Skkn toán học thpt (15)

Đây là một nội dung khó đối với học sinh 12 bởi đó là sự tổng hợp các kiến thức các em đã được học ở các lớp dưới, mạch kiến thức khá là trừu tượng và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn ch

đến lớp 10 được ôn lại, ở đầu chương trình lớp 12 các em được nhắc lại để kết hợp với kiến thức đạo hàm Đây là một nội dung khó đối với học sinh 12 bởi đó là sự tổng hợp các kiến thức các em đã được học ở các lớp dưới, mạch kiến thức khá là trừu tượng và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế: sách giáo khoa hay sách bài tập thì các bài tập về hàm số đưa ra chủ yếu là các bài toán đơn giản hay các bài tập nâng cao không nói rõ cơ sở của phương pháp gây khó khăn cho các em khi học Với xu hướng thi trắc nghiệm hiện nay, các bài toán về hàm số, đặc biệt là hàm hợp xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây ngày càng nhiều và chủ yếu ở mức

độ VD-VDC, không theo một khuôn mẫu nào cả Để giải được các bài toán này đòi hỏi các em phải có một kiến thức cơ bản thật vững về hàm số

Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về hàm số, cụ thể là các bài toán hàm hợp tôi đã nghiên cứu các bài toán hàm số trong các đề thi học sinh giỏi, TN THPT qua mấy năm gần đây và có chia dạng chúng nhằm giúp các em tiếp cận cách giải các bài toán này đồng thời giúp các em có cái nhìn tổng quát về dạng

toán Vì vậy tôi đã chọn đề tài: Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp Đề tài nghiên cứu, khái quát phương pháp chung để giải các bài toán

hàm hợp Từ phương pháp chung đó HS tự sắp xếp, hệ thống kiến thức liên quan và

tự chiếm lĩnh phương pháp giải, thực hiện giải tốt bài toán hàm hợp, từ đó HS được phát triển các năng lực chung và năng lực toán học

II Mô tả giải pháp kỹ thuật

II.1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp bài toán tương tự nhau Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và

thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công Do vậy việc trang bị

về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên

Trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam Định những năm gần đây thường xuyên xuất hiện bài toán hàm hợp, ví dụ như xét khoảng đơn điệu, tìm điểm cực trị của hàm số, tìm số nghiệm của phương trình Các bài toán về hàm hợp thường xuất hiện khá hay, thể hiện khả năng tư duy của học sinh Tuy nhiên nếu làm theo cách truyền thống thì lời giải khá cồng kềnh và thường xét khá nhiều trường hợp gây ra nhiều khó khăn nhất định cho học sinh trong việc tìm hướng giải quyết Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là chưa hiểu

rõ phương pháp chung cho dạng toán dẫn đến khó khăn trong quá trình học tập Bằng cách sử dụng phương pháp ghép trục học sinh thấy được bản chất của bài toán và lời giải trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn

Bên cạnh đó, khó khăn lớn nhất của giáo viên khi dạy phần này là làm sao để học sinh hứng thú học và có khả năng vận dụng kiến thức về hàm số vào giải các bài toán hàm hợp, cần trang bị cho các em những kiến thức gì? Cần phân dạng các bài tập và áp dụng những dấu hiệu của các bài toán như thế nào thì dùng phương pháp

ghép trục? Với tất cả những khó khăn trên tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp”

II.2 Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

2.1 Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề mới trong những năm gần

đây khi thực hiện thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và các kì thi chọn học sinh giỏi, khi chương trình giáo dục phổ thông mới đòi hỏi phải phát triển tư duy, năng lực người học Cái mới ở đây chính là các dạng bài có tính chất xuyên suốt, phát triển được tư duy năng lực người học Thêm vào đó, mỗi bài

Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian làm một câu trắc nghiệm ở mức độ vận dụng, vận dụng cao

Những điểm mới trong sáng kiến được đề cập đến:

- Các hướng xây dựng bài toán dựa trên

+ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Cực trị của hàm số

+ Sự tương giao của các đồ thị

- Các hướng sáng tạo các bài toán mới dựa vào bài toán gốc: Trong mỗi nội

dung trình bày các bài toán gốc tôi định hướng cho học sinh cách tư duy và các hướng phát triển của bài toán đó từ dễ đến khó để học sinh dễ dạng nhận ra bài toán gốc Qua

đó cũng định hướng cho giáo viên cách phát triển các dạng toán đa dạng và linh hoạt hơn

1 Sự biến thiên của hàm số

b Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

+ Nếu hàm số y = f x ( ) đồng biến trên I thì f  ( ) x  với mọi x I 0 

+ Nếu hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên I thì f  ( ) x  với mọi x I 0 

c Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

i) Giả sử hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f  ( ) x  với mọi x I 0  và f  ( ) x = chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì 0 hàm số y = f x ( ) đồng biến trên I

+ Nếu f  ( ) x  với mọi x I 0  và f  ( ) x = chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì 0 hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên I

+ Nếu f  ( ) x = với mọi x I 0  thì hàm số y = f x ( ) không đổi trên I

ii) Giả sử hàm số y = f x ( ) liên tục trên nửa khoảng  a b và có đạo hàm trên ; ) ( ) a b ; + Nếu f  ( ) x  (hoặc 0 f  ( ) x  ) với mọi 0 x  ( ) a b ; thì hàm số y = f x ( ) đồng biến trên (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng  a b ; )

+ Nếu f  ( ) x = với mọi 0 x  ( ) a b ; thì hàm số y = f x ( ) không đổi trên nửa khoảng

 a b ; )

2 Cực trị của hàm số

a Điểm cực trị

Giả sử hàm số y = f x ( ) xác định trên tập hợp D ( D  ) và x 0  D

+ Điểm x được gọi là điểm cực đại của hàm số 0 y = f x ( ) nếu tồn tại một khoảng

( ) a b sao cho ; x 0  ( ) a b ;  và D f x ( )  f x ( ) 0 với mọi x  ( )   a b ; \ x 0 + Điểm x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số 0 y = f x ( ) nếu tồn tại một khoảng

( ) a b ; sao cho x 0  ( ) a b ;  và D f x ( )  f x ( ) 0 với mọi x  ( )   a b ; \ x 0

b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Nếu hàm số y = f x ( ) đạt cực trị tại điểm x và hàm số có đạo hàm tại điểm 0 x thì 0

( ) 0 0

Chú ý: Hàm số y = f x ( ) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo

hàm, chẳng hạn hàm số y = đạt cực trị tại điểm x x = mặc dù hàm số này không 0 0

có đạo hàm tại x = 0

c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.

i) Giả sử hàm số y = f x ( ) liên tục trên khoảng ( ) a b chứa điểm ; x và có đạo hàm 0

trên các khoảng ( a x ; 0 ) và ( x b 0 ; ) Khi đó + Nếu f  ( ) x  với mọi 0 x  ( a x ; 0 ) và f  ( ) x  với mọi 0 x  ( x b 0 ; ) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

+ Nếu f  ( ) x  với mọi 0 x  ( a x ; 0 ) và f  ( ) x  với mọi 0 x  ( x b 0 ; ) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

ii) Giả sử hàm số y = f x ( ) có đạo hàm cấp một trên ( ) a b chứa điểm ; x , 0 f  ( ) x 0 = 0

và f x ( ) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x Khi đó: 0

+ Nếu f  ( ) x 0  thì hàm số 0 y = f x ( ) đạt cực đại tại điểm x 0

+ Nếu f  ( ) x 0  thì hàm số 0 y = f x ( ) đạt cực tiểu tại điểm x 0

3 Sự tương giao của các đồ thị

Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị là ( ) C 1 và y = g x ( ) có đồ thị là ( ) C 2 Số nghiệm của phương trình f x ( ) = g x ( ) chính là số giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2

4 Phép suy đồ thị

a Đồ thị hàm số y = f x ( )

 Phần đồ thị nằm trên trục Ox → giữ nguyên

 Phần đồ thị nằm dưới trục Ox → lấy đối xứng với nó qua trục Ox

 Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm dưới trục Ox

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( ) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox

b Đồ thị hàm số y = f ( ) x

 Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy → giữ nguyên

 Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy → lấy đối xứng với nó qua Oy

Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm bên trái trục Oy

B NỘI DUNG

Trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán có dạng: Cho hàm số y = f x ( ) đã biết thông tin đồ thị (hoặc đã biết các khoảng đơn điệu ), yêu cầu tìm m để phương trình

( ( ) )

toán khó ở mức độ VD-VDC với lời giải khá cồng kềnh và thường xét khá nhiều trường hợp

Để cho dễ hiểu, ta xét bài toán mở đầu sau

Bài toán mở đầu: Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

2

u u

x − x = có đúng 1 nghiệm u x

2

u u

phương trình này có đúng 3 nghiệm x

+) Với m = − , phương trình 1

3

2 ( )

1 nghiệm x Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi m = − 1

✓

Nhận xét 1

Cách làm này khá cồng kềnh, hướng giải quyết là đối chiếu từ nghiệm của phương trình f u ( ) = theo m u chuyển sang nghiệm của phương trình x 3 − 3 x = theo u x Mặc dù cách này trình bày tự luận khá tốt tuy nhiên nếu làm không cẩn thận, hoặc làm tắt sẽ rất dễ dẫn đến sai sót

Ta vẫn tìm được m trong trường hợp bài toán bỏ bớt giả thiết

m  thì ta chưa thể khẳng định được phương trình f u ( ) = có đúng m

một nghiệm, vì có thể không có nghiệm

Cách 2 Phương pháp ghép trục

✓ Nhận xét 2

Ta sẽ thiết lập bảng biến thiên của hàm số y = f x ( 3 − 3 ) x khi biết các thông tin của bài toán Bản chất của phương pháp này là ta gộp sự biến thiên của x → = u x 3 − 3 x và sự biến thiên của u → f u ( )

Đặt 3

3

x − x = , hàm số ( ) u u x có hai điểm cực trị là x = và 1 x = − , từ đó ta có bảng 1 biến thiên hàm số f x ( 3 − 3 ) x theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số m ( 3 )

3

tại đúng 5 điểm khi và chỉ khi m = − 1 Với phương pháp này giáo viên đã giúp học sinh giảm bớt rất nhiều thời gian làm bài toán trên, học sinh dễ hiểu, dễ ghi nhớ cách làm hơn phương pháp truyền thống

Từ đó học sinh chủ động, tích cực hơn trong quá trình học các dạng toán này

Từ đây, ta có thể hình thành phương pháp ghép trục cho bài toán tổng quát như sau

1 Phương pháp chung Phương pháp chung:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số g x ( ) = f u x ( ( ) ) , giả sử rằng tập xác định

( 1 ; 2 ) ( 3 ; 4 ) ( n 1 ; n )

D = a a  a a   a − a Ở đây, có thể a  − ; 1 a  + n

Bước 2 Xét sự biến thiên của u = u x ( ) và hàm số y = f x ( ) (bước 2, có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản)

Bước 3 Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa   x u ; = u x ( )   và

( )

;

  Bảng biến thiên này thường có 3 dòng, giả sử như sau

Cụ thể, các thành phần trong bảng biến thiên như sau

- Dòng 1 Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u x ( ) , sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử ta có được như sau

- Bước 4 Dùng bảng biến thiên hàm hợp g = f u x ( ( ) ) giải quyết yêu cầu đặt

ra trong bài toán và kết luận

Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u x ( )

 Điểm kỳ dị của y = f x ( ) gồm: các điểm tại đó f x ( ) , f  ( ) x không xác định; các điểm cực trị của hàm số y = f x ( )

 Nếu xét hàm số g = f u x ( ( ) ) thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình f x = ( ) 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

f = − và đồ thị hàm số y = f ' ( ) x như hình vẽ

Bảng biến thiên của hàm số g x ( ) = h x ( )

g x = f x − x + x đồng biến trên khoảng ( ) 1;2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị hàm số y = f ' ( ) x như hình vẽ dưới

g x = rất khó khăn và có những trường hợp học sinh không thể giải được

Nhưng nếu sử dụng phương pháp ghép trục đã nêu ở trên thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều

 Lời giải

Đặt ( )

2

2 2

1 2

Vậy hàm số g x ( ) = f u x ( ( ) ) có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới

Ta suy ra: phương trình ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 4 mỗi phương trình có 1nghiệm, phương trình

( ) 3 có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều phân biệt

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Phân tích: Nếu sử dụng cách làm thông thường ta thấy lời giải bài toán tương đối

dài và cần phải kết hợp nhiều nội dung kiến thức, học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình tính toán Sử dụng phương pháp ghép trục học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và hiểu được bản chất bài toán

Từ bảng biến thiên trên ta thấy phương trình f u = có 5 nghiệm và phương ( ) 1 trình f u = có 1 nghiệm ( ) 3

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm

Ví dụ 4 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm số nghiệm của phương trình f ( sin x + cos x ) + = trên đoạn 2 0  0;2  

sin

1 sin

sin

a x

x

a x

  có 2 nghiệm trên  0;2   và các nghiệm là khác nhau

Vậy phương trình f ( sin x + cos x ) + = có 4 nghiệm trên 2 0  0;2  

Phân tích: Trong bài toán này chúng ta thấy nếu dùng phương pháp thông thường

thì khó khăn lớn nhất của học sinh là kiến thức về lượng giác lớp 11, ví dụ như

Phương pháp ghép trục đã giải quyết được khó khăn này

x x

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( sin x + cos x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u = − có 4 nghiệm ( ) 2 x Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Ví dụ 5 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x ( − 2 x + = 1 ) 0

Vẽ thêm đường thăng y = trong bảng biến thiên của 0 y = f x ( ) như sau

Từ bảng biến thiên của t x , ta suy ra ( )

+ phương trình t x ( ) = vô nghiệm a

+ phương trình t x ( ) = có hai nghiệm phân biệt b

+ phương trình t x ( ) = có một nghiệm khác với hai nghiệm trên c

+ phương trình t x ( ) = có một nghiệm khác với các nghiệm trên d

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Tập xác định: D = − +  1; ) Đặt u = − x 2 x + 1

Ví dụ 6 Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Bảng biến thiên của hàm số y = 2 v 2 − 9 v + 10

u = x − x + + x − Khi đó bảng biến thiên của hàm số y = f u ( ) là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f u ( ) cho có 7 điểm cực đại

Ví dụ 9: Cho hàm số f x có đồ thị như hình sau: ( )

Số nghiệm thuộc đoạn  −   ;3  của phương trình ( ) 1

x x

x x

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( cos x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình ( ) 1

cos

2

f x = có 8 nghiệm trên  −   ;3 

Ví dụ 10: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị y = f x ( ) có bảng biến thiên

3 2

f x − x theo phương pháp ghép trục như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy PT có 10 nghiệm

3 Ghép trục trong bài toán có tham số

Từ ví dụ mở đầu ta thấy đối với những bài toán tìm tham số m để phương trình f u x ( ( ) ) có k k  ( ) nghiệm, việc giải theo phương pháp truyền thống gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình biện luận Sử dụng phương pháp ghép trục đã giải quyết triệt để khó khăn này

Ví dụ 1 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2)

0 3

x x