Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán xác suất

Nên học sinh cần được rèn luyện nhìn nhận bài toán theo các khía cạnh khác nhau qua đó tìm ra nhiều phương pháp giải khác nhau để từ đó lựa chọn được phương án tối ưu nhất.. Trong quá tr

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Nội dung hướng dẫn học sinh 5

2.3.2 Bài tập củng cố 14

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

1

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tính xác suất của một phép thử là một câu hỏi thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia cũng như thi chọn Học sinh giỏi trong những năm gần đây

Trong chương trình Toán THPT Xác Suất được đưa vào học ở lớp 11 Kiến thức xác suất hoàn toán mới đối với học sinh, nhưng kiến thức xác suất bắt nguồn từ các vần đề thực tế của cuộc sống do đó học sinh cần nhìn nhận và tư duy vấn đề một cách trực quan nhất có thể

Ngày nay với việc thi THPT Quốc Gia là thi trắc nghiệm học sinh cần phải nhanh chóng tìm ra cách chọn đáp án chính xác trong khoảng thời gian ngắn nhất Do đó học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn lựa chọn được phương án giải nhanh và chính xác nhất có thể Nên học sinh cần được rèn luyện nhìn nhận bài toán theo các khía cạnh khác nhau qua đó tìm ra nhiều phương pháp giải khác nhau để từ đó lựa chọn được phương án tối ưu nhất

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc áp dụng các cách làm, cách tư duy quen thuộc, tôi nhận thấy sự cần thiết phải hướng dẫn để học sinh nắm được phương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải quyết một số bài toán xác suất Bởi ngoài việc bổ sung, hoàn thiện thêm các phương pháp giải bài toán xác suất thì việc sử dụng phương pháp tọa độ giúp cho học sinh có được cách nhìn bài toán hết sức trực quan và nhanh chóng tìm ra kết quả mà các cách làm khác không có được

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia, ôn thi Học sinh giỏi cho học sinh

lớp 11, tôi đã có Sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy là: “ Hướng dẫn học

sinh lớp 11 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán xác suất”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Sáng kiến kinh nghiệm này hướng tới giải quyết một số vấn đề sau đối với học sinh lớp 11:

- Bổ sung, hoàn thiện phương pháp giải bài toán xác suất thông qua việc

sử dụng phương pháp tọa độ

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp giải trên thông qua hệ thống bài tập có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà

Sáng kiến kinh nghiệm này cũng nhằm trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp và là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nói chung

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Một số bài toán về xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Hướng dẫn học sinh lớp 11 thực hiện giải bài toán xác suất bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

2

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những đặc trưng từ

đó hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp giải

Thực nghiệm sư phạm: Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng hai lớp 11 ở trường THPT Như Xuân Đây là hai lớp tương đương nhau về học lực môn toán và tất cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán Trong

đó, lớp 11B4 là lớp chưa áp dụng sáng kiến (lớp đối chứng), lớp 11B3 là lớp áp dụng sáng kiến (lớp thực nghiệm) Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 10/2018 đến tháng 12/2018

Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này

3

x

a

0

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Định nghĩa cổ điểm của xác suất: Giả sử A là biến cố liên quan đến một

phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

 

 

n A

n  là xác suất của biến cố A, kí hiệu là p A 

[3]

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Trong

mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình

Ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax by c  như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng : a x by c 

Bước 2: Lấy một điểm M x y không thuộc 0 0; 0 

Bước 3: Tính ax0 by0và so sánh ax0 by0 với c

Bước 4: Kết luận

Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M là miền nghiệm của0

ax by c 

Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M là miền0

nghiệm của ax by c  . [2]

Biểu diễn tập nghiệm của bất

phương trình bậc hai hai ẩn:

Miền nghiệm của bất phương trình

x a 2  y b 2 R2

Phần tô màu đậm

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Cho cấp số cộng  u có số hạng n

đầu u công sai 1 d Đặt S n u1u2  u n

1

1

n n

4

 

n A

p A

n





2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Trong năm học 2018 – 2019, khi dạy cho học sinh lớp 11B4 nhưng chưa

áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã hướng dẫn học sinh phương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải bài toán xác suất Tuy nhiên, trong quá trình cho học sinh làm bài, tôi phát hiện ra học sinh thường vướng mắc một số vấn đề sau:

- Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy

- Chưa nắm kỹ các điều kiện vận dụng phương pháp

- Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải

- Chưa được làm nhiều dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng

Từ thực trạng trên, khi dạy cho học sinh lớp 11B3, tôi đã khắc phục bằng cách:

- Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể thông qua các định lý và tính chất

- Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các ví dụ được chọn lọc cẩn thận, điển hình

- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và sau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa

Sau đây là các biện pháp tiến hành cụ thể

2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH

Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa trong mặt phẳng giải bài toán xác suất bản thân tôi tiến hành phân loại các dạng bài tập xác suất

có thể dùng phương pháp tọa độ, chỉ ra những đặc trưng của từng loại và hướng dẫn cụ thể cách dùng phương pháp tọa độ cho từng loại

Ví dụ 1 Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất Tính xác

suất của các biến cố sau:

A: “ Tổng số chấm bằng 8”

B: “ Tổng số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 7”

C: “ Tổng bình phương số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 20”

Giải:

Cách 1:

           

                       

                        

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6

 

  36

n  

         

) A  2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2

a

5

y

x+y=7

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 0

x

y

x+y=8

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 0

y

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3

0 1

x

y

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 0

  5

n A 

   

 

5 36

n A

p A

n



           

                  

) 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,1

3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 , 5,2 , 6,1

B 

b

  21

n B 

   

 

36 12

n B

p B

n



           



              

) 1,1 , 1,2 , 2,1 , 3,1 , 2,2 1,3

4,1 , 3,2 , 2,3 , 1,4 , 4,2 , 2,4 , 3,3

C 

c

  13

n C 

   

 

13 36

n C

p C

n



Cách 2:

Gọi x là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ nhất

Gọi y là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ hai

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm

có tọa độ nguyên M x y ; 

  6.6 36

a) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng

với một điểm nguyên thuộc đường thẳng x y 8

  5

n A 

   

 

5 36

n A

p A

n



b) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố B tương

ứng với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm

7

x y 

n B       

   

 

36 12

n B

p B

n



6

y B

D A

x+y=2

C

2 1

4 3 2 1 -1

-2 0

c) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố C tương ứng với một điểm nguyên

thuộc miền nghiệm x2  y2 20

n C      

   

 

13 36

n C

p C

n



Nhận xét : Với cách 1 người giải phải liệt kê từng kết quả của không gian

mẫu và kết quả thuận lợi của biến cố từ đó mới tính được xác suất Với cách 2

việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ, mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố tương ứng với mỗi điểm nguyên thuộc miền nghiệm tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác

Ví dụ 2 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các

điểm A2;0 , B2;2 , C4;2 , D4;0 Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là cả hoành độ và tung độ đều nguyên) Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M x y mà  ;  x y 2 [4]

Giải:

A: “Con châu chấu đáp xuống các điểm

 ; 

Gọi x là hoành độ điểm mà con châu

chấu đáp xuống x; 2  x 4

Gọi y là tung độ điểm mà con châu

chấu đáp xuống y;0 x 2

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một

điểm nguyên M x y ; 

  7.3 21

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm x y 2

n A     

   

 

21 7

n A

p A

n



Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có

tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ A2;0 , B2;2 , C4;2 , D4;0, mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A

7

x

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

N M

P Q

0

F y

x

M

P

x+y=90

10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

tương ứng với mỗi điểm nguyên thuộc miền nghiệm x y 2 ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm

mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 4 Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau Tính xác suất để chọn được một điểm

mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2

Giải:

A: “Điểm mà khoảng cách đến gốc tọa

độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”

Gọi x là hoành độ điểm x; 4  x 4

Gọi y là tung độ điểm y; 4  x 4

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một

điểm nguyên M x y ; 

  9.9 81

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng

với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm

n A      

   

 

13 81

n A

p A

n



Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có

tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình vuông có 4 đỉnh tọa

độ M4; 4 ,  N4; 4 ,  P4;4 , Q4;4, mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm thuộc miền nghiệm x2  y2 4 ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M0;10 ,

100;10

N và P100;0 Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A x y ; , , x y 

nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP Lấy ngẫu nhiên một điểm

 ; 

A x y S Tính xác suất để x y 90 [4]

Giải:

B: “Điểm A x y ; S

thỏa mãn x y 90”

8

x

x-y=0

1 1

E

C

2019

1972

0 A

D B

Gọi x là hoành độ điểm A với x;0 x 100

Gọi y là tung độ điểm A với y;0 x 10

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên A x y ; 

  101.11 1111

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố B tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm x y 90

   

 

1111 101

n B

p B

n



Nhận xét: Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có

tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ O0;0 M0;10 , N100;10 và P100;0, mỗi kết quả thuận lợi cho

biến cố B tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong

và trên cạnh hình thang có 4 đỉnh tọa độ O0;0 ,M0;10 ,E80;10và

90;0

F ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và

chính xác

Ví dụ 5 Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 1972, bạn B chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để số bạn A chọn

bé hơn số bạn B chọn

Giải:

Cách 1:

Số phần tử của không gian mẫu n    1972.2019 3981468 Giả sử bạn A chọn được số tự nhiên x, thì bạn B có 2019 x cách chọn các số lớn hơn bạn A

chọn

Khi đó số cách chọn số của bạn A luôn bé hơn số của bạn B có

1972

1

x

x





Khi đó xác suất để số của A chọn nhỏ hơn số của B chọn là :

   

 

2036090 2065

3981468 4038

n A

p A

n

Cách 2:

A: “Số bạn A chọn bé hơn số bạn B

chọn”

Gọi x là số bạn A chọn x;1 x 1972

Gọi y là số bạn B chọn y;1 y 2019

9

y=x y

x

x+y=70

E F

70

70

100

100

C

0

1

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên M x y ; 

  1972.2019 3981468

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm x y 0

  1 2 3 1972 (2019 1972 1).1972 2036090

   

 

2036090 2065

3981468 4038

n A

p A

n



Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có

tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ A 1;1 ,B1;2019, C1972;2019và D1972;1, mỗi kết quả thuận lợi

cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh AB, BC, CE của hình thang có 4 đỉnh tọa độ A 1;1 ,

1;2019

B , C1972;2019và E1972;1972ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng

tính được kết quả nhanh chóng và chính xác Ta nhận thấy cách giải 2 thì học

sinh trực quan và dễ dàng tính n A chính xác. 

Ví dụ 6 Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu

nhiên 2 thẻ Tính xác suất của biến cố A: “Tổng số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 70”:

Giải:

Cách 1:

100 4950

2) Tính n(A)

Gọi x y, x y  là số thứ tự ghi trên 2 thẻ được lấy ra có tính chất x y 70

Với x y  2x70  1 x 34

Từ x y và x y 70 x y 70 x x  1 y 69 x Như vậy số cách chọn y ứng với mỗi cách chọn x là: 69 x  x1  1 69 2 x cách

   

34

1

x



Vậy :    

 

n A

p A

n

Cách 2:

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với

một điểmM x y ; 

x y, ;1 x 100;1 y 100; x y 

10

E Q y

x

P

M

y=x+10

y=x-10

F

60 50 40 30 20 10

60 50 40 30 20 10 0

Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong

ABC

 và thuộc hai cạnh AB và BC trừ A và C

Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong

AEF

 và thuộc hai cạnh AE trừ hai điểm A và E

  1 3 5 67 1156

   

 

n A

p A

n



Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có

tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong ABCvà trên cạnh AB, BC Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong AEF và trên cạnh AE, ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác

Ví dụ 7 Hai bạn Nam và Minh hẹn gặp nhau tại thư viện từ 8 giờ đến 9

giờ Người đến trước đợi quá 10 phút mà không gặp thì rời đi Tìm xác suất để

hai người đi ngẫu nhiên để đến nơi hẹn theo quy định mà gặp nhau [4]

Giải:

A: “Hai người đi ngẫu nhiên để đến nơi

hẹn theo quy định mà gặp nhau”:

Gọi x (phút) là thời gian mà bạn Nam

đến chờ ở thư viện Gọi y (phút) là thời gian

mà bạn Minh đến chờ ở thư viện.

Điều kiện: 0 x 60, 0 y 60

n   S  (là diện tích hình

vuông OMNP)

x y    x   y x (*)

Do điểm M x y thỏa điều kiện  ,   * thuộc lục giác OEFNKQ giới hạn bởi hai đường thẳng y x 10;y x  10 và hình vuông của không gian mẫu

Lục giác có diện tích S' S 502 602  502 1100 n A  1100

Vậy xác suất để hai người gặp nhau là:   ' 1100 11

3600 36

S

p A

S

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm

trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ O0;0 M 60;0, N60;60

11