Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)

Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và khôngtrùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thựchiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015

Người viết Luận văn

Hoàng Thị Dung

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂNHOÀNG giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhândịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tàiliệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thờigian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện Toán học vàĐại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượtqua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, KhoaSau đại học, Sở GD - ĐT Cao Bằng, Ban Giám hiệu và Tổ Toán-Tin Trường THPTChuyên Cao Bằng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi

có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015

Người viết Luận văn

Hoàng Thị Dung

Mục lục

1.1 Vành và môđun Artin 4

1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin 6

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 10

1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 12

1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất 14

2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin 17 2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s và một số tính chất 17

2.2 Chứng minh Định lý 1 26

3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin 30 3.1 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, và dãy chặt từ chiều > s 30

3.2 Chứng minh Định lý 2 32

Mở đầu

Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với

iđêan cực đại duy nhất là m Giả thiết A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun

hữu hạn sinh có chiều dim M = d Kí hiệu AssRM là tập các iđêan nguyên tố liên kếtcủa M Tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết của A được kí hiệu là AttRA (theo I G.Macdonald [7])

Với mỗi iđêan I là của R, ta biết rằng tập AssR(M/InM) và AttR(0 :AIn) không phụthuộc vào n khi n đủ lớn (xem bài báo của M Brodmann [1, 12]), và vì thế các tập

Cho s ≥ −1 là số nguyên Với mỗi tập con T của Spec(R), ta kí hiệu Ts (tương ứng,

T≥s, T>s) là tập gồm tất cả p ∈ T sao cho dim(R/p) = s (tương ứng, dim(R/p) ≥ s,dim(R/p) > s) Theo Brodmann-Nhàn [2], một dãy (x1, , xk) các phần tử của R đượcgọi là M−dãy từ chiều > s nếu xi ∈ p với mọi p ∈ Ass/ R(M/(x1, , xi−1)M)>s vớimọi i = 1, , k Nếu mọi hoán vị của dãy x1, , xk cũng là M−dãy từ chiều > s thì(x1, , xk) được gọi là M−dãy từ chiều > s hoán vị được Chú ý rằng nếu (x1, , xk) làM−dãy từ chiều > s hoán vị được thìS

n1, ,nk(AssRM/(xn1

1 , , xnk

k )M)≥slà tập hữu hạn(xem [2, Proposition 2.6]) Từ đó một câu hỏi được L T Nhàn-N V Hoàng [9] đặt ra là

tìm điều kiện của dãy (x1, , xk) để các tập hợp S

là các tập hợp hữu hạn Năm 2014, trong một bài báo chung của Nhàn-Hoàng (xem [9]),

họ đã trả lời khẳng định cho câu hỏi trên, cụ thể là các định lý sau

Định lí 1 Giả sử (x1, , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s Khi đó tập (AttR(0 :A

Định lí 2 Giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là

Cohen-Macaulay Lấy (x1, , xk) là M− dãy chặt từ chiều > s Khi đó ta có

Mục đích chính của luận văn này là trình bày chi tiết lại các kết quả như đã nêu trên

trong bài báo [9]: L T Nhan and N V Hoang (2014), “A finiteness result for attached

primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications,

Vol 13, 1350063 (14 pages) Bên cạnh đó để việc trình bày có hệ thống và rõ ràng hơn,

luận văn cũng bổ sung một số kiến thức từ các tài liệu như sách Commutative Ring

Theory(của H Matsumura [8]), và một số bài giảng của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường,PGS.TS Lê Thanh Nhàn, TS Nguyễn Văn Hoàng về đại số giao hoán và đại số đồng

điều

Luận văn được chia làm 3 chương Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết

được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương sau Một số kiến thức được trình

bày ở đây là: Vành và môđun Artin, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng

điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối ngẫu Matlis và một số tính

chất Trong phần đầu của Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s

và một số tính chất Phần sau của chương dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định

lý 1 Chương 3 sẽ chứng minh chi tiết cho Định lý 2 Trong đó, trước mỗi phần chứng

minh, chúng tôi có đưa ra một vài tính chất có liên quan khi cần thiết

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm đưa ra một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ

thống và những kiến thức đó thực cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả ở những

chương sau Chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán có đơn vị Kiến thức ở

chương này được trích từ một số sách [3], [7], [8]

1.1 Vành và môđun Artin

Định nghĩa 1.1.1 (Vành và môđun Artin) Cho R là vành giao hoán và A là R− môđun.

Khi đó A được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của A đều dừng,

nghĩa là nếu

A0⊇ A1 ⊇ ⊇ An⊇

là một dãy giảm dần các môđun con của A thì tồn tại k ∈ N sao cho Ak= An với mọi n ≥ k.Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R− môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các

iđêan của R đều dừng

Mệnh đề sau cho ta một điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin

Mệnh đề 1.1.2 Cho R là vành giao hoán và A là một R− môđun Khi đó các điều kiện

sau là tương đương

(i) A là môđun Artin.

(ii) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của A đều có phần tử cực tiểu.

Để đề cập đến một vài tính chất của môđun Artin, sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm độ

dài của môđun

Định nghĩa 1.1.3 Cho R là vành giao hoán khác không và M là một R− môđun.

(i) Một dãy M0 ⊂ M1⊂ ⊂ Mn = M các môđun con của M được gọi là một xích

(ii) Xích 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M được gọi là một dãy hợp thành của M nếu

Mi+1/Milà các môđun đơn với mọi i = 0, 1, , n − 1, tức là Mi+1/Micó đúng hai môđuncon là 0 và chính nó

(iii) Độ dài của M, kí hiệu là `R(M), là cận trên đúng của các độ dài của các xích códạng 0 = M0 ⊂ M1⊂ ⊂ Mn= M, trong đó Mi6= Mi+1 với mọi i = 0, 1, , n − 1

Một R− môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành

Trong trường hợp này các dãy hợp thành của M có cùng độ dài và khi đó độ dài của M

chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của M Hơn thế nữa mỗi dãy tăng hoặc

giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp

thành

Định lý 1.1.4 Ta có các phát biểu sau là đúng.

(i) Nếu R là vành Artin thì mọi iđêan nguyên tố của R đều tối đại.

(ii) Nếu R là vành Artin thì R có hữu hạn iđêan tối đại.

Định nghĩa 1.1.5 (Chiều Krull) Cho R là một vành giao hoán, một dãy giảm thực sự

các iđêan nguyên tố p0⊃ p1⊃ · · · ⊃ pncủa vành R được gọi là một xích nguyên tố có độ

dài n Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của

R, hay chiều của vành R, kí hiệu là dim R

Định nghĩa 1.1.6 (Độ cao của iđêan) Cho R là một vành giao hoán và p là iđêan nguyên

tố của R Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p = p0 ⊃

p1⊃ · · · ⊃ prxuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p) Cho I là một iđêancủa R Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được cho bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ Var(I)} trong

đó Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

Định nghĩa 1.1.7 (Chiều của môđun - xem [8, Trang 31]) Cho R là một vành giao

hoán và M là một R− môđun Khi đó, chiều của M, kí hiệu là dim M được xác định

bởi dim M = dim(R/ Ann(M)), trong đó Ann(M) = {a ∈ R | aM = 0} Nếu M là môđun

không thì ta quy ước dim M = −1

Mệnh đề 1.1.8 R 6= 0 là vành Artin nếu và chỉ nếu R là vành Noerther và dim R = 0.

Bổ đề 1.1.9 Cho (R, m) là vành địa phương Cho A là R− môđun Các phát biểu sau là

đúng.

(i) `(A) < ∞ khi và chỉ khi A vừa là Noether vừa là Artin.

(ii) Cho `(A) = n < ∞ là môđun có độ dài hữu hạn Khi đó mnA= 0.

1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I.G.Macdonald [7] được xem như là đối

ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether Dưới đây là

một số kiến thức cơ bản về lý thuyết này (được trích từ [7])

Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một R− môđun Ta nói S là môđun thứ cấp nếu S 6= 0, và

với mỗi x ∈ R ta có xS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho xnS= 0 Trong trường hợp này ta

có p = Rad(AnnR(A)) là iđêan nguyên tố của R Khi đó, ta gọi S là môđun p−thứ cấp.

Định nghĩa 1.2.2 Cho A là R− môđun Một biểu diễn thứ cấp của A là một biểu diễn

A thành tổng của hữu hạn các môđun con thứ cấp của A Một biểu diễn thứ cấp A =

A1+ · · · + At của A (trong đó Ai là pi− thứ cấp với mọi i = 1, ,t) được gọi là tối giảnkhi nó thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) p1, , pt là t iđêan nguyên tố khác nhau đôi một của R

(ii) Aj* ∑t1=i6= jAi với mọi j = 1, ,t

Ta nói một R− môđun A là biểu diễn được nếu nó có một biểu diễn thứ cấp nào đó Ta

dễ thấy nếu R− môđun A biểu diễn được thì nó luôn có một biểu diễn thứ cấp tối giản

Định nghĩa 1.2.3 Cho A là một R− môđun biểu diễn được và A = A1+ · · · + At với

Ai là pi− thứ cấp (1 ≤ i ≤ t) là một biểu diễn thứ cấp tối giản của A Khi đó, tập hợp{p1, , pt} được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là Att(A) hoặc

AttRA Mỗi phần tử của tập AttRAđược gọi là iđêan nguyên tố gắn kết của A.

Mệnh đề 1.2.4 Nếu R− môđun A là biểu diễn được thì tập AttRA chỉ phụ thuộc vào

A mà không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Cho p là iđêan

nguyên tố của R, khi đó các khẳng định sau là tương đương

(i) p ∈AttRA.

(ii) A có môđun thương là p− thứ cấp.

(iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p.

(iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên

tố chứaAnnR(Q)

(v) A có môđun thương Q sao choAnnR(Q) = p

Mệnh đề 1.2.5 (xem [7]) Cho R là vành giao hoán Noether, A là R− môđun biểu diễn

được Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.

(i)AttRA= /0 khi và chỉ khi A = 0.

(ii)AttRA= {m} khi và chỉ khi A 6= 0 và `R(A) < ∞

(iii) Nếu0 → A0→ A → A00→ 0 là dãy khớp các R− môđun Artin thì

AttRA00⊆ AttRA⊆ AttRA0∪ AttRA00

(iv)min AttRA= min Var (AnnRA) Đặc biệt, ta có

dim (R/AnnRA) = max {dim (R/p) | p ∈ AttRA}

Mệnh đề 1.2.6 Cho A là một R− môđun Artin Khi đó A là môđun biểu diễn được và

AttRA là tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.2.7 Cho A là R− môđun Artin và x ∈ R Khi đó các phát biểu sau là đúng

(i) xA = A nếu và chỉ nếu x ∈ R\S

p∈Att R Ap

(ii)pAnn(A) =T

p∈Att R Ap

Định nghĩa 1.2.8 (Tôpô m - adic) Cho (R, m) là vành Noether địa phương Khi đó, một

dãy (xn) ⊆ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước,tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn− xm∈ mkvới mọi n, m ≥ n0 Dãy (xn) được gọi là hội tụ

về 0 nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0sao cho xn∈ mk

với mọi n ≥ n0 Ta trang

bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn) đượcgọi là tương đương nếu dãy (xn− yn) có giới hạn 0 Kí hiệu bRlà tập các lớp tương đương.Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn+ yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) khôngphụ thuộc vào cách chọn các đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép

toán trên bRvà cùng với hai phép toán này, bRlàm thành một vành Noether địa phương với

iđêan tối đại duy nhất là m bR Vành bRvừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô

m− adic của R

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N chotrước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn− zm∈ mkMvới mọi n, m ≥ n0 Từ khái niệm dãyCauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m−

adic trên vành bR Môđun này được kí hiệu là bM

Chú ý 1.2.9 Kí hiệu bRlà vành đầy đủ theo tôpô m− adic Cho u ∈ A và cho x = [(xn)] ∈

b

R, trong đó xn ∈ R Khi đó (u) = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó làmôđun Artin Chú ý rằng (u) là hữu hạn sinh Vì thế (u) vừa là môđun Artin, vừa là

môđun Noether Do đó (u) là môđun có độ dài hữu hạn Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao

cho mku= 0 Vì (xn) là dãy Cauchy, nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn− xm∈ mk vớimọi m, n ≥ n0 Do đó ta có (xn− xm)u = 0 với mọi m, n ≥ n0 Suy ra xnukhông đổi khi

n≥ n0 Do đó ta có thể định nghĩa xu = xnu với n ≥ n0 Dễ kiểm tra được đây là mộtphép nhân với vô hướng trên A Do đó A có cấu trúc bR− môđun Với cấu trúc này, mộttập con của A là một R− môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là bR− môđun con của A

Vì thế dàn môđun con của A xét như bR− môđun chính là dàn môđun con của A xét nhưR− môđun Do đó A là một R− môđun Artin.b

Ta có thể đồng nhất R như một vành con của bR bằng cách coi mỗi phần tử a ∈ R là

lớp tương đương của dãy hằng (an) trong bR, trong đó an= a với mọi n

Chú ý rằng với mỗi R− môđun hữu hạn sinh M ta có AssRM= {p ∩ R |bp∈ Ass

b

RM}.bDưới đây là kết quả tương ứng cho các iđêan nguyên tố gắn kết

Mệnh đề 1.2.10 (xem [3, 8.2.4 và 8.2.5]) AttRA= {bp∩ R | bp∈ Att

b

RA}

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A Grothendieck vào những năm 1960

Ngày nay đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong Hình học

đại số, Đại số giao hoán Trước hết ta giới thiệu khái niệm hàm tử I− xoắn

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm tử I− xoắn) Cho I là iđêan của R Với mỗi R− môđun M, ta

định nghĩa

ΓI(M) = [

n≥0

(0 :MIn)

Nếu f : M → N là đồng cấu các R− môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f∗ : ΓI(M) →

ΓI(N) cho bởi f∗(m) = f (m) Khi đó ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớptrái từ phạm trù các R− môđun đến phạm trù các R− môđun ΓI(−) được gọi là hàm tử

I− xoắn

Định nghĩa 1.3.2 (Môđun nội xạ) Một R− môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi

đơn cấu f : N → N0và mọi đồng cấu g : N → M, thì tồn tại R− đồng cấu h : N0→ M sao

cho g = h ◦ f

Định nghĩa 1.3.3 (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R− môđun M là một dãy khớp

0 → M−→ Eµ 0 −→ Ef0 1−→ Ef1 2−→ · · ·f2

trong đó Eilà các R− môđun nội xạ với mọi i ≥ 0

Chú ý 1.3.4 Giải nội xạ của một môđun M luôn tồn tại.

Định nghĩa 1.3.5 (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R− môđun và I là iđêan

của R Cho giải nội xạ của M

−→ ΓI(E1) f

∗ 1

−→ ΓI(E2) f

∗ 2

−→ · · ·

Khi đó HIi(M) = Ker fi∗/ Im fi−1∗ (với mọi i ≥ 0) là môđun đối đồng điều thứ i của phức

và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan I

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương

HIn(M00) → HIn+1(M0) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → ΓI(M0) → ΓI(M) → ΓI(M00) → HI1(M0)

→ HI1(M) → HI1(M00) → HI2(M0) → · · ·

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử

địa phương hóa

Mệnh đề 1.3.7 Nếu S là tập đóng nhân của R và S−1 là hàm tử địa phương hóa thì

S−1HIn(M) ∼= HSn−1I(S−1M) Đặc biệt, (HIn(M))p∼= Hn

IRp(Mp) với mọi iđêan nguyên tố p

của R.

Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.3.8 Với mỗi p ∈ Spec R, ta có p ∈ Ass HIn(M) nếu và chỉ nếu pRp∈ Ass HIRn p(Mp).

Tiếp theo ta xét thêm một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa

phương

Mệnh đề 1.3.9 Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R− môđun hữu

hạn sinh Khi đó Hmi (M) là môđun Artin với mọi i.

Định lý 1.3.10 (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Cho R là vành giao hoán Noether, I là

iđêan của R và M là R− môđun Khi đó HIi(M) = 0 với mọi i > dim(M).

Mệnh đề 1.3.11 Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R,

M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0 có chiều bằng n Khi đó HIn(M) là môđun Artin.

1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun

Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy cho một môđun M trên vành R tùy ý

Định nghĩa 1.4.1 (M− dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−

môđun hữu hạn sinh khác 0 Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M−chính quy nếu a

không là ước của 0 trong M (tức là nếu có x ∈ M mà ax = 0 thì suy ra x = 0) Một dãy

các phần tử a1, , an∈ R được gọi là M− dãy chính quy nếu

(i) M/(a1, , an)M 6= 0 và

(ii) ai là phần tử M/(a1, , ai−1)M− chính quy, với mọi i = 1, , n

Dãy các phần tử (a1, , an) ∈ R được gọi là M- dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa

mãn điều kiện (ii) trong định nghĩa trên

Độ dài của M− dãy là số phần tử của dãy đó Một M− dãy không có phần tử nào gọi

là M− dãy có độ dài 0

Chú ý 1.4.2 Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R Khi đó

(i) a ∈ R là phần tử M− chính quy nếu và chỉ nếu a /∈ p với mọi p ∈ AssRM

(ii) a1, , an ∈ R là M− dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1, , an)M 6= 0 và ai ∈/

p, ∀p ∈ AssRM/(a1, , ai−1)M với i = 1, , n

Mệnh đề 1.4.3 (xem [8, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Cho (R, m) là vành địa phương,

M là R− môđun hữu hạn sinh và (a1, , ak) ∈ m là M− dãy chính quy thì

(i) (an1

1 , , ank

k ) là M− chính quy với mọi số nguyên dương n1, , nk.

(ii)AssR(M/(an1

1 , , ank

k )M) = AssR(M/(a1, , ak)M)

Định nghĩa 1.4.4 (M− dãy chính quy tối đại) Cho R là vành giao hoán Noether và M

là R− môđun hữu hạn sinh khác 0 Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM và a1, , an

là M− dãy chính quy trong I Ta nói rằng a1, , an là M− dãy chính quy tối đại trong I

nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1, , an, an+1 là M− dãy chính quy có độdài n + 1.

Định nghĩa 1.4.5 (Độ sâu của môđun) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−

môđun hữu hạn sinh khác 0 Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM Khi đó mọi dãy chính

quy của M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I và các dãy

chính quy tối đại của M trong I có cùng độ dài Độ dài chung này được gọi là độ sâu của

Mtrong I Kí hiệu là depth(I, M) Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M) = ∞

Nhận xét: Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại m Khi đó mọi M−dãy chính

quy a1, , an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M 6= (a1, , an)M Chú ý ta có

M 6= mM khi M 6= 0 theo Bổ đề Nakayama Do đó dãy các phần tử của R là M− dãychính quy khi và chỉ khi nó là M− dãy chính quy trong m Trong trường hợp này, độ sâu

của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M

Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa

phương

Mệnh đề 1.4.6 Giả sử I là iđêan của R và M là hữu hạn sinh Khi đó

depth(I, M) = inf{i | HIi(M) 6= 0}

1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất

Cho A là R− môđun Artin khác không trên vành địa phương (R, m) Khi đó, theo chú

ý 1.2.9 A có cấu trúc tự nhiên của bR− môđun Artin Do có cấu trúc đặc biệt như vậynên người ta có thể chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kì

về việc nghiên cứu trên vành địa phương Hơn nữa, việc nghiên cứu cấu trúc của môđun

Artin trong một số trường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý

thuyết đối ngẫu Matlis Dưới đây là một số tính chất của đối ngẫu Matlis hay được sử

dụng trong luận văn (trích từ tài liệu [3])

Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ Đặt E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng

dư R/m của R Xét hàm tử D(−) = HomR(−, E(R/m) từ phạm trù các R− môđun vàR− đồng cấu vào chính nó Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp Với

mỗi R− môđun K, ta sẽ gọi D(K) là đối ngẫu Matlis của K Ta kí hiệu bRvà bK là đầy đủ

của R và K đối với tô pô m− adic Một vành R gọi là đầy đủ nếu bR= R Khi đó ta có các

kết quả sau

Mệnh đề 1.5.1 Giả sử (R, m) là vành giao hoán địa phương, Noether, đầy đủ Khi đó

(i) Nếu N là R− môđun Noether thì D(N) là R− môđun Artin.

(ii) Nếu A là R− môđun Artin thì D(A) là R− môđun Noether.

(iii) Nếu M là hữu hạn sinh thì D(M) là R− môđun Artin.

(iv) Trong trường hợp khi R không nhất thiết đầy đủ, ta luôn có D(L) là b R - môđun

hữu hạn sinh với mọi R− môđun Artin L.

Mệnh đề 1.5.2 Cho (R, m) là vành Noether địa phương đầy đủ, N là R− môđun Noether,

A là R− môđun Artin và j, a ∈ N, j > 0 Khi đó

(i) D(IaN/Ia+ jN) ∼= (0 :D(N)Ia+ j)/(0 :D(N)Ia)

(ii) D((0 :AIa+ j)/(0 :AIa)) ∼= IaD(A)/Ia+ jD(A)

(iii)AttR(0 :AIa) = AssRD(A)/IaD(A)

Mệnh đề 1.5.3 Cho R là vành địa phương, đầy đủ Khi đó

(i) Nếu N là R− môđun Noether thìAttR(D(N)) = AssR(N).

(ii) Nếu A là R− môđun Artin thìAssR(D(A)) = AttR(A).

Chương 2

Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với

iđêan cực đại duy nhất là m Cho A là một R− môđun Artin và M là một R− môđun hữu

hạn sinh có dim M = d Kiến thức được trình bày trong chương này dựa vào bài báo [9]

2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s và một số tính chất

Với mỗi tập con S của Spec(R) và mỗi s ∈ Z (mà s ≥ −1), ta kí hiệu

S>s= {p ∈ S | dim(R/p) > s}, và S≥s= {p ∈ S | dim(R/p) ≥ s}

Trước hết ta giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s cho các môđun Artin

Định nghĩa 2.1.1 Một dãy các phần tử (x1, , xk) trong m được gọi là A− đối dãy từ

chiều >snếu xi∈ p với mọi p ∈ (Att/ R(0 :A(x1, , xi−1)R))>svới mọi i = 1, , k

Rõ ràng rằng một A− đối dãy từ chiều > −1 chính là một A− đối dãy đã được định

nghĩa bởi A Ooishi trong [10]

Sau đây ta trình bày thêm một số tính chất về các iđêan nguyên tố gắn kết của các

môđun Artin với một số điều kiện nhất định

Bổ đề 2.1.2 Các phát biểu sau là đúng.

(i) Nếu x ∈ m sao cho x / ∈ p với mọi p ∈ (AttRA)>sthì dim (R/ AnnR(A/xA)) ≤ s.

(ii)dim (R/ AnnRA) ≤ s nếu và chỉ nếu (AttRA)>s= /0 Trong trường hợp này, với bất

kì môđun con B của A ta luôn có (AttRB)s⊆ (AttRA)s.

Chứng minh. (i) Lấy A = A1+ · · · + At là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó

Ai là pi− thứ cấp với mọi i = 1, ,t Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằngtồn tại số nguyên r mà 0 ≤ r ≤ t sao cho dim (R/pi) > s với mọi i ≤ r và dim (R/pi) ≤ svới mọi i > r Như vậy từ giả thiết suy ra rằng phần tử x ∈ m thỏa mãn x /∈ pi với mọi

1 ≤ i ≤ r Từ đó suy ra xAi= Aivới mọi i ≤ r Do đó ta có

A/xA = (A1+ · · · + Ar) + B

(A1+ · · · + Ar) + xB (trong đó B = Ar+1+ + At)

= (A1+ · · · + Ar+ xB) + B(A1+ · · · + Ar+ xB)

∼

B∩ (A1+ · · · + Ar+ xB).Kết hợp với Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có

dim(R/ AnnR(A/xA) ≤ dim(R/ AnnRB) = max

i>r {dim(R/pi)} ≤ s

(lưu ý rằng AttRB= {pr+1, , pt})

(ii) Theo Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có

dim (R/AnnRA) = max {dim (R/p) | p ∈ AttRA}

Do đó

dim (R/ AnnRA) ≤ s nếu và chỉ nếu (AttRA)>s= /0

Lấy B là một môđun con của A và lấy p ∈ (AttRB)s Theo Mệnh đề 1.2.5(iv) ta cómin AttRB= min Var(AnnRB) Do đó p ⊇ AnnRB Mà AnnRB⊇ AnnRA Cho nên p ⊇AnnRA Lại vì dim (R/p) = s và dim (R/ AnnRA) ≤ s, nên ta được p ∈ min Var (AnnRA).

Mà min AttRA= min Var(AnnRA) Từ đó p ∈ (AttRA)s Vậy (AttRB)s⊆ (AttRA)s

Bổ đề 2.1.3 Cho P−→ Af −→ Bg −→ Q là một dãy khớp của các R− môđun Artin Giả sửh

rằngdim (R/ AnnRP) ≤ s và dim (R/ AnnRQ) ≤ s Khi đó

(AttRA)>s= (AttRB)>svà (AttRA)s⊆ (AttRB)s∪ (AttRP)s

Chứng minh. Lấy B = B1+ · · · + Bt là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của B, với Bilà pi−thứ cấp Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại một số nguyên r mà 0 ≤ r ≤ t

sao cho dim (R/pi) > s với mọi i ≤ r và dim (R/pi) ≤ s với mọi i > r Vì Im h ∼= B/ Ker hnên theo Mệnh đề 1.2.5(iii), ta có

AttR(Im h) = AttR(B/ Ker h) ⊆ AttRB= {p1, , pt}

Vì Im h ⊆ Q nên dim (R/ AnnRIm h) ≤ dim (R/ AnnRQ) ≤ s Theo Mệnh đề 1.2.5(iv)

ta thấy rằng dim (R/p) ≤ s với mọi p ∈ AttRIm h Những điều này lại kéo theo rằngAttR(Im h) ⊆ {pr+1, , pt} Lưu ý AttR(Br+1+· · ·+Bt) = {pr+1, , pt} Đặt p =T

i>rpi

Vì p là hữu hạn sinh, nên tồn tại n ∈ N sao cho pn∑i>rBi= 0 và pn(Im h) = 0 Do đó

0 = pn(Im h) = pn(B/ Ker h) Suy ra pnB⊆ Ker h Rõ ràng dim (R/p) ≤ s Từ đó ta có