Skkn toán học thpt (19)

Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cá

Trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2017 đến năm 2020 và

kì thi tốt nghiệp năm 2021, năm 2022 đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết tốt nhất đến đáp án Đây thực sự là một thách thức lớn

Để làm được điều đó, giáo viên cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản,

kỹ năng tổng hợp phân tích các dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4 cấp độ tư duy

Với chương trình toán 12, phần kiến thức về chủ đề hàm số luôn luôn chiếm

tỷ lệ cao trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi học sinh giỏi và đánh giá năng lực của Đại học quốc gia hay đề thi tư duy của Đại học Bách khoa Các kiến thức của từng bài trong chương Hàm số luôn có sự lôgic có nhiều dạng bài, trong đó có câu hỏi

về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuyên xuất hiện trong đề HSG,

đề thi thử của các trường trong cả nước và có trong đề thi tham khảo năm 2018;

đề minh họa 2021 và đề thi tốt nghiệp năm 2021; năm 2022 của Bộ giáo dục đều

ở mức vận dụng, vận dụng cao Các bài tập về chủ đề này giúp học sinh ôn tập kiến thức tổng thể về chương hàm số, trang bị cho học sinh các kĩ năng: tính toán, tổng hợp; học sinh được phát triển các năng lực một cách toàn diện: năng lực tính toán, năng lực hợp tác, năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh từ đó học sinh mới

có thể giải quyết được các bài tập tổng hợp mức vận dụng, vận dụng cao trong đề thi Vì vậy, qua nhiều năm nghiên cứu và giảng dạy lớp 12, tôi xin đưa ra sáng kiến “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”để giúp học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi

nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý Thầy cô để sáng kiến ngày càng được bổ sung và hoàn thiện góp phần vào sự nghiệp giáo dục chung của tỉnh nhà

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Các bài toán về chủ đề hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong tất cả các kì thi: tốt nghiệp; đánh giá năng lực, đánh giá tư duy; thi học sinh giỏi các cấp Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải trong các bài toán vận dụng và vận dụng cao Nguyên nhân là: Thứ nhất, các bài toán về cực trị, tương giao trong chủ đề hàm số là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa cơ bản trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa

có cái nhìn tổng quát về các dạng toán

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề quan trọng trong những năm gần đây khi thực hiện thi tốt nghiệp THPT, thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy

gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào và trang bị cho các em một số kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã hiểu được bản chất bài toán

Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian làm một câu trắc nghiệm

Sau đây tôi xin trình bày nội dung chính của sáng kiến:

x D

  thì x D  và x D  thì f x   f x .1.2 Nhận xét

2 Đạo hàm hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giả sử hàm số y f x   liên tục trên khoảng K x0h x; 0 và có đạo h

hàm trên K hoặc trên K x với \ 0 , h  0

* Nếu f x   ( ) 0, x (x0h x; )0 và f x   ( ) 0, x ( ;x x0 0  thì hàm số đạt h)cực đại tại điểm x 0

* Nếu f x   ( ) 0, x (x0h x; )0 và f x   ( ) 0, x ( ;x x0 0  thì hàm số đạt h)cực tiểu tại điểm x 0

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị  C và 1  C 2 4.2 Nhận xét

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x   và trục Ox là nghiệm của phương trình f x    0.

Ví dụ: Cho hàm số y f x   có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ bên Suy ra phương trình f x  có 3   0nghiệm phân biệt là x  1,x 1,x 3

4.3 Chú ý về nghiệm đơn, nghiệm kép với bài toán đồ thị hàm số Cho hàm số y f x  có đồ thị ( )C cho trước Khi xác định giao điểm của đồ thị

( )C và trục Ox ta cần lưu ý:

* Đồ thị ( )C tiếp xúc với trục hoành thì hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C với trục Ox là nghiệm bội chẵn (thường là nghiệm kép)

* Đồ thị ( )C cắt trục hoành thì:

+ Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( )C với trục Ox trùng với trục Ox thì hoành

độ giao điểm của đồ thị ( )C với trục Ox là nghiệm bội lẻ

+ Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( )C với trục Ox cắt trục Ox thì hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C với trục Ox là nghiệm đơn

Hình ảnh minh họa

 x   là nghiệm đơn 1

 x  là nghiệm kép 1

 x  là nghiệm bội lẻ 2

Ví dụ: Cho hàm số y f x   có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ bên Suy ra phương trình f x  có 2 nghiệm   0 x  0

( nghiệm kép) và x a a ,  (nghiệm đơn) 24.4 Phương pháp xét dấu biểu thức f x 

* Nếu hàm y  f x( ) liên tục trên     a b f x; , ( ) 0 vô nghiệm trên khoảng  a b ;thì f x luôn dương hoặc luôn âm trên khoảng ( )  a b ;

Khi đó chọn x0  a b; , ta có : Nếu f x( ) 00  thì f x   ( ) 0, x  a b; Nếu f x( ) 00  thì f x   ( ) 0, x  a b;

*Quy tắc xét dấu bằng phương pháp khoảng: qua nghiệm đơn thì biểu thức đổi dấu, qua nghiệm kép thì biểu thức không đổi dấu (nghiệm bội lẻ được xét như nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn được xét như nghiệm kép)

5 Phép tịnh tiến đồ thị Cho hàm số y f x   có đồ thị (C) và số thực a  0+ Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên a đơn vị theo phương song song với trục Oy ta được đồ thị hàm số y f x   a

+ Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới a đơn vị theo phương song song với trục Oy

ta được đồ thị hàm số y f x   a.+ Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta được đồ thị hàm số y f x a   

+ Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta được đồ thị hàm số y f x a   

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y  f x 

1.1 Phương pháp Cách 1:

Để tìm số điểm cực trị của hàm số y  f x  ta đi vẽ đồ thị hàm số đó dựa trên bảng biến thiên và đồ thị hàm số y f x  như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x   nằm trên trục hoành ( trục Ox) + Phần đồ thị hàm số y f x   nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó Cách 2:

Do đó, số điểm cực trị của hàm số y  f x  bằng tổng số điểm cực trị của hàm

số y f x  và số nghiệm đơn hay bội lẻ của phương trình f x    0

* Chú ý: Với dạng toán này giả thiết có thể cho biểu thức f x , biểu thức   f x ,hoặc đồ thị hàm số y f x  ; đồ thị hàm số y f x   Căn cứ vào giả thiết để

sử dụng 1 trong 2 cách giải trên cho phù hợp

1.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x   có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f x  bằng

Lời giải Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f x   suy ra đồ thị hàm số y  f x  như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x   nằm trên trục hoành ( trục Ox) + Phần đồ thị hàm số y f x   nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó

Vậy số điểm cực trị của hàm số y  f x  bằng 5

+ Hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình f x  có hai nghiệm phân biệt 0

và f x  đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó

2

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x    0

có 3 nghiệm phân biệt

Vậy y đổi dấu qua 5 nghiệm đó nên hàm số y  f x  có 5 điểm cực trị Nhận xét: Khi giải loại bài toán trên học sinh đưa về hai bài toán cơ bản: tìm số cực trị của hàm số y f x   và số nghiệm của phương trình f x  Do đó   0học sinh có thể giải quyết riêng lẻ 2 bài toán đơn đó dựa trên bảng biến thiên hoặc

đồ thị hàm số y f x  

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x   có bảng biến thiên như sau

Đồ thị của hàm số y  f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Hàm số có 3 điểm cực trị

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Suy ra đồ thị của hàm số y  f x  có tất cả 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Ví dụ 3: Cho hàm số   2

y  x x  Số điểm cực trị của hàm số trên bằng

Lời giải Đặt     2 3 2

Nên hàm số f x có hai điểm cực trị  

Lại có f x  có 1 nghiệm đơn   0 x  1 nên số điểm cực trị của hàm số

    2

y  f x  x x bằng 2 + 1 =3 Nhận xét: Thực tế nếu học sinh tư duy tốt có thể biết hàm số bậc 3 không có cực trị thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên với ví dụ trênf x    0

có 2 nghiệm x  1 (nghiệm đơn) và x  2 ( nghiệm kép) nên hàm số f x có  

2 điểm cực trị Từ đó kết luận luôn hàm số y  f x  có 3 điểm cực trị

2

xx

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x   có 4 điểm cực trị, suy ra f x    0

có tối đa 5 nghiệm phân biệt

Do đó hàm số y  f x  có tối đa 4 5 9  điểm cực trị

Ví dụ 5: Xét hàm số ( ) có đạo hàm f x( )x2 x x 33x với mọi

x R Hàm số y  f1 2022 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Nhận xét: Số điểm cực trị tối đa của hàm số y  f1 2022 x bằng tổng số nghiệm của phương trình f1 2022 x và số điểm cực trị của hàm số 0

Vậy hàm số y  f1 2022 x có tối đa 7 điểm cực trị

Ví dụ 6: Cho hàm số y g x ( ) xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số y  g x( ) 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y  g x( ) 2 là 7 điểm

Ví dụ 7: Cho hàm số y f x   là hàm đa thức bậc năm thỏa mãn

 0 0; 2  0

f  f  Biết hàm số y f x   có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hàm số g x  f x 2  x4 2x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A 8 B 5 C 6 D 7

Lời giải Xét hàm số h x  f x 2  x4 2x2 h x 2xf x 2 4x34x

Ví dụ 8: [Mã 101-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2]Cho hàm số f x có   f 0  0.Biết y f x   là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số g x( ) f x 3  là x

Lời giải Xét h x( ) f x 3 x h x' 3x f x2 ' 3  1

y

x

 trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x  

Dựa vào đồ thị ta có:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số g x( ) f x 3  có 5 điểm cực trị xNhận xét: Ngoài cách suy ra BBT của hàm h x ta có thể nhận xét từ BBT của  

hàm số h x suy ra phương trình   h x  có 3 nghiệm phân biệt và hàm số   0

 

h x có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số g x    h x

có 5 điểm cực trị

Ví dụ 9: [Mã 102-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2]Cho hàm số f x có   f 0  0.Biết y f x   là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 3  là x

Lời giải

từ thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là 3 3

1 0, 2 0 1 1, 2 2

t  t   x t x  t Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x như sau  

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x  có 3 nghiệm phân biệt   0

và hàm số h x có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số  

A 6 B 4 C 5 D 7 Lời giải

  , phương trình có hai nghiệm pb x  2 4a x;  2 4 và ahai nghiệm này khác các nghiệm của phương trình h x  '  0

A 2 B 4 C 3 D 5

Lời giải Đặt g x  x3 2x2   Ta có: 5x 3 g x 3x2      4x 5 0, xSuy ra g x là hàm số đồng biến trên   

Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f g x     bằng số điểm cực trị của hàm số y f x  

- Phương trình (3) có 1 nghiệm bội 3

Nên từ (*) suy ra hàm số y  f x 32x2   có hai điểm cực trị 5x 3Xét phương trình (**): f g x     0g x    ( vì a 1 x   là điểm cực 1đại, x  3 là điểm cực tiểu và f 3  ) 0

Do hàm g x đồng biến trên  nên phương trình   g x a đúng 1 nghiệm đơn Nên từ (**) suy ra hàm số y  f x 32x2   có một điểm cực trị 5x 3

Số cực trị của hàm số y f x  bằng tổng số cực trị của hàm y f x  và số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình f x  0

Hàm số y f x  có 3 điểm cực trị Do đó hàm số y f x  có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f x  có 3 nghiệm phân biệt 0

Ví dụ 15: [ĐỀ THI THỬ SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019]

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Bảng biến thiên của hàm số g x( ):

Hàm số g x( ) có giá trị cực tiểu là (3)g  m2  và giá trị cực đại là 32( 1) m2

g   Hàm số y  x33x2  9x 5 m2 có 5 điểm cực trị

 Đồ thị hàm số g x( ) x3 3x2   cắt trục hoành tại ba điểm phân 9x 5 m2biệt ( 1) (3) 0g  g   m m2 2 32   0 0 m 64



Vì m là số nguyên nên có 63 giá trị m thỏa mãn bài toán

Ví dụ 16: [Mã 101-TN THPT NĂM 2022] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm sốy  x4 2mx2 64x có đúng ba điểm cực trị?

Lời giải Xét hàm số g x  x4 2mx2 64x; xlimg x  

Do đó hàm số y  g x  có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y g x  

Từ bảng biến thiên suy ra m  12Vậy có 12 giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 17: [Mã 101-TN THPT NĂM 2022]Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số a để hàm sốy  x4 2ax2 8x có đúng ba điểm cực trị

Lời giải Xét hàm số g x  x4 2ax2  ; 8x xlimg x  

Suy ra phương trình g x  có ít nhất hai nghiệm đơn phân biệt   0

Do đó hàm số y  g x  có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số

  0 1

h x    Ta có bảng biến thiên: x

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m   3Vậy có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 18: Cho hàm số f x  x4 m2x2  với m m là tham số thực Số giá trị nguyên của m   2022;2022 để hàm số y  f x  có số điểm cực trị nhiều nhất là

A 2021 B 2020 C 2023 D 2022

Lời giảiHàm số y f x   và hàm số y  f x  cùng có tập xác định là  Lại có, hàm số y f x   là hàm số đa thức bậc 4 trùng phương nên có tối đa 3 điểm cực trị là x , 1 x , 2 x và đồ thị hàm số 3 y f x   cắt trục hoành tại tối đa 4

điểm phân biệt có hoành độ là x , 4 x , 5 x , 6 x 7

Do đó, hàm số y  f x  có nhiều nhất là 7 điểm cực trị là các điểm x , 1 x , 2 x3, x , 4 x , 5 x , 6 x 7

Hàm số y  f x  có nhiều điểm cực trị nhất  đồ thị hàm số y f x   phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (khi đó hàm số y f x   chắc chắn có 3 điểm cực trị)

 phương trình t2 m2t m  phải có 2 nghiệm dương phân biệt 0

000

SP

mm

 

Do 2022;2022

mm

Ta có bảng biến thiên của hàm y h x ( ):

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y h x ( ) luôn có 3 điểm cực trị

AB  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 5;5 để hàm số

Bảng biến thiên của hàm số y h x   là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y k x   f x g x  là:

4m

  

Vì m  , m   và 74 m   5;5 nên m      4; 3; 2DẠNG 2: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x  1.1 Phương pháp

Cách 1: Để tìm số điểm cực trị của hàm số y  f x  ta đi vẽ đồ thị hàm số đó dựa trên bảng biến thiên và đồ thị hàm số y f x  như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x   nằm bên phải trục tung ( trục Oy ) ta được  C 1