019 10 chuyên toán đồng nai 23 24

Gọi H là trung điểm của OA.Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC M không trùng với B và C, AM cắt CD tại I 1 Tính độ dài các đoạn thẳng AC BC CH ,

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI – NĂM HỌC 2023-2024 MÔN TOÁN CHUYÊN – Thời gian 150 phút Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình  x  2   x  1   x  3   x  6   56 0 

2) Giải hệ phương trình    

2 2 5

x y

  







Câu 2 (1,0 điểm) Cho số thực xthỏa mãn 3x4 Rút gọn biểu thức :

A  x   x   x   x 

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x y z , , thỏa mãn x2 y2  2023x 35

Câu 4.(1 điểm) Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 99 điểm phân biệt Chứng minh

rằng có ít nhất 3 trong số 99 điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng

1 9

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Cho hai số dương xvà y thỏa mãn x y   2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2

1

B x y

x y

  



2) Cho đa thức P(x) hệ số thực Khi chia P x ( ) cho đa thức x  5 thì được dư là 7 và khi chia P(x) cho đa thức x 1 thì được dư là 1 Xét đa thức Q x ( )  x2 4 x  5 Tìm

đa thức dư khi chia P x ( ) cho Q(x)

Câu 6 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB  2 R Gọi H là trung điểm của OA.Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC

(M không trùng với B và C), AM cắt CD tại I

1) Tính độ dài các đoạn thẳng AC BC CH , , theo R

2) Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM

3) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho MB MC MD  đạt giá trị nhỏ nhất

ĐÁP ÁN ĐỀ TUYỂN SINH 10 CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2023-2024

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình x  2   x  1   x  3   x  6   56 0 

(1) Đặt a x 24x12

(1)

2

15 56 0

15 56 0

7

8

a a

a

a





  



5

x

x





           



2 2 2

x

x

  

          

 



Vậy S      1; 5; 2 2 2; 2 2 2   

2) Giải hệ phương trình:

   

2 2 5







 2 2 5

1 6

x y xy

xy x y



 

   



 2 2 5

5

x y xy

xy x y



 

  



 2 2( ) 15

5

xy x y



 

  



3

5 5

x y

x y

xy x y

   



   



  



3 2 5 10

x y xy

x y xy

   













   

 



 



1; 2 2; 1

x y

 



   



Vậy nghiệm của hệ là  1;2 ; 2;1   

3 2 3 1 3 2 3 1

A  x    x  

A  x    x  

Vì 3   x 4 nên x  3 1   x  3 1 0    x  3 1 1    x  3

3 1 1 3 2

A  x     x  

Vậy A 2

Ta có 2023z 35 7 289z z 7.5 7

Vì bình phương một số tự nhiên chia cho 7 dư 0,1,2,4

Nên x2 7; y2 7 x y ,    x  7; y  7  x2 49; y2 49  x2 y2 49

       (vô lí)

Vậy z 0;1

Với z   0 x2 y2  36

0; 6 6; 0



   



Với z   1 x2 y2  2058  x2  46  x   0;1;2;3;4;5;6 

2

2

y Không có

y  

Không có

y  

Không có

y  

Không có

y  

Không có

y  

Không có

y  

Không có

y  

Vậy x0;y6;z0hoặc x6;y0;z0

Câu 4: Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 99 điểm phân biệt Chứng minh rằng có ít nhất 3 trong số 99 điểm

đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng

1

9.

Chia hình vuông thành 49 ô như hình vẽ Mỗi phần đều có thể lọt trong hình tròn bán kính

1

9 Theo nguyên lý

Đirichle thì 99 điểm chia ngẫu nhiên trong 49 phần sẽ có ít nhất 3 điểm (49.2+1=99)

Câu 5: (2,0 điểm)

1) Cho hai số dương x và y thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2

1

B x y

x y

  



Ta có: 2 x  2 y2   x y  2

 2

        (đúng)

 2 2

2

x y

2 2

2 2

1

B x y

x y

  



2 2

x y



2 2



Dấu “=” xảy ra khi x y 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2

1

B x y

x y

  

 là

5

2khi x y 1

2) Cho đa thức P x( )hệ số thực Khi chia P x( ) cho đa thức  x  5 

thì được dư là 7 và Khi chia P x( ) cho đa

thức  x  1 

thì được dư 1 Xét đa thức Q x ( )  x2 4 x  5 Tìm đa thức dư khi chia P x( )cho Q x( ).

Đặt P x( )T x x( ) 2 4x 5R x x( ) 2 4x 5x 5 x1

Nên P x( )và R x( )có cùng số dư khi chia cho x  5và x  1

Nên R x( )x 5  a 7 x1  b1

ax a bx b

     

a b

  nên  5 a     7 a 1 6 a   6 a b   1

Vậy R x( ) x 2

Câu 6 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm Ođường kính AB2R Gọi H là trung điểm OA Vẽ dây CDvuông góc với ABtại H.

Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC(M không trùng với Bvà C), AM cắt CDtại I.

1) Tính độ dài các đoạn thẳng AC BC CH, , theo R.

I

D

C

M

2

R

AC AB AH  R R

AC R

 2

3

BC R

R

3

2

R

CH

2) Chứng minh ADlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM .

OCD

 cân tại Ocó OHlà đường cao nên OHđồng thời là trung trực

Nên OHlà trung trực của CD

AC AD ACD ADC

Mà  ACD   AMD

 ADC  AMD IMD 

Suy ra ADlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM .

3) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho MB MC MD   đạt giá trị lớn nhất

F

I

D

C

M

Ta có AC=OA=OC=R nên  AOCđều CAO CAB     60 

CAB CDB

BCD

 cân tại B lại có CDB    60 nên  BCD là tam giác đều

DC DB

  nên D thuộc trung trực BC

Lấy F là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên F thuộc trung trực BC, O thuộc trung trực BC

Do đó D O F, , thẳng hàng mà DFlà đường kính nên DF MD

Kẻ  M MB ; 

cắt MC tại E ta có MC MB MC ME CE    

Xét MFB và MFE, có

MB ME

FME BFM   FBC

MF chung

FB FE

Trong tam giác MCEcó CE FC FE FC FB    

Hay MC MB FC FB   

Lại có : MD DF (cmt)

Nên MD MC MB DF FC FB     

Vậy MB MC MD   đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với F

Hay Mlà điểm chính giữa cung nhỏ BC thì MB MC MD   đạt giá trị lớn nhất