1 2 don dieu

Dạng 5: Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình.Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp.. Bạ

Dạng 5: Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình.

Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ về ứng dụng đơn điệu trong việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số - lượng giác

Phương pháp

Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) ,

f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

 Nếu hàm số y f(x) liên tục và đồng biến trên D thì :

Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a; b)

 Nếu uv f(u) f(v)

 Nếu uv f(u) f(v)

Tính chất 2: Nếu hàm số y f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x  liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì

số nghiệm trên D của phương trình : f x g x  không nhiều hơn một

Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và

x D : f(x ) g(x )

* Nếu x x 0 f(x) f(x ) g(x ) g(x) 0  0   PT:f(x) g(x) vô nghiệm

* Nếu x x 0 f(x) f(x ) g(x ) g(x) 0  0   PT:f(x) g(x) vô nghiệm

Vậy xx0 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) g(x)

Tính chất 3: Nếu hàm số y f x   liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)trên D thì f(u) f(v)  uv (u v) u, v D  

Tính chất 4: Cho hàm số y f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục a; b Nếu f(a) f(b)  thì phương trình f '(x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Chứng minh:

Giả sử phương trình f '(x) 0 vô nghiệm trên (a; b)

Khi đó f '(x) 0 x (a; b)   (hoặc f '(x) 0 x (a; b)   )

Suy ra f(b) f(a) (hoặc f(b) f(a) )

Điều này trái với giả thiết f(a) f(b)

Vậy phương trình f '(x) 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình f x  có m nghiệm thì phương trình f '(x) 00  có

m 1 nghiệm

Hệ quả 2: Cho hàm số y f x   có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a; b) Nếu

phương trình f(k)(x) 0 có đúng m nghiệm thì phương trình f(k 1) (x) 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm

Thật vậy: Giả sử phương trình f(k 1) (x) 0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình f(k)(x) 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán

Từ hệ quả 2  nếu f '(x) 0 có một nghiệm thì f(x) 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai

 Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình f(x) 0 ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức f(x) (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X

(nhập giá trị bất kì) =

 Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến

* Nếu hàm số y f(x) đồng biến thì ynf(x) là hàm số đồng biến

* Nếu hàm số y f(x) đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số y 1

Ký hiệu K là một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.

 Nếu f x liên tục trên đoạn a; b    và f a fb0  thì phương trình     f x  có ít 0

nhất một nghiệm ca; b

 Nếu f x liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình   f x   có không quá một 0

nghiệm trên K

Chú ý 2:

Nếu f x liên tục và tăng trên K ,   g x liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên K  

thì phương trình f x g x có không quá một nghiệm trên K

 Nếu phương trình f ' x   có n nghiệm trên khoảng 0 a; b thì phương trình

 

f x  có không quá n 10  nghiệm trên khoảng a; b 

 Tổng của 2 hàm tăng trên K là một hàm tăng trên K , tổng của 2 hàm giảm trên

2 Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức dưới dấu

căn hơn kém nhau 1 Do đó nếu ta đặt đặt u3x 1, v32x2 thì phương trình đã cho trở thành: 3u3 1 u3v3 1 vf(u) f(v)

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất x 5

 không là nghiệm phương trình

Phương trình cho viết lại:  3x 3  3  5 2x 1   x 2 x   2 x 12 0

   phương trình f(x) 0 có tối đa một nghiệm

Và f(3) 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3

Ví dụ 3 : Giải phương trình: 3 sin x  2 sin x 1

Lời giải.

Tập xác định D ¡

Đặt tsin x , điều kiện t 1

Khi đó phương trình có dạng : 3 t  2 t 1 3 t  1 2 t  

Dễ thấy: + Hàm số f(t) 3 t là hàm đồng biến trên D  1;1

+ Hàm số g(t) 1  2 t là hàm nghịch biến trên D  1;1

Từ   suy ra : f(t) g(t) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy t 1 là thỏa phương trình   , do đó: sin x 1 x k2

1 Cách 1: Hệ phương trình cho viết lại:

5 4xy

 không là nghiệm phương trình  

Xét hàm: f tt 6t4 8 3 2t2  3  liên tục trên khoảng 0;3

5 4xy

3x 1 4 2x 1    2x 3 3 2x 4  2 3x 1   3x 1 2 2x 3   2x 3   Xét hàm số f(t) 2tt 2 với t 0 ta có f ' t 4t 1 0, t 0   

Do đó f(t) đồng biến trên 0;

Khi đó    3x 1  2x 3 x 4 y 12

Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm x, y 4;12

 ¡ nên hàm số đồng biến trên với ¡

x

 vào phương trình đầu, ta được: x3x 2 x  21 x6

Vế trái của phương trình là hàm đồng biến trên 0;  nên có nghiệm duy nhất

Hàm số f tt t3 , t ¡ ta có: f' t 3t2 1 0 t ¡ nên đồng biến trên f t 

2k

21

Vậy hàm số f(t) đồng biến trên ¡ Ta viết lại hệ phương trình như sau:

Ví dụ 11 : Giải hệ phương trình sau:

z8

Ta thấy hàm số đồng biến trên 1;

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x  y z 1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình:

Bài 2: Giải phương trình: (x 1)  3 (5x x )  2 3  3 5x x  2  3(x 1) 

Bài 3: Giải phương trình:

2 2

y  0 và tồn tại một số dương  sao cho y   0

Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, phương trình y 0 có ítnhất một nghiệm c    ; 

Nếu ta chứng minh được hàm số y đơn điệu ( tức đồng biến hoặc nghịch biến )trên khoảng   Từ đó suy ra rằng phương trình đã cho có nghiệm duy nhất; 

   nên phương trình có nghiệm x 1

Mặt khác: f x  đồng biến trên khoảng 1;  , do đó hàm số y cắt trục hoành tại

1 giao điểm Vậy, phương trình : x5 5x 5 0  có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Chứng minh phương trình: x5 x2 2x 1 0  có nghiệm duy nhất

Dễ thấy y 1 y 2     phương trình 0 5 2

x  x  2x 1 0  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1; 2 , hơn nữa hàm số y đồng biến ( y' 0,   x 1; 2 ) trong khoảng này Như vậy, phương trình x5 x2 2x 1 0  có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng 1; 2 

nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1; 2 

Hơn nữa y đồng biến trên khoảng 1;  , do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao

điểm có hoành độ x1; 2

Vậy, phương trình : 1x5 x3 4x 3 0

thuộc khoảng1; 2 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp.

Cách 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(x) > 0 ( < 0, ) với x D

Lập bảng biến thiên của f(x) với x D Từ đó suy ra điều phải chứng

minh

Cách 2: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(a)  f(b.

Nếu a thì chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên [b;a].b

Nếu a thì chứng minh f(x) là hàm số nghịch biến trên [a;b].b

Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dạng f(x) k, x   a; b

* Nếu k f(a) ta chứng minh hàm f đồng biến trên a; b

* Nếu k f(b) ta chứng minh hàm f nghịch biến trên a; b 

Bài toán 01: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

2

sin B2

cos A cos B cos C

cos A cos B cos C 6

Do vai trò của a, b,c là như nhau nên ta có thể giả sử a b c

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x 0;

cos A cos B cos C

cos A cos B cos C 6

2 Cho tam giác ABC có AB C Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a; b 

Nếu f đồng biến trên đoạn a; b  thì  

min P

3

2

  và max P 1 khi x 0, y 1  hoặc x 1,y 0 

Ví dụ 2 Biết rằng x; y là nghiệm của hệ:  x y2 2m 2

  Phương trình   có nghiệm khi   nghĩa là 0 2

    2 m2.Với 2 m  2 thì hệ cho có nghiệm x; y và  F m 2 3m 6

Dễ thấy, F' 2m 3 0   với mọi m  2; 2 suy ra F nghịch biến trên đoạn   2; 2

và F 2 13, F 2 11

Vậy, min F11 khi m2 và max F 13 khi m2

Ví dụ 3 Biết rằng x; y là các nghiệm của hệ phương trình :  2 2 2

Hệ có nghiệm khi phương trình: t2 mt 2m 3 0   có nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho a, b,c,d là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

A

a b c dabcd

Bài 3 Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1, y 1  và 3 x y  4xy

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P x3 y3 3 12 12