Bài 2 2,5 điểm 1 Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai công nhân làm chung một công việc thì sau 5 giờ 50 phút sẽ hoàn thành xong công việc.. Sau khi là
Trang 1UBND QUẬN HÀ ĐÔNG
TRƯỜNG THCS DƯƠNG NỘI
-ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức
24 6
N
x và
36
M
x
1) Tính giá trị của biểu thức N khi x 9
2) Rút gọn biểu thức M
3) Tìm số nguyên x để biểu thức L N M có giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 2 (2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai công nhân làm chung một công việc thì sau 5 giờ 50 phút sẽ hoàn thành xong công việc Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?
2) Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung có dạng một hình trụ, độ dài của đường ống là 30 m Dung tích của đường ống nói trên là 1800 m Tính diện tích đáy3 của đường ống
Bài 3 (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2
1 1
1
x y x
y
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P :y x 2
và đường thẳng ( ) :d y mx 2
a) Chứng minh d
luôn cắt P
tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1 , 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để x1 2x2.
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn AB AC
nội tiếp đường tròn ( ).O Hai đường cao
BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm BC
a) Chứng minh ΔAEF đồng dạng ΔABC.
b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF
c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N Gọi I là trung điểm của MN J, là trung điểm củaAH. Chứng minh tứ giác AFHInội tiếp và ba điểm , ,
I J Kthẳng hàng
Bài 5 (0,5 điểm)
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 2Cho P a 1 b1, với a b, là các số không âm thỏa mãn a b2 2 2.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P
UBND QUẬN HÀ ĐÔNG
TRƯỜNG THCS DƯƠNG NỘI
-ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài I
2,0
điểm
1) Tính giá trị của biểu thức M khi x 9
Tính
24 8.
3
9 6
2) Rút gọn biểu thức M
M
0,25
0,25
2
6
x
0,25
6 6
x x
3) L N M. đạt giá trị nguyên lớn nhất.
24 6
L x
Lý luận P đạt giá trị nguyên lớn nhất khi x 49 khi đó P 24 0,25
Bài
II
2,5
điểm
1) …mỗi công nhân làm riêng thì trong bao nhiêu giờ …
Đổi
35
6
Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong
Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là y(đơn vị: giờ,
0
Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được
1
x (công việc)
Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được
1
y (công việc)
0,25
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 3Vì hai công nhân làm chung công việc đó sau
35
6 hthì xong nên ta có
phương trình
35
x y (1)
0,25
Vì Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc nên ta có
phương trình
5 7
1
x y (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ
35
x y
x y
0,25
Giải hệ tìm được
10 14
x y
Vậy công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc trong 10 giờ, công nhân thứ hai làm một mình xong công việc trong 14 giờ. 0,25 2) Bồn nước này đựng được bao nhiêu mét khối nước ?
Diện tích đáy của đường ống đó là:
2
1800: 30 60( m)
Bài
III
2,0
điểm
1) Giải hệ phương trình …
Điều kiện xác định 3 3 y 1.
1
x y
0,25
1; 1 1
0,25
0 1;
2
y x
y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình S 1;0 , 1;2 .
0,25
2a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt …
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vì ac 2 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
.
m
Vậy d
cắt P
2b)
Tìm tất cả giá trị của m để ( ) d
cắt P
tại hai điểm phân biệt…
Theo định lý Vi-et ta có:
x x
Vì x x1 , 2 thỏa mãn x1 2x2 x1 0 x2
Suy ra x1 2x2 x1 2x2,
0,25
Trang 4thay vào (*) suy ra x2 m x1 2m
Do đó
1
m m
m
Thử lại, m 1 thỏa mãn.
Bài
IV
3,0
điểm
1) Chứng minh ΔAEF đồng dạng ΔABC.
J
M
K
H F
E
B
O
C
BE AC ⇒ BEC 900
CF AB ⇒ CFB 900 0,25
⇒ Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp 0,25
⇒ ΔAEF đồng dạng ΔABC. 0,25
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng
ΔOAC cân tại O ⇒
1800
2
EAO
0,25
1 1800 0
90
3) Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và I J K, , thẳng hàng.
Chứng minh ΔAMN cân tạiA vìAMN MBH MHB NCH NHC ANM
AFH AIH 90 0 ⇒ Tứ giác AFHI là tứ giác nội tiếp 0,25
Có MAH NAO IAH IA O IJ ||AO suy ra IJtrung trực EF 0,25
Có J E J F KE, KF KI trung trực EF ⇒ I J K, , thẳng hàng 0,25
Bài
V
0,5
điểm
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất …
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:3 2 1
a a
a
, dấu bằng xảy ra khi a 1 Chứng minh tương tự suy ra P 2 2, đẳng thức xảy ra khi a b 1
Vậy GTLN của P là 2 2 khi a b 1
0,25
2
a b
a a b b a b
Ta có: a 1 b1 1 a b 1 1 2 1 , 0,25
Trang 5đẳng thức xảy ra khi
0 2
a b
hoặc
2 0
a b
Vậy GTLN của P là 1 2 1 2 khi
0 2
a b
hoặc
2 0
a b
Bài IV: 1) Nếu học sinh vẽ AB AC mà chứng minh đúng thì trừ 0,25 điểm
UBND QUẬN HÀ ĐÔNG
TRƯỜNG THCS DƯƠNG NỘI
-ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN
MA TRẬN ĐỀ
Cấp
độ
Chủ đề
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Cộng Cấp độ thấp Cấp độ
cao
1 Bài toán
liên quan
đến biểu
thức chứa
căn bậc hai.
Tính giá trị biểu thức khi cho trước giá trị của biến
Rút gọn biểu thức chứa căn
Tìm cực trị của phân thức
2 Giải bài
toán bằng
cách lập PT
hoặc HPT
Giải bài toán bằng cách lập
PT hoặc HPT
3 Thể tích
hình không
gian
Vận dụng công thức tính diện
quanh hình trụ
HPT đưa
Biết đưa HPT
về dạng bậc
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 6được về
HPT bậc
nhất hai ẩn
nhất hai ẩn và giải HPT
quan hệ
Parabol và
đường
thẳng.
Chứng minh được (P) luôn cắt (d) với mọi giá trị của tham số
Tìm tham số
để (d) và (P) thỏa mãn điều kiện nào đó
6 Hình học
phẳng
Chứng minh tam giác đồng dạng
Chứng minh vuông góc
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
7 Tìm cực
trị đại số
Tìm GTLN của biểu thức
Tổng điểm –
Tỉ lệ
1,0 đ (10%)
5,5 đ (55%)
2,0 đ (20%)
1,5 đ (15%)
10 đ (100% )
