+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế... Hệ phương trình đối xứng loại 2: [r]
Trang 1Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1− Định nghĩa chung: vào lý # $% &$'
( trình n ) x1, x2, , xn , là &$ - n ) # thay xi / xj; xj / xi thì
trình không thay 3'
Khi 5 trình luôn 6% 7 89 8- 8
x1 + x2 + + xn
x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + x<xn
x1x2 xn
* G# $% F(x) = a0x n + a1x n1 + an, a0 L 0, ai P có 1, , cn
1
1 2
0
2
0
1 1
0
( 1)
n
n n n
a
a
a
a
a
c c c
a
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
1 C lý Viét cho trình O% 2:
G# trình O% hai ax2 + bx + c = 0 có hai 1, x2 thì:
G6% !* # 2 x1, x2 có thì x1, x2 là
1 2
1 2
b
a c
P x x
a
1 2
1 2
x x P
trình X2 SX + P = 0
2 C R : ( , ) 0, trong 5
( , ) 0
f x y
g x y
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
3.Cách A
2 4
S P Chú ý:+ X - x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ 2 khi ta A T ) Z u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
+ Có
4 Bài O
Trang 2Loại 1: Giải hệ phương trình
3 3
30 35
x y xy
GIẢI
T S x y, Pxy, 2
4
S P
2
2
30 30
90 ( 3 ) 35
35
P
S S
S
2
xy x y
GIẢI
T t y S, x t P, xt, 2
4
S P
2 2
1 1 4
1 1
4
x y
x y
GIẢI
x y
2 2
4
8
2
4
4
4
P
1 2
1
2
x
x x
y y
y
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
GIẢI
Trang 3T , ta có: và
x y t xy 0 2
xyt (2) x y 16 2 t
V# vào (1), ta 6% 2
t t t t
Loại 2:
( pháp A chung:
+
4
S P
+
Chú ý:Khi ta T ) Z u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì - tìm chính xác
Ví
1
1 3
GIẢI
ta có:
x y
T S x y0,P xy 0, 2
4
S P
3
ta có 2
4
m
3 9
x y xy m
GIẢI
xy x y m
4
S P
3 9
Suy ra S và P là 2 –mX + 3m <_ = 0
2
2
3 2 3 4
( 3) 12
m
m
Trang 4Ví 4 1 4 có
3
GIẢI
4 4
21 3
2
u v
u v
m uv
u v m
Suy ra u, v là 2 4 21 3 0 (*)
2
m
t t
0 13 2
0 0
2
m
m P
2 2
4 4 10 ( 4)( 4)
GIẢI
T
2 2
( 4 ) ( 4 ) 10
4 4 10
2 2 ( 2) 0 ( 2) 0
2 4
0
P
Loại 3:
Ví 8Z' WA trình: 3 3 3
1 2
x x
GIẢI
3
31
x u
x v
3 2 1
u v
3 2
u v
3 u+v = 2 19 u.v = 36
X - X + = 0
2 36
9+ 5
u = 12
9 - 5
u = 12
3
3
9 + 5
x = 12
9 - 5
x = 12
;
Trang 5B BÀI TẬP
I Giải các hệ phương trình sau:
3 3
1
2 2
5 13
30 35
x y y x
x x y y
2 2
4
18 ( 1)( 1) 72
xy x y
2 2
1
1
x y
xy
x y
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
7 1 78
x xy y xy
4
280
x y
6 6
1
4 4
6 6 1 1
1
2 2 2
m
2 Tìm giá C %P m: a) 5 4 4 có
1
1
x y xy m
x y xy m
2
2 2
4
x y
3 Cho x2 xy2 y m(1II)
a
b Tìm các giá
3 8
x xy y m
a
b Tìm các giá
x y xy m
a
b Tìm các giá
Trang 6III Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1 WA trình: 4 4
x x
2 Tìm m
a 1 x 1 x m b m x m x m c 3 3
1 x 1 x m
Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm)
a C R Là
b C lý D<b cho trình O% 3:
Cho 3 x, y, z có:
x + y + z = s
xy + yz + zx = t xyz = u
Thì x, y, z ;à 3 – X2 + X – = 0 (*) VO O (X < x)(X < y)(X < z) = 0 [ X2 < (x + y)X + xy ](X < z) = 0
X3 < X2z < X2(x + y) + (x + y)zX + xyX < xyz = 0 X3 – X2 + X – = 0 (*) có 3 – X2 + X – = 0 có 3
c.Cách A
+ Do các
Khi 5 ta T
x + y + z = s
xy + yz + zx = t xyz = u
+ WA trình X3 – X2 + X – = 0 (1) tìm
Chú ý: (1) có
(1) có 1
(1) có 2
(1) có 3
d Bài O
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
WA áp 8Z h y $% ta có:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 < 2(xy + yz + zx)
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 < 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz DO 6 = 22 < 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = <'
8 = 23 < ;'+'H<I + 3xyz xyz = <+'
x, y, z là 3 < 2t2 < t + 2 = 0
t = 1
t = - 1
t = 2
Trang 7x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
WA 4 x, y, z L 0 Vc (3) xy + yz + zx = 1
xyz
Do (2) xyz = 27
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do
X3 < 9X2 + 27X < 27 = 0 (X < 3)3 = 0 X = 3
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
WA x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 < 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 < 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0
DO có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0
0
xyz
(x; y; z) là 3 < aX2 = 0 X = 0
X = a
e.Chú ý: Có
+
xyz có
+ Vì là
cùng y
27 2
1 3
x y z
xy yz zx
x y z
D- x L 0, y L 0, z L 0, nhân hai # %P (3) - xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4)
Vc (2) và (4) xyz = 27 (5); Vc (2) x2(y + z) + xyz = 27x (6)
Vc (1), (5), (6) ta có:
x2(9 < x) + 27 < 27x = 0 x3 < 9x2 + 27x < 27 = 0 (x < 3)3 = 0 x = 3
Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6
yz = 9
y = z = 3.
Trang 8II Hệ phương trình đối xứng loại 2:
( , ) 0 1 ( , ) 0 2
f x y
f y x
Cách A qk (1) (2) T% (2) (1) ta 6% (x y)g(x, y) = 0 (tích)
B Các ví dụ:
3 3
GIẢI
qk (1) (2) ta 6% 2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
3
x = 3x + 8y
x = y
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
V} 6 2: (I)
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví
4 4
1 1
1 1
x - 1 = u 0; y - 1 = v0
(Do u, v 0) DO
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
u = 0
v = 0
x = 1
y = 1
2 2
a Tìm m
b Tìm m
WA (I)
2 2
x = y - y + m x - 2x + m = 0
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m x = - y x = - y
x = y - y + m
x = y - y + m y + m = 0
Trang 9a)
' x ' y
0 1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
0
' x ' y ' x ' y
= 0
< 0
< 0
= 0
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
DO m = 1.
Ví 8Z 3: WA trình: 3 3
1 2 2 1
x x
GIẢI T 32x - 1 = t 2x < 1 = t3
3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
3
x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
x = 1
- 1 ± 5
x = 2
- 1 ± 5 2
C Bài tập:
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
2
2
3 2
3 2
x y x
y x y
3 3
1 2
1 2
9 9
2 2
a
b Tìm m
7 7
4 WA các trình: a x2 x 5 5 b 3 3
3 3 2 2
x x
A Dùng %P # là pháp # 3 h phép %> và #' Ngoài
ra
Trang 10B Ví dụ:
2 2 2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
2
2
x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x = y x + y - 2z - 1 = 0
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
x = y x + y - 2z - 1 = 0
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
-1
x = 0 x =
3
z = - 2x
x = y
);
-1 -1 2
; ;
3 3 3
3 3 3
-1 2 -1
; ;
3 3 3 );
1 1 1
; ;
3 3 3
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0
x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 y=z (I) y = z (II) z + y - 1 = 0 (III) z + y - 1 = 0 (IV)
1 1 1
; ;
2 2 2
Trang 112 2 2
1 1 1
WA Xét hai } 6 sau:
TH1: Trong 3
2 2 2
1 1 1
1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5
TH2 : 3 x, y, z 2 => khác nhau
WA z x > y > z ,xét hàm f(t) = t2 trên D = 1;
a) z , x > y > z 00 f(x) > f(y) > f(z) y + 1 > z + 1 > x + 1 y > x > z (vô lý) b) z < y < x f(x) < f(y) < f(z) y + 1 < z + 1 < x + 1 y < z < x (vô lý).0 c) x > 0 > z > < H<I > f(z) 1 > x + 1 x < 0 (vô lý)
VD5:
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
(Vô C% $%I
WA
TH1: Trong x, y, z ít
3 2 2
2 0 (1)
2 0 (2)
2 0 (3)
x z x z
z x z x
Vc (1) x = 0, x = <'
x = 0 thay vào (2), (3) z=0; x = < thay vào (2), (3) vô lý
TH2: 3 2 1 khác nhau Vc 2x + x2y = y k # x2 = 1 ± 2 = 0 (vô lý)
DO x2 L 1 2x + x2y = y 2 2
1
x y x
Hai
2
2
2
2 1 2 1 2 1
x y x y z y z x z
Trang 12WA z x > y > z (*) Xét hàm f(t) = 2 2
1
t t
xác C trên D = R\ {1}
f’(t) =
2
2 2
2( 1)
0 (1 )
t
t
- =, tD hàm ? # trên D
f(x) > f(y) > f(z) y > z > x mâu - (*)
C Bài tập
1
3 2
3 2
3 2
2 2 2
3 3(3 x 4) 4 4 x
- 8 T
2
2 2
2 2 2
3
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
4
9 27 27 0
5
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y x y z y z x z
,
,
F x y A
G x y B
F kx ky k F x y G kx ky k G x y
2 Cách A T y = tx (x L 0) T% x = ty (y L 0)
3 Ví 8Z
GIẢI
+
qk (1)(2) ta 6% 15t213t+2=0 2;
3
5
t
Trang 13 D- 2: ta có , thay vào (*) ta
3
2
y x
5
5
4 Bài O
x xy y
2
( , )
x y
HD: S# 3 phtrình 2 2 (x + y)(x 2y 1) = 0 ^ x = 5; y = 2.
2
xy x y x y
2
( , )
x y
2
6 6 2
xy
17 4
4 2
5 4 5
1 2
4
x y x y xy xy
2
2
5 4 5
4
x y xy x y xy
2
v xy
3
3
5
1 4
3 25
2 16
y y
3
1
y x
HD: (1) 1 ^
x y
xy
4
2 2
1
25
y x
y
Trang 14HD: Tìm cách 1z logarit 7 6% 3 ^
4
y
3
2
HD: 3 y x y x 3 yx16 xy0 ^ 3 1
1;1 , ;
2 2
4 HD: &$ ! 2 ^
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
1;1
3log 9 log 3
6 HD: Tìm cách 1z logarit 7 6% xy ^ 1;1 , 2; 2
x y xy
HD: T t xy , bình hai # trình $ hai tìm 6% tJ;'^ 3;3
5
15 10
4 m m
... Trang 13 D- 2: ta có , thay vào (*) ta
3
2
y x
5... - 8 T
2
2 2
2 2...
2
( , )
x y
HD: S# 3 phtrình 2 2 (x + y)(x 2y 1) = ^ x = 5; y = 2.
2
xy