3,0 điểm Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp đường tròn O.. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC H thuộc BC.. Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.. b
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa thi ngày: 10/06/2023
Môn: TOÁN
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
a¿Tính giátrị của biểuthức : A=√4 +2√3+√6−2√5+ 2
√5+√3
b¿Cho biểuthức :P=( √x−11 −
2√x
x√x+√x−x−1)∶(1−2√x
x +1)với x ≥ 0, x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P
Câu 2 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2−5 x+3 m+1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x12−x22
|=15
Câu 3 (1,5 điểm)
a¿Giải hệ phương trình{x y−
y
x=
5 6
x2−y2=5 b) Giải phương trình ( x−1)4=x2−2 x+3
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2
+x+6 là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2=−2(x6−x3y−32).
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH của tam giác
ABC (H thuộc BC) Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh ^PQH =^ BAH
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M Chứng minh ∆ MQH ∽∆ MHP và M H2=MB MC c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A) KH cắt đường tròn (O) tại D (D khác
K) Gọi J là trung điểm của HD Chứng minh J Q=J C
Câu 6 (1,0 điểm)
Tìm giá trị của biểu thức x
2
+10
√x2
+9
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa thi ngày: 10/06/2023
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Môn: TOÁN (Chuyên)
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 (2,0 điểm)
a¿Tính giátrị của biểuthức : A=√4 +2√3+√6−2√5+ 2
√5+√3
b¿Cho biểuthức :P=( √x−11 −
2√x
x√x+√x−x−1)∶(1−2√x
x +1)với x ≥ 0, x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P
m
a) Ta có: A = √(√3+1)2+√(√5−1)2+¿ 2
= √3+1+√5−1+¿ 2
= √3+√5+¿ 2(√5−√3)
b) Ta có: 1
2√x
x√x +√x−x−1=
1
2√x
(√x−1)(x +1)=
x+1−2√x
(√x−1)(x+ 1) 0.25
Và 1−2√x
x +1=
x+1−2√x
Nên P = x+1−2√x
(√x−1)(x+1) .
x +1
P = 1
Câu 2 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2−5 x+3 m+1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x12−x22|=15
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Khi ∆=52
−4 (3 m+1)>0⇔21−12m>0
⇔ m<7
4
0.25 Theo Vi-ét ta có: { x1+x2=5
Ta có: |x1−x2|=√ (x1−x2)2=√ (x1+x2)2−4 x1x2=√52−4 (3 m+1)=√21−12m
Theo yêu cầu đề bài: |x12−x22
|=| (x1+x2) (x1−x2) |
¿|5(x1−x2)|=5|x1−x2|=5√21−12 m
0.25
Suy ra |x12
−x22
Trang 3⇔21−12 m=9 ⇔12 m=12 ⇔m=1 (nhận) Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Câu 3 (1,5 điểm)
a¿Giải hệ phương trình{x y−
y
x=
5 6
x2−y2=5 b) Giải phương trình ( x−1)4=x2−2 x+3
a) Điều kiện: x ≠ 0 ; y ≠ 0.
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
{x2−y2
xy =
5 6
x2
−y2=5
⇔{x2xy=6 (1)−y2=5 (2)
0.25
⇒ x4−5 x2
−36=0⇔[ x2=9(n)
Với x2=9⇔[x=−3 x=3 ⇒ y=2 ⇒ y=−2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;2); (-3;-2)
0.25 b) ( x−1)4
=x2−2 x+3 (1) (1) ⇔[(x −1)2]2=x2−2 x +3⇔(x2−2 x +1)2=x2−2 x+3 (2) 0.25 Đặt t=x2−2 x+1, t ≥ 0 phương trình (2) trở thành phương trình
t2=t+2⇔ t2−t−2=0
Giải phương trình ta được: t=2 (nhận) hoặc t=−1 (loại)
0.25 Với t=2⇔ x2
−2 x+1=2⇔ x2−2 x −1=0⇔ x=1 ±√2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S={1−√2;1+√2}. 0.25
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2
+x+6 là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2=−2(x6
−x3y−32).
a) Ta có x2
+x+6=n2;(n , x ∈ Z )⇒ 4 x2
+4 x +24=4 n2
⇔ 4 x2
+4 x +1−4 n2=−23⇔(2 x+1−2 n)(2 x+1+2n )=−23 0.25
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2=−2(x6−x3y−32).
Ta có y2=−2¿
0.25
⇒ x6≤64 ⇔ x≤ 2 do x ∈ Z ⇒ x ∈{−1;−2 ;0 ;1;2} 0.25
Trang 4Xét các trường hợp:
+ x=2⇒(y −x3)2=0⇒ y=8
+ x=1⇒(y−x3
)2=63⇒ y ∉ Z (loại) + x=0⇒(y−x3
)2=64⇒ y=8 và y=−8
+ x=−1⇒(y −x3)2=63⇒ y ∉ Z (loại)
+x=−2⇒(y −x3)2=0⇒ y=−8
Vậy nghiệm của phương trình là: (0 ; 8 ); (0 ;−8) ; (2; 8); (−2 ;−8)
0.25
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH của tam giác
ABC (H thuộc BC) Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh ^PQH =^ BAH
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M Chứng minh ∆ MQH ∽∆ MHP và M H2
=MB MC c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A) KH cắt đường tròn (O) tại D (D khác
K) Gọi J là trung điểm của HD Chứng minh J Q=J C
a) Tứ giác APHQ có
=> ^APH +^ AQH=1800 và hai góc này ở vị trí đối nhau nên APHQ là tứ giác nội tiếp
b) Xét △ MQH và △ MHP có
^
PQH =^ BHA (cmt), mà ^BAH =^ BHP (cùng phụ ^PBH¿ suy ra ^MQH=^ MHP 0.25
Trang 5Chứng minh được tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp ⇒ ^MBP=^ MQC (cùng bù ^PBC)
Ta lại có ^BMP là góc chung
⇒ △ MBP∽ △ MQC (g.g) ⇒ MB
MQ=
MP
MC ⇔ M H2
=MP MQ (1)
0.25
△ MQH ∽ △ MHP (g.g) ⇒ MQ
MH=
MH
MP ⇔ M H2
=MP MQ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ M H2
=MB MC
0.25
c) Vì AKBC là tứ giác nội tiếp nên ^MKB=^ MCA (cùng bù với ^AKB), mà ^AMC là góc
chung
⇒ △ MKB∽ △ MCA ⇒ MK
MC=
MB
MA ⇒ MK MA =MB MC
0.25
Mà M H2=MB MC⇒ M H2
=MB MC ⇒ M H2=MK MA
Do △ AHM vuông tại H ⇒ HK là đường cao của tam giác AHM (vì △ MHA ∽ △ MKH
⇒ AK ⊥ KH ⇒ AK ⊥ KD suy ra AD là đường kính của (O).
0.25
Suy ra ^ACD=900 nên DC ⊥ AC
Mà HQ⊥ AC ⇒ DC /¿HQ nên HQCD là hình thang.
Gọi N là trung điểm của QC (3) ⇒ JN là đường trung bình của hình thang HQCD
⇒ JN /¿HQ ⇒ JN ⊥QC (4)
0.25
Từ (3) và (4) ⇒ JN là đường trung trực của QC ⇒JQ=JC 0.25
Câu 6 (1,0 điểm)
Tìm giá trị của biểu thức x2+10
√x2
+9
Đặt P = x2+10
√x2+9 = √x2+9+¿ 1
¿(19.√x2+9+ 1
√x2+9)+8
Suy ra
P ≥2.1
3+
8
9.3=
10 3
0.25
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
P=10
3 khi x=0
0.25