dÔng lg(x 3 + 8) = lg(x + 58) + 1
Trong õ x = −6 khổng thọa mÂn iãu kiằn (2.23) Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 9
Vẵ dử 2.2 GiÊi phữỡng trẳnh log 2 (1 + √ x + 1) − 3 log 2 √ 3 x − 40 = 0 (2.24)
Líi gi£i. iãu kiằn x > 40 Khi õ
Trong õ x = 35 khổng thọa mÂn iãu kiằn x > 40 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 48
Vẵ dử 2.3 GiÊi phữỡng trẳnh
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.25) cõ nghắa l
Vợi iãu kiằn (2.26) thẳ log √ 2 (x + 3) = log 2 (x + 3) 2 = 2 log 2 (x + 3); log 2 (4x) = 2 + log 2 x; log 4 (x − 1) 8 = log 2 (x − 1) 4 = 4 log 2 |x − 1|.
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 3; x = −3 + 2 √ 3
Vẵ dử 2.4 GiÊi phữỡng trẳnh x lg x + 5
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.27) cõ nghắa l x > 0 Khi õ
(2.28) °t t = lg x Khi õ, tứ (2.28) ta cõ t 2 + 2t − 15 = 0 ⇔
100000 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm l x = 1000; x = 100000 1
Vẵ dử 2.5 GiÊi phữỡng trẳnh log x (log 3 (9 x − 12)) = 1 (2.29)
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.29) cõ nghắa l
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm l x = log 3 4
Để giải bài toán, trước tiên ta cần quy về phương trình logarit và phương trình số tổng thường Sau khi giải các phương trình trung gian, ta sẽ tiến hành giải các phương trình logarit để tìm nghiệm cuối cùng của phương trình ban đầu.
Phữỡng phĂp 1: Dũng mởt ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt phữỡng trẳnh vợi mởt ân phử.
+ DÔng 1: Náu °t t = log a x vợi x > 0 thẳ log k a x = t k , log x a = 1 t, vợi
+ DÔng 2: Ta cõ cổng thực a log b c = c log b a Do õ náu °t t = a log b x thẳ t = x log b a
Phữỡng phĂp 2: Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt phữỡng trẳnh vợi mởt ân phử những hằ số văn chựa x
Phữỡng phĂp 3: Dũng hai ân phử cho hai biºu thực lổgarit trong phữỡng trẳnh v bián ời phữỡng trẳnh th nh phữỡng trẳnh tẵch.
Phữỡng phĂp 4: Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt hằ phữỡng trẳnh vợi 2 ân phử.
Phữỡng phĂp 5: Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt hằ phữỡng trẳnh vợi 1 ân phử v mởt ân x
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.6 (ã thi H Kinh tá Quốc dƠn H Nởi nôm 2001) GiÊi phữỡng trẳnh: log 3x+7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log 2x+3 (6x 2 + 23x + 21) = 4 (2.30)
2 < x 6= −1 Khi â (2.30) ⇔ 2 log 3x+7 (2x + 3) + 1 + log 2x+3 (3x + 7) = 4. °t t = log 3x+7 (2x + 3) Khi õ phữỡng trẳnh (2.30) trð th nh:
2 ã Vợi t = 1 ⇔ log 3x+7 (2x + 3) = 1 ⇔ 2x + 3 = 3x + 7 ⇔ x = −4(loÔi). ã Vợi t = 1 2 ⇔ log 3x+7 (2x + 3) = 1
4 x = −2(lo¤i) Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = − 1 4
Vẵ dử 2.7 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối A - 2008) GiÊi phữỡng trẳnh log 2x−1 (2x 2 + x − 1) + log x+1 (2x − 1) 2 = 4 (2.31)
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.31) cõ nghiằm l
x > 1 2 x 6= 1 (2.32) p dửng cổng thực ời cỡ số, ta cõ:
⇔ 1 + 1 log x+1 (2x − 1) + 2 log x+1 (2x − 1) = 4 (2.33) °t t = log x+1 (2x − 1), khi â (2.33) câ d¤ng
Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 2; x = 5 4
Vẵ dử 2.8 (ã thi tuyºn sinh khối D - 2007) GiÊi phữỡng trẳnh log 2 (4 x + 15.2 x + 27) + 2 log 2 1
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.34) cõ nghắa l 4.2 x − 3 > 0 ⇔ 2 x > 3 4
Vêy phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm x = log 2 3
Vẵ dử 2.9 GiÊi phữỡng trẳnh lg 2 x − lg x.log 2 (4x) + 2log 2 x = 0 (2.36)
Líi gi£i. iãu kiằn cừa phữỡng trẳnh l x > 0 Bián ời phữỡng trẳnh (2.36) vã dÔng lg 2 x − (2 + log 2 x) lg x + 2log 2 x = 0. °t t = lg x , khi õ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng vợi t 2 − (2 + log 2 x).t + 2log 2 x = 0.
Ta cõ ∆ = (2 + log 2 x) 2 − 8log 2 x = (2 − log 2 x) 2 suy ra phữỡng trẳnh cõ nghiằm Suy ra
• Vợi t = log 2 x ta cõ lg x = log 2 x ⇔ lg x = lg x lg 2 ⇔ lg x = 0 ⇔ x = 1. Vêy, phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 100, x = 1
Vẵ dử 2.10 (ã thi HVNH 2000) GiÊi phữỡng trẳnh:
Líi gi£i. iãu kiằn: x > 0 Ta cõ nhên x²t: (2 + √ 2) log 2 x (2 − √ 2) log 2 x = 2 log 2 x = x °t
2) log 2 x (iãu kiằn u > 0, v > 0) ⇒ u.v = x Khi õ, phữỡng trẳnh (2.37) trð th nh:
+) v 2 u = 1 ⇔ xv = 1 ⇔ 2 log 2 x (2 − √ 2) log 2 x = 1 ⇔ log 2 x = 0 ⇔ x = 1. Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt l x = 1
Vẵ dử 2.11 GiÊi phữỡng trẳnh log 2 x(x − 1) 2 + log 2 x log 2 (x 2 − x) − 2 = 0 (2.38)
Líi gi£i. iãu kiằn cừa phữỡng trẳnh (2.38) l
⇔2 log 2 (x 2 − x) + log 2 x log 2 (x 2 − x) − 2 = 0 (2.40) °t u = log 2 (x 2 − x); v = log 2 x Khi â
Trong õ x = −1 khổng thọa mÂn iãu kiằn (2.39) Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 2 v x = 4
CĂch giÊi Ta sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt sau:
Tẵnh chĐt 2.13 Náu h m f (x) tông (ho°c giÊm) trong khoÊng (a, b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = k cõ khổng quĂ mởt nghiằm trong khoÊng (a, b) Bữợc 1: Chuyºn phữỡng trẳnh vã dÔng: f (x) = k
Bữợc 2: X²t h m số y = f (x) Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số l ỡn iằu (giÊ sỷ ỗng bián).
• Vợi x > x 0 ⇔ f (x) > f (x 0 ) = k do õ phữỡng trẳnh vổ nghiằm.
• Vợi x < x 0 ⇔ f (x) < f (x 0 ) = k do õ phữỡng trẳnh vổ nghiằm. Vêy x = x 0 l nghiằm duy nhĐt cừa phữỡng trẳnh.
Trong khoảng (a, b), nếu hàm f(x) liên tục và hàm g(x) là hàm đơn điệu hoặc hàm giảm, thì phương trình f(x) = g(x) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a, b) Điều này có nghĩa là nếu tồn tại x₀ ∈ (a, b) sao cho f(x₀) = g(x₀), thì x₀ chính là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x).
Bữợc 1: Chuyºn phữỡng trẳnh vã dÔng: f (x) = g(x)
Bữợc 2: X²t h m số y = f (x) v y = g(x) Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số y = f (x) l h m tông cỏn h m số y = g(x) l h m hơng ho°c gi£m X¡c ành x 0 sao cho f (x 0 ) = g(x 0 )
Bữợc 3: Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = x 0
Tẵnh chĐt 2.15 Náu h m f (x) tông (ho°c giÊm) trong khoÊng (a, b) thẳ f (u) = f (v) ⇔ u = v vợi mồi u, v thuởc (a, b)
Bữợc 1: Chuyºn phữỡng trẳnh vã dÔng: f (u) = f (v)
Bữợc 2: X²t h m số y = f (x) Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số l ỡn iằu (giÊ sỷ ỗng bián).
Bữợc 3: Khi õ phữỡng trẳnh ữủc chuyºn vã dÔng: u = v
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.12 GiÊi phữỡng trẳnh log 2 1 + √ x = log 3 x (2.41)
Lới giÊi iãu kiằn º (2.41) cõ nghắa l x > 0 °t t = log 3 x Khi õ
= 1 l h m nghàch bián trản R Hỡn nỳa f (2) = 1 Vêy (2.42) cõ nghiằm duy nhĐt t = 2 , tực l x = 9 l nghiằm duy nh§t cõa (2.41).
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l x = 9
Vẵ dử 2.13 GiÊi phữỡng trẳnh
Lới giÊi iãu kiằn º (2.43) cõ nghắa l x > 3 Ta cõ log 2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15 x + 1
4(x − 2) Dạ thĐy f (x) = log 2 (x − 3) + log 3 (x − 2) l h m ỗng bián khi x > 3 g(x) = 15
4 x + 1 x − 2 l h m nghàch bián khi x > 3 (do g 0 (x) = 4(x −45 − 2) 2 < 0 ). LÔi cõ f (11) = g(11) = 5 Vêy x = 11 l nghiằm duy nhĐt cừa (2.43). Phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l x = 9
Vẵ dử 2.14 GiÊi phữỡng trẳnh x log 2 9 = x 2 3 log 2 x − x log 2 3 (2.44)
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.44) cõ nghắa l x > 0 Ta cõ
⇔ 3 log 2 x = x 2 − 1 (do 3 log 2 x > 0) (2.46) °t log 2 x = t , khi â
(2.45) ⇔ 3 t = 4 t − 1 ⇔ f (t) = 3 4 t + 1 4 t = 1 (2.47) Vẳ f (t) l h m nghàch bián trản R v f (1) = 1 , nản (2.47) cõ nghiằm duy nhĐt t = 1 , tực l x = 2 l nghiằm duy nhĐt cừa (2.44).
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l x = 2
• Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡
CĂch giÊi Nhiãu b i toĂn cõ thº giÊi bơng cĂch Ănh giĂ tinh tá dỹa trản cĂc tẵnh chĐt cừa h m số logarit v bĐt ¯ng thực.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.15 GiÊi phữỡng trẳnh log 3 √ 2 √
CĂch 1: Theo bĐt ¯ng thực Bunhiacổpxki ta cõ:
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm khi v ch¿ khi:
CĂch 2: Theo bĐt ¯ng thực Cổsi ta cõ:
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm khi v ch¿ khi: √ 4 − x = √ x + 5 ⇔ x = − 1 2 l nghiằm duy nhĐt cừa phữỡng trẳnh  cho.
Vẵ dử 2.16 GiÊi phữỡng trẳnh log 2 x + log 3 (x + 1) = log 4 (x + 2) + log 5 (x + 3) (2.49)
Líi gi£i. iãu kiằn º (2.49) cõ nghắa l x > 0 Nhên thĐy x = 2 l nghiằm Náu x > 2 thẳ x
5 hay log 3 (x + 1) > log 5 (x + 3) Suy ra vá trĂi > vá phÊi, phữỡng trẳnh vổ nghiằm.
5 hay log 3 (x + 1) < log 5 (x + 3). Suy ra vá trĂi < vá phÊi, phữỡng trẳnh vổ nghiằm.
Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.49) l x = 2
• Phữỡng phĂp sỷ dửng ành lỵ Lagrange, ành lỵ Roll
- Sỷ dửng ành lỵ Lagrange giÊi phữỡng trẳnh logarit
CĂch giÊi Ta thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau:
Bữợc 1: Gồi α l nghiằm cừa phữỡng trẳnh.
Bữợc 2: Bián ời phữỡng trẳnh vã dÔng thẵch hủp f (a) = f (b) , tứ õ ch¿ ra ữủc h m số f (t) khÊ vi v liản tửc trản [a; b] Khi õ theo ành lỵ Lagrange tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = f (b) − f (a) b − a = 0 (2.50)
Bữợc 3: GiÊi (2.50) ta xĂc ành ữủc α
Vẵ dử 2.17 GiÊi phữỡng trẳnh
Líi gi£i. iãu kiằn º phữỡng trẳnh cõ nghắa l : x > 0 °t u = log 3 x ⇒ x = 3 u Khi õ phữỡng trẳnh (2.51) trð th nh
4 u + 2 u = 2.3 u ⇔ 4 u − 3 u = 3 u − 2 u GiÊ sỷ phữỡng trẳnh ân u n y cõ nghiằm l α , tực l
Tứ (2.52) ta nhên ữủc f (2) = f (3) , f (t) cõ Ôo h m liản tửc trản [2, 3] Theo ành lỵ Lagrange, tỗn tÔi c ∈ [2; 3] sao cho f 0 (c) = 0 Tực l α h (c + 1) α−1 − c α−1 i = 0 ⇔
Thỷ lÔi ta thĐy u = 0 v u = 1 ãu thọa mÂn, nhữ vêy ta ữủc
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 1 v x = 3
- Sỷ dửng ành lỵ Rolle giÊi phữỡng trẳnh logarit
CĂch giÊi ành lỵ Rolle kh¯ng ành rơng náu h m số y = f (x) lỗi ho°c lóm trản miãn D thẳ phữỡng trẳnh f (x) = 0 s³ khổng cõ quĂ hai nghiằm thuởc D
GiÊ sỷ cƯn giÊi phữỡng trẳnh f (x) = 0 (2.53)
Ta thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau:
Bữợc 1: Tẳm têp xĂc ành D cừa phữỡng trẳnh.
Bữợc 2: X²t h m số y = f (x) trản D Sỷ dửng Ôo h m kh¯ng ành rơng h m số y = f (x) lỗi ho°c lóm trản miãn D
Bữợc 3: Vêy phữỡng trẳnh (??) náu cõ nghiằm s³ khổng cõ quĂ hai nghiằm.
Ta c¦n ch¿ ra hai gi¡ trà x 1 , x 2 ∈ D sao cho f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0.
Vẵ dử 2.18 GiÊi phữỡng trẳnh
Líi gi£i. iãu kiằn º phữỡng trẳnh cõ nghắa l : 2x + 1 > 0 ⇔ x > − 1 2
Bián ời phữỡng trẳnh (2.54) vã dÔng
X²t h m số f (t) = t + log 3 t l h m ỗng bián vợi t > 0 Khi õ phữỡng trẳnh (2.55) ữủc viát lÔi dữợi dÔng f (3 x ) = f (1 + 2x) ⇔ 3 x = 1 + 2x ⇔ 3 x − 1 − 2x = 0.
X²t h m số g(x) = 3 x − 1 − 2x , cõ miãn xĂc ành D = (− 1 2 ; +∞) v Ôo h m g 0 (x) = 3 x ln 3 − 2 g 00 (x) = 3 x ln 2 3 > 0, ∀x ∈ D.
Suy ra g(x) l h m lóm trản D Vêy theo ành lỵ Rolle phữỡng trẳnh g(x) = 0 cõ khổng quĂ 2 nghiằm trản D Nhên thĐy rơng g(0) = g(1) = 0 Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm x = 0 v x = 1
Hằ phữỡng trẳnh logarit
Ph²p chuyºn vã hằ Ôi số
DÔng 1: Sỷ dửng phữỡng phĂp ữa vã cũng cỡ số ho°c logarit hõa  biát trong viằc giÊi phữỡng trẳnh logarit º bián ời hằ ban Ưu vã hằ mợi dạ d ng giÊi ữủc.
DÔng 2: Lỹa chồn ân phử º bián ời hằ ban Ưu vã hằ Ôi số Â biát. DÔng 3: ối vợi nhiãu b i toĂn ta cõ thº giÊi bơng cĂch Ănh giĂ tinh tá dỹa trản tẵnh chĐt h m logarit, tam thực bêc hai,
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.19 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc, Cao ¯ng khối A - 2004) GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Lới giÊi iãu kiằn: y − x > 0; y > 0 Khi õ, hằ Â cho tữỡng ữỡng vợi
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm l (x; y) = (3; 4).
Vẵ dử 2.20 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối A - 2009) GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Lới giÊi iãu kiằn: xy > 0 Khi õ, hằ Â cho tữỡng ữỡng vợi
Ta thĐy x = y = 2, x = y = −2 ãu thọa mÂn iãu kiằn Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm (x; y ) = (2; 2) v (x; y) = (−2; −2)
Vẵ dử 2.21 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
X²t phữỡng trẳnh log x y + log y x 3 x = 1, ta câ log x y + log y x 3 x = 1 ⇔ log x y + 1 log x y − 3 = 1. °t t = log x y Thay v o ta ữủc t + 1 t − 3 = 1 ⇔ t 2 − 4t + 4 = 0 ⇔ t = 2.
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm l (x; y) = (3; 9).
Sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số
Phương pháp giải: Sử dụng tĩnh ớn và các phương trình trong hệ phương trình để giải bài toán Ưu điểm của phương pháp này là giúp ta dễ dàng tìm ra nghiệm của hệ phương trình một cách hiệu quả.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 2.22 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Lới giÊi iãu kiằn: x, y > − 1 2 X²t h m số f (x) = t 2 + 3t + ln(2t + 1), t > − 1
Hàm số f(t) = 2t + 3 + 2t² + 1 luôn dương với mọi t > -1/2, cho thấy f là hàm số đồng biến Nếu x ≥ y thì suy ra f(y) ≥ f(x), tức là y ≥ x Do đó, nếu (x; y) là nghiệm của phương trình x² + 2x + ln(2x + 1) = 0, thì ta có x = y Hơn nữa, hàm số này đồng biến tại x = 0.
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt l (x; y ) = (0; 0)
Vẵ dử 2.23 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối D - 2006) Cho hằ phữỡng trẳnh
Chựng minh rơng vợi mồi a hằ cõ nghiằm duy nhĐt.
Nhữ vêy hằ (2.56) cõ nghiằm duy nhĐt khi v ch¿ khi phữỡng trẳnh f (x) = e x+a − e x + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt trản khoÊng (−1; +∞)
Do a > 0 nản f 0 (x) > 0 vợi mồi x > −1 suy ra f (x) l h m ỗng bián khi x > −1 Ta câ x→+∞ lim f (x) = lim x→+∞ e x (e a − 1) + lim x→−∞ ln 1 − x
Nhữ vêy, do tẵnh liản tửc cừa y = f (x) nản suy ra phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt trản khoÊng (−1; +∞) Suy ra iãu phÊi chựng minh.
BĐt ¯ng thực trong lợp h m logarit 38
CĂc dÔng toĂn ữợc lữủng v bĐt ¯ng thực logarit
Vẵ dử 3.1 Cho số dữỡng a XĂc ành h m số f (x) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau:
Ta thĐy rơng f (x) > 0 , ∀x ∈ R Vẳ vêy ta cõ thº logarit hõa hai vá cừa (i) v (ii), ta ữủc
(ii) ln f (x + y) ≥ ln f (x)f (y), ∀x, y ∈ R °t ϕ(x) = ln f (x) , ta ữủc
Ta nhên ữủc b i toĂn mợi Bơng cĂch °t ϕ(x) = g(x) + (ln a)x , ta ữủc cĂc iãu kiằn sau
(ii) g(x + y) ≥ g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R v g(x) ≡ 0 hay ϕ(x) = (ln a)x Suy ra f (x) = a x
Thỷ lÔi: Dạ thĐy h m f (x) = a x thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa b i.
Vẵ dử 3.2 XĂc ành h m số f thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: (i) f (x) ≥ e 2004x , ∀x ∈ R.
Líi gi£i. °t f (x) = e 2004x g(x) Tứ (i) suy ra g(x) ≥ 1 , ∀x ∈ R
Do õ g(x) ≡ 1 ⇒ f (x) ≡ e 2004x Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
Vẵ dử 3.3 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m số f : R → R thọa mÂn f (x + y) ≤ f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ R (3.1) f (x) ln 2016 ≤ 2016 x − 1, ∀x ∈ R (3.2)
Theo giÊ thiát ta cõ
Do lim x→0 2016 x x −1 = ln 2016 nản tứ (3.4) cho n → +∞ ta ữủc f (x) ≤ x, ∀x 6= 0 Kát hủp vợi f (0) = 0 ta ữủc f (x) ≤ x, ∀x ∈ R (3.5)
Vẳ thá f (x) + f (−x) ≤ x + (−x) = 0, ∀x ∈ R Kát hủp vợi (3.3) ta ữủc f (x) + f (−x) = 0, ∀x ∈ R
Do õ vợi mồi x ∈ R ta cõ f (−x) ≤ −x ⇒ −f (x) ≤ −x ⇒ f (x) ≥ x Kát hủp vợi (3.5) suy ra h m số cƯn tẳm l f (x) = x, ∀x ∈ R Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
Hàm số f(x) = log_a x (với a > 1) luôn thỏa mãn bất đẳng thức f(x) ≤ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) cho mọi x, x₀ ∈ R⁺ Để chứng minh điều này, ta xét hàm f(x) = log_a x, với đạo hàm bậc hai f''(x) = -1/(x² ln a) < 0, cho thấy hàm số này là hàm lồi khi a > 1 và x ∈ R⁺.
Do f l h m lóm nản f (x)−f (x 0 ) ≥ (x−x 0 ) f [x 0 + λ(x − x 0 )] − f (x 0 ) λ(x − x 0 ) , ∀x, x 0 ∈ R + , λ ∈ (0, 1). Cho λ → 0 , ta ữủc f (x) − f (x 0 ) ≥ f 0 (x 0 )(x − x 0 ).
Vêy ta cõ bĐt ¯ng thực (3.6) Suy ra iãu phÊi chựng minh. ành lỵ 3.2 H m số f (x) = log a x, 0 < a < 1 luổn thọa mÂn bĐt ¯ng thùc f (x) ≥ f (x 0 ) + f 0 (x 0 )(x − x 0 ), ∀x, x 0 ∈ R + (3.7)
Chứng minh hàm số f(x) = log_a x có đạo hàm f'(x) = x² - 1 với a > 0 và 0 < a < 1 Khi đó, f'(x) tồn tại trên R+ và cần phải chứng minh điều này.
Tứ ành lỵ 3.1 v 3.2 ta thu ữủc cĂc kát quÊ sau.
Hằ quÊ 3.1 Vợi a > 1 v cĂc số dữỡng thọa mÂn iãu kiằn x + y + z = α + β + γ thẳ h m f (x) = log a x luổn thọa mÂn bĐt ¯ng thực f (x) f 0 (α) + f (y) f 0 (β ) + f (z) f 0 (γ) ≤ f (α) f 0 (α) + f (β) f 0 (β) + f (γ ) f 0 (γ)
Hằ quÊ 3.2 Vợi 0 < a < 1v cĂc số dữỡng thọa mÂn iãu kiằn x+y + z = α + β + γ thẳ h m f (x) = log a x luổn thọa mÂn bĐt ¯ng thực f (x) f 0 (α) + f (y) f 0 (β ) + f (z) f 0 (γ) ≥ f (α) f 0 (α) + f (β) f 0 (β) + f (γ ) f 0 (γ)
Vẵ dử 3.4 Cho x, y, z > 1 Chựng minh rơng log x y ≥ log x+z (y + z) vợi 1 < x < y, z ≥ 0.
Líi gi£i. °t A = log x y suy ra A > 1 v y = x A > x > 1.
Vêy log x y ≥ log x+z (y + z), iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.5 Cho x, y > 0 Chựng minh rơng
Líi gi£i. °t u = ln(x + 1) suy ra e u = x + 1 Khi â
X²t h m f (t) = e t − t − 1 cõ f 0 (t) = e t − 1 Ta cõ hai trữớng hủp sau: + Trữớng hủp 1: t ≥ 0 ⇔ f 0 (t) ≥ 0 suy ra h m số ỗng bián trong [0; +∞) do â f (t) ≥ 0
+ Trữớng hủp 2: t ≤ 0 ⇔ f 0 (t) ≤ 0 suy ra h m số nghàch bián trong (−∞; 0] do â f (t) ≥ 0
Kát hủp hai trữớng hủp trản suy ra iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.6 Cho x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng log 2 (xyz) ≤ x + y + z − 3 ln 2
Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng log 2 (xyz) ≤ x + y + z − 3 ln 2
Ta s³ chùng minh ln 2 log 2 x ≤ x − 1.
X²t h m số f (x) = log 2 x cõ f 0 (x) = x ln 2 1 Theo ành lỵ 3.1, vợi x 0 = 1 ta câ log 2 x ≤ 1 ln 2 (x − 1) ⇔ ln 2 log 2 x ≤ x − 1.
T÷ìng tü ta câ ln 2 log 2 y ≤ y − 1. ln 2 log 2 z ≤ z − 1.
Cởng theo vá cĂc bĐt ¯ng thực trản ta ữủc log 2 (xyz) ≤ x + y + z − 3 ln 2 D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1
Vẵ dử 3.7 Cho x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng v x + y + z = 3 2 Chựng minh rơng
Líi gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực AG - AM, ta cõ x + y + z ≥ 3 √ 3 xyz.
Thêt vêy, x²t h m số f (x) = ln(x 2 + 1) cõ f 0 (x) = x 2 2x + 1 Theo giÊ thiát, ta cõ x + y + z = 3 1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 Theo Hằ quÊ 3.1, ta cõ ln(x 2 + 1)
4 + 1 hay ln(x 2 + 1) + ln(y 2 + 1) + ln(z 2 + 1) ≤ 3 ln 5
Cởng theo vá (3.8) v (3.9) ta cõ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh DĐu ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 2
3.1.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit
Mửc n y trẳnh b y mởt số phữỡng phĂp giÊi bĐt ¯ng thực chựa logarit.
Ta câ c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n sau log a u > m, log a u ≥ m, log a u < m, log a u ≤ m.
Ho°c log a u > log a v, log a u ≥ log a v, log a u < log a v, log a u ≤ log a v, log a u > log b u, log a u ≥ log b u, log a u < log b u, log a u ≤ log b u.
• Náu a > 1 thẳ: log a x > m ⇔ x > a m log a x ≥ m ⇔ x ≥ a m log a x < m ⇔ 0 < x < a m log a x ≤ m ⇔ 0 < x ≤ a m
• Náu 0 < a < 1 thẳ: log a x > m ⇔ 0 < x < a m log a x ≥ m ⇔ 0 < x ≤ a m log a x < m ⇔ x > a m log a x ≤ m ⇔ x ≥ a m
• Phữỡng phĂp ữa vã cũng cỡ số v mụ hõa
Để giải phương trình logarithm, chúng ta có thể biến đổi nó thành dạng số mũ và bắt đầu phương trình Dưới đây là các phép biến đổi cần thiết.
0 < f (x) < a b Chú ỵ: ối vợi ba dÔng trản khi thay dĐu " " bơng dĐu " ≤, ≥ " thẳ c¡ch gi£i t÷ìng tü.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 3.8 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối B - 2008) GiÊi bĐt phữỡng trẳnh log 0.7 log 6 x 2 + x x + 4
Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm (−4; −3) ∪ (8; +∞)
Vẵ dử 3.9 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối A - 2007) GiÊi bĐt phữỡng trẳnh
Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ∈ 3 4 ; 3
Phương pháp giải quyết bài toán này liên quan đến việc chuyển các biểu thức toán học cho bất phương trình Đầu tiên, ta cần lưu ý những biểu thức khi lựa chọn ẩn cho một biểu thức, các biểu thức còn lại thường không biểu diễn được rõ ràng qua ẩn Khi đó, ta có thể sử dụng phương trình để giải thích "chữa ẩn cho những hàm số văn chữa x" Trong trường hợp này, ta thường gặp một phương trình bên trái theo ẩn (hoặc văn theo ẩn x) với số ∆ là một số chính phương.
Phữỡng phĂp 2: Dũng ân phử chuyºn bĐt phữỡng trẳnh logarit th nh hằ bĐt phữỡng trẳnh vợi hai ân phử.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 3.10 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh sau log 4 2 (x) − log 2 1
Líi gi£i. iãu kiằn: x > 0 Ta thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sau:
= [− log 2 (x)] 2 = log 2 2 (x). Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
(3.13) ⇔ log 4 2 (x) − [log 2 x 3 − log 2 8] 2 + 9[log 2 32 − log 2 x 2 ] < 4 log 2 2 (x)
⇔ log 4 2 (x) − [3 log 2 x − 3] 2 + 9[5 − 2 log 2 x] < 4 log 2 2 (x). °t t = log 2 x, ta ữủc t 4 − (3t − 3) 2 + 9(5 − 2t) < 4t 2 ⇔ t 4 − 13t 2 + 36 < 0 ⇔ 4 < t 2 < 9
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ∈ 1 8 ; 1 4 ∪ (4; 8)
Vẵ dử 3.11 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối B - 2006) GiÊi bĐt phữỡng trẳnh log 5 (4 x + 144) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 (2 x−2 + 1) (3.14)
Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ∈ (2; 4)
Vẵ dử 3.12 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh log 2 3 x − log 2 (8x) log 3 x + log 2 x 3 < 0 (3.15)
Líi gi£i. iãu kiằn: x > 0 Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
(3.15) ⇔ log 2 3 x − (3 + log 2 x) log 3 x + 3 log 2 x < 0. °t t = log 3 x khi õ bĐt phữỡng trẳnh cõ dÔng f (t) = t 2 − (3 + log 2 x)t + 3 log 2 x < 0.
Ta câ: 4 = (3 + log 2 x) 2 − 12 log 2 x = (3 − log 2 x) 2 Do â f (t) = 0 câ nghiằm:
" t = 3 t = log 2 x Khi õ, f (t) tữỡng ữỡng vợi
( log 3 x − 3 > 0 log 3 x − log 2 x < 0 ( log 3 x − 3 < 0 log 3 x − log 2 x > 0
( log 3 x > 3 log 3 x < log 2 x ( log 3 x < 3 log 3 x > log 2 x
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ∈ (0; 1) ∪ (27; +∞)
Vẵ dử 3.13 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh p log 2 x 3 − 2 ≥ log 2 x.
Líi gi£i. iãu kiằn x > 0 Ta °t
Khi õ bĐt phữỡng trẳnh ữủc chuyºn th nh hằ
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ∈ [2; 4]
X²t h m số y = f (x) cõ têp xĂc ành D Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số f l ỡn iằu.
+ Náu h m số f ỗng bián trản D thẳ f (x) ≥ f (k) ⇔ x ≥ k
+ Náu h m số f nghàch bián trản D thẳ f (x) ≥ f (k) ⇔ x ≤ k
X²t h m số y = f (x) cõ têp xĂc ành D Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số f l ỡn iằu.
+ Náu h m số f ỗng bián trản D thẳ f (u) ≥ f (v) ⇔ u ≥ v
+ Náu h m số f nghàch bián trản D thẳ f (u) ≥ f (v) ⇔ u ≤ v
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 3.14 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh
Líi gi£i. iãu kiằn x > 0, x 6= 1 Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng
Khi x > 1 thẳ f 0 (x) > 0 nản f (x) ỗng bián: x > 1 suy ra f (x) > f (1) = 0
Tữỡng tỹ, khi 0 < x < 1 thẳ f 0 (x) < 0 nản f (x) nghàch bián: x > 1 suy ra f (x) < f (1) = 0 Do â (x − 1)f (x) > 0
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm vợi mồi x > 0, x 6= 1
Vẵ dử 3.15 Tẳm iãu kiằn cừa m º bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm x 2 − (m + 3)x + 3m < (m − x) log 2 x.
Bián ời tữỡng ữỡng bĐt phữỡng trẳnh vã dÔng x 2 − (m + 3)x + 3m < (m − 2) log 2 x
X²t h m sè f (x) = x − 3 + log 2 x, x > 0 Ta câ f 0 (x) = 1 + x ln 2 1 > 0 nản h m số ỗng bián trản (0; +∞) v f (2) = 0
Khi õ, bĐt phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng
Vêy iãu kiằn º bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm l m 6= 2
• Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡
CĂch giÊi ối vợi nhiãu b i toĂn vã bĐt phữỡng trẳnh, ta cõ thº giÊi bơng cĂch Ănh giĂ tinh tá dỹa trản:
• CĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn nhữ: cổsi, bunhiacopxki,
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 3.16 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh log 2 (1 + 2 x ) > log 3 3 x + ( √
Do â, ta câ log 2 (2 x + 1) > log 3 (2 x + 1) > log 3 3 x + ( √
Vêy têp nghiằm cừa bĐt phữỡng trẳnh S = R
Vẵ dử 3.17 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh log 2 ( √ x − 2 + 4) ≤ log 3 ( 1
Khi õ bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm khi v ch¿ khi (
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 2
Mởt số tẵnh toĂn khĂc liản quan
3.2.1 B i toĂn cỹc trà liản quan án h m logarit
Vẵ dử 3.18 Cho ba số khổng Ơm x, y, z thọa mÂn x + y + z = 3 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Tứ giÊ thiát suy ra
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ
Ta cõ f 0 (t) = 0 cõ mởt nghiằm t = 1 Lêp bÊng bián thiản, ta ữủc:
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P = 3 + ln 4 3 Ôt ữủc khi x = y = z = 1
Vẵ dử 3.19 Cho số thỹc x, y, z thọa mÂn x, y, z ≥ 1 2 v x + y + z = 2 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Líi gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực AM - GM, ta cõ
3 x+y+z hay x ln x + y ln y + z ln z ≥ (x + y + z) ln x + y + z
Thêt vêy, x²t h m số f (x) = x ln x ta cõ f 0 (x) = ln x + 1 , f 00 (x) = 1 x > 0
Theo b§t ¯ng thùc Jensen, ta câ f (x) + f (y) + f (z) ≥ 3f x + y + z
Vêy, bĐt ¯ng thực (3.16) úng, do õ x x y y z z ≥ x + y + z
DĐu ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi x = y = z = 2 3 Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cõa S l 3 2 3
Vẵ dử 3.20 Chựng minh rơng
Ró r ng f (t) > 0 vợi t > 0 v f (t) = 0 khi t = 0 Khi õ, vợi 0 < x ta cõ
Vợi x = 0 bĐt ¯ng thực trð th nh ¯ng thực Suy ra iãu phÊi chựng minh.
Dưới đây là một số ví dụ và phương pháp tách phân trong bất động sản thực logarithm Chúng ta thường dùng các kết quả sau đây Xét hàm số y = f(x) liên tục, không âm, định nghĩa trên khoảng [0, c) với c > 0 Gọi f^{-1}(x) là hàm ngược của nó Khi đó, với mọi a ∈ [0, c) và b ∈ [f(0), f(c)), ta có
D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi b = f (a)
Vẵ dử 3.21 Cho h m số f (x) liản tửc v ỗng bián trản [0; b] v a ∈ [0; b] Chựng minh rơng b
BĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi
Do f (x) nghàch bián trản [0; a] v [a; b] nản
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
Vẵ dử 3.22 Cho 0 < a < b Chựng minh rơng a − b a < ln a b < a − b b
Ta cõ nhên x²t: vợi mồi a ∈ (a, b) thẳ a 1 > x 1 > 1 b nản
Vẵ dử 3.23 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực f (x) = (3 + 2 ln 2)x − 2 x+1 − ln 2.x 2 , x ∈ [0; 2].
Ta cõ g(t) = 2 t + t l h m liản tửc v ỗng bián trản [0; 2] , nản theo vẵ dử 3.21, ta câ
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa f (x) bơng −2 khi x = 0, x = 2
Vẵ dử 3.24 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số f (x) = √
Ta thĐy g(t) = −t 4 + t + 1 1 l h m liản tửc v nghàch bián vợi mồi t ∈
Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa f (x) bơng 0 khi x = 0 ho°c x = √ 2
Vẵ dử 3.25 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Líi gi£i. °t e b = a , suy ra ab = e v a ≥ 1 H m số f (x) = e x liản tửc, khổng Ơm v ỡn iằu tông trản (0, +∞) cõ f (0) = 1 v cõ h m ngữủc l y = ln x , nản theo ành lỵ 3.3, ta cõ
D§u ¯ng thùc x£y ra khi b = f (a) hay b = e a , khi â ta câ a = 1, b = e Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực A bơng e khi b = e
3.2.2 BĐt ¯ng thực trong dÂy số v giợi hÔn
Trong phƯn n y ta s³ sỷ dửng thảm mởt số ành lỵ sau. ành lỵ 3.4 (ành lỵ vã sỹ hởi tử cừa dÂy ỡn iằu bà ch°n).
1 Náu dÂy {a n } +∞ n=1 ỡn iằu tông v bà ch°n trản thẳ cõ giợi hÔn n→+∞ lim a n = sup a n
2 Náu dÂy {a n } +∞ n=1 ỡn iằu giÊm v bà ch°n dữợi thẳ cõ giợi hÔn n→+∞ lim a n = inf a n ành lỵ 3.5 (ành lỵ kàp vã giợi hÔn cừa dÂy số) Cho ba dÂy số {a n } +∞ n=1, {b n } +∞ n=1 , {c n } +∞ n=1 Náu vợi mồi n ∈ N + m a n ≤ b n ≤ c n v n→+∞ lim a n = lim n→+∞ c n = L (L ∈ R ) thẳ n→+∞ lim b n = L.
Vẵ dử 3.26 Chựng minh bĐt ¯ng thực sau ln(x + 1) ≤ x, ∀x ≥ 0.
X²t h m sè f (x) = ln(x + 1) − x, ∀x ≥ 0 Ta câ f 0 (x) = 1 x + 1 − 1 = −x x + 1 ≤ 0 nản Ơy l h m nghàch bián Suy ra f (x) ≤ f (0) = ln 1 − 0 = 0
Tứ Ơy dạ d ng suy ra ln(x + 1) ≤ x, ∀x ≥ 0 ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi x = 0 nản ln(x + 1) < x, ∀x > 0
BĐt ¯ng thực trong vẵ dử trản ữủc Ăp dửng cho cĂc vẵ dử sau n y.
Vẵ dử 3.27 Chựng minh rơng dÂy a n = 1 + 1
2 + ã ã ã + 1 n − ln n, n ∈ N cõ giợi hÔn hỳu hÔn.
Ta câ b§t ¯ng thùc sau x x + 1 < ln(x + 1) < x, ∀x > 0 (3.17)
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực (3.17), ta ữủc a n+1 − a n = 1 n + 1 − ln(n + 1) + ln n = 1 n + 1 − ln
Do õ dÂy (a n ) l dÂy giÊm Ta chựng minh dÂy (a n ) bà ch°n dữợi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực bản phÊi cừa (3.17), ta cõ a n > ln(1 + 1) + ln
Khi õ, theo nguyản lỵ Weierstrass dÂy (a n ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn Ta kẵ hiằu giợi hÔn õ l C °t a n − C = γ n , n ∈ N Hiºn nhiản γ n → ∞ Tứ â, ta câ
Số C ữủc gồi l hơng số èle.
Vẵ dử 3.28 (ã thi HSG t¿nh Ninh Bẳnh, vỏng 2 nôm hồc 2011 - 2012).
Chựng minh dÂy {x n } xĂc ành bði cổng thực u n = P n k=1 1 k − ln n cõ giợi h¤n húu h¤n.
Ta x²t hiằu sau u n+1 − u n = 1 n + 1 − ln(n + 1) + ln n
Suy ra dÂy  cho ỡn iằu giÊm.
[ln(k + 1) − ln k] − ln n = ln n + 1 n > 0 nản dÂy n y bà ch°n dữợi.
DÂy  cho giÊm v bà ch°n dữợi nản cõ giợi hÔn hỳu hÔn Ta cõ iãu phÊi chùng minh.
Vẵ dử 3.29 Cho số thỹc a v dÂy số thỹc {x n } xĂc ành bði x 1 = a, x n+1 = ln(3 + cos x n + sin x n ) − 2020, ∀n = 0, 1, 2,
Chựng minh rơng dÂy số {x n } cõ giợi hÔn hỳu hÔn khi n tián án dữỡng vổ cũng.
Líi gi£i. °t f (x) = ln(3 + cos x + sin x) − 2020, ta câ f 0 (x) = cos x − sin x
Ta sỷ dửng Ănh giĂ |cos x − sin x| ≤ √ 2 , |sin x + cos x| ≤ √ 2 ta suy ra
X²t h m số g(x) = f (x) − x , khi õ g(x) l h m số xĂc ành v liản tửc trản R Hỡn nỳa g 0 (x) = f 0 (x) − 1 < 0, ∀x ∈ R Ta lÔi cõ g(0) =f (0) = ln 4 − 2020 < 0, g(−2020) = ln(3 + cos(−2020) + sin(−2020))
Suy ra g(0).g(−2020) < 0 cho thấy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm duy nhất trong khoảng (-2020; 0) Từ đó, tồn tại l ∈ (-2020; 0) sao cho f(l) = l Áp dụng định lý tồn tại của Lagrange cho x, y ∈ R, ta có hàm f(x) liên tục trên R, từ đó tồn tại z thuộc R sao cho f(x) − f(y) = f'(z)(x − y).
Do q n−1 → 0 khi n → +∞ Theo nguyản lỵ kàp khi n → +∞ , dÂy  cho cõ giợi hÔn l l Suy ra iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.30 (VMO 1998) Cho a ≥ 1 l mởt số thỹc v ành nghắa dÂy a 1 , x 2 , nh÷ sau: x 1 = a v x n+1 = 1 + log x n (x 2 n + 3) 3x 2 n + 1
Chựng minh rơng dÂy trản cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẵnh giợi hÔn õ.
3x 2 + 1 ≥ 1, theo mởt cĂch quy nÔp ta cõ mồi phƯn tỷ cừa dÂy ãu lợn hỡn ho°c bơng
Để giải bất đẳng thức 3x² + 1 ≥ 1 + log x ≤ x, ta cần xác định miền giá trị của x sao cho thỏa mãn điều kiện này Đầu tiên, ta có x = 1 + log x, từ đó suy ra rằng x phải lớn hơn hoặc bằng 1 Bất đẳng thức (3.18) yêu cầu x phải nằm trong khoảng giá trị nhất định, và việc xác định các giới hạn này sẽ giúp ta tìm ra miền nghiệm phù hợp cho x.
3.2.3 Ùng dửng h m lỗi, h m logarit trong chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực Trong bĐt ¯ng thực thẳ lợp bĐt ¯ng thực kinh iºn õng vai trỏ quan trồng, l cỡ sð º chựng minh rĐt nhiãu cĂc bĐt ¯ng thực khĂc Sau Ơy l mởt lợp cĂc bĐt ¯ng thực kinh iºn ữủc chựng minh theo phữỡng phĂp h m lỗi. ành lþ 3.6 (B§t ¯ng thùc Mincopxki) Cho hai d¢y sè a 1 , a 2 , , a n v b 1 , b 2 , , b n thọa mÂn a i > 0, b i > 0, i = 1, n Chựng minh rơng
Chùng minh X²t h m sè f (x) = ln(1 + e x ) Ta câ f 0 (x) = 1 + e x e x suy ra f 0 (x) = e x
(1 + e x ) 2 > 0 vợi mồi x ∈ R Suy ra f (x) l h m lỗi trản R. p dửng bĐt ¯ng thực Jensen vợi x i = ln a b i i ta câ ln 1 + e ln b 1 a 1 +ln b 2 a 2 +ããã+ln bn an n
Định lý Bất Đẳng Thức Young phát biểu rằng, với hai số dương a và b cùng với p > 0 và q > 0 sao cho 1/p + 1/q = 1, ta có bất đẳng thức ab ≤ a^p/p + b^q/q Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của logarithm, cụ thể là nếu ln(b1/a1) = ln(b2/a2) = = ln(bn/an), thì b1/a1 = b2/a2 = = bn/an.
Chựng minh BĐt ¯ng thực hiºn nhiản úng khi a = 0 ho°c b = 0 GiÊ sỷ a > 0, b > 0 X²t h m số f (x) = e x suy ra f 00 (x) = e x > 0 vợi mồi x ∈ R. Suy ra f (x) lỗi trản R Ta cõ f
≤ 1 p f (ln a p ) + 1 q f (ln b q ) hay f (ln a + ln b) ≤ 1 p f (p ln a) + 1 q f (q ln b) hay e ln ab ≤ 1 p e p ln a + 1 q e q ln b
Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh. ành lỵ 3.8 Cho x 1 , x 2 , , x n > 0 Ta x²t cĂc Ôi lữủng sau m a = x 1 + x 2 + ã ã ã + x n n ; m g = √ n x 1 x 2 x n ; m q = n s x 2 1 + x 2 2 + ã ã ã + a 2 n n ; m h = n
, trong õ m a , m g , m q , m h tữỡng ựng gồi l trung bẳnh cởng, trung bẳnh nhƠn, trung bẳnh to n phữỡng v trung bẳnh iãu hỏa cừa cĂc số x 1 , x 2 , , x n Khi â, ta câ m h ≤ m g ≤ m a ≤ m q
Ta cõ f 0 (x) > 0, ∀x Do õ f (x) l h m lỗi trản to n trửc số p dửng bĐt ¯ng thực Jensen (chồn λ 1 = λ 2 = = λ n = n 1 ), ta cõ f x 1 + x 2 + ã ã ã + x n n
Ta cõ f 0 (x) = − 1 x suy ra f 00 (x) = x 1 2 , vợi mồi x > 0 Vêy f (x) l h m lỗi khi x > 0 Theo b§t ¯ng thùc Jensen ta câ f x 1 + x 2 + ã ã ã + x n n
1 n (3.20) p dửng tẵnh ỗng bián cừa h m số y = ln x vợi x > 0 , tứ (3.20) suy ra n 1 x 1 + 1 x 2 + ã ã ã + 1 x n
≤ √ n x 1 x 2 x n ⇒ m h ≤ m g (3.21) Theo bĐt ¯ng thực Cauchy thẳ m g ≤ m a (3.22)
Tứ (3.19), (3.21) v (3.22) ta cõ m h ≤ m g ≤ m a ≤ m q Suy ra iãu phÊi chùng minh.
Ngo i ra, ta cỏn Ăp dửng h m lỗi chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực Ôi số.
Ta cõ cĂc vẵ dử sau.
Vẵ dử 3.31 (ã thi tuyºn sinh Ôi hồc khối B - 2005) Chựng minh rơng vợi mồi x ∈ R , ta cõ
X²t h m số f (x) = − ln x Khi õ f (x) l h m lỗi trản (0; +∞) Ta cõ
Ta chồn a 1 = 12 5 x ; a 2 = 15 4 x Khi õ, ta cõ
Tr÷ìng tü ta câ
Cởng vá theo vá cĂc bĐt ¯ng thực trong (3.23) v (3.23), ta cõ iãu phÊi chùng minh.
Vẵ dử 3.32 (Canada MO 2002) Chựng minh rơng a 3 bc + b 3 ca + c 3 ab ≥ a + b + c, ∀a, b, c > 0.
X²t h m số f (x) = − ln x Khi õ f (x) l h m lỗi trản khoÊng (0; +∞)
Ta chồn a 1 = a bc 3 ; a 2 = b; a 3 = c Ta cõ
T÷ìng tü ta câ b 3 ac + a + c ≥ 3b; c 3 ab + a + b ≥ 3c (3.26)
Tứ (3.25) v (3.26), suy ra a 3 bc + b 3 ca + c 3 ab ≥ a + b + c.
Vẵ dử 3.33 Cho 0 < a < 1, 0 < b < 1 v a + b = 1 Chựng minh rơng a a + b b ≥ √
X²t h m số f (x) = x x , 0 < x < 1 Ró r ng f (x) l h m liản tửc trản
Tứ (3.27) suy ra f 00 (x) > 0, 0 < x < 1 Do õ f (x) l h m lỗi trản (0, 1) M°t kh¡c, ta câ a a + b b = a a + (1 − a) 1−a = f (a) + f (1 − a) (3.28) p dửng bĐt ¯ng thực Jensen vợi h m lỗi f (x) trản (0, 1) , ta cõ f (a) + f (1 − a)
Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.34 Cho a 1 , a 2 , , a n > 0 Chựng minh rơng a a 1 1 a a 2 2 a a n n ≥ a 1 + a 1 + ã ã ã + a 1 n a 1 +a 2 +ããã+a n
X²t h m sè f (x) = x ln x , ta câ f 0 (x) = ln x + 1 suy ra f 00 (x) = x 1 > 0 , vợi mồi x > 0 Suy ra f (x) lỗi trản (0, +∞) p dửng bĐt ¯ng thực Jensen cho hai bở số a 1 , a 2 , , a n v n số n 1 ta ữủc f a 1 + a 2 + ã ã ã + a n n
Hay a 1 + a 2 + ã ã ã + a n n ln a 1 + a 2 + ã ã ã + a n n ≤ 1 n (a 1 ln a 1 + ã ã ã + a n ln a n ). iãu n y tữỡng ữỡng vợi ln a 1 + a 2 + ã ã ã + a n n a 1 +a 2 +ããã+a n
≤ a a 1 1 a a 2 2 a a n n BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
Luên vôn ¯ng thực v bĐt ¯ng thực trong lợp h m logarit  trẳnh b y nhỳng vĐn ã sau:
1 Hằ thống mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m logarit; h m tuƯn ho n v phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh v mởt số ành lẵ liản quan án lợp h m lỗi v h m lỗi logarit.
2 Tiáp theo, trẳnh b y cĂc phữỡng phĂp thiát lêp cĂc ¯ng thực thổng qua phữỡng trẳnh h m v x²t mởt số phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit liản quan.
3 Cuối cũng, luên vôn trẳnh b y cĂc dÔng toĂn ữợc lữủng v phữỡng phĂp chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực chựa h m logarit X²t mởt số dÔng toĂn liản quan án h m logarit nhữ b i toĂn cỹc trà, bĐt ¯ng thực trong dÂy số v giợi hÔn cõ ựng dửng h m lỗi logarit.
Tuy nhiên, với thời gian nghiên cứu và khối lượng công việc lớn, nhiều người vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu các bài toán liên quan đến hàm logarit và áp dụng vào một số bài toán và dây số Luôn luôn khuyến khích các giáo viên, cổ giáo và các bậc phụ huynh đóng góp ý kiến để cải thiện nội dung giảng dạy Xin chân thành cảm ơn!