SKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập

SKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tậpSKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập

Trang 1

A ĐẶT VẪN ĐỀ:

I Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Số học là ngành lõu đời nhất và đầy hấp dẫn của toỏn học, cỏc bài toỏn số học đó làm say mờ nhiều người, từ những nhà toỏn học lỗi lạc của mọi thời đại đến đụng đảo cỏc bạn yờu toỏn Thế giới cỏc con số, rất quan trọng với chỳng ta trong cuộc sống hàng ngày, là một thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bớ ẩn

Loài người đó phỏt hiện trong đú biết bao tớnh chất rất hay, nhiều quy luật rất đẹp và cú khi rất bất ngờ, đồng thời cũng đang chịu bú tay trước nhiều sự kiện, nhiều dự đoỏn Điều lý thỳ là nhiều mệnh đề khú nhất của số học được phỏt biểu rất đơn giản, ai cũng hiểu được; những bài toỏn khú cú thể giải rất sỏng tạo với những kiến thức số học phổ thụng

Chớnh vỡ cỏc lẽ trờn đõy mụn số học tuy chỉ được học ở 6-7 năm đầu của trường phổ thụng, nhưng cỏc bài toỏn số học luụn cú mặt trong cỏc đề thi học sinh giỏi ở tất cả cỏc cấp học, chẳng hạn như tớnh chất chia hết của một tổng

Chỉ với một lượng kiến thức rất nhỏ nhưng cú thể là chỡa khúa để giải rất nhiều dạng bài tập nếu người học nắm vững kiến thức biết vận dụng sỏng tạo, lụgic, nhằm phỏt triển được khả năng tư duy sỏng tạo cho học sinh,đặc biệt trong việc bồi dưỡng và nõng cao kiến thức cho học sinh lớp 6 cũng như việc giải cỏc bài toỏn trong chương trỡnh THCS

Vỡ vậy tụi chọn đề tài: “Vận dụng tớnh chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập”.

II Nhiệm vụ của đề tài:

Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Vận dụng tớnh chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập”

III ĐỐI TƯỢNG NGHIấN CỨU:

- Đối tượng khảo sỏt: học sinh lớp 6

IV PHƯƠNG pháp nghiên cứu:

- Phương phỏp nghiờn cứu tài liệu

- Phương phỏp thực hành

Trang 2

- Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệpvà bản thân khi dạy tính chất chia hết của một tổng

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Năng lực tư duy lô gic của các em học sinh lớp 6 chưa phát triển cao, việc vận dụng lý thuyết kiến thức linh hoạt, sáng tạo vào giải bài tập cụ thể với các em

là rất khó Do vậy hướng dẫn các em hiểu và biết vận dụng kiến thức đó là rất cần

thiết Qua giảng dạy tôi thấy, Tính chất chia hết của một tổng về mặt lý thuyết

rất đơn giản, dễ hiểu nhưng nó có thể vận dụng để giải được rất nhiều bài tập đồng thời nó rèn luyện tính tư duy sáng tạo cho học sinh

Muốn vận dụng được kiến thức vào giải bài tập thì trước hết phải nắm vững những kiến thức cơ bản

I Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa

Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b  o, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x= a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a:b = x

Khi đó: a là bội của b, b là ước của a

2 Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích

a Kiến thức cơ bản: Với a, b, mN, m, n 0

Tính chất 1: am, bm  (a + b)m; (a - b)m (ab)

Tính chất 2: am, bm  (a + b)m; (a - b)m (ab)

Tính chất 3: am k.am (kN)

Tính chất 4 : am, bn a.bm.n

b Kiến thức nâng cao: Với a, b, c, m, n, k1, k2N, m, n0

1 Tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiều số hạng

2 am, bm (k1.a + k2.b)m

3 am, bm, a + b+ cm cm

4 am, bm, a + b + cm  cm

5 ab  an

bn

II Hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải một số bài tập

Trang 3

Với kiến thức trờn đú là chỡa khúa để giải được rất nhiều bài tập

Dưới đõy tụi xin đưa ra hệ thống một số bài tập từ dễ đến khú ỏp dụng kiến thức trờn để giải

Bài tập 1: Chứng minh rằng:Với mọi số tự nhiờn n thỡ 60n + 45 chia hết cho 15,

nhưng khụng chia hết cho 30

Hướng dẫn giải:

Theo tớnh chất chia hết của một tổng, tớnh chất 1 : am, bm  (a + b)m

- Để chứng minh 60n+4515 ta chứng minh 60n 15 và 4515

15 45

) (

15 60















n N

n n

- Để chứng minh 60n + 4530

Theo tớnh chất 2: am, bm  (a + b)m

30 45

) (

30 60















n N

n n

Bài tập 2: Cho a - b chia hết cho 6 Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6.

a) a + 5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b.

a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a - b) + 6b  6 ( vì (a - b)  6 và 6b  6) b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6 [ vì (a - b)  6 và 18b6]

c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6 [ vì ( a - b )  6 và 12b  6]

Bài tập 3: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211

tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a0b;ab0 ;ba0 ;b0a

Tổng của các số đó là: a0bab0 ba0 b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.

Bài tập 4:

a) Tìm tất cả các số x,y để số 34x5 y chia hết cho 36.

Trang 4

b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4 ,5

Vì (4;9) = 1 nên 34x5 y chia hết cho 36 Û 34x5 y chia hết cho 9 và

y

x5

34 chia hết cho 4.

Ta có: 34x5 y chia hết cho 4 Û 5y chia hết cho 4 Û y{ 2;6}.

y

x5

34 chia hết cho 9 Û ( 3 + 4+ x + 5 + y) chia hết cho 9

Û (12 + x + y) chia hết cho 9

Vì x,y là các chữ số nên x+ y  { 6;15}.

Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)

Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9

Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956

b) Ta có : 21xy  5 ú y  {0;5}.

Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4

Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 ú x0 4  x  {0; 2; 4 ; 6 ; 8} (1)

0

21x  3 ú (2 + 1 + x + 0)  3 ú (3 + x) 3  x  {0; 3; 6; 9} ( 2) Kết hợp (1) và ( 2)  x  {0; 6}.

Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160

Bài tập 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với  a, b là số

tự nhiên.

Vì 1980  3 nên 1980.a  3 với  a.

Vì 1995  3 nên 1995.b  3 với  b

Nên (1980a + 1995b)  3.

Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b)  5 với  a, b mà (3,5) = 1.

 (1980 a + 1995b)  15

Bài tập 6: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x +

7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.

Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31

 ( 6x + 42 y)  31  6 ( x + 7y )  31

Trang 5

mµ ( 6, 31 ) = 1  ( x + 7y )  31 ( ®pcm).

Bài tập 7: Cho B = 23! + 19! - 15! Chứng minh rằng:

a B11

b, B110

Tương tự như bài tập 1 vận dụng tc1 mở rộng cho tổng có nhiều số hạng ,

Ta chứng minh các số hạng của B đều chia hết cho 11

n! = 1.2.3…n

B = 23! + 19! - 15!

=1.2.3.4….10.11…13 + 1.2.3……10.11……19 - 1.2….10.11…15

a Ta thấy: Mỗi số hạng của B đều có thừa số 11 11 nên B11

b, Mỗi số hạng của B đều có thừa số 10.11=110110 nên B110

Bài tập 8: Cho C = 1 + 3 + 32 + 32 +….+ 311 Chứng minh rằng:

a C13

b, C40

Ta thấy mổi hạng tử của C 13 nhưng nếu ta nhóm 3 số hạng đầu của C thì có tổng bằng 1313

1 + 3 + 32 = 1313

Mặt khác ta thấy C có 12 số hạng (12 3)

Vậy ta cử nhóm 3 số học tiên tiếp với nhau, mỗi nhóm đều 13

C = (1 + 3 + 32) + (33 + 34+ 35)+(36 + 37 + 38)+(39 + 310+ 311)

= (1 + 3+ 32) + 32(1 + 3 + 32) + 36(1 + 3 + 32) + 39(1 + 3 + 32)

 C13

b Tương tự câu a

Ta thấy 1 + 3 + 32 + 33 = 404

Và 12 4

C = 1 + 3 + 32 + 33 +….+ 311

Trang 6

= (1 + 3 + 32 + 33) + … + (38 + 39 + 310 + 311)

= (1 + 3 + 32) + 34(1 + 3 + 32 + 33) + 38(1 + 3 + 32 + 33)

 C40

Bài tập 9: a) Cho A = 2 + 22 + 23 + + 260.

Chứng minh rằng : A3; A7; A15

b) Cho B = 3 + 33 + 35 + + 31991 Chøng minh r»ng : B chia hÕt cho 13

vµ B chia hÕt cho 41.

*A = 2 + 22 + 23 + + 260 = ( 2 + 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260) =

= 2( 1 + 2) + 23 ( 1 + 2) + + 259 (1 + 2) = 2.3 + 23 3 + + 259 3 = = 3.(2 + 23 + + 259) chia hÕt cho 3

*A= (2 + 22+ 23) + (24 + 25 + 26) + + (258 + 259 + 260)

= 2.(1 + 2 + 4) + 24( 1 + 2 + 4) + + 258( 1 + 2 + 4)

= 2.7 + 24.7 + + 258.7 = 7( 2 + 24 + + 258)  7

*A= (2 + 22+ 23 + 24) + + (257 + 258 + 259 + 260)

= 2(1 + 2 + 4 + 8) + + 257( 1 + 2 + 4 + 8) = 15( 2 + 25 + + 257)

15.

VËy A 3, A  7 vµ A  15.

b) B = 3 + 33 + 35 + + 31991

= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+ 311) + + ( 31987+ 31989 + 31991)

= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+ 34) + + 31987(1+ 32+ 34)

= 3 91 + 37.91 + + 31987.91

= 91( 3 + 37 + + 31987)  13 ( v× 91  13)

B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + + 31985(1 + 32 + 34 + 36)

= 3 820 + 39 .820 + + 31985.820

= 820( 3 + 39 + + 31985)  41 ( v× 820  41)

Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n để: n + 6n + 2

ta có : ab a - bb

n + 6n + 2

Trang 7

 {n + 6 - (n + 2)}n + 2

 (n + 6 - n - 2)n + 2 4n + 2

Hay n + 2 là ước của 4

 n + 2{1 ; 2 ; 4}

Ta lập bảng tìm giá trị của n ta được n{0 ; 2}

Bài tập 11: CMR tổng của 3 số tự nhiên tiếp thì chia hết cho 3 Hướng dẫn giải:

Gọi 3 số tự nhiên tiếp là: n, n + 1, n + 2 (n  N)

Ta có: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 3 (n  N )

Bài tập 12: Cho 10k -1 19 với k > 1 Chứng minh rằng:

102k – 1 19

Ta biến đổi 102k-1 để vận dụng được 10k – 119

102k - 1 = 102k - 10k + 10k - 1= (102k - 10k) + (10k - 1)

= 10k (10k - 1) + (10k - 1)19

 102k – 1 19

Bài tập 13: Cho abc 37 Chứng minh rằng: bca 37

Ta vận dụng tính chất : am, bm, a + b + cm  cm Theo bài ra: abc 37

(100a + 10b + c)37

 10.(100a + 10b + c)37  100b + 10c + a + 999a37

Mà 99937 100b + 10c + a37 hay bca37

Bài tập 14: Cho a + 5b7 (a,bN) Chứng minh rằng: 10a + b7

Đặt: a + 5b = x; 10a + b = y

x7 nếu ta chứng minh được 10 x –y7 y7

Ta có: x7 10x7

Trang 8

10x-y=10 (a + 5b) - 10a-b = 50b - b=49b7

 y7 hay 10a + b7

Bài tập 15: Tìm UCLN của 2n + 1 và 9n + 4 (nN)

ta vận dụng tính chất : am, bm (k1.a + k2.b)m

Gọi UCLN (2n - 1; 9n + 4) là d

 2 (9n + 4) - 9(2n - 1)d 17d d{1;17}

Ta có: 2n - 117  2n - 1817  2(n - 9)17 n - 917

n = 17k + 9 (kN)

Nếu n 17k + 9 thì 2n - 117 và 9n + 4 = 9 (17k + 9) + 4

= bội 17 + 8517,

do đó (2n - 1, 9n + 4) = 17

Nếu n 17k + 9 thì 2n - 117  (2n - 1, 9n + 4) = 1

Bài tập 16: Chứng minh rằng: 2n + 1 và 3n + 1(nN) là 2 số nguyên tố cùng nhau Hướng dẫn giải:

Vận dụng tính chất chia hết của một tổng ta c/minh ƯC(2n + 1, 3n + 1) = 1

Thật vậy gọi dƯC (2n + 1, 3n + 1)  3(2n + 1) - 2(3n + 1)d

 1d d = 1 2n + 1 và 3n + 1(nN) là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài tập 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 thì dư 5 Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm n

Ta có: n - 15; n - 1 + 105; n + 95

n - 57; n - 5 + 147; n + 97

 n + 935

 n + 9 = 35.k (kN)

 số n nhỏ nhất là n = 26

Bài tập 18: Tìm nN sao cho phân số n 4 n có giá trị là số nguyên

Trang 9

phõn số n 4n cú giỏ trị là số nguyờn

Û n + 4n

Ta cú: n + 4n  n + 4 - nn

 4n hay n là ước của 4

 n{1 ; 2 ; 4}

Bài tập 19: Tỡm n để phõn số

3

1





n

(nZ, n 3) là phõn số tối giản

để phõn số 31





n

là phõn số tối giản thỡ n + 1và n - 3 là 2 số nguyờn tố cựng nhau

Gọi d là ước nguyờn tố của n + 1và n - 3 {n + 1- (n - 3)}d

 4d

d 2 n - 3 2k

 n là số chẵn

Bài tập 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1

Gọi d là ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)

 3n + 1  d  4.( 3n + 1)  d

4n + 1  d 3 ( 4n+1)  d

 ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d

 1  d  d = 1

 ( 3n + 1, 4n + 1) = 1

Bài tập 21:

a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?

b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?

Trang 10

a) Giả sử số viết thêm là abc Ta có 579abcchia hết cho 5, 7 ,9 suy ra

abc

579 chia hết cho 5 7 9 = 315 ( vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau)

Mặt khác 579abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 + abc)  315

Mà 315.1838 315 suy ra ( 30 + abc )  315

Do 30  30 + abc  30 + 999 = 1029

nên ( 30 + abc )  { 315; 630; 945}

suy ra abc  { 285; 600; 915}

Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.

b) Gọi số phải viết thêm là abc Ta có :

abc

523 chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên 523abc chia hết cho BCNN(6, 7, 8, 9)

= 504.

Mặt khác 523abc= 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc .

Vì 504 1037  504 nên ( 352 + abc )  504

ú abc = k.504 - 352 với k  N  k  { 1; 2 } ú abc  { 152 ; 656} Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656

C KẾT LUẬN:

Qua thực tế giảng dạy tụi thấy sau khi hướng dẫn cỏc em vận dụng kến thức

về tớnh chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập từ dễ đến khú,với mỗi dạng tuy khụng cú quy tắc tổng quỏt song sau khi giải giỏo viờn chỉ ra cho cỏc em một đặc điểm, một hướng giải quyết thỡ thấy cỏc em phỏt triển tư duy tốt và cú thể

tự vận dụng vào giải được nhiều bài tập hơn

Tớnh chất chia hết của một tổng khụng chỉ được ứng dụng trong tập hợp số tự nhiờn mà cũn được mở rộng trong tập hợp số nguyờn vỡ vậy học sinh cú thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương trỡnh THCS

Trờn đõy là một số kinh nghiệm của tụi trong quỏ trỡnh dạy toỏn lớp 6, lớp 7

Trang 11

Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót Rất mong sự góp ý của đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 6 Nhà xuất bản giáo dục

2- Nâng cao và phát triển Toán 6 Tác giả: Vũ Hữu Bình

3- Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục

4- Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số Nhà Xuất bản giáo dục

5- 23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	325,5 KB