Skkn toán học thpt (11)

Những bài toán đó đề cao kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày, khả năng lập luận trên những số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, trong tình trạng “mắt thấy, tai nghe” nhưng khi làm những bài

Dạng 3: Cực trị của hàm số khác có chứa dấu giá trị tuyệt đối……… 40-44

Dạng 4: Cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến tham số 45-57

CHỦ ĐỀ 2 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 58-66

Dạng 1 Sự tương giao của đồ thị hàm số………… (không có chứa tham số) 58-64

Dạng 2 Sự tương giao của đồ thị hàm số ……….(có chứa tham số) 64-66

CHỦ ĐỀ 3 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA 67-79 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (không có tham số) 67-76

Dạng 2: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ( có chứa tham số) 77-79

CHỦ ĐỀ 4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 80-91

CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP Dạng 1 GTLN, GTNN của hàm số ẩn, hàm số hợp (không có chứa tham số).….80-83

Dạng 2 GTLN, GTNN của hàm số ẩn, hàm số hợp (có chứa tham số)………….84-91

CHỦ ĐỀ 5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 92-98

CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: Tiệm cận của hàm số ẩn, hàm số hợp (không có chứa tham số)……….92-96

Dạng 2: Tiệm cận của hàm số ẩn, hàm số hợp (có chứa tham số)………96-98

CHỦ ĐỀ 6 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ 99-113

TUYỆT ĐỐI CÓ YẾU TỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối…… (không có chứa tham số) 93-109

Dạng 2: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối ……… (có chứa tham số) 109-113

CHỦ ĐỀ 7 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ 114-139

TUYỆT ĐỐIVÀ BIỂU THỨC MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối………… (không có tham số) 114-131

Dạng 2: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối ………… (có chứa tham số) 132-139

CHỦ ĐỀ 8: KHAI THÁC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN 140-151

CHỨA GIẢ THIẾT VỀ HÀM SỐ CÓ DẠNG y = f '   u x ( )  

CHỦ ĐỀ 9: KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG 152-163

CHỦ ĐỀ 10: KHAI THÁC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN VỀ 163-204

HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Dạng 1 Khai thác, phát triển các bài toán về cực trị hàm số……… 163-190

Dạng 2 Khai thác, phát triển các bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số 190-197

Dạng 3 Khai thác, phát triển các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất…… 197-201

Dạng 4 Khai thác, phát triển các bài toán về sự đồng biến, nghịch biến…… 201-204

III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 205

IV LỜI CAM ĐOAN 206

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong năm học 2021-2022, đối với kì thi THPT Quốc gia, Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục giữ nguyên hình thức thi môn Toán ở dạng Trắc nghiệm Như vậy đến nay đã là năm thứ 6, bộ môn Toán chuyển đổi từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc nghiệm Bắt đầu từ khi thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm cả giáo viên và học sinh đã phải có những thay đổi trong cách dạy và cách học cho phù hợp Các dạng toán trắc nghiệm vô cùng phong phú và đa dạng đòi hỏi người học phải có nền tảng kiến thức vững chắc và có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng Những bài toán được khai thác với những ý tưởng mới mẻ cùng với những lời giải đẹp được xuất hiện ngày càng nhiều trong bài thi trắc nghiệm mà trước kia chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận Đặc biệt là những

bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” mang đậm chất định tính, thiên về lý

thuyết, đòi hỏi sự suy luận logic, không thiên nhiều về định lượng, về kỹ năng tính toán, biến đổi phức tạp Những bài toán đó rất phù hợp với hình thức thi môn Toán dạng trắc nghiệm, được khai thác và phát triển liên tục trong 5 năm gần đây và được những người giải toán, những người yêu toán đón nhận và quan tâm hàng đầu

“Hàm số hợp” là những hàm số có dạng y = f u x ( ( ) ) , trong đó u x là một biểu ( )

thức nào đó của x , đối với những hàm số dạng này thì học sinh đã được làm quen trong

chương trình Toán phổ thông, nhưng “Hàm số ẩn” vẫn còn mới mẻ với đại đa số học sinh “Hàm số ẩn” được đề cập trong chuyên đề này là những hàm số y = f x ( ) nhưng chưa có định dạng bằng công thức cụ thể, tức là những hàm số có thể cho bởi nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hoặc hình dáng đồ thị của hàm số y = f x ( )

hoặc biểu thức tính đạo hàm f ' ( ) x , bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( ) x , bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ' ( ) x , hoặc cho hàm số y = f x ( ) thỏa mãn đẳng thức nào

đó ở dạng “phương trình hàm” Như vậy những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm

số hợp” vẫn còn hết sức mới, học sinh còn bỡ ngỡ và tỏ rõ sự lúng túng trước những bài

toán lạ Bởi lẽ để giải quyết được những bài toán trong chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, phải được rèn luyện dưới hình thức Tự luận để hình dung một cách hệ thống các vấn đề, các dạng toán Ngoài ra học sinh cần một sự suy

kết quả chính xác trong thời gian ngắn nhất

Thực trạng trường THPT Lê Quý Đôn học sinh chưa được tiếp cận nhiều với những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp” Những em học sinh có học lực khá, giỏi của trường đã có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học này Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm

số hợp” bởi nội dung của Chuyên đề này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường, các Sở Giáo dục và Đào tạo trong cả nước và đặc biệt trong đề thi Minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo và ở mức độ khó Các em học sinh phải chiếm lĩnh được nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn và hàm số hợp” thì mới có cơ hội đạt điểm cao môn Toán và cơ hội trúng tuyển những trường Đại học tốp đầu mà các em đang mơ ước Với mong muốn ngày càng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và

có niềm đam mê chinh phục những nội dung Toán học đỉnh cao này và giúp học sinh có tầm nhìn một cách hệ thống và sâu sắc nhất, làm chủ trong các tình huống, trong năm học

2021-2022 tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề: Khai thác, phát triển các dạng toán về hàm

số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối trong các kì thi HSG và TNTHPT Chuyên

đề đề cập đến những dạng toán mang tính thời sự và được đông đảo giáo viên, học sinh trên toàn quốc quan tâm, tìm tòi và khai thác

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trước khi học sinh được tiếp cận và giải quyết những bài toán liên quan đến “hàm

số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối”, học sinh đã được tiếp cận và giải quyết những bài toán, những chuyên đề liên quan đến hàm số được định dạng trước bằng công thức (hàm số được cho trước một cách tường minh) một cách hệ thống, bài bản dưới hình thức

Tự luận Sự thuận lợi rất lớn đối với những bài toán liên quan đến hàm số cho trước công thức là trong quá trình giải toán, học sinh được làm việc trực tiếp với hàm số, với những biến đổi cụ thể Những bài toán đó đề cao kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày, khả năng lập luận trên những số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, trong tình trạng “mắt thấy, tai nghe” nhưng khi làm những bài toán liên quan đến “hàm số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt

đối” học sinh chủ yếu sử dụng sự suy luận logic, sự tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt

hóa các bài toán, góp phần hình thành, phát triển năng lực tư duy, lập luận của học sinh

Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là một Chuyên đề bao gồm 10 Chủ đề Trong mỗi Chủ đề bao gồm các ví dụ minh họa, đặc trưng cho các đơn vị kiến thức trọng tâm khác nhau Các ví dụ này được sắp xếp với mức độ khó tăng dần và tập trung chủ yếu vào hai cấp độ: Vận dụng thấp và vận dụng cao Để giải quyết được các bài toán trong chuyên

đề học sinh cần huy động tổng lực các phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp suy luận logic, phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa bài toán Trong mỗi chủ đề các ví dụ được sắp xếp theo một thứ tự logic, có tính kết nối giữa các ví dụ với nhau tạo thành một thể thống nhất Các chủ đề trong chuyên đề cũng có mối liên hệ mật thiết với nhau Ngoài ra chuyên đề còn đưa ra những bài toán có tính thời sự, tính chuyên sâu và không ngừng được khai thác, chẳng hạn như:

Ví dụ 1.1.3 (Sở Nam Định-thi thử lần 1-năm 2020-2021) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau

A B C D

Ví dụ 1.1.21 Cho hai hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình

vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số là

x

-4 -3 -2 -1

4 3 2 1

4 3 2 1

O

-1 -2 -3

Ví dụ 10.1.22 (Đề gốc Đề thi Tốt Nghiệp-BGD-chính thức-lần 1-năm 2021)

Cho hàm số có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị?

Ví dụ 8.7 Cho hàm số có đạo hàm

liên tục trên Biết rằng hàm số

có đồ thị trên của đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm

Số nghiệm thực của phương trình là

A B C D

A 2 B 3 C 1 D 0

Ví dụ 6.1.6 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm của phương trình trên khoảng là

và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số để phương trình

có nghiệm

A B

C Vô số D

Ví dụ 9.15 (Trích dẫn: Đề thi thử Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2021)

Cho hàm số Tổng bình phương tất cả các giá trị nguyên của tham

Ví dụ 7.2.3 Cho hàm số y = f x ( ) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  − 2021;2021  để hàm số:

Ví dụ 7.1.14 Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( 3 x f x ( ) ) = 2 là

hình vẽ dưới đây: Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A B C D.

Ví dụ 7.1.16 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Xét hàm số , số điểm cực trị của hàm số

trên khoảng là:

A B C D.

Sau khi học xong chuyên đề này học sinh sẽ phát triển được các năng lực cốt lõi của

bản thân, chẳng hạn như: năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận

Dạng 1: Cực trị của hàm số có dạng Bài toán 1: Cho hàm số y = f x ( ) (Giả thiết có thể cho công thức, đồ thị, bảng biến thiên của f x ( ) ( ) , ' f x ) Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f u ( ) trong đó u là một hàm số

đối với x Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của y = f x ( )

Bước 1 Tính đạo hàm y x ' ( ) = u x f ' ( ) ( ) ' u Giải phương trình ( ) ( )

Bước 2.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y x không xác định ' ( )

Bài toán 2: Tìm số cực trị của hàm số y = f x ( ) Ta thực hiện theo 2 cách sau:

Cách 1: Biến đổi y = f x ( ) = f 2 ( ) x Khi đó đạo hàm ( ) ( )

Giải phương trình f x = ( ) 0 1 ( ) để tìm các điểm mà tại đó f x ( ) không có đạo hàm

Với điều kiện đó phương trình y x  ( ) =  0 f ' ( ) x = 0 2 ( )

Số nghiệm của ( ) 1 chính là số giao điểm của đồ thị y = f x ( ) và trục hoành y = 0

Số nghiệm của ( ) 2 là số cực trị của hàm số y = f x ( )

Tổng số nghiệm bội lẻ (không trùng nhau) của ( ) 1 và ( ) 2 chính là số cực trị cần tìm

Cách 2: Gọi lần lượt là số cực trị của các hàm số và p là số

giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành (các giao điểm này không trùng với

các điểm cực trị của đồ thị ) thì ta có đẳng thức

Ví dụ 1.1.1 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là ; ; ; ; với

Xét hàm số Khi đó

Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; ; 6 là tất cả các nghiệm của phương trình =0

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra là nghiệm kép của phương trình và là nghiệm kép của phương trình Do đó

và là nghiệm kép của Do vậy và là nghiệm bội ba của Các nghiệm khác và của đều là nghiệm đơn Vậy hàm số có 11 cực trị Tiếp tục ta xét phương trình

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra phương trình (1) vô nghiệm và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt (không trùng với 11 cực trị của hàm

số ở trên) Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

điểm cực trị đồng thời đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (có

1 giao điểm trùng với 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Kết luận: Vậy hàm số có đúng 5 điểm cực trị.Chọn D

Ví dụ 1.1.3 (Sở Nam Định-thi thử lần 1-năm 2020-2021) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau

x x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị Chọn D

Ví dụ 1.1.4 Cho hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị

như hình vẽ dưới đây Gọi lần lượt là số điểm cực

đại, số điểm cực tiểu của hàm số

Đặt , hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

x x

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Mặt khác phương trình Dựa vào đồ thị ta thấy:

có 3 nghiệm phân biệt không trùng với các điểm cực trị của hàm số ;

có nghiệm không trùng với các điểm cực trị của hàm số ;

có 1 nghiệm không trùng với các điểm cực trị của hàm số Vậy ta có tổng số điểm cực trị của hàm số là điểm, trong đó có

điểm cực đại và điểm cực tiểu Hay , suy ra

Ví dụ 1.1.5 Cho hàm số có đồ thị của hàm đạo

hàm như hình vẽ bên Hỏi hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Hướng dẫn

Từ đồ thị của hàm đạo hàm suy ra bảng biến thiên của hàm số :

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực tiểu.Chọn A

Phân tích sai lầm: Học sinh có thể không để ý giả thiết hoặc hiểu chưa

rõ khái niệm điểm cực tiểu của hàm số dẫn đến chọn đáp án B là điểm cực tiểu

Ví dụ 1.1.6 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

C D. Hướng dẫn

3 4

x x

f x

x x

3; 4 4;

;1 1; 2 2

Ví dụ 1.1.7 Cho hàm số , với Biết và

Số điểm cực trị của hàm số

A B C D

Hướng dẫn

Để tìm số cực trị của hàm số ta đi tìm số cực trị hàm số và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Ta có là hàm số bậc 2 Ta có

Khi đó hàm số đồng biến trên

Vậy suy ra có 2 nghiệm phân biệt là Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra hàm số có 2 cực trị Hàm

số đồng biến trên các khoảng , và nghịch biến trên khoảng

Do và nên và không cùng thuộc một khoảng đồng biến Do đó và

trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nên đồ thị hàm số cắt tại 3 điểm phân biệt Vậy hàm số có 5 điểm cực trị Chọn A

Ví dụ 1.1.8 Cho hàm số là hàm bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Qua bảng biến thiên trên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có 3 điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành

Vậy số cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số

cộng với số giao điểm của đồ thị với trục hoành nên số điểm cực trị của hàm số là 5 Chọn A

Ví dụ 1.1.9 Cho là hàm số bậc 4 thỏa mãn Hàm số có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số Ta có:

Từ đồ thị ta thấy phương trình (2) có 1 nghiệm là Khi đó:

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt Ta có bảng biến thiên của hàm số

Do nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị; đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị Chọn C

Bảng biến thiên của hàm số

Kết luận: Vậy hàm số có ba điểm cực tiểu.Chọn B

Ví dụ 1.1.11 (Đề thi thử THPT Quốc Gia ChuyênVinh năm học 2018-2019)

Cho hàm số có đồ thị hàm số

được cho như hình vẽ bên Hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu cực trị trong khoảng

A.6 B.2

C.5 D.3

Hướng dẫn

Nghiệm phương trình trên là hoành độ giao điểm của hai đồ thị và

Vẽ thêm đường thẳng trên cùng hệ tọa độ với đồ thị , ta thấy chúng cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là đặc biệt đường thẳng

tiếp xúc với đồ thị tai gốc tọa độ O

Khi đó phương trình: có ba nghiệm

Trên khoảng , hàm số có một điểm cực trị là , (do qua nghiệm

, không đổi dấu) Do đó đồ thị cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm thuộc

Suy ra có tối đa điểm cực trị trong Chọn D

( )

( ) 1 2 ( )

0 2

y = f x + x − f

( − 2;3 )

( ) ( ) 1 2 ( )

0 2

Ví dụ 1.1.12 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết và đồ thị của hàm số như hình vẽ bên dưới Số điểm cực đại của hàm số

phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị

Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Dựa vào đồ thị ta có phương trình có 3 nghiệm là

Mà là phương trình bậc 4 nên có tối đa 4 nghiệm

Kết luận: Phương trình Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 4 cực trị

với các nghiệm Vậy hàm số có tối đa 9 điểm cực trị Chọn C

Ví dụ 1.1.14 Cho hàm số biết

hàm số là hàm đa thức

bậc 4 có đồ thị như hình vẽ Đặt

, biết rằng và Tìm số

Xét

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có điểm cực trị Chọn C

Hay

Khi đó phương trình

Vậy phương trình g x = ( ) 0 có tập nghiệm là

Kết luận: Vậy hàm số có đúng 5 điểm cực trị Chọn B

Ví dụ 1.1.16 Cho hàm số là hàm đa thức bậc năm thỏa mãn

Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Xét đồ thị hàm số và

Từ đồ thị hàm số ta được phương trình Khi đó ta có

Ta có bảng biến thiên sau đây:

Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau

Suy ra phương trình có một nghiệm

phương trình có nghiệm

Bảng biến thiên của hàm số h(x) và g(x) như sau:

Kết luận: Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn C

2

0 0

x x

Ví dụ 1.1.18 Cho hàm số có đồ thị

như hình vẽ bên Biết Hỏi hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị

Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau

Suy ra phương trình có 1 nghiệm

pt (1) có nghiệm Bảng biến thiên của các hàm số

2 ( ) , (2)

Ví dụ 1.1.19 Cho là hàm số bậc 4 thỏa mãn Hàm số bảng biến thiên như sau:

nghịch biến nên có không quá nghiệm

nghiệm Khi đó đổi dấu khi đi qua nghiệm này Có

nên Xét bảng biến thiên của

nghiệm thực phân biệt, khác Từ đó sẽ có điểm cực trị Chọn A

2021 2025

3

b

a b

Ví dụ 1.1.20 Cho hàm số đa thức

đồ thị như hình vẽ bên và đường

đậm hơn là đồ thị hàm số

Biết rằng hai đồ thị đó tiếp xúc với

nhau tại điểm có hoành độ là và

cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành

Suy ra phương trình Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực trị trùng với giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 5 Chọn D

Ví dụ 1.1.21 Cho hai hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Số điểm cực trị của hàm số là

Hướng dẫn

Ta có

Quan sát các điểm cực trị của đồ thị hàm số ta có phương trình

Quan sát các điểm cực trị của đồ thị hàm số ta có phương trình

Quan sát đồ thị hàm số ta có mỗi phương trình đều có 3 nghiệm phân biệt, suy ra phương trình có 12 nghiệm phân biệt

x

-4 -3 -2 -1

4 3 2 1

4

3 2

1

O

-1 -2 -3

Vậy phương trình có 14 nghiệm phân biệt Khi đó có 14 điểm cực trị

Phương trình có đúng nghiệm; Phương trình có đúng nghiệm; Phương trình

có đúng nghiệm; Phương trình có đúng nghiệm; Phương trình có đúng nghiệm Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình

hay có đúng nghiệm phân biệt

Vậy hàm số có 14 điểm cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại 11 điểm

phân biệt (các giao điểm này không trùng với các điểm cực trị của hàm số )

Kết luận: Vậy hàm số có 14+11=25 điểm cực trị Chọn A

Dạng 2: Cực trị của hàm số có dạng Nhận xét: Hàm số y = f x ( ) là hàm số chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng Khi đó

số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số

( )

y = f x cộng thêm 1 Vì thế để tìm số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) thì trước hết

ta đi tìm số điểm cực trị dương của hàm số y = f x ( ).

Ví dụ 1.2.1 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

1

2 3 4

7

1 8 9 10 11

Khi đó phương trình

Mà

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có đúng 1 cực trị dương thuộc đoạn

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 Chọn D

Ví dụ 1.2.2 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số là một hàm đa thức có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A B C D

Hướng dẫn Nhận xét: Ta có Số điểm cực trị của hàm số ( 2 )

y = f x − x

bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số ( 2 )

y = f x − x cộng thêm 1

Bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị dương

Ví dụ 1.2.3 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số liên tục trên

có đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ bên

Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định của hàm số là Ta có Khi đó

Ta thấy phương trình có 8 nghiệm đơn và không tồn tại tại

mà thuộc tập xác định của hàm số đồng thời qua đó đổi dấu

1 1 1

2 1

x x

Đặt Suy ra (*)

Vẽ Parabol trên cùng hệ trục tọa độ

với đồ thị của Từ đồ thị của ta suy ra

Vậy (*) có 4 nghiệm đơn là Suy ra bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 cực trị.Chọn D

Suy ra phương trình

Ta có:

Khi đó bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Vậy hàm số có 7 điểm cực trị, trong đó có 4 điểm cực trị dương là

Số điểm cực trị của hàm số là 9 Chọn B

( )

2 2 2 2

1 1

Ví dụ 1.2.6 Cho là hàm bậc ba có Hàm số có bảng

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn

Từ bảng biến thiên của hàm số ta có phương trình

Mà

Ta có:

Đặt suy ra phương trình

Do đó có nghiệm đơn.Vậy hàm số có cực trị, trong đó có đúng

4 điểm cực trị dương Vậy hàm số có 9 điểm cực trị Chọn B

x

x t

x x

Hướng dẫn

đồ thị hàm số và đồ thị hàm số như

là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số nói trên

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có đúng

2 điểm cực trị dương Khi đó hàm số có đúng 5 điểm cực trị Chọn C

Ví dụ 1.2.8 Cho hàm số có đạo

hàm liên tục trên Biết hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực

Nếu thì Ta có: Suy ra (*) vô nghiệm

Nếu thì đặt Khi đó phương trình

Xét đồ thị của các hàm số trên cùng một hệ tọa độ ta thấy phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt Suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm

2 1

y = x

( )

'

f x

dương phân biệt Vậy phương trình =0 có 3 nghiệm và đổi dấu qua 3 nghiệm đó nên đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị (trong đó có 1 điểm thuộc , 2 điểm bên phải ).

Mặt khác là hàm chẵn nên từ

đồ thị suy ra đồ thị

bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị

ở bên phải , xóa phần đồ thị

ở bên trái Lấy đối xứng phần

đồ thị ở bên phải qua

Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (1 điểm thuộc , 2 điểm bên phải ) nên đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị Chọn D

Ví dụ 1.2.9 Cho hàm số và có là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên Số điểm cực đại của hàm số là

1 ' ,

1 3

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai

là hàm chẵn Bảng biến thiên của các hàm số và

1 3