Trong các trường hợp trên ta phải dùng chính toa tầu, con thuyền, trái đất … làm hệ quy chiếu động và khảo sát chuyển động của điểm trong hệ quy chiếu này đồng thời xét chuyển động của h
Trang 1CHƯƠNG 8: HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM
I KHÁI NIỆM VỀ HỢP CHUYỂN ĐỘNG ĐIỂM
1 Bài toán v ề hợp chuyển động điểm
Trong thực tế chúng ta thường gặp trường hợp chất điểm trong một hệ quy chiếu nào
đó mà hệ quy chiếu ấy lại chuyển động so với hệ quy chiếu khác Ví dụ một số trường hợp sau:
- Một người chuyển động trên toa tầu và toa tầu chuyển động so với đường ray
- Con thuyền chuyển động so với dòng nước và dòng nước chuyển động so với bờ sông
- Vệ tinh chuyển động xung quanh trái đất và trái đất chuyển động xung quanh mặt trời
Trong các trường hợp trên ta phải dùng chính toa tầu, con thuyền, trái đất … làm hệ quy chiếu động và khảo sát chuyển động của điểm trong hệ quy chiếu này đồng thời xét chuyển động của hệ quy chiếu động so với hệ quy chiếu cố định là đường ray, bờ sông, mặt trời
2 Các định nghĩa về chuyển
động tuyệt đối, tương đối, theo
Mô hình bài toán được thiết lập như sau:
Khảo sát chuyển động của điểm M trong hệ quy
chiếu động Oxyz Hệ quy chiếu động Oxyz
chuyển động trong hệ quy chiếu cố định
1 1 1 1
O x y z Ta có các định nghĩa sau:
a, Chuyển động tuyệt đối: là chuyển động
của M so với hệ quy chiếu cố định O x y z Vận 1 1 1 1
tốc, gia tốc của M trong chuyển động tuyệt đối
được gọi là vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối và
được ký hiệu là Vura
,Wuura
b, Chuyển động tương đối: là chuyển động của M so với hệ quy chiếu động Oxyz Vận tốc, gia tốc của M trong chuyển động tương đối được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc tương đối và được ký hiệu là Vurr
,Wuurr
c, Chuyển động theo: là chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz so với hệ quy chiếu cố định O x y z 1 1 1 1
Để thiết lập biểu thức của vận tốc theo và gia tốc theo người ta đưa vào khái niệm trùng điểm: trùng điểm của điểm M là điểm M cố định trong hệ động Oxyz mà tại lúc * khảo sát điểm M trùng với M Vận tốc, gia tốc của * M so với hệ quy chiếu cố định *
1 1 1 1
O x y z được gọi là vận tốc theo, gia tốc theo và được ký hiệu là Vure
,Wuure
II ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC
1 Định lý hợp vận tốc Tại mỗi thời điểm, vận tốc
tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của vận tốc tương
đối và vận tốc theo
V =V +V
ur ur ur
(8.1)
2 Chứng minh
M
O
y
x
z 1
z
1
y 1
x
1
O
r r
*
M≡M
O
z
y
x
1
x
1
y
1
z
r r
i r j
r
kr 1
O
Trang 2Gọi r r ri, j,k
là các vectơ đơn vị thuộc hệ động Oxyz , toạ độ M trong hệ động là x,y,z
Ta có:
OMuuuur=x.ir+y jr+z.kr Theo định nghĩa ta có:
r
d OM V
dt
=
uuuur ur
( đạo hàm theo thời gian vectơ OMuuuur
trong hệ động, tức
i, j,k
r r r
=const)
⇒ r
1 e
d O M V
dt
=
uuuuur ur
( đạo hàm theo thời gian vectơ *
1
O Muuuuur trong hệ cố định, vì M* cố định trong hệ động nên x,y,z=const)
⇒ ( ) (1 * ) ( )
*
uuuuur
a
d O M V
dt
=
uuuur ur
( đạo hàm theo thời gian vectơ O Muuuur1
trong hệ cố định)
uuuur
+ dxi xd i dy j ydj dzk zdk
dt + dt + dt + dt+ dt + dt
⇔ a ( )1
= Vur ure+Vr
(ĐPCM)
III ĐỊNH LÝ HỢP GIA TỐC
1 Định lý hợp gia tốc
a, Định lý: Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của ba thành phần gia tốc là gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Côriôlít:
W =W +W +W
uur uur uur uur
(8.2)
b,Chứng minh:
Giả sử :
- Tại thời điểm t hệ động tại vị trí (I) và tại thời điểm t t′ = + ∆t hệ động tại vị trí (I’) như hình vẽ
(I)
(I’ )
1
O
1
Z
1 Y 1
X
r C
a C
e C r
V
ur Vura
e V ur
*
M≡M
e
C′
r
C′
* 1 M
r1
Vur
e1 V ur
M′ r
V′ uur e
Vuur′
a
V′ uur
Trang 3- C là quỹ đạo của M trong hệ cố định (tuyệt đối), a C và r C′r là quỹ đạo M trong hệ động (tương đối), C là quỹ đạo e M trong hệ cố định (theo), * C′e là quỹ đạo của trùng điểm với M′
- Vurr1
là vị trí của Vurr
tại thời điểm t mà ta tưởng tượng nó bị gắn chặt với hệ động
và bị hệ động kéo đi trong khoảng ∆t
- Vure1
là vận tốc theo của M tại thời điểm t t* ′ = + ∆t
Chú ý rằng Cr′chỉ là sự dời chỗ của C sang vị trí mới mà thôi còn r C′evàC thì là quỹ e đạo của hai điểm khác nhau cố định trên hệ động
Theo định nghĩa gia tốc ta có:
- Gia tốc tương đối: Người quan sát đứng trên hệ động để khảo sát nên gia tốc tương đối được xác định: r r r1
t 0
t
∆ →
′ −
=
∆
uur ur uur
(a)
- Gia tốc theo: là gia tốc của trùng điểm M trong hệ cố định: *
e1 e c
t 0
t
∆ →
−
=
∆
ur ur uur
(b)
- Gia tốc tuyệt đối: là gia tốc của M trong hệ cố định: a a
a
t 0
t
∆ →
′ −
=
∆
uur ur uur
(c) Theo định lý hợp vận tốc thì Vuur′a =Vuur uur′e+V′r
và Vura=Vur ure+Vr
nên ta có:
V′ −V =(V′ +V ) (V′ − +V )=(V′ −V ) (V+ ′ −V )
(d)
Để đưa về dạng của (a), (b) ta biến đổi:
(Vuur ur′ −V )=(Vuur ur′ −V ) (V+ ur −V )ur
và (Vuur ur′r −V )r =(Vuur ur′r−V ) (Vr1 + urr1−V )urr
(e) Thay vào (d) ta có thể viết lại là:
V′ −V =(V −V ) (V+ ′ −V )+(V′ −V ) (V+ −V )
Thay vào (c) ta được:
a a a
uur ur uur
t 0
t
∆ →
′ − + −
=
∆
uur
Định lý đã được chứng minh
Trong công thức Wuurc
gồm có hai thành phần Thành phần đầu phản ánh sự biến thiên của vận tốc theo khi M chuyển động trên hệ động Thành phần thứ hai biểu thị sự đổi hướng của vận tốc tương đối do chuyển động của hệ động gây ra
2 Quy t ắc thực hành xác định gia tốc Côriôlit
a, Trường hợp hệ động chuyển đông tịnh tiến: Khi hệ động chuyển động tịnh tiến thì
ta có Vurr1=Vurr
, mặt khác các điểm cố định trên hệ động đều có vận tốc như nhau nên
e e1
V′ =V
uur ur
Do đó ta có Wuurc =0
b, Trường hợp hệ động chuyển đông quay quanh trục cố định: Giả sử hệ động quanh
trục cố định với vận tốc góc là ωre Người ta đã chứng minh được:
W = ω ∧2 V
(8.3)
Từ đó ta có một số quy tắc sau:
Trang 4- ω ⊥re Vurr
: Quay Vurr
quanh ωre
một góc 2π theo chiều quay của ωre ta được hướng của Wuurc
Độ lớn được xác định Wuurc = ω2 .Ve r
- ·e, Vr
2
π
ωr ur ≠
: Chiếu ur
r
V lên phương vuông góc với ωre trong mặt phẳng chứaVurr
vàωre ta được Vurr1 Quay Vurr1 quanh
e
ωr một góc 2π theo chiều quay của ωre ta được hướng của Wuurc
Độ lớn được xác định Wuurc = ω2 e.V cosr α = ω2 e.Vr1
α r
Vur
2 π
e
ωr
c W uur
2 π
r1
Vur r
V ur
c W uur
e
ωr