Skkn toán học thpt (13)

Để đáp ứng được yêu cầu của các kì thi nói riêng và để đạt được các mục tiêu về năng lực, phẩm chất của giáo dục nói chung, học sinh cần được trau dồi kiến thức môn học, rèn luyện kĩ năn

Viết tắt Viết đầy đủ

BT

CH DHGQVĐ GD-ĐT

GV GQVĐ

HS

KN

KT

PP PPDH THPT THCVĐ

Bài tập Câu hỏi Dạy học giải quyết vấn đề Giáo dục đào tạo

Giáo viên Giải quyết vấn đề Học sinh

Kỹ năng Kiến thức Phương pháp Phương pháp dạy học Trung học phổ thông Tình huống có vấn đề

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng (khoá XI) đã yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Tiếp thu tinh thần Nghị quyết, chương trình giáo dục phổ thông nói chung và chương trình môn Toán trung học phổ thông nói riêng

đã xác định những yêu cầu cần đạt về kiến thức, kỹ năng, thái độ, hướng đến hình thành phẩm chất, phát triển năng lực cho người học một cách toàn diện, trong đó, đặc biệt quan trọng là năng lực tự học

Từ năm 2017 đến nay, các kì thi THPT Quốc gia mà nay là kì thi Tốt nghiệp THPT

đã liên tục đổi mới cả về nội dung và hình thức tổ chức để phù hợp với công cuộc đổi mới đang diễn ra ngày một mạnh mẽ trong dạy học Nằm trong xu thế đổi mới đó, môn Toán đã được thay đổi hình thức kiểm tra sang hình thức trắc nghiệm khách quan với đặc thù yêu cầu cao hơn về năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề so với hình thức trước đây là tự luận, đặc biệt là khả năng tự học của HS Để đáp ứng được yêu cầu của các kì thi nói riêng và để đạt được các mục tiêu về năng lực, phẩm chất của giáo dục nói chung, học sinh cần được trau dồi kiến thức môn học, rèn luyện kĩ năng thật tốt để có thể phát hiện ra vấn đề trong từng bài toán và giải quyết nó trong một khoảng thời gian nhanh nhất

Có thể nói mạch kiến thức về nội dung “số phức” là nội dung cơ bản trong các đề thi tốt nghiệp THPT Các kiến thức về số phức từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp liên tục được đưa vào trong đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây Với vai trò quan trọng đó, các bài toán về nội dung số phức luôn được sử dụng trong các đề thi và được thay đổi hình thức câu hỏi liên tục, đòi hỏi học sinh phải tự rèn luyện năng lực tự học của bản thân trở nên linh hoạt hơn, sáng tạo hơn

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Từ năm học 2015 – 2016 trở về trước, với hình thức kiểm tra tự luận, các đề bài toán về nội dung số phức thường chỉ được khai thác dưới dạng phép toán biến đổi cơ bản Tuy nhiên, với hình thức thi hiện tại là trắc nghiệm khách quan, nhiều dạng bài toán với nội dung số phức được đưa vào với mức độ vận dụng và vận dụng cao, đặc biệt nhiều bài toán số phức còn vận dụng các tính chất của hình học phẳng để giải Do đó, nhiều dạng đề bài khác được khai thác, yêu cầu học sinh ngoài kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay vẫn phải ghi nhớ và vận dụng thành thạo các kiến thức, kĩ năng toán học liên quan, đặc biệt là các tính chất cơ bản của hình học phẳng để có thể vận dụng vào giải

đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc những năm gần đây, một dạng đề bài toán về nội dung số phức liên quan tới môđun của số phức và được giải theo phương pháp hình học rất nhiều và rất hiệu quả Những dạng bài như thế không những hạn chế được việc lạm dụng máy tính cầm tay trong quá trình tìm ra đáp số bài toán của học sinh

mà còn đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ thật chắc chắn các kiến thức liên quan, tư duy thật nhanh nhạy và sáng tạo mới tìm ra được đáp án đúng trong khoảng thời gian cho phép Chúng tôi xin giới thiệu một ví dụ về dạng toán này như sau:

Ví dụ 1 [ ĐỀ MINH HOẠ NĂM 2018] Xét các số phức z a bi a b    ,   thoả mãn 

A P  10 B P  4 C P  6 D P  8

Phân tích : Hướng giải theo phương pháp sử dụng yếu tố hình học

Xét T    z 1 3 i        z 1 i z  1 3 i     z  1 i   MA MB  , với A   1;3 ,   B 1; 1  

MA MB  đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 2 [Câu 44 ĐỀ THI TN NĂM 2021 – mã 101 – Đợt 1] Xét các số phức z w ,

2 2

R 

1 2 min P OI R R 10 1 2 7

        (do   T 1 và   T 2 rời nhau)

Kết hợp hai trường hợp, ta được min P  17

Ví dụ 4 [ Câu 45 ĐỀ THI TN NĂM 2022 – mã 101] Cho các số phức z z z 1 , , 2 3 thỏa mãn

2 ; phần ảo của z 2 bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T   z z 1   z z 2

(như hình vẽ)

Ta có: M E 0  IE IM  0    5 3 2 Suy ra T  4.

Ví dụ 6 (Giải theo phương pháp hình học và phương pháp Đại số ) Xét các số phức z ,

A 4 B 2 29 3  . C. 8 D 2 29 5  

Suy ra một nghiệm thỏa mãn là

4 2 1

c d b

cũng không có đẳng thức xảy ra

Ví dụ 7 (Giải theo phương pháp hình học và phương pháp Đại số ) Cho số phức z thỏa

Giả sử OI cắt đường tròn   C tại hai điểm A B , với A nằm trong đoạn thẳng OI

5 5 cos

5

x x

Gọi z x y   i , với x y ,   Khi đó M x y   ; là điểm biểu diễn cho số phức z

Ví dụ 9 Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là các số

Lời giải

Ta có:

Vậy

Phân tích Bài toán này hướng tới việc tìm Max và Min của khi quỹ tích điểm biểu diễn của nó nằm trên một đường tròn

3 2 z

  

 3  3

z  z       z 3 3  z      3  3 z 3 3   1 z  5

min 1 z

  z 1   1  z max  5 z 2   5

z  z    z 1  z 2  6

z

Cho số phức thỏa mãn : , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Phương pháp đại số :

Ta có

Vậy

Khi đối diện với các bài toán như thế này, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, với áp lực phải giải quyết trong một khoảng thời gian rất ngắn, nhiều học sinh có lực học khá giỏi và thậm chí cả một số giáo viên cũng lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải quyết bài toán Để khắc phục những khó khăn trên, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần hướng dẫn các em củng cố, ghi nhớ thật chắc các kiến thức lý thuyết, luyện tập các bài tập theo từng dạng từ cơ bản đến nâng cao để rèn luyện tốt kĩ năng thực hành giải toán Muốn vậy, giáo viên phải xây dựng được một hệ thống bài tập được chia dạng và phân chia theo các mức độ từ thấp đến cao

để các em được tiếp cận và làm quen dần Đối với những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, trong quá trình giảng dạy trên lớp, người giáo viên cần phân tích kĩ các giả thiết trong đề bài, đặt vấn đề về việc tìm hiểu ý nghĩa của từng yếu tố trong giả thiết cũng như kết luận, từ đó, giáo viên định hướng cho học sinh phương hướng giải quyết vấn đề, đồng thời giúp học sinh hình thành kĩ năng tìm kiếm những thông tin quan trọng trong mỗi bài toán để việc nhận dạng bài tập được thuận lợi hơn

z z   a bi    R z

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Nội dung trong sáng kiến có thể giúp các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán lớp 12

có cái nhìn hệ thống và sâu sắc hơn đối với những bài toán về nội dung liên quan tới môđun của số phức được giải bằng phương pháp dùng tính chất của hình học phẳng, đồng thời cũng là nguồn tài liệu để giáo viên có thể sử dụng xây dựng bài giảng trên lớp cũng như xây dựng hệ thống bài tập cho học sinh luyện tập Từ đó, bản thân người giáo viên sẽ xây dựng được cho mình phương pháp giảng dạy hiệu quả, đồng thời, các em học sinh cũng có được kĩ năng tốt hơn khi phải giải quyết những bài toán ở dạng đó Trước đây, đa số học sinh và thậm chí cả một bộ phận giáo viên cũng gặp nhiều khó khăn khi phải giải quyết những bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan tới môđun của số phức trong khoảng thời gian ngắn của một bài tập dạng trắc nghiệm Một phần nguyên nhân là do các câu hỏi này khá đa dạng về cả nội dung lẫn hình thức hỏi, nhiều bài lại ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi, phần khác là do bản thân học sinh và thậm chí một bộ phận giáo viên cũng chưa được học tập, nghiên cứu đầy đủ, chi tiết và rèn luyện kĩ năng giải toán ở các dạng bài này Nguyên nhân sâu xa là

do hầu hết các tài liệu liên quan mới chỉ dừng lại ở việc đưa ra đề bài riêng lẻ và lời giải tương ứng mà chưa có nhiều tài liệu tham khảo đủ rộng và đủ sâu về các dạng toán trên

để trợ giúp cả giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập Điều này khiến cho cả giáo viên và học sinh đều không có được định hướng chính xác ban đầu khi đối diện với những bài toán này mặc dù đã rất thành thạo các kĩ thuật, phương pháp giải quyết các bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học thông thường

Để khắc phục những khó khăn này, sáng kiến đã xuất phát từ những kiến thức cơ bản nền tảng, từ đó hình thành và phân loại các loại câu hỏi, vấn đề mà đề bài có thể đề cập theo từng mức độ từ dễ đến khó, từ cơ bản đến phức tạp Ở mỗi dạng, loại, sáng kiến đều có những phân tích nhằm chỉ rõ những yếu tố mấu chốt trong cả giả thiết và kết luận của bài toán, điều này giúp cho cả giáo viên và học sinh hiểu rõ bài toán hơn, giáo viên

có thể xây dựng, mở rộng và phát triển các bài toán đã có, còn học sinh sẽ tự hình thành những tư duy nhận dạng và cao hơn nữa là các tư duy thuật giải, từ đó học sinh sẽ không còn cảm thấy lạ lẫm trước những bài toán mới

Sáng kiến tập trung vào nghiên cứu các vấn đề sau:

tới môđun của số phức

môđun của số phức

quan tới môđun của số phức

quan tới môđun của số phức

- Vấn đề 5: Sử dụng tính chất của Parabol vào bài toán liên quan tới môđun của số phức

của số phức

- Vấn đề 7: Phương pháp lấy đối xứng

- Vấn đề 8: Tâm tỉ cự

- Vấn đề 9: Phương pháp cân bằng hệ số

Các vấn đề trong sáng kiến đều được chia nhỏ thành các dạng, loại nhỏ và đều tiếp cận theo các khía cạnh:

- Phân tích nội dung đề bài, hướng xử lý trong một số ví dụ cụ thể Bài tập ví dụ được đưa ra phù hợp với mức độ tương ứng của dạng bài đang xét, đặc biệt trình bày kĩ các bài tập ở mức độ vận dụng, vận dụng cao bằng hướng tư duy theo cách sử dụng tính chất hình học phù hợp

- Tổng kết các ví dụ, đưa ra các thuật giải, các đặc điểm cần lưu ý để nhận dạng đề bài Qua đó giúp hướng dẫn học sinh hình thành tư duy thuật giải để giải các bài trắc nghiệm tương tự được nhanh và đảm bảo chính xác Đồng thời, dưới góc độ là giáo viên, chúng tôi đưa ra những phân tích, bình luận về những kiến thức cần củng cố cho học sinh nhằm giải quyết được bài toán

- Đưa ra một số kĩ thuật làm bài cần thiết dựa trên việc vận dụng sáng tạo các kiến thức cơ bản để đẩy nhanh tốc độ tìm ra đáp án của bài toán

- Đánh giá mức độ câu hỏi, các hướng phát triển vấn đề bài toán, những điểm cần lưu

ý cho giáo viên khi thiết kế các bài toán theo từng dạng, loại

- Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm khách quan tương ứng với từng dạng bài tập ở tất cả các mức độ, giúp học sinh rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời giúp các em làm bài tập thành thạo hơn, nhanh hơn và chính xác hơn Hình thành

năng lực tự học của học sinh

Với các nội dung trên, chúng tôi tin tưởng sáng kiến hoàn toàn có thể trở thành một tài liệu tham khảo có chất lượng để giúp giáo viên sử dụng trong quá trình xây dựng chuyên đề, bài giảng đưa vào giảng dạy Đồng thời, với cấu trúc như đã trình bày ở trên cũng như cách tiếp cận vấn đề dưới góc độ người làm bài, đi từ việc phân tích giả thiết, kết luận đến việc định hướng, hình thành phương pháp để tìm ra đáp án, sáng kiến cũng hoàn toàn phù hợp để các em học sinh khá giỏi có thể tự đọc và tự học để nâng cao, củng cố kiến thức cho bản thân

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TRONG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI MÔĐUN SỐ PHỨC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC CỦA HỌC SINH

1 Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm tự học

Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp…) và có khi cả cơ bắp (sử dụng các phương tiện) cùng các phẩm chất,

cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan, không ngại khó, ngại khổ, kiên trì, nhẫn nại, lòng say mê… để chiếm lĩnh một lĩnh vực khoa học nào đó, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, tự học được định nghĩa như sau: “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ: quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, …

và có khi cả cơ bắp cùng các phẩm chất của mình, rồi cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan để chiếm lĩnh một lĩnh vực nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành

sở hữu của mình”

Từ những quan niệm về tự học nêu trên, có thể đưa ra khái niệm về tự học như sau: Tự học là người học tích cực chủ động, tự mình tìm ra tri thức kinh nghiệm bằng hành động của mình, tự thể hiện mình Tự học là tự đặt mình vào tình huống học, vào vị trí nghiên cứu,

xử lí các tình huống, giải quyết các vấn đề, thử nghiệm các giải pháp…Tự học thuộc quá trình cá nhân hóa việc học

1.2 Vai trò tự học Nếu xây dựng được phương pháp tự học, đặc biệt là sự tự giác, ý chí tích cực chủ động sáng tạo sẽ khơi dậy năng lực tiềm tàng, tạo ra động lực nội sinh to lớn cho người học

- Tự sắp xếp thời gian phù hợp với mình nhất, học bất cứ lúc nào, nơi đâu bạn thấy tiện lợi và hứng thú

- Tự khám phá ra điểm mạnh và sở thích của bản thân

- Học với tốc độ phù hợp với bạn

- Tìm thấy điều bạn say mê trong môn học, và biến việc học thành điều bạn thích, chứ không chỉ là nghĩa vụ

- Học với bất kì ai bạn thích, học kết hợp với cách hoạt động khác

- Tự chủ tìm kiếm và thu nạp thông tin, kiến thức ngoài giới hạn chương trình Không giới hạn NL bản thân người học

Tự học là một xu thế tất yếu, bởi vì quá trình giáo dục thực chất là quá trình biến người học từ khách thể giáo dục thành chủ thể giáo dục (tự giáo dục) Tự học giúp nâng cao kết quả học tập của học sinh và chất lượng giáo dục của nhà trường, là biểu hiện cụ thể của việc đổi mới PPDH ở các trường phổ thông

1.3 Các mức độ tự học Nói đến quá trình tự học là nói đến vai trò quan trọng của người học, tuy nhiên bên cạnh đó cũng vẫn có vai trò của người thầy Căn cứ vào mức độ độc lập của việc học, có thể chia tự học thành các mức độ khác nhau

- Tự học hoàn toàn (không có GV): Thông qua tài liệu, qua tìm hiểu thực tế, học kinh nghiệm của người khác HS gặp nhiều khó khăn do có nhiều lỗ hổng kiến thức, HS khó thu xếp tiến độ, kế hoạch tự học, không tự đánh giá được kết quả tự học của mình Từ đó HS

dễ chán nản và không tiếp tục tự học

- Tự học trong một giai đoạn của quá trình học tập: thí dụ như học bài hay làm bài tập

ở nhà (khâu vận dụng kiến thức) là công việc thường xuyên của HS phổ thông Để giúp HS

có thể tự học ở nhà, GV cần tăng cường kiểm tra, đánh giá kết quả học bài, làm bài tập ở nhà của họ

- Tự học qua phương tiện truyền thông (học từ xa): HS được nghe GV giảng giải minh họa, nhưng không được tiếp xúc với GV, không được hỏi, không nhận được sự giúp đỡ khi gặp khó khăn Với hình thức tự học này, HS cũng không đánh giá được kết quả học tập của mình

- Tự học qua tài liệu hướng dẫn: Trong tài liệu trình bày cả nội dung, cách xây dựng kiến thức, cách kiểm tra kết quả sau mỗi phần, nếu chưa đạt thì chỉ dẫn cách tra cứu, bổ sung, làm lại cho đến khi đạt được (thí dụ học theo các phần mềm trên máy tính) Song nếu chỉ dùng tài liệu tự học HS cũng có thể gặp khó khăn và không biết hỏi ai

- Tự lực thực hiện một số hoạt động học dưới sự hướng dẫn chặt chẽ của GV ở lớp: Với hình thức này cũng đem lại kết quả nhất định Song nếu HS vẫn sử dụng SGK như hiện nay thì họ cũng gặp khó khăn khi tiến hành tự học vì thiếu sự hướng dẫn về phương pháp học

1.4 Các hình thức thức tổ chức học sinh tự học

 Tự học trên lớp

Để tổ chức hoạt động tự học ở trên lớp cho HS, GV có thể tiến hành một loạt các biện pháp như tạo môi trường học tập, tổ chức cho HS làm việc theo nhóm, kết hợp thảo luận toàn lớp, tăng cường việc giải các bài tập, sử dụng mô hình hóa, thông tin phản hồi nhanh nhằm tích cực hóa hoạt động của HS trong quá trình tự học

 Tự học cá nhân Làm việc cá nhân là hoạt động của mỗi HS để tác động vào kiến thức Mỗi cá nhân tự định hướng nhiệm vụ, tự nghiên cứu SGK, quan sát phương tiện trực quan hay làm thí nghiệm dưới sự hướng dẫn của GV Sau đó trao đổi kết quả với bạn bên cạnh hoặc với GV,

HS có cơ hội để trải nghiệm

2 Lý thuyết năng lực tự học 2.1 Khái niệm năng lực Năng lực là khả năng vận dụng các kiến thức, kỹ năng, thái độ, niềm tin, giá trị… vào việc thực hiện các nhiệm vụ trong những hoàn cảnh cụ thể của thực tiễn

2.2 Khái niệm năng lực tự học Năng lực tự học là khả năng của bản thân người học tự giải quyết những vấn đề đặt ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng kiến thức đã lĩnh hội vào những tình huống, những hoạt động thực tiễn để tìm hiểu thế giới xung quanh và có khả năng biến đổi

nó

2.3 Những kĩ năng cần có khi tự học

- Kỹ năng định hướng: Trước tiên, để quá trình tự học diễn ra thành công người học cần thiết lập cơ sở định hướng của hành động Để có được cơ sở định hướng, người học phải trả lời được các câu hỏi: Học nhằm mục đích gì? Thái độ học tập ra sao? Học như thế nào?

- Kỹ năng lập kế hoạch học tập: Mọi việc sẽ dễ dàng hơn nếu người học xác định được mục tiêu, nội dung và phương pháp học Muốn vậy, người học phải xây dựng được kế hoạch học tập Trên cơ sở bộ khung đã được thiết lập đó, người học có thể tiếp cận và chiếm lĩnh tri thức một cách dễ dàng

- Kỹ năng thực hiện kế hoạch: Muốn thực hiện thành công kế hoạch mình đã tạo lập, người học cần có một số kỹ năng sau:

Tiếp cận thông tin: Lựa chọn và chủ động tiếp nhận thông tin từ nhiều nguồn khác nhau và từ những hoạt động đã được xác định như đọc sách, nghe giảng, xem truyền hình, tra cứu từ Internet, làm thí nghiệm…

phân tích, đánh giá, tóm lược, tổng hợp, so sánh…

Vận dụng tri thức, thông tin: thể hiện qua việc vận dụng thông tin tri thức khoa học để giải quyết các vấn đề liên quan như thực hành bài tập, thảo luận, xử lí các tình huống, viết bài thu hoạch…

Trao đổi, phổ biến thông tin: việc trao đổi kinh nghiệm, chia sẻ thông tin tri thức thông qua các hình thức: thảo luận, thuyết trình, tranh luận… là công việc cuối cùng của quá trình tiếp nhận tri thức

- Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm: Khi người học tự đánh giá được kết quả học tập của mình, người học sẽ tự đánh giá được năng lực học tập của bản thân, hiểu được cái gì mình làm được, cái gì mình chưa làm được để từ đó có hướng phát huy hoặc khắc phục

Để phát triển được kĩ năng dạy học GV cần lưu ý một số vấn đề sau:

GV cần tạo cho HS niềm say mê môn học GV có thể dùng tiết dạy để giới thiệu về môn học, về những giá trị của môn học trong thực tiễn bằng những ví dụ minh họa cụ thể nhằm kích thích động cơ học tập ở các em

GV cần hướng dẫn cho HS cách xây dựng kế hoạch học tập từ ban đầu Ngay từ tiết học đầu tiên của môn học hoặc tiết đầu tiên mỗi phần nội dung hoặc chương hoặc chuyên

đề, GV nên đi giới thiệu sơ lược về chương trình, nội dung và phương pháp học một cách khái quát nhất để HS hiểu và từ đó HS xây dựng cho mình một kế hoạch học tập phù hợp với NL và hoàn cảnh của mình

GV hướng dẫn cho HS cách tìm và đọc sách hoặc tài liệu liên quan đến môn học GV cần cho các em thấy được lượng thông tin trong SGK là hạn chế vì vậy các em muốn hiểu sâu và đầy đủ thì phải tham khảo thêm các tài liệu khác hoặc truy cập thông tin trên internet GV cũng có thể giới thiệu địa chỉ một số trang web chuyên ngành, hoặc các trang diễn đàn trao đổi kinh nghiệm học tập để HS tham khảo thêm

GV nên hướng dẫn cho HS cách ghi chép và nghe giảng vì đây là những kỹ năng học tập vô cùng quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình học tập của HS GV nên khuyến khích HS ghi chép theo ý hiểu của mình Sơ đồ hóa thông tin thu được, gạch chân, đánh dấu cụm từ quan trọng Chỗ nào chưa hiểu hoặc chưa rõ cần đánh dấu, chỗ nào có trong tài liệu thì chú thích địa chỉ để tự tìm hiểu sau

GV cần giao nhiệm vụ cụ thể cho HS hoặc nhóm HS ở tiết học tiếp theo Để phát huy tối đa năng lực tự học và thúc đẩy HS tận dụng hết thời gian tự học Vì các em chưa quen nên GV giao nhiệm vụ cụ thể, nếu cần thì phải hướng dẫn các bước thao tác khai thác thông tin, địa chỉ cần tìm hiểu…Có như vậy HS mới có thể hoàn thành được nhiệm vụ tự học ở nhà của mình Khi có sự chuẩn bị trước ở nhà, việc học trên lớp sẽ trở nên có hiệu quả hơn rất nhiều

Gv hướng dẫn tự ĐG mức độ tự học của mình Để HS có thể tự ĐG được thì GV nên giới thiệu các nấc thang nhận thức của S.Bloom Theo cách phân chia trong thang nhận thức của Bloom, HS có thể học cách phân tích, tổng hợp, vận dụng tri thức vào từng tình huống thực tiễn, học cách nhận xét, đánh giá, so sánh đối chiếu các kiến thức khác…

Tự học có kế hoạch, nề nếp sẽ tạo nên thói quen sống và phong cách làm việc của từng

cá nhân, tự học giúp con người định hướng trong thời đại thông tin đang bùng nổ Có kĩ năng tự học sẽ giúp cho con người có khả năng hoàn thiện mình trong cả cuộc đời

- Về hình thức tự học thì hầu hết GV cho HS tự học ở nhà, còn trên lớp các GV ít tổ chức hoạt động tự học cho HS Điều này thể hiện còn ít GV quan tâm rèn luyện cho HS tự học tại lớp vì sợ mất thời gian, ảnh hưởng đến việc dạy học kiến thức mới Cần thiết phải tăng cường tổ chức cho HS tự học tại lớp, vì ở lớp GV dễ dàng quan sát và hướng dẫn HS

tự học tốt hơn Cũng như vậy, ở lớp cần thiết kế các hoạt động tự học để có thể học cá nhân

và hoạt động nhóm

- Về thái độ của HS khi tự học: Hầu hết GV đều nhận được sự hợp tác từ HS qua tinh thần hứng thú trong tiết học Tổ chức tự học để HS phát huy bản thân là điều hoàn toàn phù hợp đối với lứa tuổi THPT

Từ những điều trên cho thấy việc tổ chức cho học sinh tự học trên lớp và ở nhà, tự học

cá nhân và học theo nhóm đang rất cần được phổ biến sâu rộng đến đội ngũ GV và nên tạo điều kiện nhiều hơn để GV có thể tạo điều kiện cho HS phát triển kĩ năng tự học

Tuy nhiên, việc GV tổ chức cho học sinh tự học cũng mới chỉ mang tính tự phát, GV chưa thực sự nhấn mạnh việc rèn luyện kĩ năng tự học cho HS, cũng như chưa kiểm tra đánh giá những gì HS đạt được thông qua tự học Do GV cũng chưa có nhiều kinh nghiệm cũng như sự sáng tạo và nhiệt tình, đặc biệt họ chưa có cơ sở lí luận vững chắc về việc thiết

kế các hoạt động học tập cho HS cũng như chưa có kĩ năng kiểm tra đánh giá HS tự học Kết luận chương 1

Trong chương 1 chúng tôi đã tập trung làm sáng tỏ về tổng quan một số nghiên cứu về

tự học và năng lực tự học Từ đó thấy được các hoạt động tự học được tổ chức đa dạng, phong phú sẽ càng lôi cuốn từng đối tượng HS nhận thức được năng lực bản thân để phát huy theo hướng tích cực hơn

Đối với cơ sở lí luận về tự học và năng lực tự học, chúng tôi đã nghiên cứu: khái niệm

tự học, khái niệm năng lực, khái niệm năng lực tự học, vai trò của tự học, các dạng hoạt động học tập theo hướng tự học để tiến hành tổ chức cho HS tự học

Về cơ sở thực tiễn, chúng tôi thấy đa số GV đều nhận thấy tầm quan trọng của việc tổ chức học sinh tự học, nhưng chủ yếu GV tổ chức cho HS tự học ở nhà và chưa có sự kiểm tra đánh giá quá trình học cũng như chưa chú ý rèn luyện cho HS kĩ năng tự học để các em

có thể tự học suốt đời

Từ những kết quả lí luận và thực tiễn như trên, chúng tôi xây dựng và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực tự học cho học sinh trong dạy học giải bài tập liên quan tới môđun của số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học

CHƯƠNG 2: CÁC GIẢI PHÁP

- Vấn đề 1: Sử dụng mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng vào bài toán liên quan tới môđun của số phức

Cơ sở hình học: Cho điểm M cố định, một điểm N di chuyển trên đường thẳng cố

Phân tích:

Vận dụng vào bào toán số phức

Ví dụ 1 Xét các số phức z w , thỏa mãn z     2 2 i z 4 i và w   iz 1 Giá trị nhỏ nhất của w

P  MN  d N      Chọn A

Ví dụ 2 Xét các số phức z thỏa mãn z    z 1 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt z   x yi  x y ,    và M x y   ; là điểm biểu diễn số phức z

So sánh hai trường hợp ta thấy P min  1 Chọn A.

Ví dụ 5 Xét các số phức z thoã mãn z     2 i z 1 2 i Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện

Lời giải Gọi z   a bi và w   c di  a b c d , , ,   

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi M   , N  M và MN    Chọn D

- Vấn đề 2: Sử dụng mối quan hệ giữa điểm và đường tròn vào bài toán liên quan tới môđun của số phức

Cơ sở hình học: Cho điểm M cố định, điểm N di chuyển trên đường tròn tâm I ,

Vận dụng vào bào toán số phức

Ví dụ 1 Xét các số phức z thỏa mãn    iz 1 1 Gọi m M , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của biểu thức P  z Tính S  2020   M m

Lời giải

Ta có      iz 1 1 i z i       1 z i 1  tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

thuộc đường tròn có tâm I  0; 1   , bán kính R  1

13 1

số phức z thuộc đường tròn có tâm I   0;2 , bán kính R  1.

Theo giả thiết P   z w w iz   z iz   z 1   i 2 z  2 OM với O   0;0

Dựa vào hình vẽ ta thấy P max  2 OM 2  2 OI   R 2 2 1   3 2 Chọn C.

Ví dụ 5 Xét các số phức z z 1 , 2 thỏa mãn z 1    1 i 1 và z 2  2 iz 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo giả thiết ta có   2   2 1    



 là số thực Tìm giá trị

lớn nhất P max của biểu thức P    z 1 i

A P max  2 B P max  2 C P max  2 2 D P max  8.

   1   tập hợp các số phức z ' là hình tròn tâm O   0;0 , bán kính 1

2

R  (trừ tâm O )

 Xét   2 Đặt A   0;1    P MA với M là điểm biểu diễn của số phức z '

Dựa vào hình vẽ, ta thấy min 1

2

0 0 2

Ví dụ 9 Xét hai số phức z z 1 , 2 thay đổi thỏa mãn z 1       z 2 z 1 z 2 4 2 i 2 Gọi A B , lần lượt là

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

z  z Giá trị của A B  là

Lời giải

Gọi M N , lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z z 1 , 2

Gọi K là trung điểm của MN   K là điểm biểu diễn của số phức 1 2

Dựa vào hình vẽ ta thấy số phức  có môđun lớn nhất có điểm biểu diễn là M 1  4; 2  

M            i     z i z Chọn C.

Ví dụ 12 Xét các số phức z thỏa mãn z    2 4 i 2 2 Trong các số phức w thỏa mãn w  z  1  i  ,

gọi w 1 và w 2 lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất Khi đó w 1  w 2

Dựa vào hình vẽ ta thấy

 P min  2 OM 1 Dấu ''  '' xảy ra  M  M 1     z 1 2 i    w 1  1 2 1 i      i  1 3 i

 P max  2 OM 2 Dấu ''  '' xảy ra  M  M 2     z 3 6 i    w 2  3 6 1 i      i  3 9 i

Vậy w 1  w 2    4 12 i Chọn C.

Cách 2 Ta có w  z  1     i  w  1 i z    2 4 i         2 6 i w 2 6 i  1 i z    2 4 i  Suy ra w     2 6 i   1 i z   2 4 i    1 i z    2 4 i 2.2 2   4  tập hợp các điểm

N biểu diễn số phức w thuộc đường tròn có tâm J   2;6 ,  bán kính r  4.

Dựa vào hình vẽ ra thấy số phức w có môđun nhỏ nhất có điểm biểu diễn là N 1 ; phức w

có môđun lớn nhất có điểm biểu diễn là N 2

Khi đó w 1   w 2 ON   1  ON 2  2 OJ        w 1 w 2 2  2 6 i    4 12 i

Ví dụ 13 Xét các số phức z thỏa z    1 2 i 2 5 và số phức  thỏa  5 10  i      3 4 i z   25 i Tổng

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   bằng

số phức  thuộc đường tròn có tâm I   3;1 ,  bán kính R  2.

Dựa vào hình vẽ ta thấy min 1

Gọi A   5;2 và M x y   ; là điểm biểu diễn số phức z , khi đó P     z 5 2 i MA

Vì A nằm ở góc phần tư thứ   I nên MA lớn nhất khi M phải nằm ở góc phần tư thứ

  III

Suy ra MA max  AI 3   R 3 3 5  2 Vậy max P  3 5  2 Chọn A

- Vấn đề 3: Sử dụng mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn vào bài toán liên quan tới môđun của số phức

Cơ sở hình học: Cho đường tròn C I R   ; cố định, đường thẳng d cố định Điểm M

Phân tích:

Vận dụng vào bào toán số phức

Lời giải Gọi z   x yi x y ;     Ta có

z      z i   x           y x y x y  tập hợp các số phức z 1 là đường thẳng  : 2 x    y 1 0.

P  MN  d I    R   Chọn D

Ví dụ 2 Gọi   C 1 là tập hợp các số phức w thỏa mãn w      2 3 i w 3 2 i Gọi   C 2 là tập hợp

các số phức z thỏa mãn z    2 4 i 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   w z bằng

Khi đó biểu thức P    z w MN là khoảng cách từ một điểm thuộc   C 1 đến một điểm thuộc   C 2

Từ đó suy ra P min  d I   ,    R 3 2 1  Chọn C

Ví dụ 3 Xét các số thức z thỏa mãn z    2 i z 4 i và z    3 3 i 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 1

P    z bằng

Lời giải Gọi z   x yi x y ,     Ta có

 z     2 i z 4 i    x 2  y 2  2    x 2  y 4  2    y 3  tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc nửa mặt phẳng bờ   : y 3 , kể cả bờ (miền tô đậm) Gọi miền này là   C 1

z     i     x y i      x y    tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn   C 2 có tâm I   3;3 , bán kính R  1.

Như vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là giao của   C 1 và   C 2 Đó chính là phần cung tròn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút D     2;3 , C 4;3 của cung)

Khi đó P     z 2 1 MB  1 với B   2;0 và MB là khoảng cách từ điểm B đến một điểm thuộc cung tròn CD Từ đó suy ra P max  BC   1 13 1  Chọn D

Ví dụ 4 Xét các số phức z w , thỏa mãn iz     2 i 2 z 1 và max  w   2 2 , i w   2 Giá trị nhỏ

phức z thuộc nửa mặt phẳng bờ      : 2 x 4 y 7 0 không chứa O (kể cả bờ)

Ta có P    z w MN nên P nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của

  thuộc phần chung của hai hình tròn   I ; 1 và   O ; 1 (phần gạch sọc như hình vẽ)

Ta có P    z w MN nên P nhỏ nhất khi MN ngắn nhất Dựa vào hình vẽ ta thấy MN

Lời giải Đặt z   x yi x y ,     Khi đó

 z   1 34   tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn   C có tâm

Gọi A B , lần lượt là các điểm biểu diễn của hai số phức z z 1 , 2 Suy ra z 1   z 2 AB

Để AB lớn nhất  d I  ,   nhỏ nhất   đi qua điểm I

Khi đó I là trung điểm của AB nên z 1  z 2  OA OB     2 OI   2 OI  2 Chọn B

Ví dụ 7 Biết số phức z   x yi x y ;     thỏa mãn đồng thời z    3 4 i   5 và biểu thức

2

P     z z i đạt giá trị lớn nhất Tính z

A z  33 B z  50 C z  10 D z  5 2 Lời giải Vì z    3 4 i   5   tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

Để tồn tại z thì  và   C phải có điểm chung   , 4.1 6.3 5 13

So sánh hai trường hợp, ta có T max  8 Chọn D

Ví dụ 10 Xét các số phức z thỏa mãn | z    2 1 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

| 1 2 | | 3 4 | | 5 6 |

P    z i    z i    z i được viết dưới dạng a b , với a

b là phân số tối giản Giá trị của a b  bằng

Lời giải Đặt z   x yi x y  ,   

z     i   x    y  tập hợp điểm M biểu diễn số phức z

thuộc đường tròn   C có tâm I   2;0 ,  bán kính R  5.

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1  z 2 Tính P  M  m