Đs chuyên đề 24 thực tế đại số

ợ - Sử dụng công thức tính lãi đơn, lãi kép.. - Rút ra kết luận bài toán.

Ch ươ ng I

CÁC BÀI TOÁN TH C T S H C VÀ Đ I S Ự Ế Ố Ọ Ạ Ố

CH ƯƠ NG TRÌNH ĐÁNH GIÁ H C SINH QU C T PISA Ọ Ố Ế

A VÍ D MINH H A NG D NG TOÁN H C VÀO BÀI TOÁN TH C T Ụ Ọ Ứ Ụ Ọ Ự Ế

 Gi i quy t bài toán b ng ph ng pháp toán h c.ả ế ằ ươ ọ

 Làm cho l i gi i có ý nghĩa c a hoàn c nh th c ti n bao g m xác đ nh nh ng h nờ ả ủ ả ự ễ ồ ị ữ ạ

cao su, bu – lông, đai c)ố

Ta có nh ng phân tích sau đ i v i bài toán:ữ ố ớ

V n đ đ c đ t ra là ch n mua ván tr t có ch t l ng t t nh t Đây là tình hu ng th cấ ề ượ ặ ọ ượ ấ ượ ố ấ ố ự

t , th c s ph n ánh th c t cu c s ng hàng ngày c a nhi u H c sinh vì h u h t ch có m tế ự ự ả ự ế ộ ố ủ ề ọ ầ ế ỉ ộ

l ng ti n nh t đ nh đ chi tiêu và mu n mua ván tr t ch t l ng t t nh t v i s ti nượ ề ấ ị ể ố ượ ấ ượ ố ấ ớ ố ềmình có Đ i v i nh ng h c sinh không quen v i ván tr t thì các hình nh đ c đ a ra đố ớ ữ ọ ớ ượ ả ượ ư ểcung c p thêm các thông tin c n thi t.ấ ầ ế

Có 4 thành ph n cho m t chi c ván tr t và h c sinh ph i l a ch n 3 trong s 4 thành ph nầ ộ ế ượ ọ ả ự ọ ố ầ

đó (vì ch có m t m c giá cho m t b tr c) H c sinh có th d dàng xác đ nh các s ti n đỉ ộ ứ ộ ộ ụ ọ ể ễ ị ố ề ểmua khi thay đ i các thành ph n và so sánh nó v i s ti n ban đ u Có th xây d ng b nổ ầ ớ ố ề ầ ể ự ảtính ban đ u nh sau:ầ ư

nh ng con s là: s đ u tiên là 40, 60 ho c 65; s th hai là 14 ho c 36; s th ba là 16; s thữ ố ố ầ ặ ố ứ ặ ố ứ ố ứ

t là 10 ho c 20 Bài toán có th đ c di n đ t d i d ng ngôn ng toán h c nh sau:ư ặ ể ượ ễ ạ ướ ạ ữ ọ ư

Tìm 3 s ố a b c, , là s t nhiên khác ố ự 0 bi t r ng ế ằ a b+ + 16 + £c 120 (hay a b c+ + £ 104) v i đi u ớ ề

14 14 14 36 36 36 14 14 14 36 36 36

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

10 10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 20

Và tính t ng c a chúng đ tìm ra ph ng án phù h p là ổ ủ ể ươ ợ (65,14,16,20)

Tuy nhiên cách này m t nhi u th i gian v y có cách nào đ t n th i gian h n không? Giáoấ ề ờ ậ ỡ ố ờ ơviên có th g i ý h c sinh tính s ti n nhi u nh t ph i b ra và tìm các ph ng án gi m giáể ợ ọ ố ề ề ấ ả ỏ ươ ảthành.

Cách 2:

Có th th y r ng ván tr t t t nh t có giá: ể ấ ằ ượ ố ấ 65 36 16 20 137 + + + = là quá nhi u so v i s ti nề ớ ố ề

ta có nên c n l a ch n ph ng án khác C n gi m giá thành xu ng ít nh t ầ ự ọ ươ ầ ả ố ấ 17 zeds Có

nh ng kh năng sau đ có th gi m giá thành:ữ ả ể ể ả

So sánh hai cách làm ta th y đi u ph i li t kê kh năng x y ra nh ng cách gi i quy t sauấ ề ả ệ ả ả ư ả ế

ng n g n, giúp ta tìm th y đ c ngay l i gi i t i u và đây cũng là m t cách làm có th ápắ ọ ấ ượ ờ ả ố ư ộ ể

d ng trong nhi u tình hu ng khác trong th c t cu c s ng Nh v y khi gi i quy t m t bàiụ ề ố ự ế ộ ố ư ậ ả ế ộtoán c n suy nghĩ đ n t t c nh ng gi i pháp có th , đánh giá đ tìm đ c gi i pháp t i uầ ế ấ ả ữ ả ể ể ượ ả ố ư

nh t v m t ý nghĩa nào đó (ti t ki m th i gian, ti n b c, công s c, )ấ ề ộ ế ệ ờ ề ạ ứ

Qua các b c trên ta th y r ng ph ng án t t nh t tìm đ c là ướ ấ ằ ươ ố ấ ượ (65,14,16,20) Tuy nhiên bàitoán trên cũng cho th y m t th c t r ng gi a lý thuy t và th c t có nh ng khác bi t nh tấ ộ ự ế ằ ữ ế ự ế ữ ệ ấ

đ nh C th là ví d này v i l p lu n thích h p, m t trong nh ng gi i pháp đ a ra trênị ụ ể ở ụ ớ ậ ậ ợ ộ ữ ả ư ở(40,36,16,20) có th đ c coi là “t t h n” ví d h c sinh có th l p lu n r ng đ i v i m tể ượ ố ơ ụ ọ ể ậ ậ ằ ố ớ ộchi c ván tr t có b bánh xe ch t l ng t t là v n đ quan tr ng h n c ế ượ ộ ấ ượ ố ấ ề ọ ơ ả

Ví d 2ụ (Nh p tim) ị

Vì lý do s c kh e, ng i ta nên h n ch nh ng n l c c a h , ví d nh trong th thao nh p tim ứ ỏ ườ ạ ế ữ ỗ ự ủ ọ ụ ư ể ị không v t quá t n s nh t đ nh Trong nhi u năm qua m i quan h gi a t l khuy n cáo gi a ượ ầ ố ấ ị ề ố ệ ữ ỷ ệ ế ữ

nh p tim t i đa và đ tu i c a m t ng i đ c mô t b i công th c sau: ị ố ộ ổ ủ ộ ườ ượ ả ở ứ

Nh p tim t i đa đ c khuy n cáo ị ố ượ ế =220 tuoi

-Nghiên c u g n th y cho th y r ng công th c này nên đ c s a đ i m t chút Công th c m i nh ứ ầ ấ ấ ằ ứ ượ ử ổ ộ ứ ớ ư sau:

Nh p tim t i đa đ c khuy n cáo ị ố ượ ế = 208 (0,7x - tuoi)

Câu h i 1 ỏ

Hoàn thi n b ng sau v nh p tim t i đa đ c khuy n cáo: ệ ả ề ị ố ượ ế

B ng nh p tim t i đa đ ả ị ố ượ c khuy n cáo ế

Câu h i 4 ỏ

Nghiên c u cũng ch ra r ng t p th d c có hi u qu nh t khi nh p tim là ứ ỉ ằ ậ ể ụ ệ ả ấ ị 80% c a nh p tim t i đa ủ ị ố

đ c khuy n cáo theo công th c m i Hãy vi t và rút g n công th c cho nh p tim hi u qu nh t ượ ế ứ ớ ế ọ ứ ị ệ ả ấ

th hi n nh p tim t i đa trong m i phút và ể ệ ị ố ỗ x đ i di n cho tu i tính theo năm Vì hai hàm sạ ệ ổ ố

có h s góc khác nhau nên đ th c a chúng c t nhau t i m t đi m H c sinh có th tìm raệ ố ồ ị ủ ắ ạ ộ ể ọ ể

đ c đi m này b ng cách gi i ph ng trìnhượ ể ằ ả ươ

220 - x= 208 0,7 - x

Ho c gi i h ph ng trình b c nh t hai n đ suy ra là ặ ả ệ ươ ậ ấ ẩ ể x =40 và y =180

 N i dung c a câu 3, 4 th c ch t ng v i k năng rút g n bi u th c Đó là rút g n:ộ ủ ự ấ ứ ớ ỹ ọ ể ứ ọ

g x = - x Đi u đó có nghĩa là đ tu i trên 40 thì nh p tim đ c khuy n cáo côngề ở ộ ổ ị ượ ế ở

th c m i cao h n công th c ban đ u và th p h n công th c ban đ u v i l a tu i d i 40.ứ ớ ơ ứ ầ ấ ơ ứ ầ ớ ứ ổ ướ

Đ th bi u di n nh p tim theo công th c cũ và m i ồ ị ể ễ ị ứ ớ

Bài toán trên minh h a cho nh ng l i ích c a toán h c trong vi c gi i quy t nh ng v n đọ ữ ợ ủ ọ ệ ả ế ữ ấ ề

có liên quan đ n ch t l ng cu c s ng c a con ng i H c sinh ph i k t h p nhi u k năngế ấ ượ ộ ố ủ ườ ọ ả ế ợ ề ỹ

đã h c: k năng xây d ng hàm s , k năng rút g n bi u th c, k năng v và đ c hi u ýọ ỹ ự ố ỹ ọ ể ứ ỹ ẽ ọ ểnghĩa th c t c a đ th ự ế ủ ồ ị

Ví d 3 ụ (Gía sách)

Đ làm đ c m t giá sách ng i th m c c n các b ph n sau: ể ượ ộ ườ ợ ộ ầ ộ ậ 4 t m g dài, ấ ỗ 6 t m g ng n, ấ ỗ ắ 12

cái k p nh , ẹ ỏ 2 cái k p l n và ẹ ớ 14 cái c vít Ng i th m c đang có ố ườ ợ ộ 26 t m g dài, ấ ỗ 33 t m gấ ỗ

ng n, ắ 200 k p nh , ẹ ỏ 20 k p l n, ẹ ớ 510 cái c vít Ng i th m c có th làm đ c nhi u nh t là baoố ườ ợ ộ ể ượ ề ấ nhiêu cái giá sách?

Ta có nh ng phân tích sau đ i v i bài toán:ữ ố ớ

V n đ đ t ra là tìm s giá sách ng i th m c có th làm đ c Câu h i đ c đ t trong b iấ ề ặ ố ườ ợ ộ ể ượ ỏ ượ ặ ố

c nh th gi i th c và s th c t này là xác th c tuy nhiên ít ph c t p h n so v i h u h t cácả ế ớ ự ự ự ế ự ứ ạ ơ ớ ầ ế

v n đ th c t do h u nh không có thông tin không liên quan ho c d th a đ c đ a ra.ấ ề ự ế ầ ư ặ ư ừ ượ ư

M t cái giá sách c n s t m g dài, t m g ng n, k p nh , k p l n, c vít theo th t là: 4,ộ ầ ố ấ ỗ ấ ỗ ắ ẹ ỏ ẹ ớ ố ứ ự

6, 12, 2 và 14 Chúng ta có theo đ bài s t m g dài, t m g ng n, k p nh , k p l n, c vítề ố ấ ỗ ấ ỗ ắ ẹ ỏ ẹ ớ ốtheo th t là 26, 33, 200, 20, 510.ứ ự

C n chuy n câu h i: ầ ể ỏ “Ng i th m c có th làm đ c bao nhiêu cái giá sách?” ườ ợ ộ ể ượ thành m t v nộ ấ

đ toán h c Đó có th là tìm b i s l n nh t c a t p đ u tiên (4, 6, 12, 2 và 14) th a mãn t pề ọ ể ộ ố ớ ấ ủ ậ ầ ỏ ậcòn l i (26, 33, 200, 20, 510).ạ

T đó h c sinh s có mô hình toán h c c a bài toán th c t trên th c ch t là đi tìm ừ ọ ẽ ọ ủ ự ế ự ấ k là s tố ựnhiên l n nh tớ ấ (k ¹ 0) đ ng th i th a mãn các đi u ki nồ ờ ỏ ề ệ

4k£ 26,6k£ 33,12k£ 200,2k£ 20,14k£ 510 (hay nói cách khác là k là s t nhiên l n nh tố ự ớ ấ

H c sinh có th gi i bài toán b ng cách li t kê theo b ng d i đây:ọ ể ả ằ ệ ả ướ

Ti p t c li t kê đ n khi th y m t con s v t ra ngoài giá tr c a t p còn l i bài toánế ụ ệ ế ấ ộ ố ượ ị ủ ậ ạ Ởtrên, h c sinh s th y r ng n u làm 6 giá sách thì c n có 36 t m g ng n trong khi theo dọ ẽ ấ ằ ế ầ ấ ỗ ắ ữ

ki n đ bài ta ch có 33 t m g ng n V y ng i th m c có th làm đ c nhi u nh t là 5ệ ề ỉ ấ ỗ ắ ậ ườ ợ ộ ể ượ ề ấcái giá sách

Tuy nhiên cách này khá dài dòng và n u s li u đ a ra là nh ng con s r t l n thì cách nàyế ố ệ ư ữ ố ấ ớkhông kh thi V y còn cách nào khác không?ả ậ

Susan nh n ra r ng b n y đã s d ng nhi u các kh i l p ph ng nh h n m c c n thi t đ làm ậ ằ ạ ấ ử ụ ề ố ậ ươ ỏ ơ ứ ầ ế ể

đ c hình kh i nh trong hình 2 B n y th y có th dán các kh i nh đ đ c m t kh i trông ượ ố ư ạ ấ ấ ể ố ỏ ể ượ ộ ố

gi ng nh hình 2 nh ng r ng bên trong Em có bi t s l ng t i thi u các kh i l p ph ng nh ố ư ư ỗ ế ố ượ ố ể ố ậ ươ ỏ

mà b n y c n đ làm đ c hình kh i nh hình 2 nh ng r ng bên trong là bao nhiêu không? ạ ấ ầ ể ượ ố ư ư ỗ

Câu h i 4 ỏ

Bây gi Susan mu n làm m t hình kh i trông gi ng nh m t hình kh i đ c có đ dài là 6 kh i l p ờ ố ộ ố ố ư ộ ố ặ ộ ố ậ

ph ng nh , chi u r ng là ươ ỏ ề ộ 5 kh i l p ph ng nh và chi u cao là ố ậ ươ ỏ ề 4 kh i l p ph ng nh B nố ậ ươ ỏ ạ

y mu n dùng ít nh t các kh i l p ph ng nh b ng cách đ l r ng l n nh t có th bên trong

hình kh i này S t i thi u các kh i lâp ph ng nh mà Susan c n dùng đ làm hình kh i nh ố ố ố ể ố ươ ỏ ầ ể ố ư trên là bao nhiêu?

Bài toán trên g m m t lo i câu h i khai thác nh ng ki n th c v th tích c a hình h p chồ ộ ạ ỏ ữ ế ứ ề ể ủ ộ ữ

nh t tuy nhiên các ki n th c toán h c không đ c đ a ra m t cách t ng minh mà n gi uậ ế ứ ọ ượ ư ộ ườ ẩ ấ

d i m t lo t tình hu ng x y ra trong th c t mà h c sinh có th quan sát đ c Đ gi iướ ộ ạ ố ả ự ế ọ ể ượ ể ảquy t đ c bài t p h c sinh c n ph i hi u đ c nh ng ki n th c toán h c n d u bênế ượ ậ ọ ầ ả ể ượ ữ ế ứ ọ ẩ ấtrong tình hu ng đ a ra là gì N u ch a th hi u ngay đ c th c ch t yêu c u thì v i câu 1ố ư ế ư ể ể ượ ự ấ ầ ớ

m t cách t nhiên là h c sinh s tìm cách đ đ m các kh i l p ph ng nh hình 1 có 2ộ ự ọ ẽ ể ế ố ậ ươ ỏ Ở

l p kh i l p ph ng m i l p có ớ ố ậ ươ ỗ ớ 2x3 6 kh i l p ph ng nh V y t ng s kh i l pố ậ ươ ỏ ậ ổ ố ố ậ

ph ng s là ươ ẽ 6x2 12 kh i hình 2 v i cách tính t ng t ta cũng tính đ c s kh i l pố Ở ớ ươ ự ượ ố ố ậ

ph ng c n thi t s là ươ ầ ế ẽ 27 kh i GV có th đ a ra câu h i: V y đ tính đ c s kh i l pố ể ư ỏ ậ ể ượ ố ố ậ

ph ng c n thi t cho m t kh i hình h p ch nh t b t kì ta có th làm th nào? D a trênươ ầ ế ộ ố ộ ữ ậ ấ ể ế ự

vi c so sánh cách làm m i ví d , h c sinh s có th nh n xét là v m t th c ch t ta có thệ ở ỗ ụ ọ ẽ ể ậ ề ặ ự ấ ểtính s l ng kh i l p ph ng c n có thông qua tính th tích hình h p ch nh t v i m iố ượ ố ậ ươ ầ ể ộ ữ ậ ớ ỗ

kh i l p ph ng nh có th hi u là hình l p ph ng đ n v Đây cũng có th là m t cáchố ậ ươ ỏ ể ể ậ ươ ơ ị ể ộxây d ng cách tính th tích hình h p ch nh t, hình l p ph ng r t t nhiên.ự ể ộ ữ ậ ậ ươ ấ ự

Câu 3, 4 là câu h i đòi h i v n d ng sâu h n V i hình v tr c quan h c sinh có th tínhỏ ỏ ậ ụ ơ ớ ẽ ự ọ ể

đ c ngay s kh i l p ph ng t i thi u câu 3 là ượ ố ố ậ ươ ố ể ở 26 kh i Tuy nhiên m c đ khó tăng lênố ứ ộ câu 4, h c sinh không th d a trên hình v tr c quan n a vì v y GV có th có nh ng g i ý

đ giúp h c sinh tìm đ c cách làm C th có th coi hình c n xây d ng g m 4 l p mà m iể ọ ượ ụ ể ể ầ ự ồ ớ ỗ

l p g m có ớ ồ 5x6 30 = kh i l p ph ng nh V y ta có th b b t các kh i l p ph ng nh ố ậ ươ ỏ ậ ể ỏ ớ ố ậ ươ ỏ ở

l p nào mà không làm nh h ng đ n hình d ng bên ngoài c a kh i? Câu tr l i là ch cóớ ả ưở ế ạ ủ ố ả ờ ỉ

th b các kh i l p ph ng nh n m các l p gi a tr các kh i bao quanh V y s kh iể ỏ ố ậ ươ ỏ ằ ở ớ ữ ừ ố ậ ố ố

l p ph ng có th b b t l p th 2 là bao nhiêu? (12 kh i) T đó tính đ c s l ng kh iậ ươ ể ỏ ớ ở ớ ứ ố ừ ượ ố ượ ố

l p ph ng c n thi t là: ậ ươ ầ ế 6x5x4 12x2 96 - = kh i.ố

B L I BÌNH Ờ

Pisa đ c xây d ng b i các nhà khoa h c có uy tín các n c phát tri n nên đ m b o tínhượ ự ở ọ ở ướ ể ả ảchính xác Nhi u n i dung c a Pisa hoàn toàn áp d ng đ c trong ch ng trình Trung h cề ộ ủ ụ ượ ươ ọ

c s n c ta H c sinh thông qua các n i dung c a Pisa s th y đ c m i liên h gi aơ ở ở ướ ọ ộ ủ ẽ ấ ượ ố ệ ữ

ng d ng c a toán h c và th c ti n cu c s ng H c sinh c m th y thích thú hang say h c

toán h n r t nhi u so v i vi c h c các ki n th c toán h c tr u t ng, khô khan Pisa giúpơ ấ ề ớ ệ ọ ế ứ ọ ừ ượ

h c sinh th y toán h c th t s h p d n, th t s b ích Pisa kích thích lòng ham mê, h c t pọ ấ ọ ậ ự ấ ẫ ậ ự ổ ọ ậ

c a các em h c sinh V i các câu h i đa d ng, phong phú, phù h p v i nhi u m c đ trìnhủ ọ ớ ỏ ạ ợ ớ ề ứ ộ

đ h c sinh khác nhau, Pisa giúp giáo viên đánh giá đ y đ đ c năng l c, t duy, năng l cộ ọ ầ ủ ượ ự ư ựngôn ng , năng l c v n d ng toán h c vào th c ti n c a h c sinh Pisa chính là tài li uữ ự ậ ụ ọ ự ễ ủ ọ ệquan tr ng và c n thi t cho vi c d y và h c toán b c Trung h c c s n c ta hi n nay.ọ ầ ế ệ ạ ọ ở ậ ọ ơ ở ở ướ ệ

C BÀI T P LUY N T P Ậ Ệ Ậ

Bài toán 1 (T giá)ỉ

Mei – Ling t Singapore đang chu n b đ n Nam Phi theo ch ng trình trao đ i sinh viên Cô y ừ ẩ ị ế ươ ổ ấ

c n đ i m t s đô la Singapore (SGD) thành đ ng rand Nam Phi (ZAR) ầ ổ ộ ố ồ

Câu h i 1 ỏ

Mei – Ling bi t r ng t giá gi a đô la Singapore và đ ng rand Nam Phi là: ế ằ ỉ ữ ồ 1SGD= 4,2ZAR Mei – Ling mu n đ i ố ổ 3000 đô la Singapore thành đ ng rand Nam Phi v i t giá trên Mei – Ling đ i đ c ồ ớ ỉ ổ ượ bao nhiêu đ ng rand Nam Phi? ồ

Câu h i 2 ỏ

Quay tr l i Singapore sau 3 tháng, Mei – Ling còn ở ạ 3900ZAR Cô y mu n đ i thành đô la ấ ố ổ Singapore và t giá lúc này là: ỉ 1SGD= 4ZAR Mei – Ling đ i đ c bao nhiêu đô la Singapore? ổ ượ

Câu h i 3 ỏ

Trong 3 tháng, t giá đã thay đ i t ỉ ổ ừ 4,2 xu ng ố 4ZAR cho m i ỗ SGD Mei – Ling có l i không khi cô ợ

đ i đ ng rand Nam Phi thành đô la Singapore? Hãy đ a ra l i gi i thích cho câu tr l i c a b n ổ ồ ư ờ ả ả ờ ủ ạ

Bài toán 2 (Trò chuy n qua Internet)ệ

Mark (t Sydney, Australia) và Hans (t Berlin, Đ c) th ng xuyên trao đ i v i nhau b ng cách ừ ừ ứ ườ ổ ớ ằ

s d ng “Chat” trên Internet Đ có th trò chuy n, h ph i đăng nh p cùng m t lúc vào m ng ử ụ ể ể ệ ọ ả ậ ộ ạ

Đ tìm th i đi m thích h p, Mark tìm b ng múi gi qu c t (Hình v ) và th y nh sau: ể ờ ể ợ ở ả ờ ố ế ẽ ấ ư

Mark và Hans không th liên l c v i nhau vào kho ng th i gian t 9 gi sang đ n 4 gi 30 phút ể ạ ớ ả ờ ừ ờ ế ờ

bu i chi u (gi đ a ph ng) vì h ph i đi h c Ngoài ra, t 11 gi t i đ n 7:00 sáng (gi đ a ổ ề ờ ị ươ ọ ả ọ ừ ờ ố ế ờ ị

ph ng) h cũng th trò chuy n vì đó là gi đi ng ươ ọ ể ệ ờ ủ

Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyện với nhau? Hãy viết giờ địaphương vào bảng dưới đây:

Đ a đi m ị ể Th i gian ờ

Sydney Berlin

Bài toán 3

B n Lan nói v i b n Tu n r ng: “Trái đ t xoay quanh m t tr i và cách m t tr i ạ ớ ạ ấ ằ ấ ặ ờ ặ ờ 150 tri u km.ệ

N u kho ng cách này tăng thêm m t kilomet thì th i gian mà trái đ t quay quanh m t tr i cũng ch ế ả ộ ờ ấ ặ ờ ỉ

Bảng cước phí bưu điện của Zealand

Tr ng l ọ ượ ng (tính b ng gam) ằ C ướ c phí

Jan mu n g i ố ử 2 b u ph m cho m t ng i b n v i tr ng l ng l n l t là ư ẩ ộ ườ ạ ớ ọ ượ ầ ượ 40 gam và 80 gam.

Theo b ng c c phí trên thì Jan nên g i ả ướ ử 2 b u ph m thành m t b u ki n hay g i tách riêng thànhư ẩ ộ ư ệ ử

2 b u ki n thì có l i h n Vì sao? ư ệ ợ ơ

Bài toán 5 (S tăng tr ng) ự ưở

Năm 1998, chi u cao trung bình c a nam n thanh thi u niên Hà Lan đ c bi u di n b ng bi u ề ủ ữ ế ở ượ ể ễ ằ ể

- Có l i vì cô y nh n ợ ấ ậ 4,2ZAR cho 1SGD nh ng ch ph i tr ư ỉ ả ả 4ZAR cho 1SGD.

- Có, b i t giá h i đoái th p h n, Mei -Ling s nh n đ c nhi u đô la Singapore h nở ỷ ố ấ ơ ẽ ậ ượ ề ơ

v i s ti n đang có.ớ ố ề

- Có, b i vì m i ở ỗ SGD r h n đ c ẻ ơ ượ 0,2ZAR

- Có, b i vì khi b n chia cho ở ạ 4,2 k t qu s nh h n so v i khi b n chia cho ế ả ẽ ỏ ơ ớ ạ 4

- Có, có l i cho mình b i n u nó không xu ng thì cô y s nh n ít h n kho ng ợ ở ế ố ấ ẽ ậ ơ ả 50SGD

Nh n xét ậ

Hai câu h i đ u tiên c a bài t p thu c v năng l c tái hi n C hai đ u yêu c u h c sinh liên k t ỏ ầ ủ ậ ộ ề ự ệ ả ề ầ ọ ế các thông tin cung c p theo yêu c u tính toán tuy nhiên câu 2 khó h n vì nó yêu c u đ o ng c suy ấ ầ ơ ầ ả ượ nghĩ Câu 3 có m c đ khó cao h n yêu c u h c sinh tr c h t là xác đ nh các d ki n toán h c có ứ ộ ơ ầ ọ ướ ế ị ữ ệ ọ liên quan, so sánh c hai câu tr l i, k t lu n và đ ng th i gi i thích k t lu n đ a ra kì đánh giá ả ả ờ ế ậ ồ ờ ả ế ậ ư Ở

2003 có 79,7% h c sinh thu c kh i OECD tr l i đúng câu h i 3 ọ ộ ố ả ờ ỏ

Ki u câu h i: Câu h i có câu tr l i ng n.ể ỏ ỏ ả ờ ắ

Đáp án: H c sinh s tr l i đúng n u đ a ra đ c b t kì th i gian nào phù h p v i đi uọ ẽ ả ờ ế ư ượ ấ ờ ợ ớ ề

ki n đã cho và chênh l ch v th i gian là 9 gi Đáp án có th đ c l y t m t trong nh ngệ ệ ề ờ ờ ể ượ ấ ừ ộ ữkho ng th i gian sau đây:ả ờ

Sydney: 4:30 PM – 6:0 PM; Berlin: 7:30 PM – 9:00 AM

Sydney: 7:00 AM – 8:00 AM; Berlin: 10:00 PM – 11:00 PM

Nh n xét ậ

M c dù các d ki n đ a ra ít và có v đ n gi n nh ng đây là m t câu h i khá ph c t p H c ặ ữ ệ ư ẻ ơ ả ư ộ ỏ ứ ạ ọ sinh c n hi u đ c r ng th i gian ng và th i gian tr ng h n ch th i gian thích h p hai ầ ể ượ ằ ờ ủ ờ ở ườ ạ ế ờ ợ

ng i có th trò chuy n v i nhau Đ u tiên c n ph i xác đ nh th i gian r i c a m i ng i theo ườ ể ệ ớ ầ ầ ả ị ờ ỗ ủ ỗ ườ

gi đ a ph ng sau đó so sánh đ tìm đ c th i gian mà c hai có th th c hi n chúng cùng m t ờ ị ươ ể ượ ờ ả ể ự ệ ộ lúc Theo báo cáo c a PISA năm 2003, ch có ủ ỉ 29% h c sinh các n c trong kh i OECD tr l i thành ọ ướ ố ả ờ công câu h i này ỏ

Bài toán 3

N u bán kính c a qu đ o trái đ t b ng ế ủ ỹ ạ ấ ằ R (km) thì chi u dài qu đ o là ề ỹ ạ 2 R p (km) Khi

ta kéo dài bán kính thêm m t km thì chi u dài c a qu đ o m i s là ộ ề ủ ỹ ạ ớ ẽ 2 (p R r+ = ) 2p R + 2p

(km) (hình v ):ẽ

Nh v y qu đ o m i ch dài thêm ư ậ ỹ ạ ớ ỉ 2p km hay x p x ấ ỉ 61

T : S ti n c v n l n lãi sau ố ề ả ố ẫ n kì h n;ạ

M : Ti n g i ban đ u;ề ử ầ

n : S kì h n tính lãi;ố ạ

r : Lãi su t đ nh kì, tính theo ấ ị %

Tr ườ ng h p 1: Ti n đ ợ ề ượ ử c g i vào cu i m i tháng ố ỗ

r éêë + - ùúû + + r = r éêë + - ùúû.+ Cu i tháng th ố ứn, ng i đó có s ti n là:ườ ố ề

n ợ

- Sử dụng công thức tính lãi đơn, lãi kép

- Rút ra kết luận bài toán

Lãi su t ấ 12%/năm t ng ng ươ ứ 1%/tháng, nên r =0,01 (do vay ng n h n).ắ ạ

Ông Tân mong mu n s h u kho n ti n ố ở ữ ả ề 20.000.000 đ ng vào ngày 02/03/2012 m t tài kho n lãi ồ ở ộ ả

su t năm là ấ 6,05% H i ông Tân c n đ u t bao nhiêu ti n trên tài kho n này vào ngày 02/03/2007 ỏ ầ ầ ư ề ả

đ đ t đ c m c tiêu đ ra? ể ạ ượ ụ ề

G i ọ V0 là l ng v n c n đ u t ban đ u, l ng v n s đ c đ u t trong 5 năm nên ta có:ượ ố ầ ầ ư ầ ượ ố ẽ ượ ầ ư

5 0

Bà Hoa g i ử 100 tri u vào tài kho n đ nh kì tính lãi kép v i lãi su t là ệ ả ị ớ ấ 8%/năm Sau 5 năm bà rút

toàn b ti n và dùng m t n a đ s a nhà, s ti n còn l i bà ti p t c đem g i ngân hàng trong ộ ề ộ ữ ể ử ố ề ạ ế ụ ử 5

năm v i cùng lãi su t Tính s ti n lãi thu đ c sau ớ ấ ố ề ượ 10 năm?

Sau 5 năm bà Hoa rút đ c t ng s ti n là:ượ ổ ố ề

5 100(1 8%) + = 146,932(tri u đ ng).ệ ồSuy ra s ti n lãi là: ố ề 5

1 100(1 8%) + - 100 L=

Bà Hoa dùng m t n a đ s a nhà, n a còn l i g i vào ngân hàng.ộ ử ể ử ử ạ ử

Suy ra s ti n bà g i ti p vào ngân hàng là:ố ề ử ế

5 73,466(1 8%) + = 107,946 (tri u đ ng).ệ ồSuy ra s ti n lãi là: ố ề 107,946 73,466 L- = 2

V y s ti n lãi bà Hoa thu đ c sau ậ ố ề ượ 10 năm là:

1 2 81,412

L +L » (tri u đ ng).ệ ồ

Ví d 5 ụ

M t ng i l n đ u g i ti n vào ngân hàng ộ ườ ầ ầ ử ề 100 tri u đ ng v i kì h n ệ ồ ớ ạ 3 tháng, lãi su t ấ 2%/quý

theo hình th c lãi kép Sau đúng ứ 6 tháng ng i đó g i thêm ườ ử 100 tri u đ ng v i kì h n và lãi su t ệ ồ ớ ạ ấ

nh tr c đó T ng s ti n ng i đó nh n đ c ư ướ ổ ố ề ườ ậ ượ 1 năm sau khi g i thêm ti n là bao nhiêu?ử ề

Ba tháng = 1 quý nên 6 tháng = 2 quý và 1 năm ng v i ứ ớ 4 quý

Sau 6 tháng ng i đó có t ng s ti n là:ườ ổ ố ề

2 100.(1 2%) + = 104,04 (tri u đ ng).ệ ồ

Ng i đó g i thêm ườ ử 100 tri u nên sau đó t ng s ti n khi đó là:ệ ổ ố ề

104,04 100 204,04 + = (tri u đ ng).ệ ồSuy ra s ti n sau ố ề 1 năm n a là:ữ

4 204,04 (1 2%) ´ + » 220 (tri u đ ng).ệ ồ

Ví d 6 ụ

M t ng i g i vào ngân hàng ộ ườ ử 100 tri u đ ng v i lãi su t ban đ u ệ ồ ớ ấ ầ 4%/năm và lãi hàng năm đ c ượ

nh p vào v n C sau m t năm lãi su t tăng ậ ố ứ ộ ấ 0,3% H i sau ỏ 4 năm t ng s ti n ng i đó nh n ổ ố ề ườ ậ

đ c là bao nhiêu? ượ

4,6 1 100

4,9 1 100

M t ng i g i vào ngân hàng ộ ườ ử 100 tri u đ ng v i kì h n ệ ồ ớ ạ 3 tháng lãi su t ấ 5% m t quý theo hình ộ

th c lãi kép (sau ứ 3 tháng s tính lãi và c ng vào g c) Sau đúng ẽ ộ ố 6 tháng, ng i đó g i thêm ườ ử 50

tri u đ ng v i kì h n và lãi su t nh tr c đó Cho bi t s ti n c g c và lãi đ c tính theo công ệ ồ ớ ạ ấ ư ướ ế ố ề ả ố ượ

th c ứ T =A(1 +r)n , trong đó A là s ti n g i, ố ề ử r là lãi su t và ấ n là s kì h n g i Tính t ng s ố ạ ử ổ ố

ti n ng i đó nh n đ c ề ườ ậ ượ 1 năm sau khi g i ti n.ử ề

Sau 6 tháng (2 quý = 2 kì h n) ng i đó có s ti n:ạ ườ ố ề

2

1 100.(1 5%) 110,25

T = + - (tri u đ ng).ệ ồSau khi g i thêm ử 50 tri u thì s ti n trong ngân hàng là:ệ ố ề

2 1 50.

T =T +Suy ra s ti n thu đ c sau ố ề ượ 6 tháng n a đ tròn ữ ể 1 năm là:

M t ng i g i ngân hàng ộ ườ ử 80 tri u đ ng theo hình th c lãi đ n v i lãi su t ệ ồ ứ ơ ớ ấ 3%/quý H i sau ít ỏ

nh t bao lâu s ti n thu v h n g p r i s ti n v n? ấ ố ề ề ơ ấ ưỡ ố ề ố

G i ọ x là s quý đ thu v s ti n h n g p r i v n ố ể ề ố ề ơ ấ ưỡ ố 1.80 40

V y s tháng c n là: ậ ố ầ 17.3 51 = (tháng)

Ví d 10 ụ

M t ng i g i ngân hàng ộ ườ ử 100 tri u đ ng theo hình th c lãi đ n v i lãi su t ệ ồ ứ ơ ớ ấ 8%/năm H i sau ỏ 3

năm t ng s ti n thu v là bao nhiêu? ổ ố ề ề

Vì hình th c lãi đ n nên ta có t ng s ti n sau ứ ơ ổ ố ề 1 năm là:

100 100.0,8 108 + = (tri u đ ng).ệ ồ

T ng s ti n sau ổ ố ề 2 năm là: 108 100.0,08 116 + = (tri u đ ng).ệ ồ

T ng s ti n sau ổ ố ề 3 năm là: 116 100.0,08 124 + = (tri u đ ng).ệ ồ

Ví d 11 ụ

Ông Bách d đ nh đ u t kho n ti n ự ị ầ ư ả ề 20.000.000 đ ng vào m t d án v i lãi su t tăng d n ồ ộ ự ớ ấ ầ 3,35%

trong 3 năm đ u; ầ 3,75% trong 2 năm k và ế 4,8% ở 5 năm cu i Tính giá tr kho n ti n ông Bách ố ị ả ề

nh n đ c vào cu i năm th ậ ượ ố ứ 10.

S ti n ông Bách thu đ c trong ố ề ượ 3 năm đ u:ầ

Bài toán tính lãi su t ngân hàng có vai trò đ c bi t quan tr ng trong đ i s ng, kinh t Các ấ ặ ệ ọ ờ ố ế

d ng toán này liên quan tr c ti p đ n vi c phát tri n kinh t , cũng nh giúp cho đ i s ng ạ ự ế ế ệ ể ế ư ờ ốnhân dân tr nên giàu h n.ở ơ

Chính vì th chúng ta c n quan tâm cũng nh nghiên c u đ n d ng toán tính lãi su t ngân ế ầ ư ứ ế ạ ấhàng này

D BÀI T P LUY N T P Ậ Ệ Ậ

Bài toán 1

Ông Bách mua chi c xe giá ế 10,5 tri u M t công ty tài chính đ ngh ông Bách tr ngay ệ ộ ề ị ả 1.800.000

đ ng ti n m t, ồ ề ặ 2.900.000 đ ng cu i ồ ố 2 năm ti p theo và ế 2.000.000 đ ng cu i các năm th ba và ồ ố ứ

th t Bi t lãi su t áp d ng là ứ ư ế ấ ụ 5,85% h i ông Bách sau ỏ 4 năm còn n bao nhiêu ti n?ợ ề

Bài toán 2

Ông Bách d tính mua tr ch m m t chi c xe g n máy, máy b ng cách tr ngay ự ả ậ ộ ế ắ ằ ả 2.200.000đ ng ồ

ti n m t, ề ặ 3.800.000 đ ng cu i năm sau và ồ ố 5.300.000 đ ng cu i năm k ti p Bi t lãi su t áp d ng ồ ố ế ế ế ấ ụ

là 6,24%, h i r ng giá chi c xe là bao nhiêu? ỏ ằ ế

Bài toán 3

Ông Bách thanh toán ti n mua xe b ng các kì kho n năm: ề ằ ả 5.000.000 đ ng, ồ 6.000.000 đ ng,ồ

10.000.000 đ ng và ồ 20.000.000 đ ng Kì kho n đ u thanh toán ồ ả ầ 1 năm sau ngày mua V i lãi su t ớ ấ

áp d ng là ụ 8% H i giá tr chi c xe ông Bách mua là bao nhiêu?ỏ ị ế

Bài toán 4

Trong vòng 4 năm, ông Bách g i vào m t tài kho n lãi su t ử ộ ả ấ 8%v i các kho n ti n l n l t là:ớ ả ề ầ ượ

5.000.000 đ ng, ồ 6.000.000 đ ng, ồ 10.000.000 đ ng, ồ 20.000.000 đ ng Ngay sau khi g i ti n l n cu iồ ử ề ầ ố cùng, t ng s ti n trong tài kho n c a ông Bách là bao nhiêu? ổ ố ề ả ủ

Bài toán 5

Ông Bách quy t đ nh đ u t m i năm ế ị ầ ư ỗ 3.000.000 đ ng vào m t tài kho n ti t ki m trong vòng ồ ộ ả ế ệ 4

năm Kho n ti n đ c đ u t vào tháng 7/2006 Lãi su t năm trên tài kho n này là ả ề ượ ầ ư ấ ả 3,75% Vào tháng 10/2010, ông Bách s h u bao nhiêu ti n? ở ữ ề

E ĐÁP S VÀ H Ố ƯỚ NG D N GI I Ẫ Ả

Bài toán 1

Sau khi tr ngay ông Bách còn n l i: 8.700.000 đ ng.ả ợ ạ ồ

Sau 2 năm ông Bách n l i:ợ ạ

8,7.(1 5,85%) 2,9 6,31 + - = (tri u đ ng).ệ ồSau năm th ứ 3 ông Bách n l i:ợ ạ

6,31.(1 5,85%) 2 4,68 + - = (tri u đ ng).ệ ồSau năm th ứ 4 ông Bách còn n l i:ợ ạ

4,68.(1 5,85%) 2 2,95 + - » (tri u đ ng).ệ ồSau 4 năm ông Bách v n ch a tr h t n Không nên nh n đ ngh ẫ ư ả ế ợ ậ ề ị

A KI N TH C LIÊN QUAN Ế Ứ

1 Ph ươ ng trình m t n ộ ẩ

Cho A x( ) và B x( ) là hai bi u th c ch a m t bi n ể ứ ứ ộ ế x

Khi nói A x( )= B x( )là m t ph ng trình ta hi u r ng ph i tìm giá tr c a ộ ươ ể ằ ả ị ủ x đ các giá tr ể ị

t ng ng c a hai bi u th c này b ng nhau.ươ ứ ủ ể ứ ằ

 Bi n ế x đ c g i là n.ượ ọ ẩ

 Giá tr tìm đ c c a n g i là nghi m.ị ượ ủ ẩ ọ ệ

 M i bi u th c g i là m t v c a ph ng trình.ỗ ể ứ ọ ộ ế ủ ươ

 M t ph ng trình có th có ộ ươ ể 1;2;3 nghi m; ho c vô s nghi m ho c vô nghi m.ệ ặ ố ệ ặ ệ

2 Hai ph ươ ng trình t ươ ng đ ươ ng

 Hai ph ng trình g i là t ng đ ng n u chúng có cùng t p h p nghi m.ươ ọ ươ ươ ế ậ ợ ệ

 Khi gi i ph ng trình ta ph i bi n đ i ph ng trình đã cho thành nh ng ph ng trình ả ươ ả ế ổ ươ ữ ươ

t ng đ ng v i nó Phép bi n đ i nh th g i là phép bi n đ i t ng đ ng.ươ ươ ớ ế ổ ư ế ọ ế ổ ươ ươ

3

x x

Tàu hàngTàu khách

Hai thanh h p kim đ ng-k m có t l khác nhau Thanh th nh t kh i l ng 10 kg có t l đ ng- ợ ồ ẽ ỉ ệ ứ ấ ố ượ ỉ ệ ồ

k m 4:1 Thanh th hai có kh i l ng 16 kg có t l đ ng-k m là 1:3 Ng i ta b hai thanh đó vào ẽ ứ ố ượ ỉ ệ ồ ẽ ườ ỏ

lò luy n kim và cho thêm m t l ng đ ng nguyên ch t đ đ c m t lo i h p kim đ ng-k m có t ệ ộ ượ ồ ấ ể ượ ộ ạ ợ ồ ẽ ỉ

l đ ng-k m là 3:2 Tính kh i l ng h p kim m i nh n đ c ệ ồ ẽ ố ượ ợ ớ ậ ượ

G i ọ m (kg), n (kg) l n l t là kh i l ng đ ng, k m có trong thanh th nh t ầ ượ ố ượ ồ ẽ ứ ấ

G i ọ x (kg) là l ng đ ng nguyên ch t cho thêm Kh i l ng đ ng trong lò luy n kim làượ ồ ấ ố ượ ồ ệ

m m+ ¢+x (kg), kh i l ng kèm là ố ượ n n¢+ T l đ ng-k m trong h p kim m i là:ỉ ệ ồ ẽ ợ ớ

12 14

M t đoàn tàu khác r i t nh ộ ờ ỉ A đi v phía t nh ề ỉ B Cùng lúc đó m t đoàn tàu hàng r i B đi v phía ộ ờ ề

AB C hai đoàn tàu đi v i v n t c không đ i Sau khi chúng g p nhau đ c ả ớ ậ ố ổ ặ ượ 2 gi thì chúng cách ờ nhau 280 km K t khi g p nhau, tàu khách ch y thêm ể ừ ặ ạ 9 gi n a thì đ n ờ ữ ế B , còn tàu hàng ch y ạ thêm 16 gi n a thì đ n ờ ữ ế AB , H i v n t c c a m i tàu, qu ng đ ng ỏ ậ ố ủ ỗ ả ườ AB và th i gian ch y c ờ ạ ả

-V y vân t c tàu khách là 80 km/h; v n t c tàu hàng là 60 km/h.ậ ố ậ ố

Qu ng đ ng ả ườ AB =AC CB+ = 16(1140 80) 9 80 1680 - + ´ = (km)

Th i gian tàu khách ch y qu ng đ ng ờ ạ ả ườ AB là t +9 (h)

Th i gian tàu hàng ch y qu ng đ ng ờ ạ ả ườ ABlà t +16(h), trong đó

16(140 ) 16(140 80) 12

80

x AC

t

V y th i gian tàu khách ch y qu ng đ ng ậ ờ ạ ả ườ AB là 21 gi ờ

Th i gian tàu hàng ch y c qu ng đ ng ờ ạ ả ả ườ AB là 28 gi ờ

Ví d 4 ụ

M t công nhân có m c l ng ộ ứ ươ 1.000.000 đ ng/tháng Sau ồ 2 l n nâng l ng liên ti p theo cùng t ầ ươ ế ỉ

l ph n trăm, công nhân đó đ c lãnh l ng m i là ệ ầ ượ ươ ớ 1.254.400 đ ng/tháng Tính t l ph n trăm ồ ỉ ệ ầ nâng l ng? ươ

G i ọ x% là t l ph n trăm l ng đ c nâng m i kỳ.ỉ ệ ầ ươ ượ ỗ

Sau l n nâng l ng th nh t, công nhân đó đ c lãnh:ầ ươ ứ ấ ượ

T m t cái b n đ y đ ng 729 lít axít nguyên ch t ng i ta rót ra ừ ộ ồ ầ ự ấ ườ m (lít) r i đ thêm n c vào cho ồ ổ ướ

đ y b n Sau khi khu y b n cho đ u ng i ta l i rót ra ầ ồ ấ ồ ề ườ ạ m (lít) dung d ch axít đó, r i l i đ n c ị ồ ạ ổ ướ vào cho đ y b n và khu y đ u Sau khi ng i ta liên ti p làm công vi c đó 6 l n thì dung d ch axít ầ ồ ấ ề ườ ế ệ ầ ị trong b n ch a 64 lít axít nguyên ch t Tính ồ ứ ấ m

Th tích axít nguyên ch t có trong b n sau l n rót ra l n th nh t là ể ấ ồ ầ ầ ứ ấ 729 m- (lít)

N u rót n c vào b n cho đ y thì th tích axít nguyên ch t có trong 1 lít dung d ch trong ế ướ ồ ầ ể ấ ị

2 (729 ) 729

m

Do đó th tích axít nguyên ch t đ c rót ra trong l n th 3 là:ể ấ ượ ầ ứ

2 2

(729 ) 729

(729 ) 729

(729 ) 729

m

- (lít)

Th tích axít nguyên ch t còn l i trong b n sau l n rót th 6 là:ể ấ ạ ồ ầ ứ

6 5

(729 ) 729

G i ọ t (h) là th i gian xe th nh t đi qu ng đ ng ờ ứ ấ ả ườ AB t >( 3)

Suy ra t - 3 (h) là th i gian xe th hai đi qu ng đ ng ờ ứ ả ườ AB t - 2 (h) là th i gian xe th ba đi ờ ứ

-7t 6 6t

- + =

-6

t = Thay t =6 vào các v n t c xe th nh t và xe th hai ta có:ậ ố ứ ấ ứ

M t tàu hàng r i ga ộ ờ A lúc 5 gi sáng đ đi v phía ga ờ ể ề B 1 gi ờ 30 phút sau đó m t tàu khác r i ộ ờ

ga A ch y v h ng ạ ề ướ B v i v n t c cao h n tàu hàng ớ ậ ố ơ 5 km/h Vào lúc 9 h 30 phút t i cùng ngày ố kho ng cách gi a hai tàu là ả ữ 21 km Tính v n t c c a tàu hàng.ậ ố ủ

Th i gian tàu hàng ch y t ờ ạ ừ 5 gi sáng đ n ờ ế 21 gi ờ 30 phút là 16 gi ờ 30 phút hay 33

Có hai thanh h p kim ợ A B, ch a t l ph n trăm ch khác nhau Thanh ứ ỉ ệ ầ ỉ A có kh i l ng ố ượ 6 kg, thanh

B có kh i l ng ố ượ 12 kg Ng i ta c t t ườ ắ ừ A ra m t khúc ộ A¢ và c t t ắ ừ B ra m t khúc ộ B¢ sao cho A¢

và B¢ có kh i l ng b ng nhau Sau đó ta cho ph n còn l i c a thanh ố ượ ằ ầ ạ ủ A và khúc B¢ vào lò luy n ra ệ

h p kim ợ 1, cho ph n còn l i c a thanh ầ ạ ủ B và khúc A¢ vào lò luy n kim ra lo i h p kim ệ ạ ợ 2 Cho bi t ế hai lo i h p kim m i ạ ợ ớ 1và 2 có cùng t l ph n trăm chì Tính kh i l ng khúc ỉ ệ ầ ố ượ A¢ ho c ặ B¢

G i ọ x (kg) là kh i l ng c a khúc ố ượ ủ A¢ (ho c ặ B¢)

%

y là t l ph n trăm chì trong thanh h p kim ỉ ệ ầ ợ A

%

z là t l ph n trăm chì trong thanh h p kim ỉ ệ ầ ợ B y z, , Î (0;100).y z¹

Kh i l ng chì trong khúc ố ượ A¢ :

100

xy (kg)

Chúng ta c n thi t l p đ c ph ng trình b c nh t theo bi n ầ ế ậ ượ ươ ậ ấ ế x , trong đó x là đ i ạ

l ng c n tính Gi i ph ng trình b c nh t này chúng ta s tìm đ c giá tr mà đ bài yêu ượ ầ ả ươ ậ ấ ẽ ượ ị ề

c u b c Trung h c c s , d ng toán này là d ng toán quan tr ng và có r t nhi u ng ầ Ở ậ ọ ơ ở ạ ạ ọ ấ ề ứ

d ng trong th c t ụ ự ế

D BÀI T P LUY N T P Ậ Ệ Ậ

Bài toán 1

Kho ng cách gi a hai thành ph ả ữ ố A B, là 30 km M t xe buýt r i ộ ờ A ch y trên xa l đ đ n ạ ộ ể ế B

v i v n t c không đ i M i phút sau, m t chi c tr c thăng r i ớ ậ ố ổ ướ ộ ế ự ờ A , bay d c theo xa l h ng v ọ ộ ướ ề

B Sau khi kh i hành đ c ở ượ 5 phút, tr c thăng b t g p xe buýt phía d i, sau đó tr c thăng ti p ự ắ ặ ở ướ ự ế

t c bay v phía ụ ề B Khi đ n ế B , tr c thăng l p t c bay tr v ự ậ ứ ở ề A ng c l i đ ng cũ v i cùng v n ượ ạ ườ ớ ậ

t c và b t g p xe buýt ố ắ ặ 20 phút sau khi tr c thăng r i ự ờ A Xác đ nh v n t c xe buýt và v n t c c a ị ậ ố ậ ố ủ

tr c thăng ự

Bài toán 2

Trong v lúa hè thu năm nay h p tác xa nông nghi p ụ ợ ệ 1 thu ho ch ạ 21 t n thóc m i hecta H p tác ấ ỗ ợ

xa nông nghi p ệ 2 có di n tích ít h n ệ ơ 12 hecta nh ng thu ho ch đ c 25 t n thóc m i hecta S ư ạ ượ ấ ỗ ố thóc h p tác xã ợ 2thu ho ch đ c nhi u h n h p tác xã ạ ượ ề ơ ợ 1 là 300 t n thóc H i s thóc thu ho ch ấ ỏ ố ạ

c a m i h p tác xã nông nghi p ủ ỗ ợ ệ

Bài toán 3

A C D B

Có hai lo i h p kim đ ng – k m Lo i th nh t có t l kh i l ng đ ng – k m là ạ ợ ồ ẽ ạ ứ ấ ỉ ệ ố ượ ồ ẽ 5:2, lo i th hai ạ ứ

có t l kh i l ng đ ng – k m là ỉ ệ ố ượ ồ ẽ 3: 4 H i ph i s d ng bao nhiêu kg lo i th nh t và bao nhiêu ỏ ả ử ụ ạ ứ ấ

kg lo i th hai đ t o đ c ạ ứ ể ạ ượ 28 kg h p kim m i có t l đ ng – k m là ợ ớ ỉ ệ ồ ẽ 1:1.

Ta tìm đ c xe buýt đi đ c qu ng đ ng ượ ượ ả ườ AC trong 15 phút trong khi đó theo gi thi t thì ả ế

tr c thăng bay qua qu ng đ ng ự ả ườ AC ch có 5 phút.ỉ

Kh i l ng h p kim th hai là: ố ượ ợ ứ 28 x- (kg)

Suy ra t ng t kh i l ng đ ng, k m trong h p kim th hai.ươ ự ố ượ ồ ẽ ợ ứ

Đ a đ n ph ng trình ư ế ươ

3(28 ) 5

4(28 ) 2

x x

x x

+

-= -

x y và d a vào các gi thi t c a bài toán đ l p hai ph ng trình th hi n m i liên quan ự ả ế ủ ể ậ ươ ể ệ ố

c a các n và t đó gi i đ đ c ủ ẩ ừ ả ể ượ x y, Đ i chi u đi u ki n c a n.ố ế ề ệ ủ ẩ

- Hi n nhiên, n u sau này k t h p v i ki n th c ph ng trình b c hai, ta có nh ng h ể ế ế ợ ớ ế ứ ươ ậ ữ ệ

ph ng trình cao h n nh ng chung quy l i v n dùng nh ng ki n th c c s này.ươ ơ ư ạ ẫ ữ ế ứ ơ ở

- Lo i toán gi i b ng cách l p h ph ng trình b c nh t hai n s có b n d ng chính:ạ ả ằ ậ ệ ươ ậ ấ ẩ ố ố ạ

 D ng toán v s ;ạ ề ố

 D ng toán chuy n đ ng;ạ ể ộ

 D ng toán năng su t;ạ ấ

 D ng toán ng d ng hình h c.ạ ứ ụ ọ

Nh c l i công th c liên h gi a s b chia, s chia, th ng và s d ắ ạ ứ ệ ữ ố ị ố ươ ố ư

S b chia ố ị = (S chia) x (th ng) ố ươ + (s d ); (s d ố ư ố ư < s chia).ố

Nh c l i cách vi t s có hai ch s d i d ng m t t ng (c u t o s ):ắ ạ ế ố ữ ố ướ ạ ộ ổ ấ ạ ố

N u ế a là ch s hàng ch c, ữ ố ụ b là ch s hàng đ n v thìữ ố ơ ị

10

ab= a b+ (v i ớ a b N, Î và 1 £ £a 9,0 £ £b 9)

B VÍ D MINH HO NG D NG TOÁN H C VÀO BÀI TOÁN TH C T Ụ Ạ Ứ Ụ Ọ Ự Ế

PH ƯƠ NG PHÁO GI I Ả Các b ướ c gi i bài toán b ng cách l p ph ả ằ ậ ươ ng trình

B c 1: ướ - Ch n n và đ t đi u ki n thích h p cho n.ọ ẩ ặ ề ệ ợ ẩ

- Bi u di n các đ i l ng ch a bi t theo n và các đ i l ng đã bi t.ể ễ ạ ượ ư ế ẩ ạ ượ ế

- L p các ph ng trình bi u th s t ng quan gi a các đ i l ng.ậ ươ ể ị ự ươ ữ ạ ượ

B c 2: ướ - Gi i ph ng trìnhả ươ

B c 3: ướ - Ch n k t qu thích h p và tr l i.ọ ế ả ợ ả ờ

Cách gi i h ph ả ệ ươ ng trình

- B ng ph ng pháp th : ằ ươ ế

+ Bi u th m t n (gi s ể ị ộ ẩ ả ử x) theo n kia t m t trong hai ph ng trình c a h ẩ ừ ộ ươ ủ ệ

+ Thay giá tr c a ị ủ y v a tìm đ c vào bi u th c c a ừ ượ ể ứ ủ x đ tìm giá tr c a ể ị ủ x

Các b ướ c gi i toán b ng cách l p h ph ả ằ ậ ệ ươ ng trình

T ng t nh gi i bài toán b ng cách l p ph ng trình b c nh t m t n, ch khác là:ươ ự ư ả ằ ậ ươ ậ ấ ộ ẩ ỉ

B n Vân và b n Lan đ n c a hàng mua trái cây B n Vân mua ạ ạ ế ử ạ 10 qu quýt và ả 7 qu cam h t ả ế

17800 đ ng B n Lan mua ồ ạ 12 qu quýt, ả 6 qu cam h t ả ế 18000 đ ng H i giá ti n mua m i qu ồ ỏ ề ỗ ả cam, quýt là bao nhiêu?

G i ọ x y, (đ ng) l n l t là s ti n c a ồ ầ ượ ố ề ủ 1 qu quýt và ả 1 qu cam.ả

Đi u ki n ề ệ x y >, 0

Nh v y s ti n b n Vân ph i tr cho ư ậ ố ề ạ ả ả 10 qu quýt và ả 7 qu cam là:ả

10x+ 7y (đ ng).ồTheo gi thi t, ta có: ả ế 10x+ 7y= 17800 (1)

S ti n b n Lan tr cho ố ề ạ ả 12 qu quýt và ả 6 qu cam là: ả 12x+ 6y (đ ng).ồ

M t công ty có ộ 85 xe ch khách g m hai lo i, lo i xe ch đ c ở ồ ạ ạ ở ượ 4 khách và lo i xe ch đ c ạ ở ượ 7

khách Dùng t t c s xe đó, t i đa công ty ch m t l n đ c ấ ả ố ố ở ộ ầ ượ 445 khách H i m i lo i công ty đó ỏ ỗ ạ

ïî

(1) (2)

70000 30000

x y

ìï = ï

Û íï =ïî

V y giá m i vé lo i ng i l n ậ ỗ ạ ườ ớ 70.000 đ ng.ồ

Giá m i vé lo i em bé là ỗ ạ 30.000 đ ng.ồ

C L I BÌNH Ờ

D ng toán s là d ng toán quan tr ng, có nhi u ng d ng trong th c t Đ gi i đ c ạ ố ạ ọ ề ứ ụ ự ế ể ả ượ

d ng toán này h c sinh c n ph i l p đ c h ph ng trình bi u th m i liên h gi a các n.ạ ọ ầ ả ậ ượ ệ ươ ể ị ố ệ ữ ẩ

Tìm s t nhiên có hai ch s Bi t r ng l y s đó chia cho ch s hàng đ n v c a nó thì ố ự ữ ố ế ằ ấ ố ữ ố ơ ị ủ

đ c th ng là ượ ươ 7 và d ư 2 N u l y s đó chia cho t ng các ch s thì đ c th ng là ế ấ ố ổ ữ ố ượ ươ 4 và

d ư 6

Bài toán 4

Tìm s t nhiên có hai ch s bi t t ng c a hai ch s đó b ng ố ự ữ ố ế ổ ủ ữ ố ằ 10 N u thêm ch s ế ữ ố 0 vào

gi a hai ch s thì đ c s t nhiên có ba ch s và n u l y s t nhiên có ba ch s này ữ ữ ố ượ ố ự ữ ố ế ấ ố ự ữ ốchia cho s c n tìm thì th ng là ố ầ ươ 7 và d là ư 12

Theo gi thi t ta có s đã cho là: ả ế ố xy= 10x y+

Đ i ch hai ch s ban đ u thì ta đ c m t s m i l n h n ban đ u là ổ ỗ ữ ố ầ ượ ộ ố ớ ớ ơ ầ 63 nên ta có:

Khi l y s đó chia cho ch s hàng đ n v c a nó thì đ c th ng là ấ ố ữ ố ơ ị ủ ượ ươ 7 và d ư 2 nên ta có

S đã cho đ c phân tích thành ố ượ 10x y+

N u đ i hai ch s ta đ c giá tr c a s m i là ế ổ ữ ố ượ ị ủ ố ớ 10y x+

Toán chuy n đ ng có ba đ i l ng tham gia vào là: v n t c, th i gian, quãng đ ng.ể ộ ạ ượ ậ ố ờ ườ

Công th c: ứ s vt= (s là quãng đ ng, ườ v là v n t c, ậ ố t là th i gian).ờ

Công th c tính v n t c xuôi dòng và ng c dòng:ứ ậ ố ượ

B c 1: ướ L p h ph ng trìnhậ ệ ươ

- Ch n n và đ t đi u ki n thích h p cho n (ghi rõ đ n v c a n).ọ ẩ ặ ề ệ ợ ẩ ơ ị ủ ẩ

- Bi u di n các đ i l ng ch a bi t theo n và các đ i l ng đã bi t.ể ễ ạ ượ ư ế ẩ ạ ượ ế

- D a vào các d ki n và đi u ki n c a bài toán đ l p h ph ng trình.ự ữ ệ ề ệ ủ ể ậ ệ ươ

v i d đ nh Tính đ dài quãng đ ng ớ ự ị ộ ườ AB và th i đi m xu t phát c a ô tô t i ờ ể ấ ủ ạ A

Ta có b ng phân tích bài toán nh sau:ả ư

Hai ô tô A và B kh i hành cùng m t lúc t hai t nh, cách nhau ở ộ ừ ỉ 150km, đi ng c chi u ượ ề

và g p nhau sau ặ 2gi ta có ph ng trình:ờ ươ

2x+ 2y= 150 (1)

V n t c c a ô tô ậ ố ủ A sau khi tăng thêm 5km/h là: x +5 (km/h)

V n t c c a ô tô ậ ố ủ B sau khi gi m ả 5km/h là: y - 5 (km/h).

Vì v n t c c a ô tô ậ ố ủ A b ng ằ 2 l n v n t c c a ô tô ầ ậ ố ủ B nên ta có ph ng trình:ươ

Lúc 7 gi m t ng i đi xe máy kh i hành t ờ ộ ườ ở ừ A v i v n t c ớ ậ ố 40 km/h Sau đó, lúc 8 gi ờ 30

phút, m t ng i khác cũng đi xe máy t ộ ườ ừ A đu i theo v i v n t c ổ ớ ậ ố 60 km/h H i hai ng i g p nhauỏ ườ ặ lúc m y gi ? ấ ờ

ìïï = ïïí

ïï = ïïî

Quãng đ ng ườ AB g m m t đo n lên d c dài ồ ộ ạ ố 4 km, m t đo n xu ng d c dài ộ ạ ố ố 5 km M t ộ

ng i đi xe đ p t ườ ạ ừ A đ n ế B h t ế 40 phút và đi t ừ B v ề A h t ế 41 phút Bi t r ng v n t c khi lên ế ằ ậ ố

d c c đi và v là gi ng nhau và v n t c khi xu ng d c c đi và v là gi ng nhau Tính v n t c ố ả ề ố ậ ố ố ố ả ề ố ậ ố lúc lên d c và v n t c khi xu ng d c ố ậ ố ố ố

íï

ï + = ïïïî

Ví d 8 ụ

Hai ng i hai đ a đi m cách nhau ườ ở ị ể 8 km và kh i hành cùng lúc nh ng đi ng c chi u nhau ở ư ượ ề

G p nhau m t v trí cách m t trong hai đ a đi m kh i hành là ặ ở ộ ị ộ ị ể ở 5 km N u v n t c không đ i ế ậ ố ổ

nh ng ng i đi ch m xu t phát tr c ng i kia là ư ườ ậ ấ ướ ườ 32 phút thì hai ng i g p nhau đi m gi a ườ ặ ở ể ữ quãng đ ng Tính v n t c c a m i ng i ườ ậ ố ủ ỗ ườ

G i ọ x (km/h) là v n t c c a ng i đi ch m h n và ậ ố ủ ườ ậ ơ y (km/h) là v n t c c a ng i đi ậ ố ủ ườnhanh h n.ơ

Đi u ki n ề ệ x y >, 0

Vì hai ng i g p nhau t i đi m cách m t trong hai ng i Suy ra đ a đi m đó cách ườ ặ ạ ể ộ ườ ị ể

ng i đi ch m là ườ ậ 5 km và cách ng i đi nhanh là ườ 3 km

Do th i gian đi c a hai ng i trên quãng đ ng h b ng nhau nên ta có ph ng trình:ờ ủ ườ ườ ọ ằ ươ

íï

ï = + ïïïî

Gi i h ph ng trình này b ng ph ng pháp đ t n ph ta đ c nghi m c a h ả ệ ươ ằ ươ ặ ẩ ụ ượ ệ ủ ệ

ph ng trình là: ươ ìï = ïíï =x y 35

V y v n t c c a ng i đi ch m là: ậ ậ ố ủ ườ ậ 3 (km/h), v n t c ng i đi nhanh là: ậ ố ườ 5 (km/h).

Ví d 9 ụ

Hai ca nô cùng kh i hành t ở ừ A đ n ế B cách nhau 85 km và đi ng c chi u nhau Sau ượ ề 1 gi ờ 40

phút thì g p nhau Tính v n t c th t c a m i ca nô, bi t r ng v n t c ca nô đi xuôi dòng l n h n ặ ậ ố ậ ủ ỗ ế ằ ậ ố ớ ơ

v n t c ca nô đi ng c dòng là ậ ố ượ 9 km/h và v n t c dòng n c là ậ ố ướ 3 km/h (v n t c th t c a ca nô ậ ố ậ ủ không đ i) ổ

G i v n t c th t c a ca nô đi xuôi là ọ ậ ố ậ ủ x (km/h) và v n t c th t c a ca nô đi ng c là ậ ố ậ ủ ượ y

M t chi c ca nô ch y trên sông ộ ế ạ 7h, xuôi dòng 108 km và ng c dòng ượ 63 km M t l n khác ca ộ ầ

nô cũng ch y trong ạ 7h, xuôi dòng 81 km và ng c dòng ượ 84 km Tính v n t c c a dòng n c ch y ậ ố ủ ướ ả

và v n t c riêng c a ca nô ậ ố ủ

G i ọ x (km/h) là v n t c riêng c a ca nô, ậ ố ủ y (km/h) là v n t c c a dòng n c ch y.ậ ố ủ ướ ả

Đi u ki n ề ệ 0

x y

V n t c c a ca nô khi xuôi dòng là: ậ ố ủ (x y+ ) (km/h)

V n t c c a ca nô khi ng c dòng là: ậ ố ủ ượ (x y- ) (km/h)

Ta có: Th i gian ca nô lúc xuôi dòng là: ờ 108

x y+ (gi ).ờ

Th i gian ca nô lúc ng c dòng là: ờ ượ 63

x y- (gi ).ờChi c ca nô ch y trên sông ế ạ 7h, xuôi dòng 108 km và ng c dòng ượ 63 km nên ta có

ïï + ïî

-Gi i h ph ng trình này b ng ph ng pháp đ t n ph , r i đ i chi u đi u ki n c a ả ệ ươ ằ ươ ặ ẩ ụ ồ ố ế ề ệ ủbài toán ta có nghi m c a ph ng trình là: ệ ủ ươ ìï = ïíï =x y 243

ïî (tho mãn).ả

V y v n t c riêng c a ca nô là ậ ậ ố ủ 24 km/h; v n t c dòng n cậ ố ướ y =3 km/h.

C L I BÌNH Ờ

D ng toán chuy n đ ng là d ng toán quan tr ng trong ch ng trình Trung h c c s ạ ể ộ ạ ọ ươ ọ ơ ởĐây cũng là d ng toán th ng xu t hi n trong các kì thi vào 10 Các công th c ạ ườ ấ ệ ứ s vt= (s là quãng đ ng, ườ v là v n t c, ậ ố t là th i gian), ờ V txuoi =V t+V V n; tnguoc = -V t V n th ng đ c s ườ ượ ử

d ng gi i d ng toán này.ụ ả ạ

D BÀI T P LUY N T P Ậ Ệ Ậ

Bài toán 1

Bác Toàn đi xe đ p t th xã v làng, cô Ba Ng n cũng đi xe đ p, nh ng t làng lên th xã H ạ ừ ị ề ầ ạ ư ừ ị ọ

g p nhau khi bác Toàn đã đi đ c ặ ượ 1 gi r i, còn cô Ba Ng n đã đi đ c ờ ưỡ ầ ượ 2 gi M t l n khác hau ờ ộ ầ

ng i cũng đi t hai đ a đi m nh th nh ng h kh i hành đ ng th i; sau ườ ừ ị ể ư ế ư ọ ở ồ ờ 1 gi ờ 15 phút h còn ọ cách nhau 10,5 km Tính v n t c c a m i ng i, bi t r ng làng cách th xã ậ ố ủ ỗ ườ ế ằ ị 38 km.

Bài toán 2

Ga Sài Gòn cách ga D u Giây ầ 65 km Xe khách Thành ph H Chí Minh, xe hàng D u ở ố ồ ở ầ Giây đi ng c chi u nhau và xe khách kh i hành sau xe hàng ượ ề ỏ 36 phút, sau khi xe khách kh i hành ở

24 phút nó g p xe hàng N u hai xe kh i hành đ ng th i và cùng đi Hà N i thì sau ặ ế ở ồ ờ ộ 13 gi hai xe ờ

g p nhau Tính v n t c c a m i xe, bi t r ng xe khách đi nhanh h n xe hàng ặ ậ ố ủ ỗ ế ằ ơ

Bài toán 3

Hai ô tô kh i hành cùng lúc t ỏ ừ A và đi ng c chi u nhau Sau ượ ề 4 gi hai ô tô cách nhau ờ 380

km tính v n t c m i xe bi t r ng v n t c c a ô tô th hai kém v n t c c a ô tô th nh t là ậ ố ỗ ế ằ ậ ố ủ ứ ậ ố ủ ứ ấ 5

km/h.

Bài toán 4

Đo n đ ng ạ ườ AB dài 200 km Cùng lúc m t xe máy đi t ộ ừ A và m t ô tô đi t ộ ừ B , xe máy và xe

ô tô g p nhau t i ặ ạ C cách A 120 km N u xe máy kh i hành sau ô tô ế ở 1 gi thì g p nhau t i ờ ặ ạ D cách

C 24 km Tính v n t c c a ô tô và xe máy.ậ ố ủ

Bài toán 5

Phi công A m t nhi u th i gian h n phi công ấ ề ờ ơ B 18 phút đ v t qua quãng đ ng ể ượ ườ 450 d m.ặ

N u tăng v n t c lên g p đôi thì phi công ế ậ ố ấ A đ n s m h n phi công ế ớ ơ B là 36 phút Tính v n t c ậ ố lúc đ u c a phi công ầ ủ A và v n t c c a phi công ậ ố ủ B (đ n v tính v n t c là d m/phút) ơ ị ậ ố ặ

E ĐÁP S VÀ H Ố ƯỚ NG D N GI I Ẫ Ả

Bài toán 1

G i v n t c c a bác Toàn là ọ ậ ố ủ x (km/h), x >0; v n t c c a cô Ba Ng n là ậ ố ủ ầ y (km/h),0

-Tr l i: V n t c c a bác Toàn là ả ờ ậ ố ủ 12 km/h, v n t c c a cô Ba Ng n là ậ ố ủ ầ 10 km/h

Bài toán 2

G i v n t c xe khách là ọ ậ ố x (km/h), x >0; v n t c c a xe hàng là ậ ố ủ y (km/h), 0 y x< < Theo đ u bài, xe khách đi ầ 24 phút hay 2

5 gi , còn xe hàng đi ờ 1 gi thì chúng g p nhau ờ ặ

và quãng đ ng dài ườ 65 km Do đó có ph ng trìnhươ

2 65

N u chúng kh i hành đ ng th i thì đ n lúc g p nhau xe khách đã đi nhi u h n xe hàngế ở ồ ờ ế ặ ề ơ

65 km Sau khi đi đ c ượ 13 gi thì chúng g p nhau nên có ph ng trình: ờ ặ ươ 13x- 13y= 65 (2)

Gi i h g m hai ph ng trình (1) và (2) ta đ c: ả ệ ồ ươ ượ ( , ) (50;45)x y =

Trong 4 gi ô tô th nh t đi đ c ờ ứ ấ ượ 4x (km);

Trong 4 gi ô tô th hai đi đ c ờ ứ ượ 4y (km)

V y sau ậ 4 gi hai ô tô cách nhau: ờ 4x+ 4y (km)

Theo gi thi t hai ô tô cách nhau ả ế 380 km nên ta có ph ng trình:ươ

ïïï íï

x y

ìïï = ïïí

ïï = ïïî

(tho mãn đi u ki n).ả ề ệ

V y v n t c c a phi công ậ ậ ố ủ A là 25

6 (d m/phút) và v n t c c a phi công ặ ậ ố ủ B là 5(d m/phút).ặ

§6 D NG TOÁN NĂNG SU T TRONG GI I H PH Ạ Ấ Ả Ệ ƯƠ NG TRÌNH

B C NH T HAI N Ậ Ấ Ẩ

A KI N TH C LIÊN QUAN Ế Ứ

Đ gi i bài toán b ng cách l p h ph ng trình, c n ph i “ể ả ằ ậ ệ ươ ầ ả phiên d ch ngôn ng thông ị ữ

th ng sang ngôn ng đ i s ”, ườ ữ ạ ố t c là c n bi u th các đ i l ng trong bài toán theo n và các ứ ầ ể ị ạ ượ ẩ

s đã bi t r i thi t l p h ph ng trình di n đ t s t ng quan gi a các đ i l ng trong ố ế ồ ế ậ ệ ươ ễ ạ ự ươ ữ ạ ượbài toán

Đ làm t t công vi c “phiên d ch” này, hãy chú ý đ n các công th c có liên quan đ n ể ố ệ ị ế ứ ếbài toán nh :ư

x

Sanluong Nangsuat Thoigian=

D ng bài toán làm chung, làm riêng th ng ph i phân tích đ c:ạ ườ ả ượ

- Năng su t làm riêng đ c m t ph n c a công vi c.ấ ượ ộ ầ ủ ệ

- Thi t l p ph ng trình khi làm riêng công vi c.ế ậ ươ ệ

- Thi t l p ph ng trình khi làm chung công vi c.ế ậ ươ ệ

D ng toán năng su t liên quan đ n ph n tram:ạ ấ ế ầ

- Ch n n và đ t đi u ki n thích h p cho n (ghi rõ đ n v c a n).ọ ẩ ặ ề ệ ợ ẩ ơ ị ủ ẩ

- Bi u di n các đ i l ng ch a bi t theo n và các đ i l ng đã bi t.ể ễ ạ ượ ư ế ẩ ạ ượ ế

- D a vào các d ki n và đi u ki n c a bài toán đ l p h ph ng trình.ự ữ ệ ề ệ ủ ể ậ ệ ươ

B c 2: ướ Gi i h ph ng trình.ả ệ ươ

B c 3: ướ Ki m tra, nh n đ nh k t qu thích h p và tr l i.ể ậ ị ế ả ợ ả ờ

Ví d 1 ụ

Hi đ i công nhân cùng làm m t đo n đ ng trong ộ ộ ạ ườ 24 ngày thì xong M i ngày, phân vi c đ iỗ ệ ộ

A làm đ c nhi u g p r i đ i ượ ề ấ ưỡ ộ B H i n u làm m t mình thì m i đ i làm xong đo n đ ng đó ỏ ế ộ ỗ ộ ạ ườ trong bao lâu?

G i ọ x (ngày) là s ngày đ đ i ố ể ộ A làm m t mình hoàn thành toàn b công vi c; ộ ộ ệ y (ngày)

là s ngày đ đ i ố ể ộ B làm m t mình hoàn thành toàn b công vi c (đi u ki n ộ ộ ệ ề ệ x y >, 24)

ï + = ïïïî

Gi i h ph ng trình ta đ c: ả ệ ươ ượ x =40 và y =60 (tho mãn).ả

V y đ i ậ ộ A làm m t mình trong ộ 40 ngày thì hoàn thành toàn b công vi c, đ i ộ ệ ộ B làm

m t mình trong ộ 60 ngày thì hoàn thành công vi c.ệ

Ví d 2 ụ

Hai đ i xây d ng làm chung m t công vi c và d đ nh hoàn thành trong ộ ự ộ ệ ự ị 12 ngày Nh ng làm ư chung đ c ượ 8 ngày thì đ i m t đ c đi u đ ng đi làm vi c khác Tuy ch còn m t mình đ i hai ộ ộ ượ ề ộ ệ ỉ ộ ộ làm vi c, do c i ti n cách làm, năng su t c a đ i hai tăng g p đôi, nên h đã làm xong ph n vi c ệ ả ế ấ ủ ộ ấ ọ ầ ệ còn l i trong ạ 3,5 ngày H i v i năng su t ban đ u., n u m i đ i làm m t mình thì ph i làm trong ỏ ớ ấ ầ ế ỗ ộ ộ ả bao nhiêu ngày m i xong công vi c trên? ớ ệ

M i ngày đ i m t làm đ c ỗ ộ ộ ượ 1

x (công vi c), đ i hai làm đ c ệ ộ ượ 1

y (công vi c) Hai đ i làm ệ ộchung trong 12 ngày thì hoàn thành công vi c nên ta có ph ng trình: ệ ươ 1 1 1

12

Hai đ i làm trong ộ 8 ngày đ c ượ 8 2

12=3 (công vi c), do c i ti n cách làm năng su t c a ệ ả ế ấ ủ

đ i hai tăng g p đôi đ c ộ ấ ượ 2

y, nên h đã làm xong ph n vi c còn l i trong ọ ầ ệ ạ 3,5 ngày, ta có

Năm ngoái, hai đ n v s n su t nông nghi p thu ho ch đ c ơ ị ả ấ ệ ạ ượ 720 t n thóc Năm nay, đ n v ấ ơ ị

th nh t làm v t m c ứ ấ ượ ứ 15%, đ n v th hai làm v t m c ơ ị ứ ượ ứ 12% so v i năm ngoài Do đó c hai ớ ả

đ n v thu ho ch đ c ơ ị ạ ượ 819 t n thóc H i năm ngoái m i đ n v thu ho ch đ c bao nhiêu t n ấ ỏ ỗ ơ ị ạ ượ ấ thóc?

T đây ta có l i gi i bài toán:ừ ờ ả

G i ọ x (t n) là s thóc thu ho ch đ c năm ngoái c a đ n v m t, ấ ố ạ ượ ủ ơ ị ộ y (t n) là s thóc thu ấ ố

ho ch đ c năm ngoái c a đ n v hai ạ ượ ủ ơ ị ( ,x y >0)

Năm ngoái c hai đ i thu ho ch đ c ả ộ ạ ượ 720 (t n) ta có ph ng trình:ấ ươ

Gi i h ph ng trình, ta đ c: ả ệ ươ ượ ìï = ïíï =x y 420300

V y năm ngoái đ i m t thu ho ch đ c ậ ộ ộ ạ ượ 420 t n thóc.ấ

Đ i hai thu ho ch đ c ộ ạ ượ 300 t n thóc.ấ

Ví d 4 ụ

Hai máy cày có công su t khác nhau cùng làm vi c, hai máy cày đã cày đ c ấ ệ ượ 1

6 cánh đ ng ồ trong 15 gi N u máy th nh t làm m t mình trong ờ ế ứ ấ ộ 12 gi , máy th hai làm m t mình trong ờ ứ ộ 20

gi thì c hai s cày đ c ờ ả ẽ ượ 20% cánh đ ng H i n u m i máy làm vi c riêng thì có th xong cánh ồ ỏ ế ỗ ệ ể

đ ng trong bao lâu? ồ

T đây ta có l i gi i bài toán:ừ ờ ả

G i th i gian máy th nh t cày m t mình xong cánh đ ng là ọ ờ ứ ấ ộ ồ x (h); th i gian máy th ờ ứhai cày m t mình xong cánh đ ng là ộ ồ y (h); đi u ki n: ề ệ x y >, 20

Hai máy cày đã cùng cày cánh đ ng trong ồ 15 gi ; nên m t gi máy th nh t cày đ c làờ ộ ờ ứ ấ ượ15

x (cánh đ ng), m t gi máy th hai cày đ c ồ ộ ờ ứ ượ 15

y (cánh đ ng).ồNên ta có ph ng trình: ươ 15 15 1

6

Theo gi thi t, ta có ả ế 12 gi máy th nh t cày đ c ờ ứ ấ ượ 12

x (cánh đ ng), ồ 20 máy th hai cày ứ

Có hai dây chuy n may áo s mi Ngày th nh t c hai dây chuy n may đ c ề ơ ứ ấ ả ề ượ 930 áo Ngày

th hai dây chuy n th nh t tăng công su t lên ứ ề ứ ấ ấ 18% và dây chuy n th hai tăng năng su t lênề ứ ấ