HÌNH HỌC TÓM TẮT LÝ THUYẾT ppt

Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC... Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm

HÌNH HỌC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ

1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng trong phép công trừ các véc tơ

 Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có :

*    AB BC   AC

* BCBA AC

 Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh ta có :   AB  AD   AC

 Trung điểm của đoạn thẳng :

I là trung điểm của đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta luôn có :

* IA  IB 0

* MAMB 2IM

 Trọng tâm của tam giác :

 G là trọng tâm của ABC  GA GB      GC  0 

 G là trọng tâm của ABC với điểm M tuỳ ý ta luôn có :

MA  MB  MC  MG

   

2) Tính chất : Cho ba véc tơ a 

, b 

và c 

ta có :

 a 

+ 0 

= 0  + a  = a  (Tính chất của véc tơ – không )

 a 

+ b 

= b  + a  (Tính chất giao hoán )

 (a 

+ b 

) + c  = a 

+ (b  + c  ) ( tính chất kết hợp )

II) PHÉP NHÂN MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ

1) Định nghĩa : Tích số k với một véc tơ a 

là một véc tơ là một số thực

kí hiệu : ka 

thỏa :

 Cùng hướng với véc tơ a 

nếu k  0

 Ngược hướng với véc tơ a 

nếu k > 0

 Có độ dài bằng ka 



2) Tính chất : Với mọi véc tơ a 

và mọi số thực k l ta có :

 k(la 

) = (k.l) a 

 (k + l)a 

= ka  + la 

 k(a 

+ b  ) = ka 

+ kb 

 1 a 

= a  ; 0.a  = 0  ; k.0  = 0 

3) Véc tơ cùng phương : hai véc tơ a 

và b  cùng phương (a 

 0  ) thì

có một số thực k duy nhất sao cho b 

= ka 

4) Ba điểm thẳng hàng :

Ba điểm A , B , C thẳng hàng   :k ABk AC

5) Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương :

Cho a 

và b 

không cùng phương luôn có duy nhất cặp số thực k , l sao cho

b

l

a

k

x 

III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VUÔNG GÓC

1) Tọa độ của véc tơ :

 Định nghĩa: u 

= (x ; y)  u 

= x i

+ y j

 Tính chất: Trong mp(Oxy) cho u 

= (x ; y) , v 

= (x’; y’) ta có :

















'

'

y y

x x v u

 u  + v  = (x + x’ ; y + y’)

 u 

- v  = (x – x’ ; y – y’)

 ku 

= (kx ; ky)

2) Tọa độ của một điểm :

 Định nghĩa: M(x ; y)  OM 

= x i

+ y j

 Tính chất:

Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB; yB) ta có :

 Véc tơ :  AB

= (xB– xA ; yB– yA)

 Trung điểm I của đoạn AB : 2

2

A B I

A B I

x x x

y y y













 



 Toạ độ trọng tâm G của ABC :

























3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

IV).GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

1) ĐỊNH NGHĨA :

 sin = y0

 cos = x0

 tg = 0

0

y

x ( x0  0 )

 cotg = 0

0

x

y ( y0  0 )

y M(x0 ; y0) B

y0



A’ x0 O A

x

2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG :

Độ

HSLG

0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

0

2

2 2

1 2

2

2

2



-1

3

3

cotg  3 1 1

3

3

3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

Tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau : (180o - ) và 

 sin(180o - ) = sin  cos(180o - ) = - cos

 tg(180o - ) = - tg  cotg(180o - ) = - cotg

Bi tập:

A Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A,

B, C , D , O

a) Bằng vectơ AB

; OB

b) Có độ dài bằng  OB



Bài 2 : Cho tam giác ABC Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB,

AC, BC CMR:

MN BP

 

; MA PN

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC,

CD, DA

Chứng minh : MNQP; NPMQ

Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH B'C

BC PQ DC

NP DA MN

BA

B CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO:

Bài 1: Cho 4 điểm bất ḱ M,N,P,Q Chứng minh các đẳng thức sau:

a) PQ   NPMNMQ

; b)  NPMNQP  MQ

;

c) MN  PQMQ  PN

; Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng:

a)     ADBA BC EDEC  0 

; b)    ADBCECBD AE

Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:

a) MN PQMQPN b)MPNQRSMS NPRQ

Bài 4: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh rằng :

a) AB



+ CD 

+ EA



= CB 

+ ED



b) AD 

+ BE 

+ CF



= AE 

+ BF 

+ CD



c) AB 

+ CD



+ EF 

+ GA



= CB



+ ED 

+ GF



d) AB



- AF



+ CD 

- CB 

+ EF



- ED



= 0 

Bài 5: Cho h́nh b́nh hành ABCD, có tâm O CMR: OA OB OC      OD 0 

Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :

O OE OD OC

OB

Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :

a) OA



+OB



+OC



+OD



+OE



+OF



=0



b) OA



+OC



+OE



= 0



c) AB



+AO 

+AF



=AD



d) MA



+MC 

+ME



= MB



+MD



+MF



( M tùy ý )

Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS

Chứng minh rằng : RF



+ IQ 

+ PS 

=0 

Bài 9: cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD Gọi E là trung điểm I J CMR: EA EB     ECED 0 

Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA CMR:

a)  ANBP CM  0 

; b)AN   AM AP

;

c)   AM BNCP 0 

Bài 11: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB CMR:

EA EB ECEDDA BC

     

Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B

a) Cho M là trung điểm AB CMR với điểm I bất ḱ : IA IB    2IM

b) Với N sao cho NA   2 NB

CMR với I bất ḱ : IA  2IB  3IN

c) Với P sao cho PA  3PB

CMR với I bất ḱ : IA  3IB   2IP

Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:

a) CMR: GA GB GC      0 

Với I bất ḱ : IA IB    IC 3 IG

b) M thuộc đoạn AG và MG = 1

4GA CMR 2MA MB    MC 0 

c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:

+   ADBE CF  0 

+ T́m điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm

Bài 14: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O CMR:

a) OA OB OC      OD 0 

;

b) với I bất ḱ :    IA IB ICID 4IO

C MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI:

Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a Tính độ dài các vectơ

,CA CB

BC

BA 

Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a 0

60

BAD  , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo Tính:

| ABAD

| ; BA BC  

; OB  DC

Bài 3: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a Tính:

ACBD

 

;    ABBCCDDA

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm của AC và BD Hăy tính :

IBIDJA JC

   

D Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Bài 1 Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC

a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng

b) Gọi E, F thoả mn : 1

3

ME MN

 

3

BF  BC

 

CMR : A, E, F thẳng hng

Bài 2 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mn AF =

2FC

a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mn 4EI = 3FI CMR : A,

M, I thẳng hng

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC v J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hng

c) Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hng

Bài 3 Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mn : MB  3MC O

,

3

AN NC

 

, PBPAO

  

MPCB CA MN CB CA

     

)

Bài 4 Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mn LB 2LC,

  1

2

MC MA

 

,

NBNAO

  

CM : L, M, N thẳng hng

Bài 5 Cho tam gic ABC với G l trọng tm I, J thoả mn : 2IA 3ICO

  

,

2JA 5JB 3JCO

   

a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC

b) CMR J là trung điểm BI

c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mn AEk AB

Xác định k để C, E, J thẳng hng

Bài 6 Cho tam giác ABC I, J thoả mn : IA  2IB , 3JA  2  JC O=

CMR : Đường thẳng IJ đi qua G

Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm AM và

K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =

3

1

AC Chứng minh ba điểm B,

I, K thẳng hàng

Bài 8: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức

O AC NA

AB O

MA

E Phân tích vecto theo các vecto khác phương Xác định vị trí một điểm thoả mn một đẳng thức Vectơ:

Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M sao cho :

a) MBMCAB

  

   

c) MA 2MB  MCO

d) MA  MB 2MC O

e)   MAMBMCO

f) MA  2MB  MCO

Bài 2: Cho tam giac ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB

G là trọng tâm tam giác ABC D, E xác định bởi : AD= 2ABvà AE=

5

2

AC

Tính DE vàDG theo ABvà AC Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng

F Hệ trục tọa độ

1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D

2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5)

a.Chứng minh ABC l một tam gic

b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC

c)Gọi I(0 ; 2) Chứng minh A ; G; M thẳng hng

d) Gọi D(-5;4) Chứng minh ABCD l hình bình hnh

2

1 1 0















)

; ( : 28 32 5

4

u

4.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác Tính tọa độ vecto

GB GC

GA

u  3  2  4 ĐS: (1 ; -14)

 ;  b  ;  c  ;  Phân tích vecto a theo 2 vecto b và c ĐS : a b c a

10

7 5

3 2

4 1

3 2



6.Cho a 5 ;  2 b 4 ; 1 c  2 ;  7

a.Chứng minh a ; b khơng cùng phương B.Phân tích vecto

b a c : ĐS b

; a vecto

2

theo

7.Cho 3 điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3)

a.Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Tìm D sao cho ABCD là hình

bình hành ĐS: D(–2;–1)

8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1)

a.Tìm trung điểm I của AC b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

ĐS: I ; D ( 0 ; 5 )

2

3

2

3

















9.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung

điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC

a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)

b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP cĩ cùng trọng tâm

10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4)

a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ĐS:

b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành

11.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5)

a.Chứng minh AB //CD b Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13) Hướng dẫn:

I độ tọa tìm hệ Giải -trình

phương

hệ

ra

Suy

-BC phương cùng

BI và AD phương cùng

AI BC

; AD

; BI

;

AI

