Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

NGUYỄN ĐÌNH XUÂN

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2013

MỤC LỤC

1.2 Phương trình đường thẳng và đường bậc hai và tham số hoá 5

1.3 Sử dụng tọa độ để chứng minh một số định lý hình học 27

1.3.1 Định lý Stewart 27

1.3.2 Đường tròn Appolonus 29

1.3.3 Bài toán con bướm cho đường tròn 30

1.3.4 Đường thẳng Newton 31

1.3.5 Định lý Pithot 33

1.3.6 Định lý Ptolemy 34

1.3.7 Định lý Pascal 39

1 3.8 Đường tròn 9 điểm và đường thẳng Euler 48

2 Xây dựng một số bài toán Đại số và Hình học sơ cấp 56 2.1 Bài toán con bướm cho các đường côníc 56

2.2 Chứng minh một số bài toán Đại số và Hình học sơ cấp 59

2.3 Một vài phương trình đường có chứa tham số 71

2.4 Bài toán véctơ liên quan tới tam giác 76

Mở đầu

Chúng ta ai cũng biết rằng, có nhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán Sử dụng phương pháp nào để cách giải tự nhiên và qua đó có thể nhìn thấy cách xây dựng bài toán mới không quá tầm thường Đặc biệt trong Hình học sơ cấp, khi sử dụng hình vẽ để trình bày lời giải một bài hình ta khó có thể vận dụng một số kết quả của Đại số và Giải tích Hơn nữa, có một số bài toán hình mà ta không thể vẽ được kết quả, chẳng hạn một vài bài quỹ tích Rất tự nhiên xuất hiện câu hỏi: Chọn phương pháp nào để trình bày một bài hình, mở rộng bài hình, xây dựng bài hình mới Vì những lí do ở trên nên chúng tôi đã chọn “ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” để trình bày một số kết quả hình học sơ cấp

Liên quan đến cách chọn phương pháp tọa độ là hai câu hỏi trong lĩnh vực Toán sơ cấp

(1) Tại sao chỉ cần sử dụng một mặt phẳng và một mặt nón đủ tạo ra một đường côníc? Nói một cách khác: Ta cần hệ hai phương trình đa thức f x y z( , , )( , , ) 0

g x y z

liền với vấn đề nổi tiếng do Perron đặt ra: Số cực tiểu các đa thức đủ mô tả một đường cong phẳng

(2) Xác định tất cả các điểm hữu tỷ trên một đường cong phẳng thế nào? Nói một cách khác: Giải phương trình Diophante f x y  trên Q ( , ) 0

Đặc biệt, phương pháp tọa độ cho phép chúng ta sử dụng một vài kết quả của Đại số, Giải tích và Số học vào xây dựng một bài hình sơ cấp Tham số hoá một vài đường cong phẳng qua các hàm hữu tỷ để chúng ta biểu diễn đường

công đó qua không điểm tổng quát Việc đưa phần tử  vào R để ta có thể vét hết các điểm thuộc một đường coníc Việc sử dụng ma trận và định thức để chúng ta phát hiện kết quả hình học không qua kẻ vẽ

Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia ra làm hai chương

Chương 1: Trình bày về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bao gồm Mục 1

được trình bày phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Mục 2 tập trung trình bày

phương trình một vài đường, chẳng hạn: Đường thẳng và đường bậc hai; tham

số hoá một số đường Còn Mục 3 trình bày việc sử dụng phương pháp tọa độ để

chứng minh một số định lý nổi tiếng trong hình học

Chương 2: Xây dựng một số bài toán Đại số và Hình học sơ cấp Bao gồm Mục

1 sử dụng tọa độ để ứng dụng Bài toán con bướm cho các đường côníc Mục 2

xây dựng một số bài toán Đại số và Hình học Mục 3 là một vài phương trình

đường có chứa tham số Mục 4 nêu bài toán véc tơ liên quan đến tam giác

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng cho luận văn nhưng chắc chắn nội dung trình bày trong luận văn không trách khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định

và em rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy giáo, cô giáo và

sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp để luận văn của em được hoàn chỉnh

và có ý nghĩa thiết thực hơn

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, người đã tận tình giúp đỡ, động viên và ân cần hướng dẫn, chỉ bảo em hoàn thành luận

văn này Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong

hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy giáo, cô giáo trực tiếp

giảng dạy lớp Cao học toán K5B, cảm ơn trường Đại học Khoa học- Đại học

Thái Nguyên nơi em đã được học tập, tiếp nhận một học vấn sau đại học căn bản

và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian ôn thi, học Cao học và viết luận

Chương 1

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.1 Phương pháp tọa độ

1.1.1 Sơ lược về phương pháp tọa độ mặt phẳng

Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục toạ độ, mỗi véc tơ, mỗi điểm trên mặt phẳng đó đều được xác định bởi một tọa độ xác định Vận dụng các kỹ thuật hoặc công thức, quy tắc đã học với những kỹ năng, thao tác và khả năng thực hiện trực tiếp các phép tính, những đơn giản hoá và các lời giải tương tự Khi đó chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra được vài tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học

được gọi là trục hoành và ký hiệu là Ox , trục O j;

được gọi là trục tung và ký hiệu là Oy Các véctơ i

và j



là các véc tơ đơn vị trên Ox ,Oy và i  j 1

Hệ trục tọa độ ( ; , )O i j 

còn được ký hiệu là Oxy

Phương trình đường bậc hai

Mệnh đề 1.2.1: Nếu 3 đỉnh tam giác ABC là những giao điểm của các cặp thuộc

ba đường thẳng a x i b y i c i  với 0 i 1, 2,3, thì diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của ABC được tính theo các công thức

b c b c a c a c a b a b

b c b c a c a c a b a b

b c b c a c a c a b a b gttđ

A B C

Biểu diễn bán kính đường tròn ngoại tiếp qua tọa độ đỉnh

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử ba điểm A x y( ; ),1 1 B x y và ( ;2 2) C x y trong mặt phẳng ( ;3 3)tọa độ Oxy với độ dài ba cạnh a = BC, b = CA, c = AB Gọi R là bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó ta có

x y gttd x y

x y



Chứng minh: Ta biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không thay

đổi qua một phép tịnh tiến Do đó có thể coi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là O(0;0) và ta có

abc R

x y gttd x y

R R R R là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MBC, MCA,

MAB Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại A B C Đặt 1, 1, 1

1 2 3

R R R R

h  h h r 

Phương trình đường parabol

Đường parabol (P) với đường chuẩn d:

Chứng minh: Đường thẳng d ax by c:    tiếp xúc với 0 ( ) :p y 2px khi và chỉ khi có M x y( ;0 0) ( ) P để d trung tiếp tuyến ' Mtpx y y 0 px0 của ( )0 P

py  px   Điều này tương đương a up b ,  uy c upx0,  0 Hiển

nhiên y022px0 tương đương pu y2 022up upx 0 hay pb22ac, vì u  0

Ví dụ 1.2.7 Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm 0 F của ( )P có phương trình

(iii) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn AB

(iv) Đường tròn đường kính AB luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Bài giải: (i) Tọa độ của A và B là nghiệm của hệ

2

.22

(ii) Hiển nhiên

(iii) Giả sử I x y là trung điểm của đoạn thẳng ( ,I I) AB Đặt u p

a

I là

2 2

42

Bài giải: Giả sử ( ) :d y kx  đi qua I cắt ( )1 P tại , A B Khi đó tọa độ của hai

114

Đường tròn (C) tâm ( , )I a b bán kính R có phương trình chính tắc và phương

trình tiếp tuyến ( )d tại điểm M x y( ,0 0) :

( ) :(C xa) (y b ) R ;( ) :(d xa x)( a) ( y b y )( b)R  0

Ví dụ 1.2.9 Cho tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ nội tiếp trong cùng

một đường tròn (E) bán kính 1 Khi đó IA4IB4IC418R4 và

24

IM IN IP IQ  R với bất kỳ I( )E Tổng TIM6IN6IP6IQ6

có phụ thuộc vào vị trí của điểm I hay không?

Bài giải: Dựng hệ (Oxy sao cho ) (0; ), ( 3 ; ), ( 3 ; )

Tương tự có IM4IN4IP4IQ4 24R4 Dễ dàng kiểm tra T phụ thuộc vào I

Ví dụ 1.2.10 Cho đường tròn ( )C và một điểm M Đường thẳng qua M cắt ( )C

Bài giải: Dựng hệ (Oxy sao cho đường tròn ) ( ) :C x y R Giả sử M a b ( ; )

Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB Khi đó:

(i) Xác định tập tất cả các điểm M thoả mãn MB2MC22MA2

(ii) Xác đinh những điểm P Q, ( )C để T1PA2PB2PC2 là lớn nhất và

C x y  Giả sử (1;0), (cos ;sin ), (A B   C cos ;sin ) và M x y ( , )

(x cos ) (ysin ) 

(x cos ) (y sin ) 2( x 1) 2y

Từ đây suy ra d x cos: ( cos  1)y(sinsin ) 0  Như vậy, tập các điểm

M là đường thẳng d đi qua O và d AK, ở đó K là trung điểm của BC

(ii) Giả sử Ncos ;sint t Khi đó ta có 

 Hiển nhiên P và Q là giao điểm giữa OH với (C) 

Chú ý 1.2.12 Nếu Acos ;sin  ,B cos ;sin  và C c( os ;sin ) 

thì phương trình : sin sin sin

Phương trình đường ellíp

Đường ellíp (E) với tiêu điểm F1(c;0),F c2( ;0) có phương trình chính tắc và phương trình tiếp tuyến ( )d tại điểm M x y : ( ;0 0)

M x y M Xx Y ky với k 0,1, được gọi là ánh xạ co hệ số k Khi đó

(i)  biến đường tròn thành ellíp và ngược lại, với mỗi ellíp có ánh xạ co biến

Chứng minh: (i) Chỉ cần chứng minh cho đường tròn ( ) :C x y R Giả sử ( ; )

M x y là điểm tuỳ ý thuộc ( ) C và M X Y'( ; )(M) Khi đó x2y2R2 và ,

hay X2Y2a2 Do đó ảnh của ( )E qua  là đường tròn

(ii) Giả sử A x y1( ,1 1),A x y2( ,2 2),A x y là ba điểm thẳng hàng, chẳng hạn 3( ,3 3)chúng cùng thuộc đường thẳng ax by c   Gọi 0 A X i'( ix Y i; iky i),i 1, 2,3,

là ảnh của A qua i  Vì ax iby i  nên c 0 i 0, 1, 2,3

(iv) Giả sử d xx: 0yy0R là tiếp tuyến của ( )C tại điểm M x y Qua phép ( ;0 0)co-dãn hệ số k, đường tròn ( ) :C x2y2R2 biến thành ellíp

Vậy d tiếp xúc với ( ).' E 

Ví dụ 1.2.14 Giả sử một đường ellíp nội tiếp trong tam giác ABC và tiếp xúc

với cạnh BC, CA, AB tại M, N, P, tương ứng Chứng minh AN.BP.CM = AP.BM.CN và AM, BN, CP đồng quy

Bài giải: Dựng hệ tọa độ (Oxy) sao cho ellíp nội tiếp nội tiếp trong tam giác ABC có phương trình

Ví dụ 1.2.15 Giả sử một đường ellíp nội tiếp trong tứ giác ABCD và tiếp xúc

với các cạnh AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q tương ứng

Chứng minh bốn đoạn AC BD MP NQ đồng quy , , ,

Bài giải: Dựng hệ tọa độ (Oxy) sao cho ellíp nội tiếp trong tứ giác ABCD có phương trình

I theo Ví dụ 1.3.24 nên ảnh I của nó qua phép co-dãn hệ số

b

a sẽ thuộc cả bốn đoạn AC, BD, MP, NQ Do đó bốn đoạn AC, BD, MP, NP

đồng quy 

Ví dụ 1.2.16 Giả sử tam giác ABC có diện tích S Phép co-dãn hệ số k biến tam

giác ABC thành tam giác ' ' '

A B C Tính diện tích tam giác ' ' '

A B C

Bài giải: Dựng hệ tọa độ (Oxy Giả sử ) A x y( ,1 1), ( ,B x y2 2)và C x y ( ,3 3)

Khi đó A x ky'( ,1 1),B x ky'( ,2 2)và C x ky Khi đó ta có công thức '( ,3 3) ' ' '

Phương trình đường hyperbôl

Đường hyperbôl (H) với tiêu điểm F1c;0 , F c2 ;0 có phương trình chính tắc

và phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M x y :  0; 0

Hai đường kính liên hợp của hyperbôl (H) với hệ số góc k k thảo mãn ,

2 ' 2

b kk a



Tham số hoá đồ thị

Định nghĩa 1.2.17 Đồ thị phẳng V f được gọi là đồ thị phẳng hữu tỷ nếu có  

hai hàm hữu tỷ  t , t R t của biến t và cả hai không đồng thời thuộc R

thoả mãn f  t , t  0

Đồ thị phẳng hữu tỷ có quan hệ tới việc tìm các nghiệm   2

,

a b R của phương trình f x y  hoặc tìm các điểm thuộc đồ thị phẳng với tọa độ là những số  ,  0hữu tỷ hay xác định những điểm không tầm thường với tọa độ nguyên thuộc đa tạp Fermat V x: ny nz n0, n 3

Khi biểu diễn đồ thị phẳng V f qua   x t ,y t R t , ta nói rằng đã

tham số hoá được V f Việc tham số hoá đồ thị phẳng qua các hàm hữu tỷ như  

sau: Chọn điểm P V  và viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua P sao cho (d) cắt V tại đúng một điểm thứ hai khác P

Cho   :f x y  ,  0với f x y là đa thức bất khả quy Khi có hai hàm hữu tỷ  , 

 t ,  t

  của biến t và cả hai không đồng thời thời thuộc R thảo mãn

   

f  t  t  thì điểm  t , t được gọi là không điểm tổng quát của  

Ta thêm  vàoR và coi nó như một phần tử

  với toạ độ thuộc R   sẽ có dạng    t ; t ,t R   Việc tìm không  

điểm tổng quát của   gắn liền với vấn đề giải phương trình f x y  trên  ,  0

Định nghĩa 1.2.18 Cho đồ thị phẳng bất khả quy   Những điểm thuộc  

với toạ độ thuộc Q được gọi là những điểm hữu tỷ của  

Phương trình tham số đường thẳng

Đường thẳng :d ax by c   có phương trình tham số 0

0 0:

Phương trình tham số đường parabol

Đường parabol (P) có phương trình tham số

22

Phương trình tham số đường tròn

Mệnh đề 1.2.19 Đường tròn ( ) :C x2y2 là đồ thị phẳng hữu tỷ được tham 1

phương trình tiếp tuyến At của  C là xx0yy0 1

Chứng minh: Đường thẳng ( )d đi qua điểm (0;1) ( ) C với hệ số góc –t có

phương trình ( ):d y tx ( )1 d cắt ( ) C tại điểm điểm (0;1) và điểm

b a t





Chứng minh: Đường thẳng ( )d đi qua điểm (0; ) ( ) b  E với hệ số góc –t có

phương trình ( ):d y tx b ( ) d cắt ( ) E tại điểm điểm (0; ) b và điểm

b a t b a t



điểm thuộc ( )E , khác điểm (0;b)

Với quy ước

a  b  tham số hóa qua xcos ,t y sint

(ii) Giả sử A a cos , sint b t   E Đặt rOA,xOA Khi đó ta có t1

sinsin

b t t

b t a t

a t t

Dễ dàng suy ra cost  khi và chỉ khi 0 cost  và 1 0 tant atant1

chạy qua tất cả các điểm

thuộc (E), khác điểm 4; 10  với quy ước

2 2

Chứng minh: Đường thẳng (d) đi qua điểm ( ;0) (a  H) với hệ số góc at có

phương trình ( ) :d x a ty ( 1) (d) cắt (H) tại điểm ( ;0)a và điểm

2,

Bài giải: Đường thẳng (d) đi qua điểm 6;7   H với hệ số góc 3t có phương trình  d :x3t y 7 Đường thẳng (d) cắt (H) tại điểm (6;7) và điểm thứ 6hai

chạy qua tất cả các điểm thuộc

(H), khác điểm (-6;7) với quy ước

2 2

ta có t x( y) b x( y ) Nếu x y thì x y  từ x y0  và x y  ta 0suy ra x y  Ta có điểm (0;0) ( )0 O  L

Nếu x y , ta có t x y2(  )b x y2(  ) Ta có

t b y

Ví dụ 1.2.27 Trong mặt phẳng, đồ thị phẳng Cartes Folium cho bởi

( ) :F x y 3axy0,a , là một đồ thị phẳng hữu tỷ 0

Bài giải: Hiển nhiên, khi x  thì 0 y  và điểm (0;0) thuộc ( )0 F

Xét x  Đặt y tx0  và thay vào phương trình, ta có x t( 3 1) 3at

Nếu t   thì 01  3a : mâu thuẫn Vậy 0 t   và 1

Ví dụ 1.2.28 Tham số hoá Ellipsoid ( ) :E x2 y2 z2 1

(ii) Khi AN l  là phân giác trong của góc A thì a BN ac

b c



 và

ab CN

2

2

a

bc a c b l

Ví dụ 1.3.4 Cho tam giác ABC với BC a CA, b AB,  Giả sử c    là a, b, c

độ dài các đường phân giác trong của tam giác ABC Nếu a  thì ABC b  cân

Bài giải: Ta biết  

 

2 2

m m m là độ dài các đường cao, các đường phân giác trong và các đường

trung tuyến của ABC Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

(i) h a l a m a Dấu “ = ” xẩy ra khi b = c

a a

Chứng minh: Dựng hệ tọa độ (Oxy sao cho ) A(a;0), ( ;0)B b với a b  và , 0





Ví dụ 1.3.7 Trên đường tròn lấy n  điểm Từ trọng tâm của hệ n – 2 điểm 3trong số đó hạ đường vuông góc với dây cung nối 2 điểm còn lại Chứng minh rằng tất cả các đường vuông góc này đồng quy tại một điểm

Bài giải: Có thể giả thiết R  Kí hiệu n điểm 1 A A A1, 2, 3, ,A n1,A n thuộc đường tròn ( ;1)O với tạo độ A x y k( ;k k),x k2y k21,k 1, 2, ,n Giả sử trọng tâm của hệ

Bài toán chuyển thành: Tìm điểm cố định của (d I) khi hoán vị ( )i thay đổi j

Giải quyết vấn đề này, ta chọn điểm cố định dạng C x( c x G; y G)

1.2.3 Bài toán con bướm

Tiếp theo sau đây là việc xét Bài toán con bướm

Mệnh đề 1.3.8 [Bài toán con bướm] Cho dây cung MN của một đường tròn và

điểm O thuộc đoạn thẳng MN Giả sử hai dây cung bất kỳ AB và CD, đều khác

MN, đi qua điểm O của MN Gọi giao điểm giữa AC và BD với MN là P và Q tương ứng Khi đó hãy chứng minh OP = OQ khi O là trung điểm đoạn MN

ak k a x

ah h a x

nên h(1k x) 2k(1h x) 2h(1k x) 1k(1h x) 1 0

Do vậy x P x Q hay OP = OQ  0

1.2.4 Đường thẳng Newton

Mệnh đề 1.3.9 [Newton] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi

I, J là trung điểm của AC và BD tương ứng Khi đó I, O, J thẳng hàng theo thứ

Chú ý 1.3.10 Với cách chứng minh trên, dễ dàng chỉ ra O không phải luôn luôn

là trung điểm của IJ

Mệnh đề 1.3.11 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường Ellíp

( ) :E x y 1

a b  Gọi I, J là trung điểm của AC và BD tương ứng Khi đó I, O, J thẳng hàng theo thứ tự

Chứng minh: Phương trình các cạnh và tọa độ các đỉnh của tứ giác ABCD:

1.2.5 Định lý Pithot

Mệnh đề 1.3.12 [Pithot] Tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn khi và chỉ

khi AB CD AD BC

Chứng minh: Khi tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn thì hiển nhiên

AB CD AD BC Ngược lại, giả sử AB CD AD BC Phân giác góc A

và B cắt nhau ở O Dựng đường tròn ( ) tâm O tiếp xúc với AB, BC và AD Kẻ

'

DC tiếp xúc với ( ) , trong đó '

CBC và C' nằm giữa B và C, chẳng hạn

Từ BC + AD = AB + DC, BC'ADAB DC '

suy ra DC BC BC  'DC'CC'DC' Như vậy C C ' 

Chú ý 1.3.13 Trình bày cách chứng minh định lý này bằng phương pháp toạ

độ

Ví dụ 1.3.14 Giả sử hình thành ABCD, AB // CD , ngoại tiếp một đường tròn

với hai đường chéo cắt nhau ở I Gọi r r r r là bán kính đường tròn nội tiếp 1, , ,2 3 4

trong các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, tương ứng

Chứng minh đồng nhất thức

r r r r

Bài giải: Ký hiệu s s s s và 1, , ,2 3 4 p p p p là diện tích và chu vi của các tam 1, 2, 3, 4

giác IAB, IBC, ICD, IDA, tương ứng Vì hình thang ABCD ngoại tiếp một đường

tròn nên p1p3p2p4 theo Mệnh đề 1.3.12 Từ S ABCS ABD suy ra s2s4: s

Do bởi IBC đồng dạng với ICD

p

s s p

x y  Giả sử tọa độ bốn điểm (cos ;sin ), (cos ;sin ), (cos ;sin )A   B   C  

và D a( ;0) với 0      2 Ta phải chứng minh

ABCD nội tiếp trong đường tròn x2y2 với tọa độ các đỉnh 1

T  22cos  22cos  22cos  22cos

Ngược lại, giả thiết ABC nội tiếp trong đường tròn x2y2 1

với toạ độ bốn điểm A(cos ;sin ), (cos ;sin ), (cos ;sin )  B   C   và D a( ;0) với

0      2 và thoả mãn AB.CD + AD.BC = AC.BD Khi đó, với các kí

hệ giữa AB.CD + AD.BC và AC.BD

Ví dụ 1.3.17 Cho tứ giác lồi A A A A Tứ giác 1 2 3 4 A A A A nội tiếp được trong 1 2 3 4

một đường tròn khi và chỉ khi có thể gán cho mỗi đỉnh A của nó một cặp số i

thực ( ; ),a b i  i i 1, 2,3, 4, thoả mãn A A i ja b i ja b j i với mọi i j, ,1   i j 4

Bài giải: Giả sử đã gán được mỗi đỉnh A của tứ giác lồi i A A A A một cặp số 1 2 3 4

thực ( ; )a b thoả mãn i i A A i ja b i ja b j i với mọi i j, ,1   Ta chỉ ra tứ giác i j 4lồi A A A A nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp 1 2 3 4 A A A1 2 3

Thật vậy, A A A A1 2 3 4 A A A A1 4 2 3A A A A1 3 2 4 a b1 2a b2 1a b3 4 a b4 3

a b1 4 a b4 1 a b2 3a b3 2  a b1 3a b3 1a b2 4a b4 2 0

Vậy, tứ giác A A A A nội tiếp trong một đường tròn theo Mệnh đề 1.3.15 1 2 3 4

Ngược lại, giả thiết tứ giác lồi A A A A nội tiếp trong một đường tròn 1 2 3 4

Đặt a A A 1 2,a3A A2 3,a4A A2 4 và 1

1 2

j j

A A b

A A

 với j 2,3, 4 Tương ứng A1a;0 , A20;1 , A3a b3; 3 và A4a b4; 4

Như vậy A A1 jA A b1 2 ja b1 ja j.0 với j 2,3, 4

và A A2 3 a30.b3a3.1,A A2 4 a40.b4a4.1 Ta kiểm tra A A Vì tứ giác 3 4

A A A A nội tiếp một đường tròn nên A A A A1 2 3 4A A A A1 4 2 3A A A A1 3 2 4 ( theo Mệnh đề 1.3.14) hay a A A1 3 4b a4 .1a3b a3 1a4

Vì a  nên 1 0 A A3 4a b3 4a b4 3 Như vậy, tất cả các yêu cầu đều thoả mãn

Ví dụ 1.3.18 Trong mặt phẳng (Oxy) cho Ellíp:

(i) Tập các trung điểm I của MN là một đường kính CD của (E) Hai đường kính

AB, CD được gọi là hai đường kính liên hợp

4

AB CD  a b

(iii) S ACBD2ab

Bài giải: (i) Giả sử  d :y kx dsong song hoặc trùng với AB Khi đó tọa 

độ giao điểm M N, là nghiệm của hệ phương trình y kx d2 2 2 2 2 2

Như vậy, điểm I chạy trên đường thẳng CD:y b 2 x hx

ka

ta có ngay

2 2

b hk

Đặt AFM , ở đó A a ;0 Hạ MP OA P x ,  ;0 Ta có x c FM  cos

Dễ dàng suy ra

2cos

b FM

a c 



2cos

b FN

sin

a b OI

sin

a b OJ

a b





Vậy tập hợp tất cả các điểm H khi OIOJ và I,

J chạy trên (E) là đường tròn tâm O(0;0) bán kính

ab

a b 

Ví dụ 1.3.20 Cho đường tròn (O) với tâm O đường kính AB = 2 Qua điểm M

thuộc đường tròn (O) hạ MPAB P AB,  Dựng đường tròn tâm M bán kính

MP cắt đường tròn (O) tại E và D Gọi giao điểm I DE MP  Khi M chạy trên đờng tròn (O), hãy chỉ ra:

(i) I chạy trên đường tròn   nào?

(ii) Nếu góc vuông zJt có hai cạnh góc vuông tiếp xúc với   thì J chạy trên đường cong   nào? '

Bài giải: (i) Đường thẳng MP cắt hai đường tròn (O) và (M) ở M và ' P Vì DE '

là trục đẳng phương của hai đường tròn nên IP IP 'IM IM ' Vậy