Trong chương số học của THCS, các bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố và tính chất chia hết của số nguyên hết sức phong phú và đa dạng.. Khi gặp một bài toán chứng minh chi
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo'' '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh'' '' Quyết tâm thực hiện 2 không trong ngành giáo đục'' Chủ trương đó hoàn toàn phù hợp với những yêu cầu cấp bách của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước như nước ta hiện nay
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng dạy- học toán hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường THCS
là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng
tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo
Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào của các thầy cô giáo trong mọi miền đất nước
Trong chương số học của THCS, các bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố và tính chất chia hết của số nguyên hết sức phong phú và đa dạng Vì
nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải toán và còn phát triển tư duy cho học sinh Khi gặp một bài toán chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu không nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài toán chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng toán khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào
để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài toán nhất là đối với học sinh giỏi học toán?
Đó là vấn đề tôi luôn quan tâm và luôn tìm phương pháp tối ưu, để đạt được mục đích đó tôi lựa chọn đề tài "Một số dạng toán áp dụng tính chia
hết của số nguyên''
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất Muốn đạt được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng , tức l ta phải xc định:
- Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức
- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên
II) CƠ SỞ THỰC TIỄN
Thực trạng dạy và học toán hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công thức mà thầy đ hướng dẫn Vì thế khơng phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh
Trang 2- Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hoá các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp
- Trong thức tiễn vấn đề học không đi đôi với hành đ lm cho học sinh khơng
cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá nhân không được phát huy thoả đáng
- Trong nhiều năm giảng dạy toán của bậc THCS tôi thấy phân tích một số
ra thừa số nguyên tố , tính chia hết đối với số nguyên, học sinh được học ở lớp 6, nhưng khi gặp một bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố , tính chia hết của số nguyên, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ
và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài toán nhanh hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay
III CÁC GIẢI PHÁP
Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số nguyên tố và sự chia hết của số nguyên, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
- Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học
- Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy nghĩ, định hình cch lm
- Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về phân tích một số ra thừa số nguyên tố và tính chia hết của số nguyên , áp dụng vào giải các bài toán có vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số nguyên tố mà học sinh có thể ứng dụng được
- Qua các bài toán học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập một cch linh hoạt,cĩ sng tạo
- Thông qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng cao phát triển cho học sinh tư duy toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái quát,tổng quát hoá
Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tôi xin trình bày một số ví dụ về các dạng tóan để minh hoạ cho chuyên đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính chia hết của số nguyn''
SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6
Cấu tạo số Chia hết cho 2 Chia hết cho 3
Trang 3Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5
Chia hết cho 7 Chia hết cho 11
Phn tích một số ra thừa số nguyn tố
Bội và ước
BCNN ƯCLN
Tìm BC thông qua tìm BCNN Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN
Các bài toán về BC và ƯC
Tính chất chia hết của số nguyên
Chia hết Chia có dư
Bội và ước Chứng minh chia hết cho Tìm số dư trong php chia
Số nguyên tố Hợp số Số chính phương Nguyên lý Drich le
Giải phương trình nghiệm nguyên
IV NỘI DUNG
1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số nguyên được học ở lớp 6 , ảnh hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc THCS Tôi có thể lấy các bài toán đơn giản khi dạy về tính chia hết của số nguyên ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài toán chia hết của số nguyên sau này :
Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số nguyên liên tiếp thì có một hiệu của hai
số chia hết cho n (với n thuộc N)
Trang 4Giải :
Gọi a1 , a2 , a3 , lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 2 ,
3 , thi an chia cho n dư 0 , an+1 chia cho n có số dư là1
Do đó : an+1 – a1 = (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được Hiệu hai số chia hết cho n
Đây chính là nguyên lý Dirich- le
Ví dụ 2 : Tìm hai số nguyên biết tích của chúng bằng 21
Giải :
Gọi hai số nguyên cần tìm : là x , y
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21 1 = 3 7 = 7 3 = 1 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y
Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số nguyên tố và tính ước của
số nguyên
Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của chúng bằng 8
Giải :
+ Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại)
+Nếu x không chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x)
x = 8d1 , y = 8d2 ; (d1,d2)=1
Suy ra : d1.d2 = 48 : 8 = 6
Nên : d1 = 3 ; d2 = 2 (hoặc ngược lại)
Do đó : x = 8.3 = 24
y = 8.2 = 16
(Hoặc kết quả ngược lại )
Ta có thể xét sự quan hệ của các bài toán này ảnh hưởng đến các bài toán ở chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như :
DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ1.Chứng minh rằng
A = n3(n2 -7)2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Hướng phân tích
+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
Trang 5+Tồn tại một bội của 5⇒A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7⇒A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 ⇒A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4⇒A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n∈N hoặc n∈Z).
Chú ý 1:
+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành môt tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết cho tất cả các số đó
+Trong quá trình chứng minh bài toán trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 : -Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số nguyên tố )
-Nguyên lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k
Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số nguyên a thì
a) a2 -a chia hết cho 2
b) a3 -a chia hết cho 3
c) a5 -a chia hết cho 5
d) a7 -a chia hết cho 7
Giải:
a) a2 - a =a(a-1), chia hết cho 2
b)a3 -a = a( a2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của 3
+ Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài toán đã quen thuộc
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2 (hoặc dụng nguyên lý Dirich- le )
c) Cách 1
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k ±1, a=5k±2
+Ta vận dụng vào tính chia hết của số nguyên về xét số dư
suy ra A chia hết cho 5
Cách 2.
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)
= a(a2+1)(a2 -4+5)
= a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5
Do đó A = a5 -1 chia hết cho 5
+Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
Trang 6Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho m
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng
0 hoặc 1
c)Các số sau có là số chính phương không?
M = 19922 + 19932 +19942
N = 19922 + 19932 +19942 +19952
P = 1+ 9100+ 94100 +1994100
d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?
11, 111,1111,11111,
Giải: Gọi A là số chính phương A = n2 (n∈N)
a)Xét các trường hợp:
n= 3k (k∈ N)⇒A = 9k2 chia hết cho 3
n= 3k± 1 (k∈N) ⇒A = 9k2 ± 6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3
b)Xét các trường hợp
n =2k (k∈N) ⇒A= 4k2, chia hết cho 4
n= 2k+1(k ∈N)⇒A = 4k2 +4k +1
= 4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4
Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1)
c) Các số 19932,19942 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3
dư 1,còn 19922 chia hết cho 3
Vậy M chia cho 3 dư 2,không là số chính phương
Các số 19922,19942 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4
Các số 19932,19952 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1
Vậy số N chia cho 4 dư 2,không là số chính phương
+Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các
số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1
Vậy không có số nào của dãy là số chính phương
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng
các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây:
+an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+ +abn-2+bn-1) (1)
+an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2- -abn-2+bn-1) (2)
với mọi số lẻ n
Công thức Niu-tơn
Trang 7(a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+ +cn-1abn-1+bn
Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng
tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c1,c2, cn-1 được xác định bởi tam giác Pa -xcan:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1 1
1 2 1
1 5 10 10 5 1
c1 c2 c3 c4
Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên a,b và số tự nhiên n :
an -bn chia hết cho a-b (a ≠b)
a2n+1 +b2n+1 chia hết cho a+b ( a≠-b)
(a+b)n =Bs a+bn (Bs a là bội của a)
Đặc biệt chú ý đến:
(a+1)n = Bs( a +1)
( a -1)n = Bs (a- 1)
(a-1)2n+1= Bs( a – 1)
*Tất cả các công thức Niu Tơn trên chỉ áp dụng cho học sinh các khối 8 , 9
Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn
Giải:
Cách 1:
Nếu n chẵn (n=2k, k∈N) thì
A= 162k -1 = (162)k -1 chia hết cho 162 -1
Theo hằng đẳng thức (1)
Mà 162 -1 =255 chia hết cho 17
Vậy A chia hết cho 17
Nếu n lẻ thì A = 16n +1 -2,
mà 16n+1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A không chia hết cho 17 vậy A chia hết cho 17 ⇔n chẵn.
Cách 2: A=16n -1 =(17-1)n -1
= B (17) +(-1)n -1(theo công thức Niu-tơn)
Nếu n chẵn thì A =B (17) +1-1 =B (17)
Nếu n lẻ thì A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2
Không chia hết cho 17
Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để
chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ 5 Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng
2004 2004 2004
Giải: Xét 2004 số :
A1 =2004
A2 =2004 2004
Trang 8
A2004=2004 2004 2004 (Nhĩm 2004 cĩ mặt 2004 lần).
Theo nguyên lý Dirich let, tồn tại hai số cĩ cùng số dư khi chia cho 2003 Gọi hai số đĩ là am và an (1≤n≤m≤2004)
Thì am -an chia hết cho 2003.Ta cĩ
am -an = 2004 2004 2004000 000
=
2004
2004
20042004
nnhóm
Do ( 104m, 2003) =1 nên
2004
2004
20042004
nnhóm
m=
Chia hết cho 2003
Bài tập tương tự:
Bài 1 Chứng minh rằng n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
Giải:
Ta cĩ n6 + n4 - 2n2
= n2 ( n4 +n2 - 2)
=n2 (n4 -1 + n2 -1 )
= n2 [ (n2 -1)(n2 +1) +(n2 -1)]
= n2 (n-1)(n+1)(n2 +2)
+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1
⇒n6 + n4 - 2n2 8
+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a ±1
n6 + n4 - 2n2 9
vậy n6 + n4 - 2n2 72 với mọi số nguyên n
Bài 2 Chứng minh rằng 32n -9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta cĩ B =32n -9= 9n - 9,nên B chia hết cho 9
Mặt khác B = 32n - 9 = (3n -1)(3n +1) -8
Do 3n -1,3n +1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8
Vậy B 72
* Bài tập tự làm
Chứng minh rằng
1.n3+6n2+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
2.n4-10n2+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ
DẠNG 2.Tìm số dư
Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2100
a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 23 = 8 = 9-1
Ta cĩ 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2100 cho 9 là 7
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
210 = 1024 =B(25) -1
Ta cĩ 2100= (210)10 =(B(25) -1)10 =B(25) +1
Trang 9Số dư khi chia 2100 cho 25 là 1.
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2100 = (5 - 1)50
=550-50.5049+ +
2
49 50
.52 -50.5+1
Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 Vậy 2100 chia cho 125 dư 1
Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia
hết cho 5 thì n100 chia cho 125 có số dư là 1
Thật vậy, n có dạng 5k ±1,5k±2.Ta có
(5k±1)100=(5k)100 ± +1002 99 (5k)2 ±100.5k+1
= B(125) +1
(5k±2)100=(5k)100 ± +
2
99 100
(5k)2.298 ±100.5k 299+ 2100 = B(125) +2100
Ta lại có 2100 chia cho 125 dư 1
Do đó (5k±2)100 chia cho 125 dư 1
Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân
Giải: Theo ví dụ trên ta có
2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này
Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376
Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376
Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 viết trong hệ thập phân
Giải:
Cách 1 Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn
tận cùng bằng 0625.Do đó
51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k
= 25.( 0625) = 5625
Cách 2 Ta thấy 54k -1 chia hêt cho 54 -1
= (52 -1)(52 +1) nên chia hết cho 16
Ta có: 51994 = 56( 5332 -1) +56
Do 56 chia hết cho 54, còn 5332 -1 chia hết cho 16 nên 56( 5332 -1) chia hết cho 10000
Và 56 = 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?
- Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
Giải: Xét hiệu của 7n +4- 7n = 7n( 74 -1)
= 7n 2400
Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống nhau
Trang 102.Tìm số dư của 2222+5555 cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
Giải: Ta có 2222 + 5555 =(B(7) +1)22 +(B(7) -1)55
= B(7) +1+ B(7) -1
= B(7)
Vậy2222 + 5555 chia hết cho 7
DẠNG 3 Tìm điều kiện để chia hết
Ví dụ 9: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n
Giải: Đặt tính chia:
n3 +2n2 -3n+2 n2 -n
- n3 - n2 n +3
3n2 -3n +2
- 3n2 -3n
2
Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)
Ta có:
Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 10
Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1
Giải: Ta có
n5 +1 chia hết cho n3 +1
⇔n2 (n3+1) - (n2 -1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
⇔ (n-1)(n+1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
⇔ n -1 chia hết cho n2 -n +1 (vì n+1 ≠0)
Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó không thể chia hết cho n2 - n +1 Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1
Ví dụ 11
Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
n -1 chia hết cho n2 -n +1
⇒ n(n-1) chia hết cho n2 -n +1
⇒ n2 -n chia hết cho n2 -n +1