Tìm gía trị của m để đường thẳng dcắt hai trục Ox;Oy lần lượt tại 2 điểm A và B sao cho tam giác AOB cân.. Tìm các gía trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y, trong đ
Trang 1SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023-2024 MÔN TOÁN CHUYÊN
Câu 1:
1, rút gọn biểu thức :A=(√5−1 ¿√6+2√5
2, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 -x-3=0 Không gỉai phương trình hãy tính gía trị biểu thức :B=x1
x2+x2
x1
3, trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y=(m+2)x+3 Tìm gía trị của
m để đường thẳng (d)cắt hai trục Ox;Oy lần lượt tại 2 điểm A và B sao cho tam giác AOB cân
Câu 2:
1, gỉai phương trình : (4 x2 −7 x+4 )(3 x2
−4 x +3)= 3 x2
2, cho hệ phương trình :{mx+ y =2m−2 x +my=3 m−3(mlà tham số )
Tìm các gía trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), trong
đó x;y là các số nguyên
3, gỉai bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Một con robot được lập trình để chuyển động thẳng đều trên một quãng đường từ điểm A đến điểm B theo quy tắc : đi được 120cm thì dừng lại 1phuts , đi tiếp 240
cm rồi dừng lại 2 phút , đi tiếp 360cm rồi dừng laị 3 phút…,tổng thời gian từ khi bắt đầu di chuyển từ A cho đến B là 253 phút tính quãng đường từ A đến B biết vận tốc của robot không đổi là 40cm/phút.
Câu 3: cho đường tròn tâm O , đường kính AB cố định , trên tia đôí của tia BA
lấy điểm C cố định , qua C kẻ đường thẳng d vuông góc vớ AC gọi K là điểm cố định nằm giữa O và B ( K khác O và B) ,qua K vẽ dây cung ED bất kì của đường tròn (O) gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AE và AD với đường thẳng d đường tròn ngoaị tiếp tam giác APQ cắt tia AC tại điểm M(M khác A) chứng minh rằng :
a, tứ giácPEDQ nôí tiếp được trong một đường tròn
b, ∆ AKD ∽∆ AQM
c,AK.AM=AB.AC
d, khi dây ED thay đổi thì tâm đường tròn ngoaị tiếp tam giácAPQ luôn nằm trên một đường cố định
Câu 4:
1, giaỉ hệ phương trình :{( 2−1)√1− y− y√y−1=0
√x +2+√y+1=3
2, cho a,b>0 thỏa mãn a(a-1)+b(b-1)=ab
Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức :F=a3+b3+2023 ( a+b)+ 4
ab
Baì làm :
Trang 2Câu 1:
1, A=(√ 5−1 ¿√6+2√5 =( √ 5−1)(√5+1)=5-1=4
vi-ét ta có {s=x1 +x2=1
P=x1x2=−3
x2+
x2
x1=
x12+x22
x1x2 =
(x1+x2)2−2.4 x2
x1x2 =
12−2(−3)
−3 =
−7 3
3, xét d:y=(m+2)x+3
Cho x=0=> y=3=>d cắt Oy taị B(0;3) và OB =3
.∆ OAB vuông taị O
.∆ OAB cân( ¿ )
Câu 2:
1, (4 x2 −7 x+4 )(3 x2
−4 x +3)=3 x2
Do x=0 không là nghiệm của phường trình , nên phương trình đã cho tương đương với
4 x2−7 x +4
3 x2−4 x +3
¿ >[4(x+1
x)−7][3(x +1
x)− 4]=3
12
Nếu t=1 thì x+1x=1 x2−x+1=0 ( vô n)
Nếu t=2512thì x+1
x=
25
12≤¿12 x
2 −25 x +12=0
Trang 33
x=3
4
4
2, {mx+ y =2m−2 x +my=3 m−3
Nếu m=0 thì hpt trên trở thành {x=−3 y=−2 ∈ Z ∈ Z
Nếu m≠ 0 thì hpt trêntương đương vơí
{mx+m2 y=3 m2 −3 m
mx + y=2 m−2
y(m2−1 ¿ =3 m2−5 m+2
khi đó :y=3 m2m−5 m+22 −1 =
3 m2−3−5 m+5
m2 −1 =3−
5
m+1
m∈ Z ; y ∈ Z=¿5 ⋮ m+1=¿m+ 1∈{±1 ;±5}
m∈{0;−2 ;4 ;−6}
kl:m∈{ −6 ;−2 ;0 ;4}
Câu 3: chia quãng đường AB thành các đoạn đường nhỏ như sau : Đoạn 1: robot đ 120cm đầu tiên trong :120:40=3(p) và nghỉ thêm 1p Đoạn 2:robot đ 240 cm tiếp theo trong :240:40=3.2(phút)và nghỉ thêm 2p
Đoạn 3 : robots đ 360 cm tiếp theo trong : 369:40 =3.3 phút và nghỉ thêm 3p
Quá trình tiếp tục đến
Đoạn n : robot đ 12o.n (cm) tiếp theo trong 3n phút và nghỉ n phút Tổng thời gian robot đi hết 253 phút nên
4.(n+1) n2 ≤253
2 n2+2 n−253 ≤ 0
n≤ 10,75
Trang 4vơí n∈ N¿
chọn n=10
10 đoạn đường trên daì là :120(1+2+ +10)=6600cm Robot đi 6600cm hết 4(1+2+ +10)=220 phút
Còn lại 253-220=33 phút
33phút cuố robot đi được 33.40=1320cm
Quãng đường AB dài 6600+1320=7920 (cm)
Câu 3:
M
Q
P
B
D
O
A
C K
E
I
^ADB=^ ACQ=90 °
= ¿BDQC là tgnt=¿^ABD=^ CQA
^AED=^ PQA=¿EPQDlà tgnt
Trang 5^ADK=^ AMQ và ^ KAD=^ MAQ
, ∆ AKD ∽∆ AQM
C, , ∆ AKD ∽∆ AQM => AK AQ= AD
AM=¿AK AM = AD AQ
∆ ABD ∽ ∆ AQC=¿ AB
AQ=
AD
AC=¿AD AQ= AB AC
AK AM= AB AC
A,B,C,K cố định
Câu 4:
1{( 2ư1)√1ư yư y√yư1=0(1)
√x +2+√y+1=3(2)
Đkxđ {ư2≤ x ≤ 1y ≥1
Đặt √1ưx=u ≥ 0 ;√yư1=v ≥ 0
{x=1ưu2
y =v2+1
¿uư(1+ v2 )v=0
(u-v)(u2+uv +v2+1 ¿ = 0
{u2 +uv+vu=v2
+ 1=0 (3)
2)
2
+ 3
4v
2 +1=0 vô nghiệm
Vậy u=v => 1-x=y-1=> y=2-x thế vào 2
√x+2+√3ưx=3
Trang 6 x+2+3-x+2√(x +2)(3−x )=9
√(x+2)(3−x )=2
{x=−1(thỏa mãn) x=2(loaị)
2, a(a-1)+b(b-1)=ab
+b2 −(a+b)=ab( ¿ )
mà(a2 −b) 2≥ 0=¿a2 +b 2 >2 ab= ¿ (a+b) 2≥ 4 ab
(a+b)2−(a+ b)=3 ab ≤ 3
4(a+b)
2
14(a+b)2−( a+b) ≤ 0= ¿0< a+b ≤ 4
khi đó : F= a
2
+b2+2023 (a+b)+4
ab
(a+b )(a2+b2−ab)+2023 (a+b)+4
ab
Mà a2+b2−(a+ b)=ab= ¿a2+a2−ab=a+b
(a+b) 2
+2023( a+b)+4
(a+b)2
+2023 (a+b )+4
(a+b)2 4
F≥ 4 +2023.4
a+b +
1 (a+b)2
4 +
16
42
F≥ 2028
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=2
Kl nên F=2028