171 đề HSG toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

Tính số viên bi của mỗi bạn Câu 3.. Tìm nbiết n+4 và 2nđều là các só chính phương.. 6,0 điểm Cho tam giác ABCcân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn 1 Về phía ngoài của tam giác vẽ tam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN 7 Câu 1 (4,0 điểm)

1) Rút gọn :

3 2 1 3 2 1

:

2 5 10 2 3 12

A= − +   − + 

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2012 2013

P= −x + −x

với xlà số tự nhiên

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Tìm xbiết:

2 3 5x+ x+ x =10800 2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của

An và Bình tỉ lệ với 5và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4

và 5

Tính số viên bi của mỗi bạn

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho

p

là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng

p +

là hợp số 2) Cho nlà số tự nhiên có 2 chữ số Tìm nbiết n+4

và 2nđều là các só chính phương

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn

1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE

vuông cân ở B Gọi H là trung điểm BC, trên tia đối của tia AH

lấy điểm I sao cho AI =BC.

Chứng minh hai tam giác ABI

và BECbằng nhau và BI ⊥CE

2) Phân giác của các góc ABC BDC,

cắt AC BC,

lần lượt tại D M,

Phân giác

của góc BDA

cắt BCtại N Chứng minh

1 2

BD= MN

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho

1

2 3 4 2011 2012 2013

và

1007 1008 2012 2013

Tính ( )2013

S P−

ĐÁP ÁN Câu 1.

1)

15 4 1 18 8 1

:

10 10 10 12 12 12

12 11 6 12 72

10 12 5 11 55

Vậy

72 55

A=

2)

2012 2013

P= −x + −x

Nếu x=2012

hoặc x=2013

thì P=1 Nếu x>2013

thì

2012 2013 1 2013 1

P= −x + −x > + −x >

Nếu x<2012

thì

2012 2013 2012 1 1

P= −x + −x > −x + >

Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x=2012

hoặc x=2013

Câu 2.

1) Ta có:

2

2 3 5 2 2 3 3.5 10800

2.3.5 900 30 30 2

x x x x x x

x

Vậy x=2

là kết quả cần tìm 2) Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a b c, ,

Vì tổng số viên bi của

ba bạn là 74 nên a b c+ + =74

Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12

a = ⇒b a = b

Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4

và 5 nên 4 5 12 15

Từ đó ta có:

74 2

10 12 15 10 12 15 37

a = b = c = a b c+ + = =

+ +

Suy ra a=20;b=24;c =30

Câu 3.

1) Vì

p

là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p=3k±1(k∈¥,k ≥1)

Với

3 1

p= k+

Suy ra

2 2012 3 1 2012 9 2 6 2013 2 2012 3

Với

3 1

p= k −

Suy ra

2 2012 3 1 2012 9 2 6 2013 2 2012 3

Vậy

p +

là hợp số 2) Vì nlà số có hai chữ số nên 9< <n 100⇒ <18 2n<200

Mặt khác 2nlà số chính phương chẵn nên 2ncó thể nhận các giá trị: 36;64;100

; 144;196

Với 2n=36⇒ = ⇒ + =n 18 n 4 22

không là số chính phương Với 2n=64⇒ =n 32⇒ + =n 4 36

là số chính phương Với 2n=100⇒ =n 50⇒ + =n 4 54

không là số chính phương Với 2n=144⇒ =n 72⇒ + =n 4 76

không là số chính phương Với 2n=196⇒ =n 98⇒ + =n 4 102

không là số chính phương

Vậy số cần tìm là n=32

Câu 4.

1) Xét hai tam giác AIB

và BCE có: AI = BC

;BE BA=

Góc ·IAB

là góc ngoài của ∆ABH

nên:

IAB ABH= +AHB ABH= +

Ta có:

EBC EBA ABC ABC= + = + ⇒IAB EBC=

Do đó:

( )

ABI BEC c g c

∆ = ∆

Do

· ·

Trong tam giác vuông IHB

vuông tại H có:

·AIB IBH+ · =900

Do đó:

· · 900

BCE IBH+ =

Vậy CEvuông góc với BI

2) Do tính chất của đường phân giác, ta có: DM ⊥ DN

Gọi F

là trung điểm của MN.Ta có: FM =FD FN=

Tam giác FDM

cân tại F nên

(góc ngoài của tam giác)

Ta có:

MCD CDF CFD= +

Do tam giác ABCcân tại A nên

MCD= MBD

Từ (1), (2), (3)

MBD DFC

hay tam giác DBF

cân tại D

Do đó:

1 2

BD DF= = MN

Câu 5 Ta có:

1007 1008 2012 2013

2 1006 1007 1008 2012 2013

1

2 1006

2 1006 1007 1008 2012 2013

2

2 4 6 2012

1 1 1

1

2 3 4

= − + − + 1 1

2012 2013 S

Do đó ( )2013

0

S P− =