ØX là hai trong bốn hàm: logarit log.. đa thức đa hoặc kế cả phân thức, lượng giác lượng và mũ mñ.. Vì vậy về mặt lí thuyết ta có thể tạo ra được Cỷ =6 bài toán của Dạng 3.. Song trên
Trang 1
CACH GIAI CHUNG
¬ - Đặt =ksin?£ | du=—kcosxt
| 1T = Ie —u* =kcosf
fe|——.—
Na
(2*) >»>vaxˆ +bx+c = xu” — k° ——>i“” "ae; : | h(t)dt: trong
te] -=;= Vu tk’ =
CHU Ý:
*) Với tích phân có dạng (oe ) ak thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên Cu thé ta biến đổi:
ery “(x4Vx° +k k)\x°+k S (x+Vx? +k) BENS "a
Hoac mét cach trinh bay khac: Dat t=(x+Vx? +k) (phương pháp đổi biến)
8
*#) Với tích phân | fer ie alae mà A/ax?+bx+e= xjw—u2 thì đặt „=sin? (hoặc =cos2/)
mtx
*) Với tích phân / = AE z “Nas thì đặt x = mm cos 2
Ím x
Vi du Tinh cac tich phan sau: 1) /, NI 4-xdx 2)/, =| —w
x
ae
9) I, = = 10) 7„ = ij
== ° 0 1 7+ c0s2x
® — _ \|
2
dx
dx xV¥14+3ln? x
oO — ant II
Trang 2
DẠNG 3: (3*) Với ƒ(X) Ø(X) là hai trong bốn hàm:
logarit (log) đa thức (đa) (hoặc kế cả phân thức), lượng giác (lượng) và mũ (mñ)
CÁCH GIẢI CHUNG
1ˆ w |1(Nhâ0- log
Thứ \ la z du = f '"(x)dx
Đặt # tư |2 2 (Nhì) — da &w=g(x)œ& |v=[s(x)&
$'———> ha | - - > I,
tien | ý (am)~ lượng ly = | uẩt = tv|Ê — [ vảu
4 dv| 4(Tw)-mi
CHU Y:
+) Như vậy khi kết hợp hai trong bốn hàm trên cho ta một bài toán Vì vậy về mặt lí thuyết ta có thể tạo ra
được Cỷ =6 bài toán của Dạng 3 Song trên thực té, trong pham vi ki thi Dai Hoc — Cao Đăng thì thường
xuất hiện 4 dạng là : (loga, đa thức); (đa thức, lượng giác); (đa thức, mã) và (lượng giác, mũ) — dạng này
chưa xuất hiện (kể từ kì thi 3 chung)
+) Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể đặt “u-»dv” theo thứ tự “lượng giác — mã ” hoặc ngược lại đêu
được và phải sử dụng hai lần tích phân từng phân Cả hai lần tích phân từng phân trong trường hợp này phải thống nhất theo cùng thứ tự Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = 1
+) Khi sử dụng phương pháp tích phán từng phan thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và
đa thức Cụ thê:
*) Nếu trong biếu thức tích phân có log", ƒ(x) (hoặc In" ƒ(x))— tích phân từng phân n lân
*) Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n: ƒ(x)=a,„x" +a,_,x"” + + đụ
(không có hàm logarit) — tích phân từng phân n lân
8
+) Nếu I= | f(x)e"""'dx ma ƒ(x) có bậc n (n>2) (theo CHÚ Ý trên ta phải tính tích phân từng phân
n lần) song trong trường hợp này có thể có cách “khắc phục” (không phải tính tích phân từng phân) bằng việc tách ghép và sử dụng công thức: il ƒ(x)+ ƒ (x)] e'dx = f{(x)e*+C (trong bài cac em phai CM)
+) Các em tham khảo thêm kĩ thuật chọn hệ số qua 5 cau tích phân ở Vi du 4
+) Về mặt ý tưởng, việc dùng phương pháp tích phân từng phân là việc ta chuyển từ tích phân ban đâu
[ = f(x)
mà thông thường thì f(x) va
4=g(x)dx g g thi f(x)
B 8
| udv vé tich phan | vdu đơn giản hơn bằng cách đặt
| g(x)dx dé tinh Vi vay pham vi dp dung phương pháp này không chỉ dừng lại ở hai hàm khác tên gọi mà
còn sử dụng cho cùng một dạng hàm, nhiều hơn hai hàm
Trang 3Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
1) J, = fin —x)dv (D-2004) 2)/,= | (e?'+x)e'dv (CĐ-2009) 3) 7, =
1
en (D-2008) 6) /,=Í :
i (x—2)e?*dx (D — 2006)
0
Vi du 2 Tinh cac tich phan sau:
1) i= [eta B- 2009) 2) 7, = ex ae (D — 2010)
.(x+l)Ÿ
Lá
l+xsinx
9 COS x
4 pe
Vi du 4 Tinh cac tich phan sau:
(S*)
CÁCH GIẢI CHUNG
t=e*
Tich
5 t=e"
f=(ae' + ồ)”
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
4) 1,=[-——w 5) 1,.={— 6) 1,= | ——“ae L =
4, le yt lzye lV | nh lợp
Trang 4
DẠNG 6: (6*) (TONG QUAT oT =i f (Inu)dx )
„ H
CÁCH GIẢI CHUNG
t=Inx Tich
t=Va+bln" x cơ
f=(a+bÌn” x)" ean
CHU Y:
Néu trong bai cé log,,u tanén chuyén vé Inu bang céng thirc:log,, u =log, e.log, u = ne
Cac vi du minh hoa
Vi du 1 Tinh cac tich phan sau:
1) 1,=| mx i (B-2010) 2) 1= —— (B-2004) 3) 1, = [28% — ae
3+x
Trang 5
DẠNG 7: (7* 1) hoặc (7*2)
CÁCH GIẢI CHUNG
oặc f =cof+x
hoặc = ; >7 =Í fit) dt: ; Phan
x
CHU Y:
B
+) Khi gap tich phan I= | — ⁄ tan x) ——dx thi ta phan tich
~ asin’ x+bsin xcosx+ccos’ x
8 I=| : f(tan x) dx sau do dat t=tanx=>dt= ˆ
— 7 [fe —>———dx (tích phán hữu tỉ - các bạn xem lại ở lớp tích phân hữu tỉ ) AG,
at’ +bt+c
+) Các bạn có thể sử dụng kĩ thuật vi phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân “đơn giản ”
+) Chú ý cận [œ: 8] để biến đối hợp lý về (7*1) hoặc (7*2)
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
sin x(2 —sin 2x)
-[ ae ( fs | in? gsi 2x—3o0sa ts J COSÌ x
4
Trang 6
DẠNG 8: (8*)
CÁCH GIẢI CHUNG
Ê l,= A+l: Tích phân cơ bản
Cac vidu minh hoa
Ví dụ 1 Tính các tích phan sau: 1) J, = |——=— — — di (B-2003) 2) /,= | `
3) I- KG (A — 2010) 4) I, = = f Ssinx+ Gs Deosx), (A—2011)
Trang 7
DẠNG 9: (9*) (m.nc2)
hoặc (9*1) ; (9*2)
CACH GIAI CHUNG
: m = 2k» t= sin
m,n khac tinh chan le g a1 Dat
n= 2k —— > f= cosx
Dat mM>i— > f= sinx
N<T ——> [f= cosv
nd Hạ bậc hoặc bđôi lượng giác
Dati = tanx (hoặc = cotv)
(9*)€ (mneZ) k Cá
m, n cùng tính chắn, lẻ 2#
(9*1) Dat t=sinx
hoặc Sees
hoặc 1 y92 ` : =| f(Odt:?
7
+) Các em xem thêm DẠNG T cho đây đủ các trường hợp _ —
+) Nêu biểu thức dưới dâu tích phân đơn giản, các em có thê bỏ qua bước đổi biên băng kĩ thuật vỉ phán
Tích
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
dx sin? xcos* x
= |(cos’ x-1)cos’ xdx (A — 2009) 2)I,=|sin2xcosxdv 3) 7=
x
sin 2x(sin® xsin3x+cos*xcos3x)dx 5) I, = | SH
sin? x
=
4) /,=
Trang 8
CÁCH GIẢI CHUNG
x|# 8 nhân
a= (casein le a
sin xcosx = + - _-l .~]/0án: cơ
bản
Đặt (10*)— t=sinxicosx >
Vi du 1 Tinh cac tich phan sau:
13cos2x— sin4x
y= “l2- —Sin x—cos x =
sin (x-4]
dx (B—2008) sin 2x + 2(1+sinx + cos x)
cos 2x 2-V1l+sinx—cosx
4(sin x + cos x) —cos 2x 2(sin x —cos x —1)—sin 2x
Ví dụ 2 Tính các tich phan sau: 1) J, =[ dx 2)1, =]