027 10 chuyên toán hải phòng 23 24

Vẽ đường kính AT của đường tròn O và lấy điểm P trên đoạn thẳng OT P T .. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của P lên đường thẳng AC và AB.. Đường thẳng vuông góc với AQ tạ

Lời giải tham khảo đề thi Toán Chuyên 2023 – 2024

TỈNH HẢI PHÒNG _ MÔN TOÁN

1 Đề bài

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức

:

A

Rút gọn biểu thức A và chứng minh A 2

b) Cho phương trình: x2  2a1x a 2  2a  ( x là ẩn, a là tham số ) 1 0 Chứng minh nếu a là số chính phương thì phương trình đã cho có hai nghiệm cũng là những số chính phương

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x2 4x6 3x2 4x 5 27x3 3x

b) Giải hệ phương trình:

2







Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O

Vẽ đường kính AT của đường tròn (O) và lấy điểm P trên đoạn thẳng OT P T 

Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của P lên đường thẳng AC và AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC.

a) Chứng minh OAB HAC và hai đường thẳng BC,EF song song với nhau b) Cho AH và EF cắt nhau tại U; điểm Q di động trên đoạn thẳng UE

Q U Q E ,   Đường thẳng vuông góc với AQ tại điểm Q cắt các đường thẳng

PE, PF tương ứng tại M,N Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Chứng minh bốn điểm A,M,N,P cùng thuộc một đường tròn và OAH KAQ

c) Kẻ KD vuông góc với BC D BC  Chứng minh đường thẳng đi qua điểm

D và song song với AQ luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 (1,0 điểm) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = 0 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

P

Bài 5 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố a,b và số nguyên dương m thỏa mãn a2b2 18ab 4.5m

b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số 1,2,….,8 ( hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau) Mỗi dãy cung nối hai điểm bất kì được gần với giá trị tuyệt đối của hiệu các

số ở hai đầu mút Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dãy cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gần với bốn dãy cung đó bằng 16

2 Lời giải

Bài 1

1

1

a

x     m   m m  m  m

:

A

1

1

x x

x

2 1 2

1

     

2 2

1



( với x > 0 ) Suy ra:

x

A



2

A

  ( đpcm )

b) Có a là số chính phương  Đặt a m m 2  

Xét phương trình: x2  2a1 a2  2a 1 0

Có:  ' a12  a2  2a1 4a4m2    0, m

Phương trình có hai

1

1

a

đều là số chính phương ( đpcm )

Bài 2

a) 3x2 4x6 3x24x 5 27x33x

( ĐKXĐ: x R )

3x2 4x 5 3 x2 4x 5 3x2 4x 5 3x3 3x

2

3x 4x 5 3x

    ( Do x3 là hàm số đồng biến)x

 

2

2 2

5

5 6 7 8 1 2 3 4 16

ab

b a b vì a b P









3x 4x 5 9x

    ( Điều kiện: x  )0

6

Kết hợp điều kiện

2 34 6

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2 34 6

x 

b)

2





1

1

y





 



   

   



TH1:





1

1 0

1 2

vì x x

   



 



2 32 7 4 3

3

y

x



 

 

TH2:

1

   





   

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  3;7 4 3 

Bài 3

Ta chứng minh cho trường hợp hình này Các trường hợp khác chứng minh tương tự

Ký hiệu: (XYZ): đường tròn ngoại tiếp XYZ ; (XY): đường tròn đường kính XY a) Xét tứ giác ABTC nội tiếp (O) đường kính AT

           ( đpcm )

Có: AEPAFP90  AEPF nội tiếp Kết hợp FP // TB (  AB )

/ /

b) Có: AEM AQM 90  AQEM nội tiếp  MAQPEF

Tương tự

dpcm1

Có: K là tâm (AMP), kết hợp AQEM nội tiếp

2

AKP

                 dpcm2

c) Gọi Rlà trung điểm AP, trung trực RK của AP cắt BC tại G, J là hình chiếu của

G lên AK, DJ cắt tại (AG) tại S  R G AG, ,  cố định: A,J,R,S,H,GAG Mà

JKDG nội tiếp (KG)  KDJ KGJ  KAOHAQ( theo câu b ) Kết hợp

AH // KD BC  DJ // AQ

Lại có AJRS nội tiếp nên  RSJ KAOKDJ  RS / /KD RS BC

 Đường thẳng RS cố định ( R cố định )  S RS AG cố định ((AG) cố định ) Vậy đường thẳng qua D song song với AQ luôn đi qua S cố định ( đpcm )

Bài 4

Không mất tổng quát, ta giả sử ab 0 a2 b2 a b 2 c2

Có:

 2  2  2

3

P

3

   

2

   

   

2 2

4 3 2

2

c c



Dâu “ = “ xảy ra khi



   



Vậy min          

3

; ; 0;0;0 ; 2; 1; 1 ; 1; 1;2 2

Bài 5

a) Có: a2 b2 18ab4.5m  a b 220ab4.5m a b 5

Nếu ab5 4.5 5m nhưng 25  m1vôlí vì VT  0 20.2.2 4.5 1 VP

ab

  Kết hợp a b 5 a và 5 b5 a b 5vì a b P,  

3

4.5m 0 20.5.5 4.5 m 3

Vậy (a;b;m) = (5;5;3)

b) Xét 2 tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {5;6;7;8} Dễ thấy: Ta luôn tìm được 1 đỉnh thuộc A kề với 1 đỉnh thuộc B Ta chọn dây cung nối 2 đỉnh đó, và xét 6 đỉnh còn lại Tương tự, tìm được 1 đỉnh thuộc A kề với 1 đỉnh thuộc B ( giữa 2 đỉnh kề nhau

có thể có các đỉnh không được xét ), ta chọn dây cung nối 2 đỉnh đó Làm tương tự đến khi còn 2 đỉnh, chọn dây cung nối 2 đỉnh cuối cùng, ta chọn được 4 dây cung đôi một không có điểm chung và có 1 đầu mút thuộc A, 1 đầu mút thuộc B Gọi các dây cung đôi một không có điểm chung và có 1 đầu mút thuộc A, 1 đầu mút thuộc B Gọi các dây cung này là A B A B A B A B1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 với đỉnh A được đánh số i

i

a A và đỉnh B được đánh số i b i B i 1,4

Khi đó, ta có:

Vậy luôn chọn được 4 dây cung thỏa mãn ( đpcm )