Môđun Artin.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG MÔĐUN ARTIN Thầy giáo hướng dẫn Sinh viên thực hiện GS TS LÊ VĂN THUYẾT PHAN HỮU HIỆU MSSV 19S1011009 Huế, 6 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ[.]

KHOA TOÁN HỌC

TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

KHOA TOÁN HỌC

MÔĐUN ARTIN

TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

Thầy giáo hướng dẫnGS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Huế, 6-2021

MỤC LỤC

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 4

1.1.1 Môđun 4

1.1.2 Môđun con 5

1.1.3 Môđun thương 8

1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun 9

1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 10

1.3.1 Tích trực tiếp 10

1.3.2 Tổng trực tiếp 10

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện tiểu luận: “Môđun Artin” cùngvới sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, người đã trực tiếpgiảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quátrình thực hiện đề tài, đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ, động viêncủa các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Toán

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến

sĩ Lê Văn Thuyết đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành tốttiểu luận của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo

và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thànhtiểu luận này

Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế Hơn nữa do lần đầutiên làm quen với việc làm tiểu luận nên không tránh khỏi những thiếusót Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn Xinchân thành cám ơn!

Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021

Người thực hiện

LỜI GIỚI THIỆU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, Đại số là môn học quantrọng, là cơ sở tiên đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Ngày nay nhucầu học hỏi toán học nói chung và môn Đại số nói riêng của sinh viên khoaToán ngày càng tăng Để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểubiết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số

Trong đó một trong các đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc môđun

Vì vậy trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về "Môđun Artin"với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.Nội dung tiểu luận gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này tôi nhắc lại một số định nghĩa về môđun, môđun con,môđun con sinh ra bởi một tập, môđun thương, đồng cấu, tự đồng cấu,tích trực tiếp và tổng trực tiếp cũng như trình bày một số tính chất củaphần này có liên quan đến môđun Artin

Chương 2 Trình bày cách giải một số bài tập liên quan đến môđunArtin

Trong phần này tôi trình bày tổng cộng 7 bài tập liên quan đến môđunArtin

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương

1.1.1 Môđun

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành có đơn vị 1R 6= 0R; một R - môđuntrái (hay còn gọi là môđun trái trên R) là một nhóm Abel cộng M cùngvới một ánh xạ

f : R × M → M(a, x) 7→ f (a, x) = ax

được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:

f : M × R → M(x, a) 7→ f (x, a) = xa

được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:

Về kí hiệu nếu M là một R - môđun trái (phải) ta kí hiệu RM (MR)

để chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết Nếu không ta sẽ nói môđun thay chomôđun phải

Ví dụ 1.1.3

(i) Mỗi nhóm cộng Abel M đều được coi là Z - môđun

(ii) NếuK là một trường thì các K - môđun chính các không gian vectơtrên trường K

(iii) Mỗi iđêan phải của vành R - là một R - môđun Đặc biệt, mỗiiđêan của R là một R - môđun và bản thân R cũng là một R - môđun

1.1.2 Môđun con

Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một R - môđun phải Tập con N của M

được gọi là môđun con của M nếu N là môđun trên R với phép cộng vàphép nhân với vô hướng của M hạn chế trên N

Ví dụ 1.1.5

(i) Mỗi R - môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là bảnthân M và môđun con {0} Môđun con N của M được gọi là môđun conthực sự nếu N 6= {0} và N 6= M

(ii) Cho R - môđun M và x là một phần tử của M Khi đó tập con:

xR = {xr | r ∈ R}

là một môđun con của M Nó còn được gọi là môđun con xyclic sinh bởiphần tử x.

(iii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z - môđun concủa M

(iv) Mọi iđêan của một vành R có đơn vị 1R 6= 0R đều là một môđuncon của R

Bổ đề dưới đây sẽ cho ta một để cách kiểm tra các môđun con hiệu quả

Bổ đề 1.1.1 Cho M là một R - môđun phải Nếu N là tập con khác rỗngcủa M thì các điều kiện sau tương đương:

(i) N là môđun con trong M

là một tập sinh hay hệ sinh của N, kí hiệu N = |X) Trong trường hợp

N = M ta nói X là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi X

Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - môđun hữu hạnsinh Môđun con sinh bởi 1 phần tử chính là môđun con xyclic

Định nghĩa 1.1.7 Cho A là một môđun con thực sự của R - môđun M.Khi đó A là môđun con cực đại của M nếu A 6= M và nó không chứatrong một môđun con thực sự nào của M

Một cách tương tự, cho A là một môđun con thực sự của R - môđun

M Khi đó A là môđun con cực tiểu của M nếu A 6= {0} và nó khôngchứa một môđun con thực sự nào của M

Mệnh đề 1.1.3 NếuA, B là các môđun con củaR - môđunM vớiA ⊂ B.Khi đó với mọi môđun con C của M ta đều có:

đó R - môđun M/N, với phép cộng và phép nhân vô hướng được xác định

ở trên được gọi là môđun thương của R - môđun M trên môđun con N

(ii) Cho I là một iđêan hai phía của vành R có đơn vị 1R 6= 0R Khi

đó R/I vừa có cấu trúc vành thương của vành R trên iđêan I, vừa có cấutrúc môđun thương của R - môđun R trên môđun con I

1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai môđun M, N là các R - môđun Khi đó, mộtánh xạ f : M → N thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xa) = f (x)a

với mọi x, y ∈ M, a ∈ R, được goi là một đồng cấu R - môđun từ M vào

N Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứngđược gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

(i) f (U ) là môđun con của N

(ii) f−1(V ) là môđun con của M

Nhận xét 1.2.3 Im(f ) và Ker(f ) là những môđun con tương ứng của

Mi ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi+ yi)i∈I

Mi là R - môđun được gọi là tích trực tiếp của họ

R - môđun (Mi)i∈I Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu Q

Khi đó với mọi (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ ⊕

i∈IMi, a, b ∈ R, vì (xi)i∈I và (yi)i∈I cógiá hữu hạn, nên

(xi)i∈Ia + (yi)i∈Ib = (xia + yib)i∈I

CHƯƠNG2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN

Định nghĩa 2.0.1 Một R - môđun M được gọi là môđun Artin nếu mỗitập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cựctiểu theo quan hệ bao hàm

Bài tập 2.1 Chứng minh rằng môđun M là Artin nếu và chỉ nếu mọidãy giảm các môđun con của nó:

M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃

đều dừng, tức là có một số n sao cho Mn = Mn+1 =

Lời giải (⇒) Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ là một dãy giảm các môđuncon của M

Vì M là môđun Artin nên tập {Mi | i ≥ 0} các môđun con của M cómột phần tử cực tiểu, chẳng hạn đó là Mn, khi đóMk = Mn, ∀k ≥ n (theotính chất của môđun con cực tiểu)

(⇐) Giả sử S là một tập con khác rỗng các môđun con của M và S

không có phần tử cực tiểu

Vì S 6= ∅ nên ta chọn được một môđun con M0 ∈ S

Khi đó, vì M0 không cực tiểu nên sẽ tồn tại M1 là môđun con thực sựcủa M0

Cứ tiếp tục như thế, ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy giảm M0 ⊃ M1 ⊃

M2 ⊃ không dừng các môđun con của M (mâu thuẫn)



Bài tập 2.2 Giả sử N là một môđun con của M Chứng minh rằng M

là Artin nếu và chỉ nếu các môđun N và M/N đều Artin

Lời giải (⇒) Giả sử M là môđun Artin Trước hết, ta sẽ chứng minh N

là môđun Artin

Thật vậy, vì mỗi tập hợp khác rỗng các môđun con trong N cũng làtập hợp khác rỗng các môđun con trong M nên trong tập hợp này cũng

có phần tử cực tiểu Do đó N là môđun Artin

Tiếp theo ta sẽ chứng minh M/N là môđun Artin

Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ là dãy giảm các môđun con của môđun

M/N Xét phép chiếu chính tắc:

p : M → M/N

Khi đó sẽ tồn tại một dãy giảm các môđun con của M là N0 ⊃ N1 ⊃

N2 ⊃ sao cho p(Ni) = Mi, với i ≥ 0

Nhưng vì M là môđun Artin nên dãy N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ là dãy dừngtức là tồn tại một số n sao cho Nn = Nn+1 = , từ đó suy ra tồn tại một

số n sao cho p(Nn) = p(Nn +1) = hay Mn = Mn +1 =

Do đó M/N là môđun Artin

(⇐) Giả sử N và M/N là môđun Artin

Xét dãy giảm bất kì các môđun con của M: M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ Khi đó ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N:

M0 ∩ N ⊃ M1 ∩ N ⊃ M2 ∩ N ⊃

Và dãy giảm tương ứng các môđun con của M/N:

p(M0) ⊃ p(M1) ⊃ p(M2) ⊃

= Mn+1 ∩ (N + Mn) = Mn+1 ∩ (N + Mn+1) = Mn+1 =

Do đó M là môđun Artin

Bài tập 2.3 Chứng minh rằng Z-môđun Z không Artin

Lời giải Để chứng minh Z-môđun Z không Artin ta sẽ chỉ ra một dãygiảm các môđun con của ZZ sao cho dãy này không dừng

Thật vậy, với mọi a ∈ Z, a /∈ {0, ±1}, ta có dãy giảm không dừng cácmôđun con của ZZ là:

aZ ⊃ a2Z ⊃ a3Z ⊃

Do đó Z-môđun Z không Artin

Bài tập 2.4 Các ví dụ về môđun Artin

Lời giải Trước tiên ta sẽ chấp nhận một mệnh đề như sau:

Mệnh đề 2.4.1 Dãy các môđun con của môđun M:

M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ⊃ Mn = 0

(bao hàm ngặt) là dãy thoả mãn không có môđun con của M nào có thể

bổ sung vào dãy khi và chỉ khi Mi−1/Mi là đơn

(i) Mọi môđun đơn (nghĩa là không có môđun con nào ngoài 0 và chínhnó) đều là môđun Artin

(ii) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường đều là môđunArtin Thật vậy, giả sử VK là một không gian vectơ hữu hạn chiều trêntrường K và {x1, x2, , xn} là một cơ sở của nó Khi đó:

V ⊃ x1K + x2K + + xnK ⊃ ⊃ x1K + x2K ⊃ x1K ⊃ 0

là một dãy các môđun con của V

Vìx1K+ +xiK là các môđun con cực đại của môđunx1K+ +xi+1K

nên (x1K + + xi +1K)/(x1K + + xiK) là các môđun đơn

Khi đó: Z - môđun Qp là môđun Artin Ta có thể tham khảo chứngminh sau đây

môđun con thực sự của Qp/Z Từ đó suy ra rằng mỗi tập không rỗngnhững môđun con của Qp/Z đều có môđun con nhỏ nhất.

Trước hết ta có nhận xét rằng nếu(a, p) = 1thì

a

pi +Z



Vì a

piZ ⊂ 1

piZ nên

1

pi +Z

 Do đó nhận xét trên đượcchứng minh

Bây giờ nếu B là môđun con của Qp/Z thì có thể xảy ra 2 trường hợp:Trường hợp 1: Đối với mỗi n ∈ N tồn tại i ∈ N sao cho i ≥ n và

Lời giải Không mất tính tổng quát ta xét tích trực tiếp của hai môđun.Giả sử M = N × P thì N ∼= N × {0} và P ∼= M/N × {0}, vớiN là môđuncon của M

Vì N là môđun con của M Nên theo bài tập 2.2 ta được: M là Artinkhi và chỉ khi N và P là Artin

Bài tập 2.6 Giả sử h là một tự đồng cấu của môđun Artin M Chứngminh rằng nếu h là một đơn cấu thì h là một đẳng cấu.

Lời giải Giả sử h : M → M là một tự đồng cấu của R - môđun Artin

M và h là đơn cấu Ta có dãy giảm các môđun con của M là:

M ⊃ h(M ) ⊃ h2(M ) ⊃ h3(M ) ⊃

Do M là môđun Artin nên dãy trên phải dừng, tức là tồn tại một số n

Bây giờ ta sẽ chứng minh h là một toàn cấu

Thật vậy, với mọi a ∈ M, theo (1) ta được: hn(a) ∈ hn+1(M ) do đó sẽtồn tại b ∈ M sao cho:

Lời giải

(i) Mọi trường đều là vành Artin

(ii) Tất cả các vành có hữu hạn iđêan đều là vành Artin, ví dụ như vành

Z/nZ với n là số nguyên

(iii) Với mỗi n ≥ 1, vành ma trận vuông Mn(R)trên một vành R Artinphải là vành Artin phải.

(iv) Với K là một trường Khi đó môđun thương K[t]/tn là vành Artinvới mọi số nguyên dương n

(v) Vành số nguyên Z không phải là một vành Artin vì Z không phải

KẾT LUẬN

Qua quá trình tìm hiểu tài liệu, tôi vừa có thể ôn tập lại các kiến thức

về cấu trúc môđun, tôi vừa tìm hiểu thêm được thế nào là một môđunArtin, đưa ra các ví dụ về môđun Artin, vành Artin và chứng minh đượcmột số tính chất của môđun Artin thông qua việc giải các bài tập

Qua quá trình tìm hiểu, tôi nhận thấy mình đã bước đầu thành côngtrong việc thực hiện một tiểu luận Tôi bước đầu có thể tìm hiểu thêm vềmột vấn đề mới nằm ngoài chương trình học tập Đây là nền tảng giúp tôi

có thể thực hiện các tiểu luận hay khóa luận sau này

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến

sĩ Lê Văn Thuyết, ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và các bạnsinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành tiểu luậnnày

Mặc dù đã cố gắng nhưng do thời gian chuẩn bị chưa nhiều và lần đầulàm quen với việc làm tiểu luận nên không thể tránh khỏi sai sót Rấtmong được sự góp ý của thầy và các bạn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyếtmôđun và vành, NXB Giáo dục

[2] Dương Quốc Việt (2017), Cơ sở lí thuyết Module, NXB Đại học Sưphạm

[3] Văn Nam - Phan Văn Thiện (2012), Đại số đại cương nâng cao,Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

[4] F Kasch (1982), Modules und Rings, Academic Press

[5] Wikipedia (2021), [Artinian ring, https://en.wikipedia.org/wiki/Artinian_ring]