Skkn toán học thpt (24)

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Dạy học Toán không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức và các định lý toán học mà còn phát triển năng lực trí tuệ, yếu tố cốt lõi để họ có thể học tập, tiếp thu kiến thức về tự nhiên và xã hội Năng lực này bị hình thành và phát triển qua quá trình học tập, góp phần bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng Vì vậy, giảng dạy Toán học cần chú trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ của học sinh để giúp họ vận dụng kiến thức một cách sáng tạo và hiệu quả hơn trong cuộc sống.

Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở cấp Trung học phổ thông, các bài toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian đóng một vai trò quan trọng, góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ không gian và phát triển tư duy hình học Các dạng bài tập này xuyên suốt chương trình và là nền tảng giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tiễn cũng như nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo Việc nắm vững các khái niệm về góc và khoảng cách trong không gian sẽ hỗ trợ học sinh tiếp cận dễ dàng hơn các chủ đề phức tạp hơn trong môn Toán.

Trong các bài toán hình học không gian, kỹ năng vẽ hình, tư duy hình học và dựng hình là những yếu tố quan trọng, giúp học sinh rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán về góc, khoảng cách và thể tích Việc thành thạo các dạng bài này không chỉ giúp nâng cao kỹ năng vẽ hình chính xác, tư duy hình học không gian mà còn giúp học sinh làm bài tốt hơn, cẩn thận và chính xác hơn Giải quyết thành thạo các bài toán về góc, khoảng cách và thể tích trong hình học không gian góp phần phát triển tư duy logic, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào các nội dung khác trong chương trình toán THPT và trong đời sống thực tế.

Trong thực tế, các bài toán hình học không gian như tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng hay giữa hai đường chéo nhau thường dùng phương pháp tọa độ để giải, nhưng nhiều học sinh còn lúng túng và chưa trình bày rõ ràng Nguyên nhân chính là do các kiến thức về góc và khoảng cách phần lớn chỉ được trình bày trong sách giáo khoa lớp 11 dưới dạng phương pháp hình học thuần túy, vốn đã khó đối với học sinh khi phải dựng hình và tính góc, khoảng cách còn khó hơn Trong chương trình lớp 12, học sinh đã học cách sử dụng tọa độ trong các bài toán tính góc và khoảng cách khi đã biết tọa độ điểm, vectơ hay phương trình đường thẳng, mặt phẳng; tuy nhiên, số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ cho hình học không gian vẫn rất hạn chế và ít đa dạng Thêm vào đó, các bài toán này thường không đòi hỏi dựng hình phức tạp mà nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn, làm giảm sự tiếp cận và vận dụng linh hoạt của học sinh Nhằm giúp khắc phục các khó khăn này, tôi đã sưu tầm, bổ sung và tổ chức các bài tập dạng này theo cấu trúc rõ ràng, đa dạng, và đặt tên đề tài là “Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không gian”, hy vọng sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập và giải quyết các hạn chế trong môn học.

Mô tả giải pháp

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Thực trạng của việc dạy giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ trong trường THPT hiện nay

Toán học là môn khoa học mang tính trừu tượng nhưng có ứng dụng rộng rãi trong đời sống xã hội, khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng Nó giữ vai trò quan trọng trong cấp bậc THPT nhưng cũng là môn học khó, đòi hỏi học sinh nỗ lực lớn để lĩnh hội kiến thức Chính vì vậy, giáo viên dạy toán cần hiểu rõ cấu trúc chương trình và nắm vững phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả truyền đạt kiến thức cho học sinh Việc phân tích nội dung sách giáo khoa và áp dụng các biện pháp giảng dạy phù hợp là hoạt động cần thiết và phải thực hiện thường xuyên trong quá trình giảng dạy toán học.

Chủ đề hình học không gian được đề cập trong SGK hình học lớp 11 với số tiết là

Trong chương trình học 34 tiết môn hình học không gian, học sinh làm quen và nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học không gian thông qua việc vẽ các hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ, đồng thời tìm hiểu về các quan hệ song song, vuông góc, góc và khoảng cách trong không gian Học sinh được trang bị các phương pháp giải các bài toán hình học không gian như chứng minh song song, vuông góc, tính góc giữa các đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, từ đó linh hoạt và sáng tạo áp dụng kiến thức từ đơn giản đến phức tạp Bộ sách giáo khoa lớp 12 giới thiệu chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian, giúp học sinh hiểu rõ hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, véc tơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ, phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, cùng các công thức tính khoảng cách như khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, và các công thức tính góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng, cũng như một số công thức thể tích quan trọng.

Trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia hiện nay, các câu hỏi về góc và khoảng cách trong không gian, cũng như tính thể tích, thường rất khó đối với học sinh và chủ yếu yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải Thông thường, bài tập trong sách giáo khoa có cách trình bày đơn giản, số lượng bài tập sau mỗi bài học cũng khá hạn chế, dẫn đến học sinh thường sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết cách áp dụng đúng cách.

* Ưu điểm của phương pháp này:

- Vì toàn bộ hình đã được số hóa, nên các em học sinh không có khả năng nhìn hình tốt vẫn có thể làm được bài

- Rất hữu ích cho các em học sinh ôn thi trong thời gian ngắn (khoảng 3 đến 4 tháng)

- Không bao giờ bị trừ điểm trình bày

- Không phải bải toán nào cũng sử dụng được phương pháp này

Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ và so sánh hai phương pháp: Phương pháp tọa độ và phương pháp không gian thuần túy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD// BC , AD2a,

BCCDa Biết SA   ABCD ,SA   3a Gọi    góc giữa hai đường thẳng SC và

A 3 cos  4 B 3 cos  3 C 5 cos  4 D 2 cos  3 Đối với bài này làm theo cách không gian thuần túy thì như sau:

+) Ta có AD//BC nên góc giữa hai đường thẳng SC và AD là góc giữa hai đường thẳng SC và BC

+) Vì ABCD là hình thang cân nên ABCDa Gọi I là trung điểm của AD

 nên tứ giác AIBC là hình bình hành nên CIAB a

Tam giác ACD vuông tại C nên : AC  AD 2  CD 2    2a 2  a 2  a 3

Tam giác SAC vuông tại A nên ta có:

Tam giác SAB vuông tại A nên: SB  SA 2  AB 2    3a 2  a 2  a 10

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC :

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AD bằng 3

Nếu làm bằng phương pháp tọa độ thì như sau:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có: C 0;0;0 , A a 3;0;0 , D 0;a;0 ,S 0;0;3a        

Ta có cos cos SC, AD   SC.AD 4 3

Trong ví dụ trên, phương pháp trình bày thứ hai giúp học sinh thể hiện ý tưởng một cách ngắn gọn và ấn tượng hơn so với phương pháp thứ nhất Ưu điểm chính của cách này là học sinh không cần phải thêm hình vẽ, giúp tiết kiệm thời gian và tập trung vào nội dung chính của bài viết Sử dụng cách trình bày súc tích, rõ ràng cũng nâng cao khả năng trình bày ý tưởng một cách hiệu quả hơn, phù hợp với các yêu cầu về SEO.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,

Trong bài toán, các cạnh của hình hộp đều bằng 2a, cụ thể là AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a, và hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và CD, chúng ta cần tính cosin của góc giữa đoạn MN và mặt phẳng (SAC) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng \( a^3/3 \), điều này giúp xác định các kích thước và mối quan hệ không gian của hình học trong bài toán.

Ví dụ trên nếu làm theo phương pháp hình học không gian thuần túy như sau:

Gọi    là mp đi qua MN và song song với mpSAD Khi đó     cắt AB tại P , cắt

SC tại Q, cắt AC tại K Gọi I là giao điểm của MN và QK   I  SAC 

Suy ra: P, Q, K lần lượt là trung điểm của AB,SC và AC

Lại có: ABCD là hình thang cân có AD2AB2BC2a

MP, KQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác SAB, SAC MP//KQ//SA

KN là đường trung bình của tam giác ACD KN 1AD a

  2  Xét tam giác AHC vuông tại H:

Suy ra tam giác KNC vuông tại C C là hình chiếu vuông góc của N lên  SAC 

 góc giữa MN và SAC là góc  NIC

Xét tam giác NIC vuông tại :

Chọn đáp án C vì phần vẽ hình khiến học sinh gặp khó khăn trong việc xác định góc Để đơn giản hóa bài toán, việc sử dụng phương pháp tọa độ sẽ giúp học sinh dễ hình dung và giải quyết vấn đề hơn Trong đó, áp dụng phương pháp tọa độ không gian sẽ giúp xác định các điểm, góc và mối liên hệ dễ dàng hơn, tiết kiệm thời gian và nâng cao hiệu quả làm bài.

Vì ABCD là hình thang cân có AD 2AB 2BC 2CD 2a AD 2a

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ

  Chọn u 1   0;3; 1   cùng phương với MN

AS   0;0;a  Chọn u 2   0;0;1  cùng phương với AS a 3 3a

  Chọn u 3   3;3;0  cùng phương với AC Mặt phẳng  SAC  có VTPT là : n    u , u 2 3      3; 3;0 

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt phẳng  SAC 

Phương pháp trình bày theo cách thứ nhất hầu như không phù hợp vì học sinh khó có thể dựng được hình minh họa, khiến phần lớn học sinh gặp khó khăn khi thực hiện Trong khi đó, cách thứ hai giúp học sinh không cần phải dựng hình, làm cho quá trình học trở nên dễ dàng và thuận tiện hơn nhiều Do đó, phương pháp thứ hai vẫn nổi bật, dễ hiểu và hiệu quả hơn so với cách thứ nhất.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Trong ví dụ này, ta xét hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a Góc giữa các mặt phẳng (A'BC) και (ABC) là 60 độ, ảnh hưởng đến tính chất hình học của lăng trụ Trung điểm M của cạnh BC và N của cạnh CC' được xác định rõ ràng trong không gian, giúp xác định các vector và khoảng cách cần tính Khoảng cách giữa điểm A'M và đoạn thẳng AN được xác định dựa trên các yếu tố hình học này, hỗ trợ việc xác định chính xác khoảng cách trong không gian ba chiều.

Cách giải theo hình học cổ điển:

Kẻ A ' E// AN  E  AC   AN //  A'ME 

          d A 'M, AN d AN, A 'ME d A, A 'ME AK

+ Có góc giữa  A'BC và   ABC là  A 'MA 60 0 A 'A AM.tan 60 0 3a

+ Dễ thấy AEA'F2AC, với F A'F AC 

EM AE AM 2AE.AM.cos150 AH

Chọn B là đáp án đúng cho ví dụ này, vì chỉ có học sinh giỏi hoặc khá cứng mới có khả năng dựng hình và thực hiện các phép tính liên quan Việc dựng hình quả thật rất khó khăn đối với học sinh, đòi hỏi kỹ năng dựng hình chính xác và khả năng tính toán tốt Trong khi đó, phương pháp tọa độ trong không gian mang lại hiệu quả rõ rệt, giúp simplifying quá trình dựng hình và tính toán một cách chính xác hơn.

Do CB vuông góc với mặt phẳng A'MA nên góc giữa 2 mặt phẳng   ABC  và A'BC là góc  A'MA bằng 60 0

Trong tam giác vuông A ' MA : 0 AA ' a 3 3a tan 60 AA ' 3

Trong mặt phẳng ABC kẻ đường thẳng  Ay song song với BC , khi đó 3 đường AM, Ay, A ' A đôi một vuông góc với nhau

Xét hệ tọa độ Oxy sao cho: OA, AMOx, Oy//BC, AA'Oz( hình vẽ)

        Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta có:

Chọn B Qua hai các trên ta thấy cách thứ hai vẫn dễ làm hơn, không phải dựng thêm hình

Các ví dụ đã trình bày cho thấy rằng việc sử dụng phương pháp tọa độ không gian giúp giải quyết bài toán một cách đơn giản và hiệu quả hơn Phương pháp này giúp rút ngắn quá trình giải và làm rõ các bước thực hiện, nhờ vào khả năng mô phỏng và phân tích cấu trúc không gian một cách trực quan Áp dụng tọa độ không gian trong các bài toán hình học giúp tối ưu hóa quá trình tư duy và nâng cao tính chính xác của lời giải.

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng V Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AM, A 'C', BB' Tính thể tích khối tứ diện CMNP

Giả sử hình lập phương đã cho có cạnh bằng 1 Khi đó V 1

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, A là gốc toạ độ, các cạnh AB, AD, AA' nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

Ta có CM 1; 1;0 , CN 1; 1;1 , CP 0; 1;1

Khi đó V CMNP 1 CM, CN CP 5 V CMNP 5 V

Goi Q PM AA ' AQ PB a

Ta có : P.NQC     NQC NQC NQC

Nếu áp dụng phương pháp tính thể tích dựa trên việc đọc toạ độ các đỉnh, nhiều học sinh, kể cả những học sinh trung bình, vẫn có thể thực hiện được, giúp mở rộng phạm vi đối tượng học sinh tiếp cận kiến thức hình học không gian Trong khi đó, phương pháp đòi hỏi học sinh phải có khả năng làm được các bài tập liên quan đến hình học phức tạp hơn, yêu cầu học sinh khá giỏi, nên ít phù hợp với đa dạng đối tượng hơn Vì vậy, phương pháp đầu tiên mang lại lợi thế lớn về tính khả thi và khả năng áp dụng rộng rãi cho nhiều cấp độ học sinh.

Phương pháp trình bày ngắn gọn và độc đáo hơn giúp học sinh khá giỏi tiếp cận dễ dàng các bài toán tọa độ không gian, nâng cao kỹ năng giải bài tập hình học không gian Việc ứng dụng phương pháp này không chỉ giúp các em có kiến thức vững vàng mà còn đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt, học sinh lớp 12 cần nắm chắc kiến thức về tọa độ không gian và các phương pháp giải các bài toán về góc, khoảng cách để tự tin xử lý các đề thi phức tạp.

Dưới đây là bản tóm tắt chứa các câu quan trọng, đảm bảo tính liên kết và hợp lý theo chuẩn SEO:Tôi đã đề xuất sáng kiến này nhằm hỗ trợ học sinh trong việc hệ thống hóa các bài tập hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không gian Mục đích của sáng kiến là giúp các em học sinh nắm vững kỹ năng tính thể tích trong các bài toán hình học không gian Đồng thời, nó còn cung cấp nguồn tài liệu phong phú cho các đồng nghiệp trong công tác bồi dưỡng và ôn thi tốt nghiệp THPT cũng như thi học sinh giỏi Việc này giúp nâng cao hiệu quả dạy và học, chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi quan trọng.

Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra góc, khoảng cách , thể tích giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian.

Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

2.1 Cơ sở lý thuyết: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

A HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A1 Hệ tọa độ

Trong không gian, hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz gồm ba trục x, y, z vuông góc với nhau từng đôi một Các vectơ đơn vị i, j, k lần lượt đại diện cho các trục x, y, z trong hệ trục này Điểm O được gọi là gốc tọa độ, xác định điểm bắt đầu của hệ trục trong không gian Hệ trục tọa độ Oxyz là nền tảng quan trọng để xác định vị trí và phương trình trong không gian ba chiều.

A2 Tọa độ của một điểm a) Định nghĩa: M x y z  ; ;   OM  x i  y j  z k ( x: hoành độ, y: tung độ, z : cao độ)

MOx  y z 0,MOy  z x 0,MOz  x y 0 b) Tính chất: Cho A x y z  A ; A ; A   , B x y z B ; B ; B 

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ; ;

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác G:

A3 Tọa độ vectơ Định nghĩa: u   x y z ; ;    u x i  y j  z k

B BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Định lý: Trong không gian Oxycho a   a a a 1 ; 2 ; 3  và b   b b b 1 ; ; 2 3 

 ka  k a a a  1 ; 2 ; 3    ka ka ka 1 ; 2 ; 3  ( với k là hằng số)

Hệ quả: Trong không gian Oxyzcho a   a a a 1 ; 2 ; 3  ; b   b b b 1 ; ; 2 3  ; k  R

* Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là ; ;

C TÍCH VÔ HƯỚNG C1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Định lý: Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của hai vectơ a   a a a 1 , 2 , 3  và

D TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ D1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a a a a 1, 2, 3 và b b b b 1; 2; 3  Tích có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là a b, , được xác định bởi :

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số

   a b ,    a b sin   a b , (Chương trình nâng cao)

D3 Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b, và c đồng phẳng a b c,  0

 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

 Diện tích tam giác ABC: 1 ,

 Thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' : V ABCD A B C D ' ' ' '  AB AD AA,  '

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng

Tích có hướng của hai vectơ thường được sử dụng để tính diện tích tam giác, giúp xác định diện tích chính xác và nhanh chóng Ngoài ra, tích có hướng còn dùng để tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp, hỗ trợ trong các bài toán đo đạc và không gian Bên cạnh đó, việc chứng minh các vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng là kỹ năng quan trọng trong xác định mối quan hệ không gian giữa các vectơ Cuối cùng, việc chứng minh các vectơ cùng phương giúp phân tích các hệ số và quan hệ giữa các vectơ để ứng dụng trong hình học không gian hiệu quả hơn.

A VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG A1 Định nghĩa

Cho mặt phẳng    Nếu vectơ n0 và có giá vuông góc với mặt phẳng    thì n là vectơ pháp tuyến (VTPT) của   

 Nếu n là một VTPT của mặt phẳng    thì k n ( k  0) cũng là một VTPT của mặt phẳng   

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó

 Nếu u v, có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng    thì n     u v ,  là một VTPT của   

B PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG B1 Định nghĩa

Phương trình: AxByCzD0 với A 2 B 2 C 2 0được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Nếu mặt phẳng    có phương trình AxByCz D 0 thì nó có một

 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z  0; 0; 0  và nhận vectơ

Xét phương trình mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 với A 2  B 2  C 2  0

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng   

D Ax  By  Cz  0   đi qua gốc tọa độ O

A By  Cz   D 0 Ox //    hoặc Ox    

C Ax  By   D 0 Oz //    hoặc Oz    

 Nếu trong phương trình    không chứa ẩn nào thì    song song hoặc chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   :x   y z 1 a b c Ở đây    cắt các trục tọa độ tại các điểm A a  ;0;0 ,   B 0; ;0 , b   C 0;0; c  với a b c  0

C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz cho    : Ax By Cz     D 0 và

 ' : A x B y C z '  '  ' D '0 có các VTPT lần lượt là n   A B C n ; ;  ; '   A B C '; '; ' 

    cắt    '  A B C : :  A B C ' : ' : ' Đặc biệt:        '  n n '   0 AA '  BB '  CC '  0

D KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Định lí: Trong không gian Oxyz , cho điểm M x y z  0; 0; 0  và mặt phẳng

   : Ax By Cz     D 0 Khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng    được tính bởi công thức:  ,      0  2 0  2 0 2 

E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  1 :A x B y C z 1  1  1 D 10 và

 2 :A x B y C z 2  2  2 D 20 Góc giữa  1 và  2 được tính bởi công thức:

Cho đường thẳng  đi qua điểm M x y z  0; 0; 0  và nhận vectơ a   a a a 1 ; 2 ; 3  với

Khi đó  có phương trình tham số là: 0 0 1 2  

Cho đường thẳng  đi qua điểm M x y z  0; 0; 0  và nhận vectơ a a a a 1; 2; 3 sao cho

Khi đó  có phương trình chính tắc là: 0 0 0

B GÓC B1 Góc giữa hai đường thẳng

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  1 và  2 Ta có: 1 2

B2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

   có vectơ chỉ pháp tuyến n Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  và   

C KHOẢNG CÁCH C1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  :

 đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương u 

C2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u 1

2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u 2

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O)

Phần quan trọng nhất của phương pháp này là cách chọn hệ trục tọa độ phù hợp, nhằm tối ưu hóa việc xác định tọa độ các điểm Vì không có phương pháp tổng quát, chúng ta có thể lựa chọn nhiều hệ trục khác nhau để phù hợp với từng trường hợp Mục tiêu chính là chọn hệ trục sao cho việc tìm tọa độ các điểm có nhiều số 0 nhất, giúp quá trình tính toán trở nên đơn giản và chính xác hơn.

 Hệ tọa độ nằm trên ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau

Gốc tọa độ thường là chân đường vuông góc của hình chóp hoặc hình lăng trụ, trùng với đỉnh của hình vuông, hình chữ nhật hoặc tam giác vuông Ngoài ra, gốc tọa độ còn có thể trùng với trung điểm của một cạnh nào đó, giúp xác định vị trí chính xác trong không gian Việc xác định gốc tọa độ là bước quan trọng trong các bài toán hình học không gian, hỗ trợ tính toán và dựng hình chính xác hơn.

Trong bước 2, cần xác định toạ độ các điểm liên quan, có thể đo đạc tất cả các điểm hoặc chỉ một số điểm cần thiết để đạt được mục tiêu Việc này giúp xác lập chính xác vị trí của các điểm trên bản đồ hoặc trong không gian Để xác định tọa độ các điểm một cách chính xác, bạn có thể dựa vào các phương pháp đo đạc hiện đại hoặc dựa trên các dữ liệu đã có sẵn Việc xác định toạ độ đúng đắn là bước quan trọng trong quá trình khảo sát hoặc lập bản đồ, góp phần đảm bảo độ chính xác cho toàn bộ dự án.

 Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)

 Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng

 Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

Chú ý: Một số cách chọn hệ trục tọa độ

 Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật

Trong không gian 3D, để xác định gốc tọa độ, ta chọn một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật làm điểm bắt đầu Từ đỉnh này, các tia Ox, Oy, Oz được chọn làm ba cạnh của hình xuất phát từ điểm đó, giúp tạo hệ trục tọa độ chính xác và rõ ràng cho các phép biến đổi và phân tích hình học trong không gian.

 Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều

Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều

 Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông

 Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông, hình chữ nhật

Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông

Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu cách đặt hệ trục tọa độ cho hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, giúp xác định các yếu tố vuông góc tại đỉnh Các ví dụ điển hình bao gồm hình thang vuông, tam giác vuông và tứ giác có hai cạnh vuông góc, từ đó làm rõ cách xác định vị trí và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học này trong không gian tọa độ.

Dưới đây là các dạng cơ bản của các loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một cách đơn giản Ta có thể tọa độ hóa bất kỳ khối đa diện nào miễn là xác định được đường cao của khối đó Thông thường, trong lý thuyết, ta đặt gốc tọa độ tại chân đường cao của khối đa diện và trục Oz là đường cao đó Trong thực hành giải toán, ta tùy theo bài toán để chọn hệ trục phù hợp, nhằm dễ dàng xác định tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính, giúp việc tính toán trở nên dễ dàng hơn và giảm độ phức tạp.

2.2.Các ví dụ minh họa 2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Đọc tọa độ các đỉnh, và các điểm có liên quan ( có thể không cần đọc hết tọa độ các đỉnh)

Bước 3: Tìm tọa độ véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng cần tính góc

Bước 4: Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

2 có vectơ chỉ phương u 2 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  1 và  2

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi 1 1 1 1 M, N, P lần tượt là trung điểm của

BB ,CD,A D Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C N 1

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ( như hình vẽ ) : AO, ABOx, ADOy, AA 1 Oz

Trong hệ trục này ta có:

Do đó MPC N 1 , hay góc giữa hai đường thẳng MP và C N bằng 1 90 0

Gọi E là trung điểm CC , ta có 1 MECDD C1 1 

Từ đó ta có : C ED 1 1 EC N 1 90 0 C N 1 ED 1 (1)

Từ (1) và (2) ta có : C N1 MED P1 C N1 MP hay góc giữa hai đường thẳng

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5, với cạnh AC dài 4 và chiều cao của hình chóp là SO = 2√2, tính từ điểm O là giao điểm của các đường chéo AC và BD Điểm M là trung điểm của đoạn SC, giúp xác định vị trí của M trong không gian hình chóp Đề bài yêu cầu tính góc giữa hai đường thẳng SA và BM, thể hiện mối liên hệ không gian giữa các tia trong hình chóp Việc xác định góc này giúp hiểu rõ hơn về các phương diện phát triển của hình chóp và các mối liên hệ hình học giữa các thành phần của hình.

Vì AC  BD,SO   ABCD  nên chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có OC  2,OB  BC 2  OC 2    5 2  2 2  1

Trong hệ trục này ta có : O 0;0;0 ,S 0;0;2 2 , A 0; 2;0 , B 1;0;0 ,C 0;2;0 ,          

Ta có : SA0; 2; 2 2 , BM     1;1; 2 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SA và BM

  SA.BM 2 4 3 0 cos cos SA, BM 30

Ta có OM // SA , do đó góc giữa hai đường thẳng SA và OM bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MB

Vì ABCD là hình thoi, nên BDAC Mặt khác BDSO ( vì SO   ABCD  )  BD   SAC   BD  OM

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SA và BM   BMO

Có OM  1 2 SA  1 2 SO 2  AO 2  1 2   2 2 2  2 2  3,

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BABC2a và

SA ABC Biết rằng SB tạo với đáy một góc bằng 60 Gọi 0  góc giữa hai đường thẳng AB và SC Tính cos

Ta có SBA60 0 SA2a.tan 60 0 2a 3

Dựng hình vuông ABCD và chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

AO, ADOx, ABOy, ASOz

Trong hệ trục tọa độ này ta có : A 0;0;0 ,S 0;0;2a 3 , B 0;2a;0 C 2a;2a;0        

Ta có cos cos AB,SC   AB.SC 2 4a 2 2 2 5 5

Ta có SBA là góc giữa SB và mặt phẳng ABC , nên  SBA60 0

Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình vuông ABCD

Vì CD // AB nên góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng góc giữa hai đường thẳng CD và SC

Ta có DC   SAD     SCD

Ta có SD  SD 2  AD 2   2a 3  2    2a 2  4a ;

Do đó DC 2a 5 cos  SC  2a 5  5

Trong ví dụ này, xét hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông cạnh 2a và các cạnh của các cạnh bên lần lượt là SA = a, SB = a√3, sao cho mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và BC, và α là góc giữa hai đường thẳng SM và DN Để tìm cos α, ta cần xác định các vectơ liên quan và sử dụng công thức cosin giữa hai vectơ Điều này sẽ giúp hiểu rõ hơn về góc tạo thành giữa các đường thẳng trong không gian hình chóp theo các tính chất hình học và quan hệ vectơ.

Ta có SAa,SBa 3, AB2a ABC là tam giác vuông tại S

Vì  SAB    ABCD  nên từ S kẻ SHAB thì SH   ABCD 

Kẻ Hx // AD Dựng hệ trục tọa độ (như hình vẽ)

Trong hệ trục tọa độ này ta có:

SM.DN a 5 cos SM, DN

Kẻ MH // DN AP 1AD a

Trong mặt phẳng ABCD kẻ HK PMSKPM

Do MH // DN , nên  SM, DN    SM, MP   SMK  

Ta có : cos cosSMK MK

MK HM.cos HMK HM.cos AMP

Trong ví dụ 5, xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, với cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy Để tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC, ta cần xác định các góc và của các hình học liên quan trong không gian Việc xác định các góc này giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa các đường thẳng trong không gian hình chóp, từ đó hỗ trợ trong việc tính toán các góc trong không gian hình học ba chiều Đây là bài tập điển hình trong môn hình học không gian giúp nâng cao kỹ năng phân tích và vận dụng kiến thức về hình chóp, các góc trong không gian và công thức cosin.

Chon hệ trục Oxyz ( như hình vẽ): OA, ADOx, ABOy, ASOz.

Không mất tính tổng quát, chon a1

    BC.SD 3 cos BC,SD cos BC,SD

Gọi M là trung điểm của AB Ta có AMADDCa

Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh a

Do đó DM song song với BC Suy ra  SD, BC    SD, DM   SDM

    3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD// BC , ,

BCCDa Biết SA   ABCD ,SA   3a Gọi  góc giữa hai đường thẳng SC và AD Tính cos

+) Ta có AD// BC nên góc giữa hai đường thẳng SC và AD là góc giữa hai đường thẳng SC và BC

Tam giác ACD có CI 1AD

 2 nên tam giác ACD vuông tại C

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có: C 0;0;0 , A a 3;0;0 , D 0;a;0 ,S 0;0;3a        

Ta có cos cos SC, AD   SC.AD 4 3

+) Ta có AD//BC nên góc giữa hai đường thẳng SC và AD là góc giữa hai đường thẳng SC và BC

Tam giác ACD có CI 1AD

 2 nên tam giác ACD vuông tại C Tam giác ACD vuông tại C nên : AC  AD 2  CD 2    2a 2  a 2  a 3

Tam giác SAC vuông tại A nên ta có:

SC SA AC  3a  a 3 2a 3 Tam giác SAB vuông tại A nên: SB  SA 2  AB 2    3a 2  a 2  a 10

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC :

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AD bằng 3

Ví dụ 7 trình bày về lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại A với các cạnh AB = a và AC = 3a, giúp phân tích các yếu tố hình học của hình lập phương này Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy được xác định rõ ràng, hỗ trợ hiểu sâu về cấu trúc hình học của lăng trụ Bài toán đưa ra các bước xác định các kích thước và vị trí của các điểm trong không gian, góp phần nâng cao khả năng tính toán và hình học không gian cho người học.

ABC là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng  AA 'và B'C'

Gọi H là trung điểm của BC  A'H   ABC  và AH 1 BC 1 a 2 3a 2 a

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz (như nhình vẽ ): OA, ABOx, ACOy, Oz//A 'H Không làm mất tính tổng quát chọn a1

  Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C'

Vì B'C' // BC cos cos AA ', BC  AA '.BC 1

Gọi H là trung điểm của BC A'H   ABC  và AH 1 BC 1 a 2 3a 2 a

Trong tam giác vuông A ' B ' H có HB' A 'B' 2 A 'H 2 2a nên tam giác B ' BH là cân tại B ' Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C' thì B'BH

Ví dụ 8 : Cho hình chóp S.ABCD cóASC90 , CSB 0 60 , BSA 120 ,SA 0  0 SB SC a

Gọi M, N lần lượt là điểm thỏa mãn MS   3MB, NC   3NS Goi  là góc giữa hai đường thẳng AN và CM Tính cos

Trong tam giác ABC, có các cạnh CA = a², CB = a, và AB = a³, chứng tỏ tam giác ABC là tam giác vuông tại C Đồng thời, diện tích các hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng đáy đều bằng nhau, nghĩa là SA, SB, SC đều có cùng độ dài, khiến hình chiếu vuông góc của điểm S trùng với trung điểm của cạnh AB.

Chọ hệ trục Oxy ( hình vẽ) Ox // BC , Oy// AC , OSOz

Tọa độ các đỉnh của hình chóp là: a a a 2 a a 2 a a 2

Vì MS 3MB, NC 3NS nên tọa độ các điểm M, N là :

Do đó cos cos AN, CM   AN.CM 7 221 1768

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

A, ABC60 , BC0 2a Gọi D là điểm thỏa mãn 3SB2SD Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là điểm  H thuộc đoạn BC sao cho BC4BH Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC biết SA tạo với mặt đáy một góc 60 0

AH BH BA 2BH.BA.cos 60 a 2 a .

AC BC.sin 60 2a 2a a 3, HC BC

     nên tam giác AHC vuông tại H, tức là AHHC

Chọn a1 và chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho OH ,

HAOx, HCOy, HSOZ

  chọn u   3;2; 3  là một véctơ chỉ phương của AD

  chọn v   1;0; 1   là một véctơ chỉ phương của SC

Ta có u.v 0 ADSC Vậy góc giữa hai đườngthẳng AD và SC bằng 90 o

2.2.1.1: Một số bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ABa 2, AC2a

Mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Cạnh bên SA hợp với mặt đáy một góc  thỏa mãn 21 cos  6 Góc giữa hai đường thẳng AC và SBbằng:

Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABa, ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳngABC là trung điểm của cạnh  BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Bài 3: Cho tứ diện đều ABCDcạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC, với I là trung điểm của AB

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau và

SA SB SC  a.Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC , với M là trung điểm AB

A 30 0 B 60 0 C 90 0 D 120 0 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD , với

AB3a, AD2a, DCa Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng

ABCD là H thuộc AB với AH 2HB, biết SH2a, cosin của góc giữa SB và

Thực nghiệm sư phạm

Nhằm kiểm tra kiến thức, làm sáng tỏ khả năng ứng dụng tọa độ vào giải bài toán hình học không gian

3.2 Đối tượng, địa bàn và cách thực nghiệm:

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trên bốn lớp 12 tại trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định, gồm lớp 12A3, 12A4, 12A5, và 12A7, với điều kiện học tập và kỹ năng toán học tương đương Lớp 12A3 và 12A4 được chọn làm lớp thực nghiệm, trong khi lớp 12A5 và 12A7 là lớp đối chứng, học giải hình học không gian bằng phương pháp truyền thống và giới thiệu qua phương pháp tọa độ không gian Đặc biệt, lớp thực nghiệm học bằng phương pháp use tọa độ để giải toán một cách cụ thể, chi tiết hơn Các giảng viên Nguyễn Thị Khánh Ly và Hoàng Hữu Đạt trực tiếp giảng dạy theo lịch trình từ đầu học kỳ II đến hết năm học Cuối đợt thực nghiệm, chúng tôi tổ chức kiểm tra và dựa trên kết quả so sánh chất lượng bài làm của học sinh để rút ra các kết luận chính xác, góp phần hoàn thiện đề tài.

3.3 Nội dung và thực nghiệm:

Như đã nói ở trên, thời gian thực nghiệm là từ đầu học kì II cho đến cuối năm học

Trong giai đoạn 2021-2022, chúng tôi đã thực hiện đánh giá kết quả thực nghiệm đề tài qua phần 2.2.1.1: Góc giữa hai đường thẳng, cùng với kiểm tra các bài cũ trong phần 2.2.1.3 liên quan đến các vấn đề như khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong thể tích tứ diện, khối hộp, và khối chóp Ngoài ra, sau 45 phút học phần 2.2 về giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không gian, chúng tôi đã tổ chức bài kiểm tra nhằm đảm bảo lĩnh vực kiến thức cũng như kỹ năng của học sinh Phương pháp thực nghiệm tập trung vào việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian, góp phần nâng cao hiệu quả trong nghiên cứu kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ, đồng thời kiểm tra năng lực của học sinh trong hoạt động học tập.

3.3.1 Thực nghiệm trong nghiên cứu kiến thức mới:

Thứ nhất về phần lý thuyết: học sinh cần phải hiểu và nắm được một số công thức

 Góc giữa hai véc tơ :   2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2

 Góc giữa hai đường thẳng

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  1 và  2 Ta có: 1 2

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

   có vectơ chỉ pháp tuyến n Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  và   

 Góc giữa hai mặt phẳng :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  1 :A x B y C z 1  1  1 D 10 và

 2 :A x B y C z 2  2  2 D 2 0 Góc giữa  1 và  2 được tính bởi công thức:

 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M x y z  0; 0; 0  và mặt phẳng

   : Ax By Cz     D 0 Khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng    được tính bởi công thức:  ,      0  2 0  2 0 2 

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u 1

2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u 2

C Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b, và c đồng phẳng a b c,  0

 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

 Diện tích tam giác ABC: 1 ,

 Thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' : V ABCD A B C D ' ' ' '  AB AD AA,  '

Sau đó giáo viên từng bước hướng dẫn các em phương pháp giải dạng này:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Đọc tọa độ các đỉnh, và các điểm có liên quan ( có thể không cần đọc hết tọa độ các đỉnh)

Bước 3: Tùy vào yêu cầu của từng bài mà ta đi tìm các yếu tố có liên quan

Bước 4: Sử dụng công thức có liên quan để tính toán

Sau khi học sinh đã nắm vững phương pháp giải, giáo viên tiếp tục củng cố kiến thức cho các em bằng các bài tập áp dụng, đồng thời tăng dần mức độ khó để nâng cao khả năng thực hành và tư duy logic của học sinh.

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi 1 1 1 1 M, N, P lần lượt là trung điểm của

BB ,CD, A D Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C N 1

Trong ví dụ này, có nhiều cách để chọn hệ trục tọa độ, nhưng lựa chọn sao cho các tọa độ đỉnh có nhiều số 0 nhất sẽ giúp đơn giản hoá tính toán Ta nhận thấy các đoạn thẳng AB, AD, AA vuông góc với nhau, do đó, ta chọn hệ trục Oxyz để thuận tiện trong việc xác định tọa độ các điểm.

Trong hệ trục này ta có: A 0;0;0   , B a;0;0   , C a;a;0   , D 0;a;0   , A 0;0;a1   ,B a;0;a1   ,

Góc giữa hai đường thẳng MP và CN bằng 90°, cho thấy chúng vuông góc với nhau Trong ví dụ 2, hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh dài 5, cạnh AC bằng 4, và chiều cao của hình chóp là SO = 2√2, với O là giao điểm của AC và BD M là trung điểm của đoạn SC, và ta cần tính góc giữa hai đường thẳng SA và BM.

Vì đáy ABCD là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau, tạo điều kiện thuận lợi để xác định các trục tọa độ trong không gian Đặc biệt, đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy làm cho ba đường thẳng cùng đi qua điểm O và vuông góc với nhau tạo thành hệ trục tọa độ Oxyz Hệ trục này giúp dễ dàng phân tích và xác định vị trí của các điểm, đường thẳng trong không gian hình học.

A  O, AB  Ox, AD Oy, AA  1  Oz.

Ta cóOC  2,OB  BC 2  OC 2    5 2  2 2  1

Trong hệ trục này ta có : O 0;0;0 ,S 0;0;2 2 , A 0; 2;0 , B 1;0;0 ,C 0;2;0 ,          

Ta có :SA0; 2; 2 2 , BM     1;1; 2 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SA và BM

Có : cos cos SA, BM   SA.BM 2 4 2 3 30 0

Các học sinh đã nắm vững phương pháp và cách thức giải bài tập, đồng thời phát triển kỹ năng phân tích để xác định hệ trục tọa độ phù hợp Trong quá trình hướng dẫn, giáo viên đã trình bày ví dụ 3 và ví dụ 4 để giúp học sinh vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và hiệu quả Những ví dụ này đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến hệ trục tọa độ trong môn học.

Yêu cầu học sinh tự giải bài tập để kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức phương pháp tọa độ Nếu các em có lời giải tốt dựa trên phương pháp này, chứng tỏ các em đã hiểu sâu về kiến thức và biết vận dụng vào bài tập thực tế Trong các ví dụ khác, giáo viên sử dụng câu hỏi gợi mở để khuyến khích học sinh tự suy nghĩ và khám phá cách phân tích đề bài, từ đó học sinh dần dần nhận ra cách đưa hệ trục tọa độ vào giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

3.3.2 Thực nghiệm trong củng cố, hoàn thiện kiến thức: Đến phần 2.2.3 Góc giữa hai mặt phẳng : trong khâu kiểm tra bài cũ, để tìm hiểu trình độ nhận thức của học sinh giáo viên đưa ra bài tập :

Trong bài toán, hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi đều với các cạnh bằng nhau, cung cấp cơ sở để xác định các yếu tố hình học liên quan Chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy là một giá trị cố định, giúp xác định mối liên hệ giữa các điểm và các đường thẳng trong không gian Điểm O là giao điểm của các đường chéo AC và BD trong hình thoi, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí và các góc trong hình học không gian M là trung điểm của đoạn SC, góp phần xác định các dạng chia đều đoạn và tính toán góc giữa các đường thẳng Cuối cùng, đề bài yêu cầu tính góc giữa hai đường thẳng SA và BM, đây là yếu tố then chốt để hiểu rõ hơn về mối liên hệ góc trong hình chóp, từ đó áp dụng các công thức lượng giác phù hợp để giải quyết bài toán.

Yêu cầu học sinh tự giải

3.3.3.Thực nghiệm trong kiểm tra, đánh giá

Trong tiết kiểm tra 45 phút, giáo viên soạn bộ đề dựa trên ba yêu cầu chủ yếu: nhận dạng, vận dụng bậc thấp và vận dụng cao để đánh giá toàn diện năng lực của học sinh Ngoài ra, giáo viên còn đưa ra một bài kiểm tra không nằm trong chuyên đề để kiểm tra khả năng vận dụng sáng tạo của học sinh Đề kiểm tra 45 phút được xây dựng theo ma trận đề rõ ràng, đảm bảo tính khách quan và phù hợp với mục tiêu đề ra.

Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng

Trắc nghiệm Tự luận Trắc nghiệm Tự luận Trắc nghiệm Tự luận Trắc nghiệm

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

II Đề kiểm tra: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và AB BC Gó c giữa hai mă ̣t phẳng

 SBC va  ̀ ABC bằng go ́ c nào sau đây ?

Trong hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, với cạnh góc vuông tại A và S vuông góc với đáy Gọi H là điểm giao của đường cao của tam giác SAB từ đỉnh S xuống cạnh AB Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC được xác định dựa trên vị trí của điểm A trong không gian hình học và mối liên hệ giữa các yếu tố hình học của hình chóp này.

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại Bcó AB a 3 ,

BCa.Biết AA 'a 5 Cosin góc tạo bởi đường thẳng A ' B và mặt đáy  ABC  là:

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,

SA vuông góc với đáy và SAa 3 Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng :

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a Biết

SO ABCD , ACa,SO3a Cosin của góc giứa hai mặt phẳng  SAB và 

Lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 2a, với đáy là tam giác vuông tại điểm A, trong đó độ dài các cạnh là AB = a và AC = 3a Đỉnh A' của lăng trụ có hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng đáy, giúp xác định rõ các tính chất hình học của khối xây dựng Các yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và chứng minh các quan hệ hình học trong không gian.

ABC là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng 

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ADDCa,

Trong bài toán, ta gọi I là trung điểm của đoạn AD và biết rằng hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy, đồng thời mặt phẳng (SBC) tạo thành một góc 60° với đáy Điều này cho phép xác định mối liên hệ giữa các điểm, mặt phẳng và góc hợp bởi chúng Để tính khoảng cách từ trung điểm D của đoạn SD đến mặt phẳng (SBC), cần dựa trên các kiến thức về hình học không gian, tính góc và khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, tất cả đều phụ thuộc vào chiều dài a và các tỷ lệ liên quan trong không gian.

Câu 8: Cho hình thoi ABCD cạnh a góc BAD60 0 Gọi G là trọng tâm tam giác ABD,

SG 3 Gọi M là trung điểm CD Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AB và SM theo a

Câu 9:Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AA '2 , đáy ABCD là hình thoi với

ABC là tam giác đều cạnh 4 Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của B'C',C'D',

DD ' và Q thuộc cạnh BC sao cho QC3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ?

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB1, AD3,

SA ABCD và SA3 Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh và sao cho BM 1BC,SN 2SD

  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

+ Trong tiết kiểm tra 45 phút chúng tôi đã chấm điểm và sử lý theo hai hướng:

- Tổng hợp điểm toàn bài làm của học sinh từng lớp, xếp thành các loại: Giỏi(8-10), khá(7-8), trung bình(5-6), Yếu,kém(dưới 5)

- Tính tỷ lệ phần trăm học sinh đạt điểm tối đa trong từng câu ở mỗi lớp để rút ra kết luận

- Kết quả cụ thể như sau:

Kết quả tổng hợp điểm của học sinh các lớp Phân loại Lớp đối chứng-Lớp12a5 Lớp thực nghiệm-lớp12a3

Số bài đạt Tỉ lệ % Số bài đạt Tỉ lệ %

Phân loại Lớp đối chứng-Lớp12a7 Lớp thực nghiệm-lớp12a4

Kết quả tổng hợp điểm tối đa cho các câu hỏi Phân loại Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm

Kết quả từ lớp thực nghiệm cho thấy sự cải thiện rõ ràng so với lớp đối chứng, đặc biệt là trong khả năng đạt điểm tối đa và phát triển năng lực của học sinh Các em đã nắm vững kiến thức cơ bản và kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian hiệu quả Kết quả này chứng minh rằng phương pháp sử dụng tọa độ mang lại hiệu quả vượt trội trong việc giảng dạy hình học không gian, giúp nâng cao thành tích học tập và phát triển tư duy không gian của học sinh.

Hiệu quả do sáng kiến đem lại

Tiêu đề	Cấu trúc của sáng kiến
Người hướng dẫn	PTS. Nguyễn Văn A
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông XYZ
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	131
Dung lượng	4,32 MB