Vậy phơng trình có duy nhất nghiệm x =1 Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng 2 vế, nhng khi biến đổi ph/tr sẽ có phép biến đổi không tơng đơng nên nếu thí sinh không thử lại trớc kh[r]
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
bắc Giang -
-kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2012-2013
Đề thi chính thức
môn : Toán Họ và tên, chữ ký
của giám thị số 1:
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1
Rút gọn biểu thức M =
2 2
với x , x < - 3.
Bài 2
Giải phơng trình: 32x 1 3 x 1 1
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đờng thẳng (dm) xác định bởi phơng trình:
(m-1)x + (m+1)y = 2(m 2 1) với m là tham số Tính khoảng cách từ điểm gốc toạ
độ O đến đờng thẳng (dm)
Bài 4
Cho đờng tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R) Điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ các đờng cao BD và CE của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H
1 Chứng minh: CH.CE + BH.BD = BC2
2 Chứng minh rằng đờng thẳng qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5
Tìm tất cả các số nguyên dơng x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100
Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 với x
- Hết
………
hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh
môn toán lớp 9 năm học 2012-2013
Trang 2Bài 1
3,5
điểm
Với x < -3, có: x+3 + 2 x 2 9 = (x3) (x 3) + 2 (x 3) 3 x
= (x 3).( (x 3) + 2 3 x )
và 6-2x + x 2 9 = … = 3 x (2 3 x + (x 3)
)
Từ đó suy ra M = (x 3)/ 3 x hay M = (x 3) /(x 3)
1,0 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ
Bài 2
3,5
điểm
Đặt 32x 1 = a, 3 x 1 = b, ta có hệ: a - b = 1; a3 - 2b3 = 1
Giải hệ trên, tìm đợc b = 0, a = 1
Từ đó tìm đợc nghiệm x =1 Vậy phơng trình có duy nhất nghiệm x =1
Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng 2 vế, nhng khi biến đổi ph/tr
sẽ có phép biến đổi không tơng đơng nên nếu thí sinh không thử lại trớc
khi kết luận về nghiệm của ph/tr đã cho thì trừ 1,5 điểm
1,0 đ 2,0 đ 0,5 đ
1,25 đ 0,5 đ
Bài 3
3 điểm * Với m = 1, (dđiểm có tung độ y = 1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) có ph/trình y = 1 => là đờng thẳng // với Ox, cắt Oy tạim) = 1
* Với m = -1, (dm) có ph/trình x = -1 => là đờng thẳng // với Oy, cắt Ox
tại điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1
* Với m 1, tìm đợc (dm) cắt Ox tại điểm A( 2(m 2 1)/(m-1); 0) và cắt
Oy tại điểm B(0; ( 2(m 2 1)/(m+1))
Trong OAB vuông tại O, kẻ đờng cao OH, có OA= 2(m 2 1)/(m-1) ,
OB = 2(m 2 1)/(m-1) ,
d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ OA2OB2
từ đó tính đợc OH = 1 với mọi m 1
Vậy OH = 1 với mọi m
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
Bài 4.1
2,5
điểm
Gọi K là giao của AH với BC, suy ra AK BC và K ở giữa B và C
Chứng minh đợc: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC
Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) = BC2
0,5 đ 1,5 đ 0,5 đ
Bài 4.2
2,5
điểm
Kẻ Ax là tiếp tuyến với đờng tròn (O; R) tại A
Có ∠ABC = ∠EDA; ∠ABC = ∠CAx
=> ∠EDA = ∠CAx => Ax // ED
do đó đờng thẳng At qua A và vuông góc với DE phải vuông góc với Ax
suy ra At đi qua tâm O của đờng tròn (O; R) là điểm cố định (đpcm !)
1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
điểm
Trang 3Bài 5
2 điểm
Có: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 < 13
cùng với giả thiết, có 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z => x+y+z = 12
Ta có hệ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2)
Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), đợc: y+2z = 4 (3)
Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y+2z ≥ 4, mâu thuẫn)
Với z = 1, tìm đợc y = 2 và x = 9
Thử lại, thấy đúng Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Bài 6
2 điểm Biến đổi đợc F(x) = x
4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 = (x2 - x + 1)2 +1 = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + 1 với x
Do (x-(1/2))2 0 với x =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)225/16 vớix
F(x) = 9/16 khi x = 1/2
Vậy F(x) nhỏ nhất = 25/16
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
1 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó
3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhng không dới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không
làm tròn
Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang.
Hình vẽ bài 4:
H
x
O
A
D E
K