171 đề hsg toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

Tính số viên bi của mỗi bạn Câu 3.. 6,0 điểm Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn 1 Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B.. Gọi H là trung điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN 7 Câu 1 (4,0 điểm)

1) Rút gọn :

:

A         

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012  x 2013 với x là số tự

nhiên

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Tìm x biết: 2 3 5x2 x1 x 10800

2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của

An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5

Tính số viên bi của mỗi bạn

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p 2 2012là hợp số

2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số Tìm n biết n  và 2n đều là các só chính 4

phương

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn

1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B Gọi H là trung

điểm BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC.Chứng minh

hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI CE

2) Phân giác của các góc ABC BDC cắt , AC BC lần lượt tại , , D M Phân giác

của góc BDA cắt BC tại N Chứng minh

1 2

BD MN

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho

và

1007 1008 2012 2013

Tính S P 2013

ĐÁP ÁN Câu 1.

1)

:

10 10 10 12 12 12

12 11 6 12 72

10 12 5 11 55

A         

Vậy

72 55

A 

2) P x 2012  x 2013

Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1

Nếu x 2013thì P x 2012  x 2013 1  x 2013 1

Nếu x 2012thì P x 2012  x 2013  x 2012 1 1 

Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012hoặc x 2013

Câu 2.

1) Ta có:

2

2 3 5 2 2 3 3.5 10800

x x x x x x

x

Vậy x  là kết quả cần tìm2

2) Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là , , a b c Vì tổng số viên bi của

ba bạn là 74 nên a b c  74

Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12

Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 4 5 12 15

Từ đó ta có:

74 2

10 12 15 10 12 15 37

a b c a b c 

Suy ra a20;b24;c 30

Câu 3.

1) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p3k1k,k 1

Với p3k1

Suy ra p220123k 12 2012 9 k2 6k 2013  p2 2012 3

Với p3k  1

Suy ra p220123k  122012 9 k2  6k 2013  p22012 3

Vậy p 2 2012là hợp số

2) Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2 n200

Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 36;64;100 ;

144;196

Với 2n36 n 18 n 4 22không là số chính phương

Với 2n64 n32 n 4 36là số chính phương

Với 2n100 n50 n 4 54 không là số chính phương

Với 2n144 n72 n 4 76 không là số chính phương

Với 2n196 n98 n 4 102 không là số chính phương

Vậy số cần tìm là n 32

Câu 4.

M D I

H E

A

1) Xét hai tam giác AIB và BCE có: AI BC ; BE BA

Góc IAB là góc ngoài của ABH nên:IAB ABH  AHB ABH 900

Ta có: EBC EBA ABC ABC   900 IAB EBC 

Do đó: ABI BEC c g c( )

Do ABI BEC AIB BCE

Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có:AIB IBH 900

Do đó: BCE IBH  900

Vậy CE vuông góc với BI

2) Do tính chất của đường phân giác, ta có: DM DN

Gọi F là trung điểm của MN Ta có: FM FD FN.  

Tam giác FDM cân tại F nên FMD MDF

  

MBD CDM MBD CDF

Ta có: MCD CDF CFD    (2)

Do tam giác ABC cân tại A nên MCD 2MBD (3)

Từ (1), (2), (3) MBD DFC hay tam giác DBF cân tại D.

Do đó:

1 2

BD DF  MN

Câu 5 Ta có:

1007 1008 2012 2013

1

1 1 1

1

2 3 4

2012 2013 S

Do đó S P 2013 0