+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.. Hệ phương trình đối xứng loại 2: 1[r]
Trang 1Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung:
1, x2, , xn là "- 87 1 n : i <= x j ; x j <= x i thì &' trình không thay "A9
Khi
x1 + x2 + + xn
x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn
x1x2 x n
% &' trình "- 87 43+ J( là % mà trong "C K các &' trình "- 879
*E L "D % &' trình "- 87 43+ 1 ta &L dùng "M lý Viét
* 0x n + a1x n 1 + a n , a0 T 0, ai P có % trên P là c1, , c n thì:
Q*M lý Viét (A quát)
1
0
2
0
1 1
0
( 1)
n
n
a
a
a
a
a
c c c
a
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A LÝ THUUYẾT
1 *M lý Viét cho &' trình <V 2:
2 + bx + c = 0 có hai % x1, x2 thì:
1 2
b
a c
P x x
a
1, x2 có 1 2 thì x1, x2 là % W &' trình X2 SX + P = 0.
1 2
x x P
2 *M Y $
, trong "C
( , ) 0 ( , ) 0
f x y
g x y
f x y f y x
g x y g y x
3.Cách L$
2 4
S P
Z 3: Thay x, y <= S, P vào % &' trình ]L % tìm S, P K dùng Viét "L3 tìm x, y
Chú ý:
+ ^ $ x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ *@ khi ta &L "[( : &_ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
+ Có ` % &' trình (= thành "- 87 43+ 1 sau khi "[( : &_9
4 Bài (V&$
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví F_ 1 ]L % &' trình
30 35
x y xy
Trang 2*[( S x y, P xy, S2 4P % &' trình (= thành:
2
2
30 P
90
S
ìïï = ï
ïî
Ví F_ 2 ]L % &' trình
2
xy x y
x y
GIẢI
*[( t y S, x t P, xt, S2 4P % &' trình (= thành:
Ví F_ 3 ]L % &' trình
1 1
4
4
x y
x y
GIẢI
x y
% &' trình (' "' 1$ 2 2
ïç + ÷+ç + ÷ =
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïí
ïç + ÷÷ +ç + ÷÷ =
ïçè ÷ø çè ÷ø ïî
=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
2
ïç + ÷+ç + ÷= ï
ïî
1
x
y
ìïï + =
ïïïî
4 (2)
GIẢI
*[( , ta có:
x y t xy0
2
xy = t (2)Þ x +y =16-2t
6 vào (1), ta "D$
2
t -32t+128 = - Û =8 t t 4 Suy ra:
Loại 2:
+
Trang 3+
Chú ý:
Khi ta
Ví
1
1 3
GIẢI
ta có:
x y
*[( S = x + y ³ 0, P = xy ³ 0, S2 ³ 4P. % &' trình (= thành:
3
î
2
S ³ 0, P³ 0, S ³ 4P 0 m 1
4
x y xy m
x y xy m
GIẢI
î
*[( S = x + y, P = xy, S2 ³4P % &' trình (= thành: S P m
ì + = ïï
-ïî Suy ra S và P là % W &' trình t2 -mt+3m - =9 0
2
2
-ê
êë
3
GIẢI
*[( u = x-4 ³0, v = y- ³1 0 % (= thành:
2
ì + = ï
Suy ra u, v là % (không âm) W 2 21 3m (*)
2
% có % Û (*) có 2 % không âm
2
0
2
ì
Trang 4Ví 2 2 4 4 10 có % (09
( 4)( 4)
GIẢI
ì
*[( u =(x +2)2 ³ 0, v =(y +2)2 ³ 0 % &' trình (= thành:
(S = u + v, P = uv)
2
ìï ³
íï
ï ³
ïïî
Loại 3: fJ( ,- bài toán L <g cách " 1# % &' trình
Ví F_9 ]L &' trình: 3 31 3
2
x x
GIẢI
3
x u
3
u v
2
3
u v
2 (u v) (u v) 3uv 1
3 u+v = 2 19 u.v = 36
u, v là hai % W &' trình: 2 3 19
X - X + = 0
9+ 5
u = 12
9 - 5
u = 12
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x = 12
NV &' trình có hai %$ {x} =
;
B BÀI TẬP
I Giải các hệ phương trình sau:
1
1
5 13
30 35
x y y x
x x y y
4
( 1)( 1) 72
xy x y
2 2
1
1
x y
xy
x y
4
4
x y
x y
7 1 78
y x
x xy y xy
4
280
x y
Trang 52
II Gải hệ phương trỡnh cú tham số:
1 Tỡm giỏ (M W m:
a) 5 4 4 cú %9
1
b) 2 2 2 cú % duy l(9
1
x y xy m
x y xy m
c) cú "m hai %9
2
4
x y
a ]L % &' trỡnh khi m = 5
b Tỡm cỏc giỏ (M W m "E % &' trỡnh "o cho cú %9
x xy y m
x y xy m
a ]L % &' trỡnh khi m = 7/2.
b Tỡm cỏc giỏ (M W m "E % &' trỡnh "o cho cú %9
x y xy m
a ]L % &' trỡnh khi m=2.
b Tỡm cỏc giỏ (M W m "E % &' trỡnh "o cho cú % (x;y) 1 x >0, y >0.
III Giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh:
1 ]L &' trỡnh: 4x 1 418 x 3
2 Tỡm m "E r &' trỡnh sau cú %$
a 1 x 1 x m b m x m x m c 31 x 31 x m
Phần 3 – Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thờm)
a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các trình trong hệ là đối xứng.
b Định lý Vi-et cho trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z = t
xy + yz + zx = u xyz = v
[ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X3 - tX2 + uX - v = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z trình X3 - tX2 + uX - v = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết B C dạng t, u, v
Trang 6Khi đó ta đặt
x + y + z = t
xy + yz + zx = u xyz = v
Ta B hệ của t, u, v.
+ Giải trình X3 - tX2 + uX - v = 0 (1) tìm B nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm.
(1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm.
(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm.
d Bài tập:
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1.
8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2.
x, y, z là nghiệm của trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0
t = 1
t = - 1
t = 2
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Giải hệ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Giải: ĐK: x, y, z T 0 Từ (3) xy + yz + zx = 1
xyz
Do (2) xyz = 27
Vậy hệ
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0
(X - 3)3 = 0
X = 3.
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0.
Trang 7x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0.
Vậy có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0 0
xyz
(x; y; z) là nghiệm của trình: X3 - aX2 = 0 X = 0
X = a
Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần ? ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải ra B x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó
là hệ quả của hệ nên khi tìm B nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo trình cộng, thế.
VD:
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
Với x T 0, y T 0, z T 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).
Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6 y = z = 3.
yz = 9
Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.
II Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2:
1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2 hai ẩn:
A Định ghĩa:
f x y
f y x
Cỏch L$ wl (1) (2) 3[ (2) (1) ta "D$ (xy)g(x,y)=0 Khi "C xy=0 3[ g(x,y)=0.
+ D& 1: xy=0 ?6( D& 1 &' trỡnh (1) 3[ (2) suy ra "D %9
+ D& 2: g(x,y)=0 ?6( D& 1 &' trỡnh (1) + (2) suy ra % (trong ( D& này %
&' trỡnh (= 1# % "- 87 43+ 1) và thụng ( vụ %9
B Cỏc vớ dụ:
Vớ F_ 1: ]L % &' trỡnh (I)
3 3
GIẢI
wl (1) (2) ta "D$ 2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
Trang 8D& 1: (I)
3
x = 3x + 8y
x = y
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
D& 2: (I) Q% này vô %R
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
NV % &' trình "o cho có (V& %$
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví F_ 2: ]L % &' trình 4
4
1 1
1 1
GIẢI
*[($4 x - 1 = u 0; y - 1 = v4 0
u = 0
v = 0
x = 1
y = 1
NV % có % (1,1)
Ví F_ 2: Cho % &' trình (I)
2 2
a Tìm m "E % &' trình có %9
b Tìm m "E % &' trình có % duy l(9
]L (I)
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
a) % &' trình có %
' x ' y
b) % &' trình có % duy l( m = 1.
' x ' y ' x ' y
{ = 0 { < 0 { < 0 { = 0
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
NV m = 1.
Ví F_ 3: ]L &' trình:x3 1 2 23 x1.
GIẢI
*[( 32x - 1 = t 2x - 1 = t3.
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
3
x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
Trang 9 (x - 1)(x + x - 1) = 02
x = t
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
NV &' trỡnh cú 3 %$ 1; - 1 ± 5
2
C Bài tập:
.9]L cỏc % &' trỡnh sau:
2
2
x
y x
y
x y
2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
3 3
1 2
1 2
9 9
2 Cho % &' trỡnh
2 2
a ]L % 1 m = 0
b Tỡm m "E % cú % duy l(9
3 Tỡm m "E %$ 3 2 2 cú % duy l(9
7 7
4 ]L cỏc &' trỡnh: a x2 x 5 5
b x3 3 33 x 2 2
2 Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: (Đọc thêm)
A Dùng chủ yếu là pháp biến đổi bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng
sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B Ví dụ:
Giải hệ
2
2
2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho với hệ
2
2
x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
Hệ này với 4 hệ sau:
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
Trang 10Giải (I):
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
-1
3
z = - 2x
x = y
Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ( -1 -1 2 ; ; )
3 3 3
3 3 3
-1 2 -1
; ;
3 3 3
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( 1 1 1 ; ; )
3 3 3
Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
VD2: Giải hệ trình:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Giải: Hệ
x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0
y=z (I) y = z (II)
z + y 1 = 0 (III) z + y
-x = z
1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0
Giải các hệ bằng pháp thế B 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 1 1 1; ; .
2 2 2
2 2 2
1 1 1
Giải: Xét hai l hợp sau:
TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:
2 2 2
1 1 1
Trang 11. tự y=z, z=x ta cũng B nghiệm trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau
Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = 1;
a) z 0, x>y>z0f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(vô lý) b) z<y<x0f(x)<f(y)<f(z)y+1<z+1<x+1y<z<x(vô lý).
c) x>0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1x<0 (vô lý) Vậy điều giả sử là sai.
TH2 vô nghiệm.
2 2 2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
Giải:
TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau
Giả sử x = y ta có hệ
3
2
2
x z x z
z x z x
Từ (1) x = 0, x = -1.
x = 0 Thay vào (2), (3) z=0.
x = -1 Thay vào (2), (3) vô lý
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.
Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1
± 2 = 0 (vô lý)
1
x y x
Hai trình còn lại tự ta có hệ trình với:
2
2
2
2 1 2 1 2 1
x y x y z
y z x z
Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số:
f(t) = 2 2 xác định trên D = R\ {1}
1
t
t
f’(t) = 2( 2 2 21) 0 với mọi tD
t
t
hàm số đồng biến trên D
f(x) > f(y) > f(z)
y > z > x mâu thuẫn với (*).
Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nhau.
Vậy TH2 - hệ vô nghiệm
Trang 12Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)
C Bài tập
1
2 2 2
3 3(3 x 4) 4 4 x
2
2 2
về giải hệ
2 2 2
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y x y z y z x z
III Hệ phương trỡnh đẳng cấp:
, ,
F x y A
G x y B
F kx ky , k F x y G kx ky n , ; , k G x y m ,
2 Cỏch L$ *[( y = tx (x T 0) 3[ x = ty (y T 0)
3 Vớ F_$
]L % &' trỡnh: 2 2
GIẢI
+ N x = 0: % &' trỡnh "o cho vụ %9
+ N x T 0: *[( y = tx % &' trỡnh (' "' 1 wl (1)(2) ta "D$
15t213t+2=0 2;
3
5
t
N 2: ta cú , thay vào (*) ta "D % (3;2), (3;2)
3
2
y x
N 1: ta cú , thay vào (*) ta "D %
5
5
4 Bài (V&$
]L cỏc % &' trỡnh sau:
Trang 131) 2) 3)
x xy y
x x y
IV Một số hệ phương trình khác:
2
x y
HD: Z6 "A &' trình 2 2 (x + y)(x 2y 1) = 0 *c$ x = 5; y = 2.
2
xy x y x y
2
x y
HD: Z6 "A % &' trình thành: *c$ x = 4; y =
2
2
xy
17 4
5 4 5
1 2
4
x y x y xy xy
HD: Z6 "A % &' trình thành: *[($
2 2
5 4 5
4
x y xy x y xy
2
v xy
3
3
5
1 4
3 25
2 16
y y
3
1
y x
x y
xy
4
1
25
y x
y
HD: Tìm cách ?} logarit "E "D$ 3 *c$
4
y
3
2
HD: 3 y x y x 3 yx16 yx0 *c$ 3 1
1;1 , ;
2 2
Trang 147 .
2
2
2
2
2 3
2 3
y
y
x
x
x
y
HD: Tìm cách ?} logarit "E "D$ xy *c$ 1;1 , 2; 2
x y xy
HD: *[( t xy, bình &' hai 16 &' trình (7 hai tìm "D t=3. *c$ 3; 3
10 Tìm m "E % &' trình này có % (09
5
4 m m