nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm abel

Mở đầuLịch sử phát triển của lý thuyết các cấu trúc đại số trong đó có nhóm vành - trường đã trải qua những thời kỳ huy hoàng từ thế kỷ trước do nhucầu nghiên cứu phát sinh từ nhiều lĩnh

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo

Đại Học HuếTrường Đại Học Sư Phạm

Đinh Thị Xinh

Nhóm con mờ tự do

và nhóm con mờ của nhóm Abel

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi,các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các

đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì mộtcông trình nào khác

Tác giả

Đinh Thị Xinh

Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, tác giả đã nhận được

sự động viên, giúp đỡ của các thầy cô giáo thuộc khoa Toán và phòng Sau

đại học trường Đại học Sư phạm Huế, các thầy cô giáo thuộc khoa Khoa học

tự nhiên và Công nghệ, các thầy cô giáo thuộc bộ môn Toán trường Đại họcTây Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy, các Cô.Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học khóa 17 chuyên ngành

Đại số và Lý thuyết số, những người đã cùng trao đổi, giúp đỡ và động viêntác giả hoàn thành khóa học và luận văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành tỏ lòng biết ơn gia đình vàbạn bè đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thànhtốt nhiệm vụ

Huế, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Mục lục

Chương 1 Tập con mờ và nhóm con mờ 6

1.1 Tập con mờ 6

1.2 Nhóm con mờ 8

1.3 Nhóm con mờ chuẩn tắc 10

1.4 Đồng cấu và đẳng cấu 14

1.5 Cấp mờ của nhóm con mờ 15

1.6 Tích trực tiếp đầy đủ và yếu 17

Chương 2 Nhóm con mờ tự do và sự thể hiện của nhóm con mờ 23 2.1 Nhóm con mờ tự do 23

2.2 Sự thể hiện của nhóm con mờ 29

2.3 Xây dựng nhóm con mờ tự do 31

Chương 3 Nhóm con mờ của nhóm Abel 37 3.1 Tổng trực tiếp và tập sinh cực tiểu 37

3.2 Hệ sinh độc lập 45

3.3 Nhóm con mờ thuần túy và nhóm con mờ chia được 46

3.4 Bất biến của nhóm con mờ 49

Mở đầu

Lịch sử phát triển của lý thuyết các cấu trúc đại số (trong đó có nhóm vành - trường) đã trải qua những thời kỳ huy hoàng từ thế kỷ trước do nhucầu nghiên cứu phát sinh từ nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý, tin học vàngày càng tỏ rõ vai trò quan trọng của nó trong nhiều công trình cho tới nay.Năm 1965 Lofti A Zadeh đưa ra khái niệm tập con mờ của một tập hợpnhư là một phương pháp biểu diễn tình trạng không chắc chắn hay không

-rõ ràng Trước hết, nó đã gây ra sự phản ứng mang tính phủ nhận mạnh

mẽ từ một số nhà khoa học và toán học có uy tín - nhiều người trong sốnày tỏ rõ sự chống đối công khai Tuy nhiên, dù cho sự tranh cãi tiếp diễn,chủ đề này cũng hấp dẫn sự chú ý những nhà toán học khác và trong nhữngnăm tiếp theo, lý thuyết tập con mờ đã phát triển dữ dội, tìm thấy nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực như tự động hoá, điều khiển tối ưu, hệ chuyêngia, mạng nơron Trong hành trình phát triển kỳ diệu của nó, phải kể đến

lý thuyết đại số mờ và trong những thập kỷ vừa qua nhiều nhà nghiên cứu

đã làm việc qua các khái niệm như nhóm mờ, vành mờ, iđêan mờ, trường

mờ

Năm 1971 Zadeh và Rosenfield đưa ra khái niệm tập con mờ trong bốicảnh lý thuyết nhóm và sau đó trình bày có hệ thống về một nhóm con mờcủa một nhóm Trong những năm gần đây (1998-2005), có nhiều nhà toánhọc nghiên cứu về nhóm mờ như Rosenfield, Vasantha, Kim, Kyung Ho,Jun Năm 1982 Liu đã định nghĩa và nghiên cứu vành con mờ cũng nhưiđêan mờ Sau đó Zhang đã có những đóng góp tích cực cho việc phát triểnlĩnh vực vành và trường mờ Vasantha, Xia, Xiang-yun, Mordeson, Kim,Chang Bum đã có những công trình sáng giá đóng góp cho lĩnh vực này từ

đầu thế kỷ 21 đến nay Tuy nhiên, một điều cần lưu ý là không phải kháiniệm nào trong nhóm - vành - trường đều có thể làm mờ hoá được, nghĩa làmột số khái niệm và kết quả trong nhóm - vành - trường không thể chuyểnqua được trong hệ mờ tưng ứng Những điều chuyển được đều có những ứngdụng thiết thực trong lĩnh vực rõ cũng như mờ Gần đây, người ta đã tìm

được những ứng dụng của một số cấu trúc đại số mờ như là nhóm mờ, vành

mờ và trường mờ chủ yếu vào trong lĩnh vực ôtômat mờ mà ôtômat mờ lại

có những ứng dụng thú vị trong hệ chuyên gia, mạng nơron, lý thuyết nhậndạng

Một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu nhiều lý thuyết toán học làkhái niệm vật tự do Chẳng hạn, các vật tự do xuất hiện trong đại số trừutượng, lôgic toán, lý thuyết dàn, lý thuyết phạm trù và đại số phổ dụng.Các vật tự do cũng quan trọng trong khoa học máy tính Chúng xuất hiệntrong lập trình lôgic và ôtômat dưới tên gọi Phổ dụng Herbrand Chúng môtả một cách nổi bật theo tiếp cận đại số đối với ngữ nghĩa của ngôn ngữ lập

trình Do đó một khái niệm thích hợp về tính tự do của đối tượng mờ cóthể chứng minh tính hữu ích trong việc nghiên cứu lý thuyết nhóm mờ.Trong lý thuyết nhóm, một khái niệm liên quan đến vật tự do là kháiniệm thể hiện Khái niệm thể hiện đã chứng minh tính hữu ích trong lýthuyết nhóm Sự thể hiện cung cấp một phương pháp tiện lợi xác định rõcác tính chất của một nhóm Chuyển qua đối tượng mờ, sự thể hiện cũng

đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất của nhóm mờ.Nhiều ví dụ tốt nhất của lý thuyết cấu trúc đại số xuất phát từ lý thuyếtnhóm giao hoán Lý thuyết nhóm giao hoán cũng là một lý do chính choviệc nghiên cứu lý thuyết môđun Các kết quả về mặt cấu trúc đối với nhómcon mờ của nhóm Abel là rất thú vị, chúng có nhiều ứng dụng, chẳng hạntrong đại số nhóm mờ và mở rộng trường mờ

Trong luận văn này, ngoài lời cảm ơn, lời mở đầu, phần kết luận và tàiliệu tham khảo nội dung luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Tập con mờ và nhóm con mờ

Chương 2: Nhóm con mờ tự do và sự thể hiện của nhóm con mờ.Chương 3: Nhóm con mờ của nhóm Abel

Chương 1

Tập con mờ và nhóm con mờ

Trong chương này ta ký hiệu X, Y, Z là các tập hợp khác rỗng

1.1 Tập con mờ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của lý thuyếttập mờ, có thể xem trong [19]

Định nghĩa 1.1 Một tập con mờ của X là một hàm à : X −→ [0, 1]

Tập hợp tất cả các tập con mờ của tập X được gọi là tập lũy thừa mờcủa X và được ký hiệu là FP(X)

Định nghĩa 1.2 Cho à ∈ FP(X) Khi đó, tập hợp {à(x)|x ∈ X} được gọi

là ảnh của à và được ký hiệu bởi à(X) hay Im(à) Tập hợp

Đặc biệt, nếu tập Y chỉ gồm một phần tử, Y = {y}, thì a{y} được gọi

là một điểm mờ và được ký hiệu là ay Ký hiệu 1Y là hàm đặc trưng của Y

Định nghĩa 1.4 Cho à, ν ∈ FP(X) Nếu à(x) ≤ ν(x), ∀x ∈ X, thì à đượcgọi là chứa trong ν (hay ν chứa à), và ta viết à ⊆ ν (hay ν ⊇ à) Nếuà(x) = ν(x), ∀x ∈ X, thì à = ν

Định nghĩa 1.5 Cho à, ν ∈ FP(X) Ta định nghĩa:

(à ∪ ν)(x) = à(x) ∨ ν(x) := max{à(x), ν(x)},(à ∩ ν)(x) = à(x) ∧ ν(x) := min{à(x), ν(x)}, ∀x ∈ X

Khi đó, à ∪ ν và à ∩ ν được gọi lần lượt là hợp và giao của à và ν

Ngoài ra, ν được gọi là phần bù của à nếu ν(x) = 1 − à(x), ∀x ∈ X

Bằng qui nạp có thể mở rộng các phép toán hợp và giao cho nhiều hơnhai tập con mờ Một cách tổng quát, với họ bất kỳ {ài|i ∈ I} các tập con

mờ của X, I là tập chỉ số khác rỗng, ta định nghĩa:

f (à)(y) :=  ∨{à(x)|x ∈ G, f (x) = y} nếu f−1(y) 6= ỉ

0 trong trường hợp còn lại

và ∀x ∈ X, f−1(ν)(x) = ν(f (x)) Khi đó f(à) được gọi là ảnh của à bởi f

và f−1(ν) được gọi là ảnh ngược hay tạo ảnh của ν bởi f

Ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 1.1 Cho f và g lần lượt là các hàm từ X vào Y và từ Y vào Z.1) Với mọi ài ∈ F P(X), i ∈ I, f (∪i∈Iài) = ∪i∈If (ài) và

à1 ⊆ à2 =⇒ f (à1) ⊆ f (à2), ∀à1, à2 ∈ F P(X).2) Với mọi νj ∈ F P(Y ), j ∈ J, với J là một tập chỉ số khác rỗng thì

5) f (à) ⊆ ν ⇐⇒ à ⊆ f−1(ν), ∀à ∈ F P(X), ∀ν ∈ F P(Y )

6) g(f (à)) = (g ◦ f )(à), ∀à ∈ F P(X) và f−1(g−1(ξ)) = (g ◦ f )−1(ξ), ∀ξ ∈

F P(Z)

Tập tất cả các nhóm con mờ của nhóm G kí hiệu là F(G).

Rõ ràng, nếu à ∈ F(G) và H là một nhóm con của G thì à|H ∈ F (H)

Ví dụ 1.1 Xét nhóm cộng các số nguyên Z và hàm à xác định như sau:

à(x) =  a nếu x ∈ 2Z

b nếu x ∈ 2Z + 1

với a, b ∈ [0, 1] và b ≤ a Khi đó à là một nhóm con mờ của Z

Chứng minh của mệnh đề sau là đơn giản:

Mệnh đề 1.2 Cho à ∈ F(G) Khi đó với mọi x ∈ G,

3) =⇒ 2) Với x, y ∈ G, đặt a = à(x), b = à(y) và c = a ∧ b thì c ∈ à(G).Theo giả thiết, àc là nhóm con của G Vì x, y ∈ àc nên x−1y ∈ àc Do đóà(x−1y) ≥ c = a ∧ b = à(x) ∧ à(y)

2) =⇒ 1) Với mọi x, y ∈ G, à(e) = à(x−1x) ≥ à(x) ∧ à(x) = à(x),

à(x−1) = à(x−1e) ≥ à(x−1) ∧ à(e) ≥ à(x) ∧ à(e) = à(x),

à(xy) = à((x−1)−1y) ≥ à(x−1) ∧ à(y) ≥ à(x) ∧ à(y)

Do đó à ∈ F(G)

Hệ quả 1.1 Nếu à ∈ F(G) thì à∗ và à∗ là các nhóm con của G Trong đó

à ◦ ν và à−1 lần lượt được gọi là tích của à và ν và nghịch đảo của à

Dễ thấy phép toán ◦ có tính chất kết hợp

Nhận xét 1.2 à ◦ ν và à−1 là các tập con mờ của G

Mệnh đề 1.4 Cho à, ν, ài ∈ F P(G), i ∈ I và a = ∨{à(x)|x ∈ G} Khi đó,1) à ◦ ν(x) = ∨y∈G(à(y) ∧ ν(y−1x)) = ∨y∈G(à(xy−1) ∧ ν(y)), ∀x ∈ G.2) (ay ◦ à)(x) = à(y−1x), ∀x, y ∈ G

i∈Iài)−1 = T

i∈Ià−1i 9) (à ◦ ν)−1 = ν−1 ◦ à−1

Chứng minh Chứng minh của các kết quả 1), 4), 5), 6), 7), 8) là dễ

à(x) ≥ ∨{à(y) ∧ à(z)|y, z ∈ G, yz = x} = (à ◦ à)(x).Suy ra à ◦ à ⊆ à

Đảo lại, giả sử à ◦ à ⊆ à và à−1 ⊇ à Khi đó

ν−1 = ν và (à ◦ ν)−1 = à ◦ ν Khi đó, à ◦ ν = (à ◦ ν)−1 = ν−1 ◦ à−1 = ν ◦ à.

Đảo lại, giả sử à, ν ∈ F(G) và à ◦ ν = ν ◦ à Ta có:

(à ◦ ν)−1 = (ν ◦ à)−1 = à−1 ◦ ν−1 = à ◦ ν và

(à ◦ ν) ◦ (à ◦ ν) = à ◦ (ν ◦ à) ◦ ν = à ◦ (à ◦ ν) ◦ ν = (à ◦ à) ◦ (ν ◦ ν) ⊆ à ◦ ν.Vậy à ◦ ν ∈ F(G)

Mệnh đề 1.8 Cho {ài|i ∈ I} ⊆ F (G) Khi đó Ti∈Iài ∈ F (G)

Định nghĩa 1.10 Cho à ∈ FP(G) Khi đó nhóm con mờ

< à >= T{ν|à ⊆ ν, ν ∈ F (G)}

được gọi là nhóm con mờ của G sinh bởi à

Rõ ràng < à > là nhóm con mờ nhỏ nhất của G chứa à

1.3 Nhóm con mờ chuẩn tắc

Các khái niệm và kết quả trong mục này được trích dẫn từ [4] (Ch 1),[12], [13] và [14]

Định nghĩa 1.11 Cho à ∈ F(G) Khi đó à được gọi là nhóm con mờ chuẩntắc của G nếu à là tập con mờ Abel của G, nghĩa là à(xy) = à(yx), ∀x, y ∈ G.Tập hợp tất cả các nhóm con mờ chuẩn tắc của G kí hiệu là N F(G).Nhận xét 1.3 Nếu G là một nhóm nhân Abel thì mọi nhóm con mờ của G

đều là nhóm con mờ chuẩn tắc của G

Mệnh đề 1.9 Cho à ∈ F(G) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:1) à ∈ N F (G).

1) =⇒ 2) ∀x, y ∈ G, à(xyx−1) = à((xy)x−1) = à(x−1(xy)) = à(y)

2) =⇒ 3) ∀x ∈ G, ∀y ∈ àa, à(xyx−1) = à(y) ≥ a nên xyx−1 ∈ àa Do đó àa

là nhóm con chuẩn tắc của G

3) =⇒ 4) Với x, y ∈ G, đặt a = à(y) thì y ∈ àa Theo giả thiết, àa là nhómcon chuẩn tắc của G nên xyx−1 ∈ àa Suy ra à(xyx−1) ≥ a = à(y)

4) =⇒ 5) ∀x, y ∈ G, à(xyx−1) ≤ à((x−1)(xyx−1)(x−1)−1) = à(y)

5) =⇒ 1) ∀x, y ∈ G, à(xy) = à(x(yx)x−1) ≤ à(yx) và

à(yx) = à(y(xy)y−1) ≤ à(xy)nên à(xy) = à(yx) Do đó à ∈ N F(G)

1) =⇒ 6) Với mọi x ∈ G,

(à ◦ ν)(x) = ∨y∈G{à(xy−1) ∧ ν(y)} = ∨y∈G{à(y−1x) ∧ ν(y)}

= ∨y∈G{ν(y) ∧ à(y−1x)} = (ν ◦ à)(x)

hay à(xy) = à(yx) Do đó à ∈ N F(G)

Chứng minh của mệnh đề sau là đơn giản:

Mệnh đề 1.10 Cho à ∈ N F(G) Khi đó à∗
G và à∗
G

Định nghĩa 1.12 Cho à ∈ F(G) và x ∈ G Khi đó các tập con mờ à(e){x}◦à

và à ◦ à(e){x} lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của à theo x và

được viết là xà và àx Nếu à ∈ N F(G) thì xà = àx Trong trường hợp này

ta gọi xà là một lớp kề

Lưu ý, (à(e){x} ◦ à)(z) = à(x−1z) (Theo Mệnh đề 1.4)

Ta có hai kết quả sau:

Mệnh đề 1.11 Cho à ∈ F(G) Khi đó với mọi x, y ∈ G,

1) xà = yà ⇐⇒ xà∗ = yà∗

2) àx = ày ⇐⇒ à∗x = à∗y

Mệnh đề 1.12 Cho à ∈ N F(G) và x, y ∈ G Nếu xà = yà thì à(x) = à(y).Mệnh đề 1.13 Cho à ∈ N F(G) Đặt G/à = {xà|x ∈ G} Khi đó

xà ◦ yà = (à(e){x} ◦ à) ◦ (à(e){y}◦ à) = à(e){x} ◦ (à ◦ à(e){y}) ◦ à

= à(e){x} ◦ à(e){y}◦ (à ◦ à) = (à(e){x} ◦ à(e){y}) ◦ à = (xy)à.2) Theo 1), ◦ là một phép toán trên G/à Dễ thấy (G/à, ◦) là một nhómvới đơn vị là à = eà, phần tử nghịch đảo của xà ∈ G/à là x−1à

3) Theo Mệnh đề 1.11, xà = yà ⇐⇒ xà∗ = yà∗ nên ta có song ánh

à(∗)(y−1à ◦ xà ◦ yà) = à(∗)(y−1xyà) = à(y−1xyà) = à(x) = à(∗)(xà)

Do đó à(∗) ∈ N F (G)

Định nghĩa 1.13 Nhóm G/à được gọi là nhóm thương của G theo nhómcon mờ chuẩn tắc à

Chứng minh của mệnh đề sau là đơn giản:

Mệnh đề 1.14 Cho ν ∈ F(G) và N là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm

G Ta định nghĩa ξ ∈ FP(G) như sau:

ξ(xN ) = ∨{ν(z)|z ∈ xN }, ∀x ∈ G.Khi đó ξ ∈ F(G/N)

Định nghĩa 1.14 Nhóm con mờ ξ xác định trong Mệnh đề 1.14 được gọi lànhóm con mờ thương theo nhóm con mờ ν của G theo nhóm con chuẩn tắc

N của G và được kí hiệu là ν/N

Ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.15 Cho à ∈ N F(G) và ν ∈ N F(H), với H là một nhóm Giả

sử f là một toàn cấu nhóm từ G lên H Khi đó

1) f (à) ∈ N F (H)

2) f−1(ν) ∈ N F (G)

Trên đây là khái niệm nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm Tiếp theo

ta xây dựng nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm con mờ

Định nghĩa 1.15 Cho à, ν ∈ F(G) và à ⊆ ν Khi đó, à được gọi là mộtnhóm con mờ chuẩn tắc của nhóm con mờ ν, kí hiệu à
ν, nếu

à(xyx−1) ≥ à(y) ∧ ν(x), ∀x, y ∈ G.Nhận xét 1.4

1) Nếu G1 và G2 là các nhóm con của G thì G1
G2 khi và chỉ khi

1G1
1G 2 Do đó ta cũng có 1G
1G và 1e
1G

2) Nếu à ∈ N F(G), ν ∈ F(G) và à ⊆ ν thì à
ν

3) Mỗi nhóm con mờ là một nhóm con mờ chuẩn tắc của chính nó.4) à ∈ F P(G)là nhóm con mờ chuẩn tắc của G khi và chỉ khi à
1G Thậtvậy, rõ ràng à ⊆ 1G Với mọi x, y ∈ G ta có à(xyx−1) = à(y) ≥ à(y) ∧ 1G(x)nên à
1G Đảo lại, giả sử à
1G, ta có à(xyx−1) ≥ à(y) ∧ 1G(x) = à(y),

∀x, y ∈ G, nên à ∈ N F(G)

Mệnh đề 1.16 Cho à, ν ∈ F(G) và à ⊆ ν Các mệnh đề sau là tương đương:1) à
ν

2) à(yx) ≥ à(xy) ∧ ν(y), ∀x, y ∈ G

3) àa
νa, ∀a ∈ [0, à(e)]

4) à(e){x} ◦ à ⊇ (à ◦ à(e){x}) ∩ ν, ∀x ∈ G

Chứng minh

1) =⇒ 2) ∀x, y ∈ G, à(yx) = à(y(xy)y−1) ≥ à(xy) ∧ ν(y)

2) =⇒ 3) Với mọi a ∈ [0, à(e)], e ∈ àa nên àa 6= ỉ Với mọi x ∈ àa,à(x) ≥ a nên ν(x) ≥ a Suy ra x ∈ νa hay àa ⊆ νa ∀x ∈ νa, y ∈ àa ta

có xy ∈ νa và à((xy)x−1) ≥ à(x−1xy) ∧ ν(xy) ≥ à(y) ∧ ν(xy) ≥ a Do đó,xyx−1 ∈ àa Vậy àa
νa

3) =⇒ 1) Với x, y ∈ G, đặt à(y) = a, ν(x) = b, giả sử b ≥ a Khi đó, với

x ∈ νa thì xyx−1 ∈ àa nên à(xyx−1) ≥ a = a ∧ b = à(y) ∧ ν(x) Do đó à
ν.2) =⇒ 4) ∀z ∈ G,

(à(e){x} ◦ à)(z) = ∨{à(e){x}(u) ∧ à(v)|u, v ∈ G, z = uv}

≥ ∨{à(e){x}(x) ∧ à(v)|u, v ∈ G, z = xv} = ∨{à(e){x}(x) ∧ à(x−1z)}

= ∨{à(x−1z)} = ∨{à(z−1x)}

≥ ∨{à(xz−1)} ∧ ν(z−1) = ∨{à(zx−1)} ∧ ν(z−1)

= (à ◦ à(e){x})(z) ∧ ν(z) = ((à ◦ à(e){x}) ∩ ν)(z)

4) =⇒ 2).∀x, y ∈ G,

à(yx) = à(x−1y−1) = (à(e){x} ◦ à)(y−1) ≥ ((à ◦ à(e){x}) ∩ ν)(y−1)

= (à◦à(e){x})(y−1)∧ν(y−1) = à(y−1x−1)∧ν(y−1) = à(xy)∧ν(y).Mệnh đề 1.17 Cho à, ν ∈ F(G) và à
ν Khi đó à∗
ν∗ và à∗
ν∗

Qua phép đồng cấu nhóm và phép lấy nghịch ảnh của đồng cấu nhóm,nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm được bảo toàn Đối với nhóm con

mờ chuẩn tắc của một nhóm con mờ ta cũng có điều tương tự

Mệnh đề 1.18 Cho f : G −→ H là một đồng cấu nhóm Khi đó

f (à) = ν Khi đó ta nói à đồng cấu với ν, kí hiệu à ≈ νf hoặc à ≈ ν

4) Một đẳng cấu f : G −→ H được gọi là một đẳng cấu từ à vào ν nếu

f (à) = ν Khi đó ta nói à đẳng cấu với ν, kí hiệu à ∼= νf hoặc à ∼= ν

Cho à, ν ∈ F(G) và à
ν Theo Mệnh đề 1.17, à∗
ν∗ Rõ ràng, ν|ν ∗

là một nhóm con mờ của ν∗ Theo Mệnh đề 1.14, nhóm con mờ thương củaν|ν∗ theo nhóm con chuẩn tắc à∗ là tồn tại, kí hiệu: (ν|ν ∗)/à∗ := ν/à và gọi

là nhóm thương của ν theo à

Bổ đề 1.1 Cho f : G → Y là một ánh xạ và à ∈ FP(G) Khi đó(f (à))∗ = f (à∗)

Tương tự Định lý đẳng cấu thứ hai và thứ ba trong lý thuyết nhóm,trong lý thuyết nhóm mờ ta cũng có các kết quả sau đây:

Mệnh đề 1.19 Cho à ∈ N F(G) và ν ∈ F(G) sao cho à(e) = ν(e) Khi đó

ν/(à ∩ ν) ' (à ◦ ν)à.Chứng minh Theo Mệnh đề 1.10, à∗
G Theo Định lý đẳng cấu thứ haicủa lý thuyết nhóm ta có ν∗/(à∗∩ ν∗)

f (ν/(à ∩ ν))(yà∗) = ∨{ν/(à ∩ ν)(x(à∗ ∩ ν∗))|x(à∗ ∩ ν∗) ∈ ν∗/(à∗ ∩ ν∗),

f (x(à∗ ∩ ν∗)) = yà∗}.Vì f là một song ánh nên tồn tại duy nhất x(à∗ ∩ ν∗) ∈ ν∗/(à∗ ∩ ν∗) saocho f(x(à∗ ∩ ν∗)) = yà∗ Do đó x(à∗ ∩ ν∗) = y(à∗ ∩ ν∗) Suy ra

f (ν/(à ∩ ν))(yà∗) = ν/(à ∩ ν)(y(à∗ ∩ ν∗)) = ∨{ν(z)|z ∈ y(à∗ ∩ ν∗)}

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.17, à∗
ξ∗ và ν∗
ξ∗, kết hợp giả thiết à ⊆ ν

ta có à∗
ν∗ Theo Định lý đẳng cấu thứ ba của lý thuyết nhóm ta có(ξ∗/à∗)/(ν∗/à∗)

để f(yà∗.(ν∗/à∗)) = xν∗ Do đó yà∗.(ν∗/à∗) = xà∗.(ν∗/à∗) Suy ra

1.5 Cấp mờ của nhóm con mờ

Định nghĩa 1.17 Cho à ∈ F(G) và x ∈ G Nếu tồn tại số nguyên dương nsao cho à(xn) = à(e)(∗) thì số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (∗) đượcgọi là cấp mờ của x đối với à, kí hiệu là F Oà(x) Nếu không tồn tại sốnguyên dương n nào thỏa mãn (∗) thì ta nói x có cấp mờ vô hạn đối với à.Cấp mờ của một phần tử đối với một nhóm con mờ có những tính chấttương tự cấp của một phần tử của nhóm Ta có một số kết quả sau đây:Mệnh đề 1.21 Cho à ∈ F(G), x ∈ G và F Oà(x) = n Khi đó:

1) Nếu m là một số nguyên dương sao cho à(xm) = à(e) thì n|m

2) Với mọi số nguyên dương m ta đều có F Oà(xm) = n

(n, m).3) Nếu x, y ∈ G sao cho xy = yx và (F Oà(x), F Oà(y)) = 1 thì F Oà(xy) =

2) Đặt F Oà(xm) = k và d = (m, n) Khi đó m = du, n = dv, (u, v) = 1 và

à(xm.nd) = à(xnu) ≥ à(xn) = à(e).Theo 1) ta có k|n

d Mặt khác vì d = (m, n) nên ∃i, j ∈ Z sao cho ni + mj = d.Khi đó

à(xkd) = à(xk(ni+mj) = à(xkni.xkmj) ≥ à(xn) ∧ à(xk) = à(e) ∧ à(e) = à(e).Suy ra à(xkd) = à(e) Theo 1), n|kd hay n

d|k Vậy k = n

d.3) Đặt F Oà(xy) = k, F Oà(y) = l Khi đó

à((xy)nl) = à(xnl.ynl) ≥ à(xnl) ∧ à(ynl) ≥ à(xn) ∧ à(yl) = à(e).Suy ra k|nl

Đặt u = xk, v = yk Ta có n0 = F Oà(u) = n

(n, k), l

0 = F Oà(v) = l

(l, k) và(n0, l0) = 1 (vì (n, l) = 1) Mặt khác,

à(e) = à((xy)k) = à(xkyk) = à(uv) ≤ à((uv)l0) = à(ul0vl0)

⇒ à(ul0vl0) = à(e)

à(ul0) = à(ul0vl0v−l0) ≥ à(ul0vl0) ∧ à(v−l0) = à(e) ∧ à(e) = à(e)

⇒ à(ul0) = à(e) ⇒ n0|l0 ⇒ n0 = 1 ⇒ à(xk) = à(e)

àn(y) =  t0 nếu y ∈ hxni

t1 nếu y /∈ hxnitrong đó 0 ≤ t1 < t0 ≤ 1 Rõ ràng àn ∈ F (G) và F Oà n(x) = n

1.6 Tích trực tiếp đầy đủ và yếu

Các khái niệm và các kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3]

Để định nghĩa tích trực tiếp đầy đủ của các nhóm con mờ, trước hếtchúng tôi trình bày lại khái niệm tích trực tiếp đầy đủ của các nhóm

Cho {Gi|i ∈ I} là một họ các nhóm với ei là phần tử đơn vị của Gi, i ∈ I.Phép nhân trên tập tích G = Qi∈IGi được định nghĩa:

(xi)i∈I(yi)i∈I = (xiyi)i∈I, ∀(xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ G.Khi đó G cùng với phép nhân ở trên có cấu trúc nhóm với đơn vị (ei)i∈I.Nhóm này được gọi là tích trực tiếp đầy đủ của các Gi, i ∈ I, kí hiệu là

i∈IGi và ài ∈ F (Gi), ∀i ∈ I thì Q∼

i∈Iài ∈ F (G),trong đó ∀(xi)i∈I, (Q∼

i∈Iài)((xi)i∈I) = ∧i∈Iài(xi)

Định nghĩa 1.18 Nhóm con mờ Q∼

i∈Iài của G được gọi là tích trực tiếp đầy

đủ của các ài, i ∈ I

Chứng minh của mệnh đề sau là đơn giản:

Mệnh đề 1.23 Cho ài ∈ N F (Gi), i ∈ I Khi đó à = Q∼

i∈Iài ∈ N F (G).Trong phần tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm tích trực tiếp yếucủa các nhóm con mờ

Cho G là nhóm với đơn vị e, xi ∈ G, với i ∈ I và |I| > 1 Giả sử cónhiều nhất là hữu hạn xi khác e Ta định nghĩa Qi∈Ixi như sau:

Y

i∈I

xi :=  e nếu xi = e, ∀i ∈ I

Q

i∈I,x i 6=exi nếu xi 6= e với i ∈ I nào đó

Lưu ý rằng nếu có vô hạn xi khác e thì Qi∈I xi là không xác định Để thuậntiện, ta giả sử rằng Qi∈ixi là luôn xác định Trong mục này ta luôn giả sử

|I| > 1 và viết Q xi thay vì Qi∈Ixi

Bây giờ, giả sử Gi là một nửa nhóm của G, ∀i ∈ I Giả sử

xi ∈ Gi và xj ∈ Gj, với i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xixj = xjxi

Khi đó

x = Q xi và y = Q yi, với xi, yi ∈ G, ∀i ∈ I =⇒ xy = Q xiyj

Với tập con Ai, i ∈ I, của G, tập {Q xi|xi ∈ Ai, i ∈ I} được gọi là tíchyếu của các Ai và viết là Q∗

i∈IAi.Nếu e ∈ Ai, ∀i ∈ I, thì Aj ⊆

∗

Q

i∈IAi, ∀j ∈ I.Với các nhóm con Gi của G, i ∈ I, nhóm G được gọi là tích trực tiếp yếucủa các Gi và viết là G =Q•

i∈IGi nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:1) G =

∗

Q

i∈IGi,2) xi ∈ Gi và xj ∈ Gj, với i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xixj = xjxi,

3) Q xi = Q yi, trong đó xi, yi ∈ Gi =⇒ xi = yi, ∀i ∈ I

Có thể chứng tỏ điều kiện 2) trong định nghĩa trên tương đương với:

20) Mọi Gi đều là nhóm con chuẩn tắc của G

và điều kiện 3) tương đương với một trong hai điều kiện sau:

i∈IGi là tích trực tiếp yếu và

Định nghĩa 1.19 Với mọi i ∈ I, giả sử ài ∈ F P(G) Ta định nghĩa tập con

mờ à của G như sau:

à(x) = ∨{∧i∈Iài(xi)|xi ∈ G, i ∈ I,Q xi = x}, ∀x ∈ G.Khi đó à được gọi là tích yếu của các ài và kí hiệu là à = Q∗

i∈Iài.Nhận xét 1.6 Giả sử I = {1, 2, , n}, với n ∈ N \ {1} Nếu ài(e) ≥ àj(x)

và ài ⊆ à, ∀i, j ∈ I, ∀x ∈ G thì

∗

Q

i∈Iài ⊆ à1 ◦ à2 ◦ ◦ àn.Tuy nhiên, nếu các ài thỏa mãn thêm điều kiện

xi ∈ à∗i và xj ∈ à∗j, i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xixj = xjxithì Q∗

∗

Q

i∈I(ài)∗.3) à∗ =

∗

Q

i∈I(ài)∗

Q

i∈I(ài)∗.Mệnh đề 1.25 ([13]) Cho ài ∈ F (G), ∀i ∈ I, sao cho ài(e) = àj(e), ∀i, j ∈ I

Đặt à = Q∗

i∈Iài Giả sử H và Hi, i ∈ I, là các nhóm con của G sao cho

à∗i ⊆ Hi, ∀i ∈ I, và H là tích trực tiếp yếu của các Hi, H = Q•

i∈IHi Khi đócác mệnh đề sau là đúng:

1) Với mọi x, y ∈ G, xét các trường hợp sau:

+ Nếu x /∈ H hoặc y /∈ H: Nếu x /∈ H thì x /∈ Q•

i∈IHi Do đó

@xi ∈ Hi, i ∈ I sao cho x = Q xi Vì à∗

i ⊆ Hi, ∀i ∈ I, @xi ∈ à∗i, i ∈ I sao cho

x =Q xi, i ∈ I Do đó x /∈ Q∗

i∈I(ài)∗ = à∗ Suy ra à(x) = 0 Tương tự, nếu

y /∈ H thì à(y) = 0 Vậy à(xy) ≥ 0 = à(x) ∧ à(y)

+ Nếu x ∈ H và y ∈ H thì xy ∈ H, ta có à(xy) ≥ à(x) ∧ à(y) ∀z ∈ G,à(z−1) = ∨{∧i∈Iài(yi)|yi ∈ G, i ∈ I,Q yi = z−1}

= ∨{∧i∈Iài(y−1i )|yi ∈ G, i ∈ I,Q yi−1 = z} = à(z)

Vậy à ∈ F(G)

2) Với j ∈ I, vì àj ∈ F (G) và àj ⊆ à nên theo Mệnh đề 1.16 ta chỉ cầnchứng minh àj(yx) ≥ àj(xy) ∧ à(y), ∀x, y ∈ G Xét các trường hợp sau:

+ Nếu xy /∈ Hj hoặc y /∈ H, rõ ràng

àj(yx) ≥ 0 = àj(xy) ∧ 0 = à(xy) ∧ à(y), ∀x, y ∈ G

àj(yx) = à(yx) = à(yxyy−1) ≥ à(xy) ∧ à(y) = àj(xy) ∧ à(y)

yx = Q(yixi) Ta có à(xy) = ∧i∈Iài(xiyi) = ∧i∈Iài(yixi) = à(yx) Do đóà|H ∈ N F (H)

Định nghĩa 1.20 Cho à ∈ F(G) và ài ∈ F (G), ∀i ∈ I Giả sử ài(e) = àj(e),

∀i, j ∈ I Khi đó à được gọi là tích trực tiếp yếu của các ài, kí hiệu

Nhận xét 1.7 Nếu à thỏa các điều kiện của Mệnh đề 1.25 thì à là một tíchtrực tiếp yếu của các ài, i ∈ I.

Định lí 1.1 ([13]) Cho à ∈ F(G) và ài ∈ F (G), ∀i ∈ I Giả sử ài(e) = àj(e),

i∈Iài Khi đó à = Q∗

i∈Iài và theoMệnh đề 1.24, à∗ =

∗

Q

i∈Ià∗i Mặt khác, theo Mệnh đề 1.25, ài là một nhómcon mờ chuẩn tắc của à, ∀i ∈ I, nên áp dụng Mệnh đề 1.17 suy ra à∗

i là mộtnhóm con chuẩn tắc của à∗ (nghĩa là điều kiện 20) của định nghĩa tích trựctiếp yếu của các nhóm con được thỏa mãn) Cũng theo mệnh đề 1.24 ta có

mờ của G sao cho ài ⊆ à, ∀i ∈ I Giả sử một trong hai mệnh đề sau đượcthỏa mãn:

1) ∪i∈I|ài(G)| là hữu hạn Hoặc

2) à∗ =

•

Q

i∈Ià∗i.Khi đó à = Q∗

i∈I\{j}ài nếu và chỉ nếu àa =

∗

Q

i∈I\{j}(ài)a, ∀a ∈ [0, à(e)].Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ ài(e) = à(e), ∀i ∈ I, nếu xảy ra điềukiện cần à =Q∗

i∈Iài hoặc điều kiện đủ àa =

Suy ra ài(e) = à(e), ∀i ∈ I Nếu àa =

•

Q

i∈I(ài)a, ∀a ∈ [0, à(e)] Do e ∈ àà(e)

nên e ∈ Q∗

i∈I(ài)à(e) Suy ra (ài)à(e) 6= ∅ Do đó ài(e) ≥ à(e), ∀i ∈ I Mà

ài ⊆ à nên ài(e) = à(e), ∀i ∈ I

Bây giờ ta sẽ chứng minh mệnh đề

điều kiện 2) xảy ra thì khi đó x chỉ có duy nhất một biểu diễn nên dấu =⇒cũng trở thành dấu ⇐⇒ Vậy điều kiện cần được chứng minh.

Đảo lại, giả sử àa =

mờ của G sao cho ài ⊆ à, ∀i ∈ I Giả sử ài(e) = àj(e), ∀i, j ∈ I Khi đó

∗

Q

i∈I(ài)a (Mệnh đề 1.26) và (ài)a∩ (àj)a ⊆ à∗i ∩ à∗j = {e}nếu i 6= j (tính chất của tích trực tiếp) Suy ra àa =

•

Q

i∈I(ài)a, ∀a ∈ (0, à(e)]

Đảo lại, giả sử àa =

∗

Q

i∈Ià∗i và do đó à = Q•

i∈Iài (Định lí 1.1)

Mệnh đề 1.28 Cho à ∈ F(G) và {ài|i ∈ I} là một họ các nhóm con mờ của

G sao cho ài ⊆ à, ∀i ∈ I Giả sử à = Q•

2.1 Nhóm con mờ tự do

Khái niệm điểm mờ đã được chúng tôi trình bày ở Chương 1 (Định nghĩa1.3), trong chương này chúng tôi nhắc lại với sự thay đổi cách kí hiệu đểthuận tiện cho việc trình bày

Định nghĩa 2.1 Cho X là một tập hợp Một điểm mờ xt của X, với t ∈ [0, 1],

là một tập con mờ của X xác định bởi:

xt(y) =



t nếu y = x

0 nếu y 6= x

Khi đó x và t lần lượt được gọi là chân và mức của xt

Dựa vào định nghĩa ta có kết quả sau:

Mệnh đề 2.1 Cho G là một nhóm và xt, ys lần lượt là các điểm mờ của G.Khi đó xtys = (xy)t∧s và (xt)−1 = (x−1)t

Khái niệm, cách xây dựng và các tính chất của nhóm con mờ tự do cónhững đặc điểm tương tự nhóm tự do Vì vậy, trước khi trình bày khái niệm

và xây dựng nhóm con mờ tự do chúng tôi trình bày lại một số ý tưởng cơbản liên quan đến cấu trúc của một nhóm tự do

Cho I là một tập chỉ số, X = {xi|i ∈ I} là một bộ chữ cái gồm các kíhiệu và X−1 = {x−1i |i ∈ I} là một tập hợp rời đối với X Đặt Σ = X ∪ X−1

và Σ∗ là tập hợp tất cả các dãy hữu hạn các kí hiệu từ Σ, bao gồm cả dãyrỗng Đôi khi Σ được gọi là một bộ chữ cái đối xứng Các phần tử của Σ∗

được gọi là các chữ trên Σ Trên Σ∗ ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:

∀w1, w2 ∈ Σ∗, w1 ∼ w2 ⇐⇒ w1 có thể chuyển thành w2 bằng một dãy hữuhạn của việc chèn thên vào hay xóa bớt đi các chữ con dạng xix−1i hoặc x−1

i xi,

với i ∈ I Khi đó ∼ là một quan hệ tương đương trên Σ∗ Kí hiệu lớp tương

đương của u ∈ Σ∗ bởi [u] và Σ∗/ ∼= {[u]|u ∈ Σ∗} Trên tập Σ∗/ ∼ ta xác

định phép toán như sau: ∀[u], [v] ∈ Σ∗/ ∼, [u][v] = [uv], trong đó uv là chữ

có được bằng sự ghép nối hai chữ u và v Khi đó tập các lớp tương đương

Σ∗/ ∼ có cấu trúc nhóm và được gọi là nhóm tự do trên X và được kí hiệu

là F (X) Phần tử đơn vị của F (X) là lớp tương đương xác định bởi chữrỗng Do F (X) = hXi nên X được gọi là tập sinh của F (X) Mỗi lớp tương

đương [u] có duy nhất một chữ dạng rút gọn, nghĩa là chữ không chứa chữcon nào có dạng xix−1i hoặc x−1

i xi.Các định lí sau là các kết quả của lí thuyết nhóm, chứng minh của các

định lí này có thể tìm thấy trong [16]

Định lí 2.1 Mọi nhóm đều là ảnh đồng cấu của một nhóm tự do

Định lí 2.2 Cho G là một nhóm sinh bởi tập B = {gi|i ∈ I} và X = {xi|i ∈ I}

là một bộ chữ cái Khi đó hàm m : X −→ B định nghĩa bởi m(xi) = gi,

∀xi ∈ X, có thể mở rộng thành một toàn cấu duy nhất ˆm : F (X) −→ G saocho ˆm([x]) = m(x), ∀x ∈ X

Các phần tử của tập X được gọi là các phần tử sinh cơ bản của nhóm

G Theo Định lí đẳng cấu thứ nhất, G đẳng cấu với F (X)/Ker( ˆm) Do đó

G hoàn toàn xác định (sai khác đẳng cấu) bởi bộ chữ cái X và hạt nhân củaˆ

m Mặt khác, Ker( ˆm) có thể được xác định bởi một tập con S sao cho bao

đóng chuẩn tắc của S là Ker( ˆm) Bằng cách chọn một chữ rút gọn từ mỗiphần tử của S, tập R gồm các chữ rút gọn này được gọi là một tập các quan

hệ cơ bản của G Cặp hX, Ri được gọi là một thể hiện của nhóm G

Định nghĩa 2.2 Cho G, H là các nhóm Cho à và ν lần lượt là các nhómcon mờ của G và H Ta nói ν là một ảnh đồng cấu của à nếu tồn tại mộttoàn cấu h : G −→ H sao cho h(à) = ν Nếu h là một đẳng cấu thì ta nói à

và ν là đẳng cấu (xem Định nghĩa 1.16)

Mỗi chữ w ∈ Σ∗ có thể viết một cách duy nhất dạng w = x(1)

i 1 x(2)i

2 x(k)i

k ,

(i) = ±1, trong đó x1 = x Ta gọi tập {i1, i2, , ik} là tập I-chỉ số của w và

kí hiệu bởi I(w) Chữ nghịch đảo của chữ w là w−1 = x−(k)i

k x−(k−1)i

k−1 x−(1)i

1 Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa khái niệm nhóm con mờ tự do

Định nghĩa 2.3 Cho T = {ti ∈ [0, 1]|i ∈ I}, t ∈ [0, 1] sao cho t ≥ ∨{s|s ∈ T }

Ta định nghĩa tập con mờ f(X; T, t) của F (X) như sau: ∀y ∈ F (X),

f (X; T, t)(y) = ∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(w)}|w ∈ y}.Khi đó X được gọi là tập sinh, T được gọi là tập mức sinh, và t được gọi là

độ cao của f(X; T, t) Với mọi i ∈ I, ti được gọi là mức của xi và x−1

i Mệnh đề 2.2 ([5]) Tập con mờ f(X; T, t) là một nhóm con mờ của F (X)

Chứng minh Đặt à = f(X; T, t) Giả sử y1, y2 ∈ F (X) và w1 ∈ y1, w2 ∈ y2.Khi đó w1w2 ∈ y1y2 và

à(y1y2) = ∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(w)}|w ∈ y1y2}

≥ ∧{t ∧ ti|i ∈ I(w1w2)} = ∧{∧{t ∧ tij|ij ∈ I(wj)}|j = 1, 2}.Vì w1, w2 là tùy ý nên ta có

à(y1y2) ≥ ∨{∧{∧{t ∧ ti|i ∈ I(uj)}|j = 1, 2}|u1 ∈ y1, u2 ∈ y2}

= (∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(u1)}|u1 ∈ y1}) ∧ (∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(u2)}|u2 ∈ y2})

= à(y1) ∧ à(y2)

Hơn nữa, với mọi y ∈ F (X), w ∈ y−1 ⇐⇒ w−1 ∈ y và I(w) = I(w−1) nênà(y−1) = ∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(w)}|w ∈ y−1} = ∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(w−1)}|w−1 ∈ y}

= ∨{∧{t ∧ ti|i ∈ I(u)}|u ∈ y} = à(y)

Do đó f(X; T, t) là một nhóm con mờ của F (X)

Định nghĩa 2.4 Nhóm con mờ f(X; T, t) của F (X) được gọi là nhóm con

mờ tự do của F (X) theo X, T và t

Định lí 2.3 ([17]) Mọi nhóm con mờ đều là ảnh đồng cấu của một nhóm con

1 x(2)i

2 x(k)i

k ] 7−→ Qk

j=1m(xij)(j) (1)trong đó tích ở vế phải là phép nhân trên G Khi đó h là một toàn cấu từ

F (X) lên G Thật vậy, dễ thấy h là một đồng cấu Hơn nữa, với z ∈ G, đặt

s = à(z) Rõ ràng z ∈ às Theo giả thiết, Gs là tập sinh của às nên tồn tại

zl1, , zln trong Gs sao cho z = Qn

i=1zli Vì ms : Xs −→ Gs là toàn ánh nêntồn tại xl 1, , xln trong Xs sao cho zl i = ms(xli), i = 1, , n Ta có

h(ν)(z) = ∨{∨{∧{à(e) ∧ à(m(xi))|i ∈ I(w)}|w ∈ y}|h(y) = z} (2)Mặt khác, với mọi z ∈ G, với y ∈ F (X) sao cho

h(y) = z và w = x(1)

i1 x(2)i

2 x(k)i

k ∈ ytheo cách xác định h ở (1) ta có z = h(y) = Qk

j=1m(xij)(j) Theo định nghĩanhóm con mờ ta lại có

Phần tiếp theo của mục này có thể xem như là một mở rộng của Định lí2.2 Trước hết ta định nghĩa khái niệm tập sinh cho trường hợp mờ

Định nghĩa 2.5 Với tập S bất kì, đặt SP = {xt|x ∈ S, t ∈ [0, 1]} là tậphợp gồm tất cả các điểm mờ trong S Nếu Q ⊆ SP thì chân của Q là tập

f oot(Q) = {x ∈ S|xt ∈ Q}

Định nghĩa 2.6 Cho ν ∈ F(G) và J ⊆ [0, 1] Một họ {Bi|i ∈ J} gồm cáctập con khác rỗng của GP được gọi là sinh ra ν nếu thỏa mãn các điều kiệnsau:

1) ν(e) ∈ J và es(e) ∈ Bs(e), với e là đơn vị của G,

2) Với mọi xt ∈ GP, với mỗi i ∈ J mà xt ∈ Bi thì t = ν(x) = i,

3) Với mọi x ∈ G, tồn tại hữu hạn x1, x2, , xk ∈ f oot(∪i≥ν(x)Bi) saocho x = Qk

điều kiện 1), 2) của Định nghĩa 2.6 được thỏa mãn Ngoài ra, với mọi x ∈ G,

f oot(∪ν(y)≥ν(x)Bν(y)) = {y ∈ G|ν(y) ≥ ν(x)} nên x ∈ foot(∪ν(y)≥ν(x)Bν(y))

Do đó điều kiện 3) của Định nghĩa 2.6 được thỏa mãn Vậy họ {Bi|i ∈ ν(G)}xác định như trên sinh ra ν Từ đó có thể thấy rằng mọi nhóm con mờ có

ít nhất một tập sinh như thế

Kết quả sau đây là Bổ đề 5.18 của [13], được suy từ Định nghĩa 2.6

Mệnh đề 2.3 Cho ν ∈ F(G) và x ∈ G Nếu {Bi|i ∈ J} sinh ra ν thì

1) Tồn tại hữu hạn phần tử x1, x2, , xk ∈ f oot(∪i∈JBi) sao cho

x = Qk

j=1x(j)j và ν(x) = ν(x1) ∧ ν(x2) ∧ ∧ ν(xk) (1).2) Tồn tại hữu hạn (x1)ν(x1), (x2)ν(x2), , (xk)ν(xk) ∈ ∪i∈JBi sao cho

x = Qk

j=1x(j)j Do đó

x = Qk

j=1x(j)j , x1, x2, , xk ∈ f oot(∪i∈JBi).Tiếp theo ta chứng tỏ ν(x) = ν(x1) ∧ ν(x2) ∧ ∧ ν(xk) Thật vậy, vì

x1 ∈ f oot(∪i∈JBi) nên tồn tại i1 ∈ J sao cho (x1)i1 ∈ ∪i∈JBi Theo Địnhnghĩa 2.6, (x1)i1 ∈ Bi1 và i1 = ν(x1) Ta có

ν(x1) ∧ ν(x2) ∧ ∧ ν(xk) = i1 ∧ ∧ ik, ij = ν(xj), j = 1, , k

Giả sử i1 ∧ ∧ ik = t ∈ J Theo Định nghĩa 2.6, xt ∈ Bt và t = ν(x) Vậy

ν(x) = t = i1 ∧ ∧ ik = ν(x1) ∧ ν(x2) ∧ ∧ ν(xk).2)Theo 1), với x ∈ G, tồn tại hữu hạn phần tử x1, x2, , xk ∈ f oot(∪i∈JBi)sao cho (1) được thỏa mãn Khi đó (x1)ν(x1), , (xk)ν(xk) ∈ ∪i∈JBi và

h(w1w2) = Qk+l

j=1m(xij)(j) = Qk

j=1m(xij)(j)Qk+l

j=k+1m(xij)(j) = h(w1)h(w2)

Do đó h là một đồng cấu Mặt khác, với mọi z ∈ G, theo Mệnh đề 2.3,tồn tại hữu hạn z1, z2, , zk ∈ f oot(∪i∈JBi) sao cho z = Qk

j=1zj(j) Do

mi : Xi −→ Bi là toàn ánh nên m : X −→ foot(∪i∈JBi), x 7−→ f oot(mi(x))cũng là toàn ánh Thật vậy, với mọi y ∈ foot(∪i∈JBi), ∃t ∈ J sao cho

yt ∈ ∪i∈JBi Suy ra tồn tại i0 ∈ J để yt ∈ Bi0 Do mi 0 là toàn ánh nên

yt = mi0(xi0), với xi 0 ∈ Xi0 nào đó Hơn nữa foot(mi 0(xi0)) = f oot(yt) = y

Do đó m là toàn ánh Suy ra với mỗi zj ∈ f oot(∪i∈JBi), ∃xj ∈ X sao chom(xj) = zj Ta có

z = Qk

j=1zj(j) = h([x(1)1 x(2)2 x(k)k ]).Vậy h là một toàn ánh và do đó là một toàn cấu Hơn nữa 3) được thỏamãn, tức là h([x]) = m(x), ∀x ∈ X

Tính duy nhất của h suy từ Định lí 2.2

Bây giờ ta chứng minh 4)

Giả sử z ∈ G, z = Qk

j=1zj(j), trong đó zj ∈ f oot(∪i∈JBi), (j) ∈ {−1, 1},

j = 1, 2, , k Theo Mệnh đề 2.3, có thể xem ν(z) = ∧{ν(zj)|j = 1, 2, , k}.Tồn tại xi 1, xi2, , xik ∈ X sao cho m(xi j) = zj, j = 1, 2, , k (do m là toàn

ánh) và h([x(1)

i 1 x(2)i

2 x(k)i

k ]) = z Khi đóh(f (X; T, t))(z) = ∨{∨{t ∧ ti|i ∈ I(w)|w ∈ u|h(u) = z}}

= ∧{ν(e) ∧ ν(m(xij))|j = 1, , n} = ∧{t ∧ ti|i ∈ I(w)}.Vì u, w là bất kì nên

ν(z) ≥ ∨{∨{t ∧ ti|i ∈ I(w)|w ∈ u|h(u) = z}} = h(f (X; T, t))(z)

Vậy h(f(X; T, t))(z) = ν(z), ∀z ∈ G hay h(f(X; T, t)) = ν

Chú ý 2.1 Trong nhóm con mờ f(X; T, t) ở Định lí 2.4, mức của mỗi xtrong Xi bằng i Do đó biết được {Xi|i ∈ J} thì xác định rõ T Hơn nữa, vì

eν(e) ∈ Bν(e) nên việc xác định t = ν(e) cũng không cần thiết Vì X = ∪i∈JXi

nên X, T, t có thể xác định khi biết {Xi|i ∈ J} Vì thế kí hiệu f(X; T, t) cóthể viết đơn giản là f({Xi|i ∈ J})

2.2 Sự thể hiện của nhóm con mờ

Khái niệm thương là cần thiết để định nghĩa một sự thể hiện Vì vậy,trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm nhóm con mờ thương (xem Mệnh

đề 1.14 và Định nghĩa 1.14) với sự thay đổi về kí hiệu để thuận tiện cho việctrình bày Trong mục này, chúng tôi luôn kí hiệu G là một nhóm

Cho à là một nhóm con mờ của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của

G Ta định nghĩa tập con mờ àN của G/N như sau: ∀xN ∈ G/N,

àN(xN ) = ∨{à(y)|y ∈ xN }.Khi đó àN là một nhóm con mờ của G/N Ta gọi àN là thương của à bởi

N

Cho ν là một nhóm con mờ của G có tập sinh là {Bi|i ∈ J} Khi đó tồntại một họ {Xi|i ∈ J} gồm các tập hợp kí hiệu và một họ gồm các hàm{mi : Xi −→ Bi} sao cho 1) và 2) của Định lí 2.4 được thỏa mãn Giả sử

X = ∪i∈JXi và h : F (X) −→ G là một toàn cấu thỏa mãn 3) và 4) của Định

lí 2.4 Đặt à = f((Xi)i∈J), N = Ker(h) Khi đó ta có nhóm thương àN của àbởi N Ta định nghĩa ψ : F (X)/N −→ G như sau, ∀y ∈ F (X), ψ([y]) = h(y)

Rõ ràng ψ là một đẳng cấu (do h là một toàn cấu và Ker(ψ) = N) Với

N có thể được xác định bởi tập con S của N theo nghĩa N là nhóm conchuẩn tắc nhỏ nhất sinh bởi S Mỗi phần tử eS của S có thể xác định rõbằng cách chọn chữ rút gọn trong eS là đại biểu của nó Giả sử R là tập hợpgồm tất cả các chữ rút gọn này Khi đó ν hoàn toàn được xác định bởi cặph{Xi|i ∈ J}, Ri Cặp h{Xi|i ∈ J}, Ri được gọi là một thể hiện của ν Họ{Xi|i ∈ J} được gọi là họ sinh và R được gọi là tập các quan hệ của ν tươngứng với {Xi|i ∈ J}

Vì miền xác định của àN là F (X)/N, đẳng cấu với miền xác định G của

ν nên sự thể hiện của nhóm con mờ ν của G cho ta một sự thể hiện của miềnxác định của ν Hơn nữa, hai thể hiện có cùng quan hệ

Bây giờ ta xét các ví dụ minh họa cho định nghĩa và các định lí chính

Ví dụ 2.1 Xét nhóm cộng các số nguyên môđulô 12, Z12 Một nhóm con mờ