®¹i häc th¸I nguyªn Trêng ®¹i häc khoa häc PH¹M QUANG NGäC øNG DôNG §ÞNH THøC Vµ MA TRËN VµO VIÖC GI¶I QUYÕT LíP C¸C BµI TO¸N CHøNG MINH §¼NG THøC Vµ BÊT §¼NG THøC LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguy[.]
Ma trận, tính chất và các phép toán
Các định nghĩa
Ma trận A cấp m×n là một bảng m hàng ( hay dòng ), n cột được viết cố định như sau:
Nếu m = n thì ta nói A là ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (a ij ) n
Ma trận A t = (a ji ) n×m thu được từ ma trận A= (a ij ) m×n bằng cách chuyển dòng thành cột, cột thành dòng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu a ij =a ji ,∀i, j = 1, n.
Ma trận vuông A gọi là ma trận phản đối xứng nếu a ij =−a ji ,∀i, j = 1, n.
Ma trận vuông A được xem là ma trận đơn vị khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, trong khi các phần tử khác đều bằng 0, và được ký hiệu là I_n.
Tính chất và các phép toán
i) Phép nhân ma trận với một số
Tích của ma trận A với một số k là một ma trận B = k.A được xác định như sau:
ka 11 ka 12 ka 1n ka 21 ka 22 ka 2n ka m1 ka m2 ka mn
ii) Phép cộng ma trận
Tổng của hai ma trận A= (a ij ) m×n và B = (b ij ) m×n là một ma trận C = (c ij ) m×n với c ij =a ij +b ij ,∀i= 1, m,∀j = 1, n.
Hiển nhiên ta cũng thấy phép cộng hai ma trận cũng có tính giao hoán và kết hợp Tính giao hoán: A + B = B + A.
Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. iii) Phép nhân các ma trận
Tích của hai ma trậnA = (a ik ) m×n vàB = (b kj ) n×p là một ma trận C = (c ij ) m×p được định nghĩa như sau:
Ta chú ý phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện được nếu số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B.
Phép nhân ma trận nói chung không có tính chất giao hoán Tức là A.B 6=B.A. Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C =A.(B.C).
Ma trận vuôngA = (a ij ) n được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông
Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A.A t =I n
Tập hợp các ma trận vuông cấp n, cùng với phép cộng và nhân ma trận, tạo thành một vành không giao hoán với phần tử không là ma trận O và phần tử đơn vị là ma trận đơn vị I n Khi thêm phép nhân vô hướng, tập hợp này trở thành một đại số trên trường K, ký hiệu là Mat(n, K), trong đó K có thể là trường R hoặc C.
Định thức của ma trận vuông
Các định nghĩa và tính chất
Định thức của ma trận vuông A= (a ij ) n là một số kí hiệu là det(A)hoặc |A|được xác định như sau: det (A) a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn
Từ định nghĩa, ta có thể rút ra rằng nếu một cột (hoặc hàng) của định thức có nhân tử chung, thì chúng ta có thể đưa nhân tử chung đó ra ngoài.
Ví dụ: a 11 pa 1i +qb 1i a 1n a 21 pa 2i +qb 2i a 2n
. a m1 pa mi +qb mi a mn
Để hiểu rõ về định thức, ta cần lưu ý một số quy tắc quan trọng Đầu tiên, việc đổi chỗ hai cột của định thức sẽ không làm thay đổi dấu của định thức Thứ hai, nếu một cột của định thức bằng 0, hoặc có hai cột bằng nhau, hoặc một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại, thì định thức sẽ bằng 0 Thêm vào đó, khi cộng thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột khác, định thức cũng không thay đổi Đặc biệt, định thức của ma trận đơn vị I_n luôn bằng 1, và định thức của tích hai ma trận A và B sẽ bằng tích của định thức của từng ma trận, tức là det(A.B) = det(A).det(B) Cuối cùng, ma trận A được coi là khả nghịch khi và chỉ khi det(A) khác 0, và định thức của ma trận A luôn bằng định thức của ma trận chuyển vị A^t.
Định lý 1(Laplace)
Cho A = (a ij ) n với các số nguyên 1⩽ q < n,1 ⩽i 1 < < i q ⩽ n, 1⩽ j 1 < < j q ⩽n Gọi ∆ j i 1 j q
1 i q (A) là định thức của ma trận cấp q tạo bởi các phần tử ở giao các dòng i 1 , , i q , với các cột j 1 , , j q Còn ∆e j i 1 1 i j q q (A) là định thức của ma trận còn lại từ
A sau khi xóa đi các dòng i 1 , , i q , và các cộtj 1 , , j q nhân với (−1) i 1 + +i q +j 1 + +j q và được gọi là định thức con bù của ∆ j i 1 1 i j q q (A) Ta gọi (∆e j i 1 1 i j q q (A) là phần bù đại số của
Giả sử đã chọn q dòng và q cột trong một định thức cấp n (1 ⩽ q < n), thì định thức đó có thể được tính bằng tổng của tất cả các định thức con cấp q được lấy từ các dòng và cột đã chọn, cùng với phần bù đại số của chúng.
(i) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q dòng i 1 , , i q : detA= X
(ii) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q cột j 1 , , j q : detA= X
P j=1 a ij a ∼ ij (ở đây a ∼ ij là phần bù đại số của a ij ) Ta nói đây là công thức khai triển 1 định thức theo 1 dòng ( hoặc 1 cột ) nào đó
Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa 2.Đa thức P λ (A) = det (A−λI n ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Hiển nhiên P λ (A) là đa thức biến λ bậc n và ta có:
Đặc trưng của ma trận A được xác định bởi đa thức P λ (A) = (−1) n λ n + (−1) n−1 b 1 λ n−1 + + b n, trong đó b k là tổng của các định thức con chính cấp k của ma trận A với k = 1, n Nghiệm của phương trình P λ (A) = 0 được gọi là giá trị riêng của ma trận A Một véc tơ x = (x 1 , x 2 , , x n ) khác không thuộc K n được gọi là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ của ma trận A nếu thỏa mãn A[x] = λ[x].
Ma trận đối xứng và dạng toàn phương
Ma trận đối xứng và các tính chất
Tính chất 1 Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng A trên trường số thực đều là thực
Chứng minh Giả sử a+bi là một nghiệm của phương trình |A−λI|= 0 Khi đó
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số thực có ma trận hệ số A−ai−ibI luôn có một nghiệm không tầm thường, được biểu diễn dưới dạng u + iv = (u1 + iv1, , un + ivn) và khác 0.
(A−aI −ibI) [u+iv] = 0 nên tách riêng phần thực phần ảo ta được
VìA đối xứng nênA−aI cũng đối xứng nên ta có((A−aI)u|v) = (u|(A−aI)v) ((A−aI)v|u) Trừ vế với hai đẳng thức trên ta có b |u| 2 +|v| 2
= 0. Đẳng thức này cho ta b= 0,vì |u| 2 +|v| 2 6= 0.
Một ma trận đối xứng cấp n có đúng n giá trị riêng, kể cả số lần bội, do phương trình đại số bậc n với hệ số thực |A−λI|= 0 Điều này chứng minh rằng mọi ma trận đối xứng A đều có khả năng chéo hóa, tức là tồn tại một ma trận trực giao T sao cho T ∗ AT = T −1 AT là ma trận chéo.
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp của A.
Với n= 1 kết quả là hiển nhiên.
Giả sử định lý đúng với mọi ma trận đối xứng cấp n−1, với n ⩾ 2 Xét ma trận A = (a ij ) n đối xứng cấp n, theo tính chất 1, ma trận A có một giá trị riêng λ 1 Chọn véc tơ riêng e 1 tương ứng với giá trị riêng λ 1 sao cho |e 1 | = 1.
Để tạo ra một cơ sở của R^n, ta bổ sung các véc tơ v_2, , v_n vào véc tơ v_1, sau đó thực hiện quá trình trực giao hóa và trực chuẩn hóa, từ đó thu được một cơ sở trực chuẩn E = {e_1, e_2, , e_n} Ma trận B đại diện cho phép biến đổi tuyến tính A đối với cơ sở E.
Với S là ma trận có các véc tơ cột là e1, e2, , en Bởi vì ma trận S trực giao nên
Nghĩa là B đối xứng Do Ae 1 =λ 1 e 1 nên cột thứ nhất của B là λ 1 ,0, ,0 Vì B đối xứng nên dòng thứ nhất của B cũng như vậy Từ đó
là ma trận đối xứng cấp n−1 Theo giả thuyết quy nạp , tồn tại ma trận trực giao cấp n−1
là một ma trận chéo Đặt
, dễ thấyT1 trực giao và
T 1 ∗ S ∗ AST 1 =D λ Đặt T =ST 1 Vì S, T 1 trực giao nên T trực giao và
Suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 3 Cho A là ma trận đối xứng cấp n Khi đó trong R n tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm những véc tơ riêng của A.
Chứng minh Theo tính chất 2
Ma trận A có thể được chéo hóa dưới dạng AT = T D λ, trong đó T là ma trận trực giao và D λ là ma trận chéo Các véc tơ cột của T, ký hiệu là E = {e 1, e 2, , e n}, là các véc tơ riêng của A, thỏa mãn điều kiện Ae i = λ i e i với i = 1, , n Vì A là ma trận đối xứng, nên nó có m véc tơ riêng độc lập cho mỗi giá trị riêng bội m Khi chọn m véc tơ riêng độc lập tương ứng với giá trị riêng λ 0 và trực chuẩn hóa chúng, ta thu được một hệ m véc tơ trực chuẩn cũng là véc tơ riêng của λ 0 Bằng cách lặp lại quy trình này cho tất cả các giá trị riêng, ta xây dựng được hệ n véc tơ E = {e 1, e 2, , e n}, tạo thành một cơ sở trực chuẩn của R n Ma trận T, với các véc tơ của E là các cột, sẽ là ma trận trực giao.
trong đó λ i là các giá trị riêng của véc tơ riêng e i Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Dạng toàn phương
Dạng toàn phương P i,j=1 a ij x i x j được xác định khi ma trận A = (a ij) n là ma trận đối xứng Trong trường hợp này, ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương Khi áp dụng tích vô hướng, dạng toàn phương Q(x) có thể được biểu diễn dưới dạng Q(x) = (x, Ax).
Q(x) được gọi là xác định nếu Q(x) = 0 khi và chỉ khi x= 0
Q(x) được gọi là xác định dương nếu Q(x)>0,∀x6= 0. Định lý 2 (Sylvestrer)
Cho Q(x) là dạng toàn phương xác định trên R và A là ma trận của Q(x).
Q(x) xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính ∆ m của A là dương m= 1, n
Q(x) xác định âm khi và chỉ khi mọi định thức con chính cấp chẵn của A dương, cấp lẻ của A là âm.
Nếu mọi ∆ m 6= 0 thì ta sé có một cơ sở để trong cơ sở đó
Do đó nếu ∆ m >0 thì Q(x) sẽ xác định dương, nếu ∆ 1 0, ,(−1) n ∆ n >0 thì Q(x) sẽ xác định âm.
Ngược lại nếu Q(x) xác định dương ( hoặc âm ), xét định thức con chính cấp m
Gọi X m là các véc tơ con của X sinh bởi các véc tơ cơ sở e 1 , e 2 , , e m Khi đó
Q m (x) = Q(x), với x thuộc X m, là một dạng toàn phương có thể xác định dương hoặc âm Khi xem xét một cơ sở mới trong X m, Q(x) sẽ có dạng chính tắc, và ma trận của Q(x) trong cơ sở này sẽ được thể hiện theo một cấu trúc cụ thể.
Nếu gọi T là ma trận chuyển từ cở sở e 1 , e 2 , , e m sang cơ sở chính tắc thì ta có b 1 b 2 b m = ∆ m |T| 2
Nếu Q(x) xác định dương, thì mọi b_j > 0 dẫn đến ∆m > 0 Ngược lại, nếu Q(x) xác định âm, thì mọi b_j < 0, với ∆m > 0 nếu m chẵn và ∆m < 0 nếu m lẻ Định nghĩa 6 khẳng định rằng nếu Q(x) xác định dương, thì A, ma trận tương ứng, được gọi là ma trận xác định dương Theo Định lý 3, mọi giá trị riêng của ma trận A xác định dương đều dương Chứng minh cho điều này bắt đầu bằng việc xem xét đa thức đặc trưng của A.
Giả sử tồn tại một nghiệm củaPλ(A) = 0 thỏa mónλ⩽0.Khi đú đặtà=−λ ta cú :
Do A xỏc định dương nờn cỏc bi >0,∀i= 1, n và à=−λ⩾0. suy ra: à n +b 1 à n−1 + +bn−1à+b n > 0 mõu thuẫn với (1), ta cú điều phải chứng minh.
Chúng ta công nhận mà không chứng minh hai định lí sau: Định lý 4.Mọi dạng toàn phương Q(x)xác định trên R ta đưa về dạng chính tắc sau:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức X i=1 λiy 2 i, trong đó λ i đại diện cho các giá trị riêng của ma trận A, và y được xác định bởi y = T t x với T là ma trận trực giao giúp đưa A về dạng chéo, đồng thời đảm bảo rằng (x,x) = (y,y) Định lý 5 chỉ ra rằng nếu ma trận thực B không suy biến, thì ma trận A = B.B t sẽ xác định dương.
Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng
Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức
Định lý 6 ( Bine - Cauchy) Cho A= (a ij ) mn , B = (b ij ) mn ĐặtD 0 = (c ij ) m trong đó c ij n
P k=1 a ik b jk Ký hiệu A (i 1 i 2 i m ) và B (i 1 i 2 i m ) là định thức con cấp m của các ma trận A và B được tạo bởi các dòng i 1 , i 2 , , i m khi đó ta có : với m⩽n thì |D|= P
Trong ma trận D ở cột thứ j j= 1, m mỗi phần tử là tổng của n phần tử theo chỉ số k j = 1, n.
Phân tích định thức |D| theo cột thứ nhất thành tổng của định thức cấp m, sau đó tiếp tục phân tích định thức cấp m thành tổng của n định thức theo cột thứ hai Quá trình này lặp lại cho đến cột thứ m, cuối cùng ta nhận được định thức |D| được khai triển thành tổng của n m định thức Mỗi định thức trong tổng này có nhân tử chung bjk từ cột j được rút ra ngoài, với j từ 1 đến m.
P k 1 , ,k m =1 b 1k 1 b 2k 2 b mk m A k 1 k 2 k m (∗), trong đó n m hạng tử của tổng trên, chỉ số lấy tổng thay đổi từ 1 đến n và không phụ thuộc lẫn nhau.
Khi có hai chỉ số trùng nhau trong định thức A, nó sẽ có ít nhất hai cột giống nhau, dẫn đến định thức bằng không Do đó, nếu m > n, mọi hạng tử đều bị triệt tiêu và suy ra |D| = 0 Trong trường hợp m ≤ n, với mỗi bộ chỉ số 1 ≤ i₁ < i₂ < < iₘ ≤ n, tổng (*) sẽ bao gồm tất cả các hạng tử có chỉ số k₁, k₂, , kₘ được tạo thành từ các hoán vị của các chỉ số i₁, i₂, , iₘ.
( S m là tập tất cả các phép thế bậc m của m phần tử ).
A i 1 i 2 i m B i 1 i 2 i m , Ta có đẳng thức Bine - Cosi.
Ví dụ 1 ( Đẳng thức Cosi)
Từ đó suy ra đẳng thức Cosi cần chứng minh.
Ví dụ 2.(Đẳng thức lagrange)
Cho ai, bi ∈R i= 1, n chứng minh rằng : n
Phép chứng minh được suy ra từ đẳng thức cosi bằng cách đặt c i =a i , d i =b i
Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức
1 C p+1 1 C p+1 2 C p+1 p−1 x p+1 a) Tính φ p (x+ 1)−φ p (x) b) Áp dụng: không dùng quy nạp chứng minh các đẳng thức sau : n
Cột cuối của định thức trên được phân tích thành :
Khai triển định thức thành tổng của các định thức theo cột cuối và do tính chất tuyến tính nên: φ p (x+ 1)−φ p (x)
Cộng n+ 1 đẳng thức trên ta được kết quả như sau : φ p (n+ 1) = (p+ 1)! n
X k=1 k p = φ p (n+ 1) (p+ 1)! Áp dụng trực tiếp kết quả trên với p= 1, p= 2, p= 3 ta có :
Ví dụ 4 Chứng minh rằng : cos(a+b) [sin(b+c) cos(c−a)−cos(b−c) sin(c+a)]
- cos(b+c) [sin(a+b) cos(c−a)−cos(a−b) sin(c+a)]
+ cos(c+a) [sin(a+b) cos(b−c)−cos(a−b) sin(b+c)]
V T = cos(a+b) [sin(b+c) cos(c−a)−cos(b−c) sin(c+a)]
- cos(b+c) [sin(a+b) cos(c−a)−cos(a−b) sin(c+a)]
+ cos(c+a) [sin(a+b) cos(b−c)−cos(a−b) sin(b+c)]
= cos(a+b) sin(b+c) sin(c+a) cos(b−c) cos(c−a)
−cos(b+c) sin(a+b) sin(c+a) cos(a−b) cos(c−a)
+ cos(c+a) sin(a+b) sin(b+c) cos(a−b) cos(b−c) cos (a+b) cos (b+c) cos (c+a) sin (a+b) sin (b+c) sin (c+a) cos (a−b) cos (b−c) cos (c−a)
Khai triển theo hàng cuối và đặt A=a−b, B =b−c, C =c−a. khi đó A+B+C= 0
V T = cos (a−b) [cos (b+c) sin (c+a)−sin (b+c) cos (c+a)]
−cos (b−c) [cos (a+b) sin (c+a)−sin (a+b) cos (c+a)]
+ cos (c−a) [cos (a+b) sin (b+c)−sin (a+b) cos (b+c)]
= cos (a−b) sin (a−b) + cos (b−c) sin (b−c) + cos (c−a) sin (c−a)
Ta có điều phải chứng minh.
Phương pháp chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức yêu cầu người thực hiện phải có kỹ năng thuần thục trong việc tính định thức, đặc biệt là khả năng đưa một vế của đẳng thức về theo một định thức sao cho kết quả tính được là vế còn lại.
Áp dụng đẳng thức |A.B | = |A| |B|
Trước hết ta chứng minh đẳng thức|A.B|=|A|.|B|.
Thật vậy, giả sử A= (a ij ) n , B = (b ij ) n , với i, j = 1, , nlà hai ma trận vuông cấp n
Khai triển theo n dòng đầu (theo định lý Laplace), ta có :
Biến đổi ma trận C bằng cách thực hiện phép biến đổi sơ cấp, cụ thể là nhân cột thứ nhất với b ij và các cột tiếp theo cho đến cột thứ n với b nj, sau đó cộng vào cột thứ n+j (với j = 1, 2, , n), ta thu được ma trận D Đặc biệt, định thức của ma trận C và D vẫn giữ nguyên giá trị.
. an1 an2 ann dn1 dn2 dnn
P k=1 a ik b kj , nghĩa là d ij =A.B. Khai triển theo n cột cuối ( theo định lý Laplace ) ta có :
Từ (1) và (2) và do |C|=|D| nên ta có :
Ví dụ 5 Chứng minh đẳng thức:
Ta chứng minh B.C cũng có dạng ma trận A.
Vậy B.C cũng có dạng ma trậnA, mặt khác ta có :
Và vì |B.C|=|B| |C| nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 6 Chứng minh đẳng thức lagrange.
(ax+by+cz+dt) 2 + (ay−bx+ct−dz) 2 + (az −bt−cx+dy) 2 + (at+bz−cy−dx) 2
The expression consists of a series of algebraic combinations involving variables a, b, c, d, and t, showcasing various operations such as addition and subtraction It highlights relationships among these variables, indicating complex interactions that can be simplified or analyzed further Overall, the sequences reflect a mathematical structure that can be explored for deeper insights into their implications and applications in algebraic contexts.
Ta thấyA.B cũng có dạng ma trậnX,vì vậy từ |A.B|=|A|.|B|ta có điều phải chứng minh.
Để áp dụng đẳng thức |A.B| = |A|.|B|, cần chứng minh rằng một vế có dạng |A.B| và vế còn lại có dạng |A|.|B|.
M A ∈M at(n, K)|Acó tính chất T thì ta phải chứng minh : Với mọi A, B ∈
M ⇒A.B ∈M hay M đóng kín với phép nhân ma trận.
Áp dụng phương trình ma trận
Ví dụ 7 Cho a, b, c, d, x, y, z, t, p, q, r, s (a 6= 0) là các số thực thỏa mãn: ax+by+cz+dt =p
(x+y+z+t) = (ap−bq−cr−ds) + (bp+aq−dr+cs)
+ (cp+dq+ar−bs) + (dp−cq+br+as) Giải : Điều kiện đầu bài⇔
Hệ phương trình (I) viết dưới dạng ma trậnA.u=m với :
= (a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ).E, (E là ma trận đơn vị ).
Nhân hai vế của phương trình với A t ta có :
x= ap−bq−cr−ds a 2 +b 2 +c 2 +d 2 y= bp+aq−dr+cs a 2 +b 2 +c 2 +d 2 z = cp+dq+ar−bs a 2 +b 2 +c 2 +d 2 t= dp−cq+br+as a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ta có đẳng thức cần chứng minh.
Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng
Định lý 7 Nếu ma trậnA xác định dương thì :
|A| 1 2 , ở đây dx=dx 1 ×dx 2 × ×dx n
Chứng minh Gọi T là ma trận trực giao đi đưa A về dạng ma trận chéo Ta thực hiện phép đổi biến x=T.y, khi đó : (x, Ax) = (y, Ay).
Q i=1 dy i , vì Jacobian của phép biến đổi bằng |T| ( có thể cho bằng 1 ).
Do ma trận trực giaoT thiết lập được sự tương ứng 1−1nên theo định lý 3:
−∞ e −z 2 dz =π 1 2 nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 8 Chứng minh rằng :
Giải: Ta xét dạng toàn phươngQ(x) = (x, Ax) =x 2 1 −2x 1 x 2 + 2x 2 2 Rõ ràng Q(x)xác định dương với |A|
= 1 Áp dụng định lý trên ta có:
Chứng minh bất đẳng thức
2.2.1 Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy)
Ví dụ 9 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski-Schwarz:
Với mọi số thực tùy ý a1, a2, , an, b1, b2, , bn ai, bi ∈R, i = 1, n ta có: n
Chứng minh Từ đẳng thức Lagrange trong ví dụ 2 ta có: n
. Dấu 0 = 0 xảy ra khi và chỉ khi :
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
2.2.2 Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2)
Ví dụ 10 Chứng minh rằng : 5a 2 +b 2 + 3c 2 + 4ab−2ac−2bc >0 với (a, b, c6= 0). Giải: Ta có vế trái của bất đẳng thức là một dạng toàn phương có ma trận:
Các định thức con chính cấp 1 củaA là : 5, 1, 3 > 0.
Các định thức con chính cấp 2 củaA là :
Các định thức con chính cấp 3 củaA là :
Theo định lý Sylvestrer thì dạng toàn phương trên xác định dương,suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 11 Chứng minh rằng với −q
Xét dạng toàn phương Q(a, b, c) = 2a 2 +b 2 + 3c 2 + 2α ab+ 2ac ta có định thức :
Các định thức con chính cấp 1 củaA là : 2,1,3>0.
Các định thức con chính cấp 2 củaA là :
Xét định thức con chính cấp 3 :
Vậy theo định lý Sylvester ta có Q(a, b, c) xác định dương, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
2.2.3 Áp dụng định lý 3 và định lý 4
Ví dụ 12 Cho ma trận
b) Chứng minh : Nếu x 1 = 0, x i thực thì n−1
Thực hiện phép truy hồi ta có:
Vì ma trận A là xác định dương, nên các giá trị riêng của chúng đều là thực và dương.
Ta dễ dàng chứng minh được:
Ta nhận thấy vế trái của bất đẳng thức là một dạng toàn phương(x,Ax) có ma trận là
A Ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc có:
(ở đâyy =T −1 x , với T là ma trận trực giao đưa ma trận A về dạng đường chéo)
Vì theo phép biến đổi trực giao ở trên(x,x)=(y,y)
Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
2.2.4 Áp dụng định lý Schur Định lý 8 (Schur) Nếu A = (a ij ), B = (b ij ) là các ma trận xác định dương thì ma trận C(a ij b ij ) cũng xác định dương.
Gọi ma trận trực giao T đưa ma trận A về dạng đường chéo.
Công thức trên thể hiện mối quan hệ giữa các phần tử của ma trận xác định dương A và các phần tử của ma trận trực giao T, với ký hiệu a_ij n.
Khi đó dạng toàn phương sau: n
Có thể xem như là dạng toàn phương của các biến xitik Biểu thức n
P i,j=1 bijxitikxjtjk dương nếu ít nhất một trong các đại lượng x i t ik khác 0 ( bởi ma trận ma trận B xác định dương ).
Nhưng vì: P i,k x 2 i t 2 ik =P i x 2 i P k t 2 ik = P i x 2 i nên rõ ràng mọi x i t ik = 0 khi và chỉ khi mọi xi = 0 Điều này xác lập nên tính xác định dương của ma trậnC = (aijbij).
Cho a1u 2 + 2b1uv+c1v 2 > 0, a2u 2 + 2b2uv+c2v 2 >0 , ∀u, v sao cho u 2 +v 2 6= 0. Chứng minh rằng : a 1 a 2 u 2 + 2b 1 b 2 uv+c 1 c 2 v 2 >0 , với ∀u, v sao cho u 2 +v 2 6= 0. Giải :
Xét hai dạng toàn phương
Ta thấy Q1(u, v), Q2(u, v) là 2 dạng toàn phương có ma trận tương ứng là:
. áp dụng định lý 8 ta có ma trận X
Vậy dạng toàn phương Q(u, v) = a 1 a 2 u 2 + 2b 1 b 2 uv +c 1 c 2 v 2 xác định dương Nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
2.2.5 Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A|
Bổ đề 1.( Dạng tích phân của bất đẳng thức Holder )
Chof(x), g(x)>0;p, q >1sao cho 1 p+1 q = 1 và các tích phânR
R g(x)dV tồn tại Khi đó :
Chứng minh Ta xét đường cong v = u p−1 (p > 1) Rõ ràng diện tích của hình chữ nhật OvRu nhỏ hơn hoặc bằng tổng diện tích OPu và OQv : uv ⩽ u
Dấu bằng xảy ra nêu v =u p−1
Như vậy, nếu u, v ⩾0, uv ⩽ u p p +v q q (I). Đặt u= f(x)
Sau khi thay vào(I) ta có : f(x)g(x)
Lấy tích phân 2 vế theo miền R ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Định lý 9 Nếu các ma trận A, B xác định dương thì :
Sử dụng dạng tích phân của bất đẳng thức Holder sau khi đặt : p= 1 λ, q= 1
Ví dụ 14 Chứng minh : λx+ (1−λ)y⩾x λ y 1−λ với x, y >0, 0⩽λ⩽1.
Giải : Áp dụng định lý 9 với 2 ma trận vuông xác định dương cấp 1 :X = (x),Y = (y) ta có:|λx+ (1−λ)y|⩾x λ y 1−λ (Bất đẳng thức cần chứng minh).
2.2.6 Áp dụng bất đẳng thức Adamar
Bổ đề 2.Nếu ma trận A xác định dương thì |A|⩽a 11 a 22 a nn
Chứng minh Xét đẳng thức
Thay x i bằng−x i và cộng lại ta có : π 3 2
(ở đâyz =e −2a 13 x 1 x 2 −2a 12 x 1 x 2 ).Vìz+z −1 ⩾2với mọi z > 0 nên π 3 2
Từ đây suy ra kết quả cho n = 3 Cách chứng minh cho n tùy ý cũng tương tự. Định lý 10.(Bất đẳng thức Adamar)
Giả sử B là ma trận không suy biến Khi đó :
Chứng minh.Ta chỉ cần áp dụng bổ đề 2 cho ma trận xác định dương A=B.B t ( theo định lý 4 ).
Ví dụ 15 Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau từng đôi một
Ta thấy ngay vế trái là định thức Vandermond cấp 4 bình phương với
áp dụng định lý 10 ta có ngay bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải
Bài1 Áp dụng ma trận A
Bài 2. Áp dụng ma trận A
= (ax+by+cz+dt) 2 + (ay−bx+ct−dz) 2 + (az−bt−cz+dy) 2 + (at+bz−cy−dx) 2 Bài 3.
Chứng minh rằng nếu A là ma trận xác định dương, còn B là ma trận đối xứng thì:
Hướng dẫn: Để tính tích phân này ta làm như sau :
B1 : Đặtx=Ty,ở đây T là ma trận trực giao đưa A về dạng đường chéo
B2 : Thực hiện thêm phép đổi dấu y k = z k λ
B3 : Trong đẳng thức nhận được dưới dấu tích phân e − n
P k=1 z 2 k−i(z,C z ) ta đưa ma trận e về dạng chéo bằng phép biến đổi trực giao z = Sw
B4 : Tính tích phân nhận được.
Cho x 1 v 2 + 2x 2 uv+x 3 v 2 >0 và y 1 v 2 + 2y 2 uv+y 3 v 2 >0 với
Chứng minh nếu với mọi x i thực và x 0 =x n+1 = 0 thì : n
Bài 6 (Bất đẳng thức Hilbert)
Bài 7. Đặt |A| k =λ 1 λ 2 λ k là các giá trị riêng của ma trận A Khi đó, nếu các ma trận A,B xác định dương thì với 0⩽λ ⩽1, k = 1, n ta có|λA+ (1−λ)B| k ⩾|A| λ k |B| 1−λ k Bài 8.
Chứng minh rằng nếu a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n , a i , b i ∈C, i= 1, n là các số phức tùy ý thì ta có: n
Chứng minh như đẳng thức Cosi với B
Chứng minh rằng với a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n , a i , b i ∈C, i= 1, n ta có :
Hướng dẫn: sử dụng bài toán trên với |a i |=|a i |,|b i | b i .
Luận văn "Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức" đã thành công trong việc áp dụng lý thuyết định thức và ma trận để giải quyết các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, từ đó mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học.
1 Tóm tắt lý thuyết cơ bản về ma trận và định thức cũng như một số kiến thức liên quan, đặc biệt dạng toàn phương của ma trận Chứng minh một số định lý, tính chất cơ bản quan trọng làm cơ sở áp dụng cho phần sau.
2 Đưa ra phương pháp để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức dựa vào định lý 3 và 4, đặc biệt là định lý Bine-Cosi Đưa ra cách chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức, cách dùng phương trình ma trận với các ví dụ cụ thể.
3 Chứng minh được định lý Schur, bất đẳng thức độ lõm, bất đẳng thức Adamar theo một cách tiếp cận khác là dựa vào định thức và ma trận.Và áp dụng chúng trong một số ví dụ cụ thể.
Do giới hạn của đề tài nghiên cứu và điều kiện thời gian, tác giả chưa thể thực hiện nhiều hướng nghiên cứu khác.
1 Nghiên cứu các áp dụng lý thuyết định thức và ma trận vào việc giải quyết phương trình và hệ phương trình
2 Nghiên cứu các áp dụng lý thuyết định thức và ma trận vào việc giải quyết bất phương trình và hệ bất phương trình
Trong quá trình thực hiện đề tài, không thể tránh khỏi những sai sót, vì vậy tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ bạn đọc để hoàn thiện hơn Đề tài này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình nhưng nghiêm khắc của PGS.TS Nông Quốc Chinh, và sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng NCKH-ĐTSĐH, Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô đã giảng dạy và hỗ trợ trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám đốc sở giáo dục đào tạo thành phố Hải Phòng, Trường ĐHHP, ban giám hiệu trường Phổ thông Nội trú Đồ Sơn, Hải Phòng cùng các đồng nghiệp đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này.
Học viênPhạm Quang Ngọc.