Skkn toán học thpt (17)

Trong quá trình dạy học môn Toán, đối với học sinh Trung học phổ thông thường chúng ta phải phân tích, phán đoán các hướng giải quyết bài toán, liên hệ giữa bài toán đó với các bài toán

Từ năm học 2016–2017, việc đổi mới phương pháp thi THPT Quốc gia và bây giờ là thi Tốt nghiệp THPT trong đó có sự đổi mới hình thức thi Đại học môn Toán từ tự luận 180 phút sang trắc nghiệm 100% (gồm 50 câu hỏi với thời gian 90 phút), hầu hết các giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn Với thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải hiểu cặn kẽ về mặt lý thuyết; biết tư duy linh hoạt

làm thế nào để đưa ra đáp án nhanh và chính xác Để làm được điều đó, giáo viên

cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản, kỹ năng tổng hợp phân tích các dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4 cấp độ tư duy

Trong quá trình dạy học môn Toán, đối với học sinh Trung học phổ thông thường chúng ta phải phân tích, phán đoán các hướng giải quyết bài toán, liên hệ giữa bài toán đó với các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn đặc biệt là mối quan quan hệ và ứng dụng của các chủ đề kiến thức để có hướng giải quyết tương tự và ngược lại từ một bài toán đơn giản ta có thể đi sâu phân tích, mở rộng, phát triển thành những bài toán mới

Khi dạy phần phép biến hình trong mặt phẳng và trong không gian tôi thấy

hầu như học sinh rất “sợ” Đặc biệt là việc ứng dụng nó trong giải quyết các bài

toán liên quan là một nội dung khó đòi hỏi học sinh vừa phải nắm chắc kiến thức

về phép biến hình vừa phải biết tư duy hình học và biết kết hợp sử dụng các phương pháp trong từng nội dung tương ứng

cải tiến nội dung chương trình toán học bằng cách bỏ bớt nhũng lý luận dài dòng không cần thiết Mục tiêu cuối cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm được mối quan hệ biện chứng giữa các khái niệm, tính chất và nhớ các kiến thức cơ bản của môn học để tính toán, suy luận nhanh gọn để giải quyết vấn đề đặt ra

vào nhiều tình huống, kiến thức khác nhau thông qua hệ thống các ví dụ, bài tập đa dạng, phong phú để giúp rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh Khi đó học sinh biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau Không những vậy mà thông qua việc giải các ví dụ trong chủ đề còn giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo Sự say mê khoa học thường được bắt nguồn từ sự hiểu biết Giúp học sinh hiểu biết sâu hơn về phép biến hình nói riêng và các ứng dụng của nội dung cho các đơn vị kiến thức

dục ở nước ta hiện nay trong dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông tôi nghiên

cứu đề tài: “ Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt

nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp”

II Mô tả giải pháp

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Chủ đề về phép biến hình nói riêng và hình học nói chung là rất quan trọng trong chương trình toán THPT Đã có rất nhiều các phương pháp để tiếp cận và giải quyết các bài toán trong chủ đề Tuy nhiên với việc đã quen với không quan tâm đúng của cả giáo viên và học sinh do trước đây các câu hỏi chỉ dừng lại ở mức độ

nhẹ nhàng cũng như “ngại” phần hình học đến khi gần đây đã xuất hiện các khai

thác ứng dụng của nó trong các câu hỏi vận dụng và cũng đã xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như trong kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp Đặc biệt là các ứng dụng không còn đơn thuần trong hình học tổng hợp nữa mà còn xuất hiện trong hình học toạ độ cũng như trong giải tích dẫn tới rất nhiều khó khăn cho giáo viên và học sinh Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là chưa khai thác hết tính chất về phép biến hình đặc biệt là việc áp dụng nó với phần kiến thức trong hình học toạ độ và giải tích

Trong quá trình dạy học của mình, tôi nhận thấy nếu cung cấp cho học sinh đầy

đủ kiến thức nêu trên và cách nhìn nhận bài toán cũng như việc liên hệ các kiến thức

để chuyển hoá bài toán lạ về bài toán quen thuộc, đơn giản hơn thì học sinh hoàn toàn

có thể giải quyết được vấn đề mà không quá khó khăn để từ đó đam mê với nội dung

và môn học

Một số phương pháp quen thuộc với loại toán này mà các em học sinh được biết ở các tài liệu đã đề cập ở mức độ nhận biết, thông hiểu Trong sáng kiến này, tôi xin trình bày chủ yếu các ứng dụng của một số phép biến hình trong mặt phẳng và không gian như: Phép đối xứng tâm; Phép đối xứng trục; Phép tịnh tiến; Phép quay và Phép vị tự nhằm giải quyết các bài toán ở mức độ vận dụng trong chủ đề cũng như không chỉ bó hẹp trong hình học mà còn trong cả giải tích

2 Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Vấn đề đặt ra trong sáng kiến là tôi không đưa ra các bài toán mức độ nhẹ nhàng liên quan trực tiếp tới các phép biến hình đó hay các phương pháp giải như

Trước tiên chúng ta tìm hiểu về phép biến hình:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy

nhất M  của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

2.1.1.1 Phép đối xứng trục

* Định nghĩa: Cho đường thẳng d Phép biến hình

biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến

mỗi điểm M không thuộc d thành M  sao cho d

là đường trung trực của đoạn thẳng MM  được gọi

là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng

* Nhận xét

Cho điểm I Phép biến hình biến

điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm

M khác I thành M  sao cho I là trung

điểm của MM  được gọi là phép đối

xứng tâm I

Điểm I được gọi là tâm đối xứng

* Biểu thức toạ độ

R R

O'

O

C' B'

A'

C B

A

a' a

M

N I

M' M

Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song

song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

* Tâm đối xứng của một hình

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng

2.1.1.3 Phép đối xứng qua mặt phẳng

A

B'

A'

B A

Ví dụ 1: Gọi m là số thực sao cho phương trình 0 3  

 x ;  1 x ;  2 x cũng là ba nghiệm của phương trình 3   1 Không mất tính tổng quát,

2 3 4

Nhận xét điểm M    C  d , với d y :   x 1 là trục đối xứng của   C nên

đường thẳng MB thì việc vượt qua bài toán trên thực sự là một khó khăn rất lớn

với các em

Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B

thuộc cạnh Ox (B khác O ) Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ

nhất

A C là hình chiếu của A trên Oy

B C là hình chiếu của B trên Oy

C C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy

D C là giao điểm của BA A đối xứng với A qua '; ' Oy

Hướng dẫn:

Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có

hàng hay C là giao điểm của BM với trục Oy

Chọn đáp án D

Nhận xét: Ví dụ trên có sử dụng bài toán tổng quát sau: Cho đường thẳng d và hai

đạt giá trị nhỏ nhất

d 2

d 1

α

D E

C 2

C 1

C A

Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng , x y cố định Hai điểm , M N thay đổi trên x và hai

diện MNPQ là lớn nhất

Hướng dẫn:

Nên r max khi và chỉ khi S min

2 S MN PP QQ PQ MM NN 2 S 2 S ta chứng minh S min

, , ,

X Y P Q lên   P Dễ thấy OH //  XY  d P Q ,    PQ sin   b   b sin 

Vì OH  P Q    H OH ,  d P Q ,    b   b sin  nên tam giác OP Q   có diện

Tóm lại r max khi và chỉ khi đường vuông góc chung XY của hai đường chéo

Tương tự như các ví dụ trên, trong không gian ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A  2;3;3 

+ d có một véc tơ chỉ phương 1 u    1  2; 0;1 ,  d có một véc tơ chỉ phương 2

0;1; 1 2

M N

Giả thiết   S có tâm I   1;1; 0 , bán kính R  2.

Gọi M 1  AI   d , N 1   AI     S  , N 1  M I 1    S , N đối xứng với N qua 

d (như hình vẽ trên) Khi đó dễ thấy N     S 

2 353

3

3

AI   AI  II  

2.

Nhận xét: Bài này mấu chốt là nhìn ra được , A tâm I của mặt cầu và đường

thẳng d đồng phẳng Bài này sẽ khó nếu các đối tượng trên không đồng phẳng

Ví dụ 10: Cho hàm số bậc ba y  f x có  

1 , 2

x x thỏa f x   1  f x   2  0 Gọi , A B là

tích của hình phẳng được gạch trong hình, S là diện tích tam giác 2 NBK Biết tứ

5 3

3 3 4

Hướng dẫn:

điểm uốn trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới)

Do f x là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng    O  N  Đặt x 1   a x , 2  a , với  0 a  f x '    k x  2  a với  0 2  k

Vậy 1 

2

3 3 4

S

Chọn đáp án D

Nhận xét: Bằng việc nắm chắc về tính chất của tâm đối xứng của một hình hay

một đồ thị ta giải quyết được bài toán trên nhanh gọn nhất Ta nghiên cứu tiếp ví dụ sau:

;1 2



3 2

1



3 2

1

y

x

hướng với Ox , trục IY cùng hướng với Oy ta được hàm số trong hệ trục tọa độ

Nên bài toán thoả mãn khi đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

thuộc trục hoành

Chọn đáp án D

Ví dụ 13: Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m m m 1 , 2 , 3 của tham số m để phương

Hướng dẫn:

Lý luận làm tương tự như ví dụ 8 Chọn đáp án A

Ví dụ 14: [Thi thử THPT QG trường THPT Xuân Trường B_2018] Cho hàm

y

  C đối xứng nhau qua gốc tọa độ Hỏi hàm số 2 y  f x nghịch biến trên  

khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn:

Ví dụ 15: Trong một hình nón ta đặt một hình chóp có đáy là tam giác nội tiếp đáy

hình nón, đỉnh hình chóp nằm trên một trong các đường sinh của hình nón Tất cả các mặt bên của hình chóp nghiêng như nhau so với mặt đáy Đáy của hình chóp là

tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  Tính tỉ số thể tích giữa khối nón và khối chóp

Hướng dẫn:

3

Ví dụ 16: Khảo sát HKII năm học 2020-2021 SGD Nam Định Cho hình lập

a

24

a

12

a

2

* Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ 

.

v Phép biến hình biến mỗi điểm M

v thường được kí hiệu là

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song

hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

A'

C B

A d'

d



v

* Biểu thức toạ độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v     a b Với mỗi ;

3 1

Mở rộng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong ,   C : y    x 3 3 x  1.

Hướng dẫn:

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong trong hình bên Biết  

  1    2  0.

là thể tích khi quay S quanh trục Ox và 1 V là thể tích khi quay 2 S quanh trục 2 Ox

5

19 18

Hướng dẫn:

Kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được hình vẽ trên

35

17 18

V V

Chọn đáp án A

Nhận xét: Bằng việc phân tích đồ thị và bổ sung tính chất phép tịnh tiến chính là

phép dời hình nên kết quả trên sẽ không thay đổi Do đó bài toán trên được giải quyết đơn giản hơn, đó cũng chính là một tính chất hay về phép tịnh tiến mà chúng

ta nên quan tâm với dạng bài toán liên quan về đồ thị hàm số

Ta nghiên cứu tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 4: Cho parabol    2 

1

2

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và trục hoành Biết 2 S 1  S giá trị của 2 ,

a thuộc khoảng nào sau đây?

A (0;1) B (1;2) C (2; 3) D (3; 4) Hướng dẫn:

Ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị Khi đó, phương trình các parabol mới

Gọi M N , là các giao điểm của ( ) P 1 và đường thẳng

 (4  a ) 3  4 a 2  a 3  8 a 2  48 a  64  0.

Giải phương trình trên ta được phương trình có một nghiệm thực thuộc (1;2)

Chọn đáp án B

Ví dụ 5: Cho hàm số bậc bốn y  f x có đồ thị là  

số y  f x có 3 điểm cực trị là 2;0;4 (theo hệ tọa độ mới),  

Ví dụ 6: Cho hàm số bậc bốn trùng phương

 



y f x có đồ thị là đường cong như hình

2

S

A 3

7

1

7 15

Hướng dẫn:

Gọi y  g x    ax 4  bx 2  c , ta có y  g x là hàm chẵn và ba điểm cực trị  

Chọn đáp án B

Ví dụ 7: Cho parabol      2 

Tịnh tiến hai parabol sang trái 1 đơn vị

4

a

Gọi M N là các giao điểm của ,   P và d  1 M (  4  a a N ; ), ( 4  a a ; ).

8 2

Nhận xét: Phân tích phép biến đổi theo biến y sách giáo khoa không dùng, tuy

x y thành  y x nên diện tích các hình phẳng tương ứng không thay đổi 2

Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  2  x có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau đây: 

Hướng dẫn:

Gọi   C là đồ thị hàm số y  g x    f  2  x 

 

y f x

0 0

Ví dụ 9: Cho hàm số y  f x có đạo hàm là hàm số   y  f x trên  Biết rằng   

Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số y  f x sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó   

Ví dụ 10: Cho hàm số y  f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên Gọi S  

là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số

Đồ thị hàm số y  f x   2022   m  2 được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị

đồ thị phía dưới trục Ox qua trục Ox và xóa đi phần đồ thị phía dưới trục Ox

Ví dụ 11: Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng biến thiên:  

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

Nhận xét: Số giao điểm của đồ thị   C : y  f x với Ox bằng số giao điểm của  

  C  : y  f x    1  m bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox , lấy đối

xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox

x

x

TH1 : 0  m  3 TH 2 : m  3

Ví dụ 12: Cho hàm số y  f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên  

có 5 điểm cực trị?

Hướng dẫn:

có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)

y f x m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Ví dụ 13: Cho đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y  f x  

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 của tham số m để hàm số

A 2021 B 2020 C 2019 D 2018 Hướng dẫn:

( không tính các điểm trùng với các điểm đã tính ở A )

có hai điểm cực trị

nghiệm đơn

m

Ví dụ 15: Cho   C là đồ thị hàm số  y x 2  2 x  2 và điểm M di chuyển trên

  C Gọi d d là các đường thẳng đi qua M sao cho 1 , 2 d song song với trục tung 1

và d d đối xứng với nhau qua tiếp tuyến của 1 , 2   C tại M Biết rằng khi M di

Gọi M X Y  0 , 0     C ;    là tiếp tuyến của   C tại M Ta có k   2 X và 0   

X



0 ; 0 2

X

K và        

1 0;

a

Chọn đáp án B

2.3 Phép quay 2.3.1 Khái niệm và tính chất liên quan

* Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O

 OM OM bằng  được gọi là phép quay tâm O góc  ;  

 Điểm O được gọi là tâm quay,  được gọi là góc quay

O

 Với k là số nguyên ta luôn có:

* Tính chất:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

2.3.2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z      4 i z 4 3 i  10 Gọi M và m lần

Hướng dẫn:

M'

M O

I

R

R

O