Luận văn:Về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương potx

Trần Ngọc AnhVề một bất biến của môđun hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng... Bất biến này gọi là kiểu đa thứccủa M, kí hiệu là pM và bất biến này đúng bằng chiều của quỹ tích khôngCohen

Trần Ngọc Anh

Về một bất biến của môđun

hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng

Mục Lục

Bảng các kí hiệu 1

Mở đầu 2

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ 5

1.2 Lý thuyết bội 7

1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 9

1.4 Lý thuyết kiểu đa thức 12

Ch-ơng 2 Lọc chiều và hệ tham số tốt 14

2.1 Hệ tham số tốt 14

2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy qua hệ tham số tốt 22 2.3 Lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá 31

Ch-ơng 3 Bất biến pF(M ) 34

3.1 Sự tồn tại của bất biến pF(M ) 34

3.2 Liên hệ giữa bất biến pF(M ) và quỹ tích các điểm không Cohen-Macaulay dãy 42

Kết luận của luận văn 46

Tài liệu tham khảo 47

bảng các kí hiệu

• Ann(M ): linh hoá tử của R-môđun M

• dimM: số chiều của R-môđun M

• Exti R (N, M ): hàm tử mở rộng thứ i của các R-môđun M, N

•Him((M ): môđun đối đồng điều địa ph-ơng thứicủa R-môđun M ứng với iđêancực đại m

• `(M ): độ dài của R-môđun M

• Supp(M ): tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R sao cho Mp 6= 0

không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x Bất biến này gọi là kiểu đa thứccủa M, kí hiệu là p(M ) và bất biến này đúng bằng chiều của quỹ tích khôngCohen - Macaulay khi R là th-ơng của một vành Cohen - Macaulay.

Xét lọc hữu hạn các môđun con của M làF : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ M t = M saocho dimM0 < dimM1 < < dimM t = dimM Một lọc nh- vậy gọi là thoả mãn

điều kiện chiều Cho x = (x1, , x d) là một hệ tham số của M Khi đó x đ-ợcgọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nếu

ở đâye(x1, , x di; M i)là bội Serre củaM i ứng với hệ (x1, , x di)vàx = (x1, , x d)

là một hệ tham số tốt của M t-ơng ứng với lọc F Câu hỏi đặt ra là các kết quảtrên có còn đúng cho hàm I F ,M (x(n))

Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả trong [7] và [9] liênquan đến bất biến pF(M ) ( đ-ợc định nghĩa là bậc nhỏ nhất của tất cả các đathức theo n chặn trên hàm I F ,M (x(n)) ) Bên cạnh việc đ-a ra nhiều chứng minhchi tiết cho các kết quả đã có trong [7] và [9], chúng tôi cũng tìm đ-ợc một kếtquả mới ch-a đ-ợc đề cập đến trong hai bài báo nói trên

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 3ch-ơng:

Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị

Ch-ơng này chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản về

lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết bội, môđun Cohen - Macaulay, môđunCohen - Macaulay suy rộng và lý thuyết kiểu đa thức

Ch-ơng 3 bất biếnpF(M )

Nội dung chính của ch-ơng này là chúng tôi chứng minh hàm I F ,M (x(n))

bị chặn trên bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm

I F ,M (x(n)) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số tốt x của M t-ơng ứngvới lọc F, chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến pF(M ) với môđun Cohen - Macaulaydãy và môđun Cohen - Macaulay suy rộng dãy Hơn nữa bất biến này đúng bằngchiều của quỹ tích không Cohen - Macaulay dãy khi R là th-ơng của một vànhCohen - Macaulay và F là lọc chiều của M

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng và làm việc nghiêm túc, nh-ng chắcchắn luận văn sẽ còn những hạn chế, thiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhận

đ-ợc sự góp ý, bổ sung của quý thầy, cô giáo và ng-ời đọc

Quy Nhơn, tháng 03 năm 2008

Tác giả

x ∈ M và x 6= 0 sao cho p =Ann(x).

Tập các iđêan nguyên tố liên kết với M đ-ợc kí hiệu là AssR (M ) hay

Ass(M ) Hơn nữa Ass(M ) = ∅ nếu và chỉ nếu M = 0 Đặc biệt nếu M là hữuhạn sinh và R là một vành giao hoán Noether thì Ass(M ) là hữu hạn

Định nghĩa 1.1.2 i) Một R - môđun M đ-ợc gọi là đối nguyên sơ nếu có duynhất một iđêan nguyên tố liên kết

ii) Môđun conN của M đ-ợc gọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu

M/N là đối nguyên sơ Nếu AssR (M/N ) = {p}, thì N đ-ợc gọi là p- nguyên sơ

Bổ đề 1.1.3 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) R- môđun M là đối nguyên sơ ;

(2)M 6= 0 và nếu a ∈ R là -ớc của không của M thì với mỗi x ∈ M tồn tạimột số nguyên d-ơng n sao cho a n x = 0

Chú ý 1.1.4 Khi M = R/q với q ∈ Ass(M ) thì điều kiện (2) t-ơng đ-ơng vớimọi -ớc của không của vành R/q là luỹ linh

Mệnh đề 1.1.5 Nếu M là -R môđun là đối nguyên sơ hữu hạn sinh với AssM =

{p} thì Ann(M ) là iđêan p- nguyên sơ của R

Định nghĩa 1.1.6 Cho N là một môđun con của M Một sự phân tích nguyênsơ của N là một phân tích

N = Q1 ∩ ã ã ã ∩ Q r

thành giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ Q i của M Sự phân tích nguyênsơ này đ-ợc gọi là sự phân tích rút gọn nếu không thể bỏ một Q i và các iđêannguyên tố liên kết của M/Q i (1 ≤ i ≤ r) đôi một khác nhau

Dễ thấy rằng mọi sự phân tích nguyên sơ của môđun con N của M đều có thểquy về một sự phân tích nguyên sơ rút gọn

Mệnh đề 1.1.7 Nếu N = Q1∩ ã ã ã ∩ Q r là một phân tích nguyên sơ rút gọn củamôđun con N và Q i là pi-nguyên sơ thì

Ass(M/N ) = {p1, ã ã ã , p r }.

Định lý 1.1.8 Cho R là vành Noether và M là một R-môđun Khi đó với mỗi

p ∈Ass(M ) ta có thể chọn một môđun p- nguyên sơ Q(p) sao cho

H I0(M ) = \

Q(p).

< +∞ đ-ợc gọi là một hệbội của M ở đây nếut = 0 thì ta hiểu điều kiện trên có nghĩa là ` R (M ) < +∞.Khi đó ký hiệu bội e(x; M )của M đối với hệ bộix đ-ợc định nghĩa quy nạp theo

M x1 ) đã đ-ợc xác

định, khi đó ta định nghĩa

e(x; M ) = e(x2, , x t ; M/x1M ) − e(x2, , x t; 0 :

M x1).

Một hệ các phần tử (x1, , x d) của m đ-ợc gọi là một hệ tham số của M

nếu (x1, , x d) là một hệ bội của M

D-ới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M )

Định lý 1.2.2 Giả sử 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 là một dãy khớp ngắn các

R-môđun Noether và x = (x1, , x t) là hệ bội trên M, N và P Khi đó

e(x; N ) = e(x; M ) + e(x; P ).

Mệnh đề 1.2.3 Cho x = (x1, , x t) là một hệ bội của M Nếu {i1, i2, , i t} làmột hoán vị của {1, 2, , t} thì e(x1, x2, , x t ; M ) = e(x i , x i , , x i ; M )

Mệnh đề 1.2.4 Cho x = (x1, , x t) là một hệ bội của M Nếu có một giá trị i

sao cho x n

i M = 0, với n là một số nguyên d-ơng nào đó thì e(x; M ) = 0

Mệnh đề 1.2.5 Cho x = (x1, , x t) là một hệ bội của M Khi đó

0 ≤ e(x; M ) ≤ ` R M/(x)M

.Mệnh đề 1.2.6 Chox = (x1, , x t) là một hệ bội củaM Khi đó với n1, n2, , n t

Định lý 1.2.8 Cho x = (x1, , x t) và y = (y1, , y t) là các hệ bội của M Giả

sử xM ⊆ yM Khi đóe(y; M ) ≤ e(x; M )

Định lý 1.2.9 (Công thức giới hạn của Lech) Cho x = (x1, , x t) là một hệ bộicủa M Khi đó

1.3 Môđun Macaulay và môđun

Cohen-Macaulay suy rộng

Tr-ớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy (theo[14, ch-ơng6])

Định nghĩa1.3.1 ChoR là một vành giao hoán,M là mộtR-môđun và a1, , a r

là các phần tử thuộc R Ta ký hiệu (a) là iđêan (a1, , a r) và aM là môđun con

Khi tất cả các phần tử a1, , a r thuộc về một iđêan I của R, ta nói rằng

a1, , a r là một M-dãy trong I Hơn nữa nếu không tồn tại b ∈ I sao cho

a1, , a r , b là M-dãy thì a1, , a r đ-ợc gọi là một M-dãy cực đại trong I

Định lý 1.3.4 Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và

I là một iđêan sao cho IM 6= M. Với mọi số nguyên d-ơng n ta có các mệnh đềsau là t-ơng đ-ơng:

i) Exti R (N, M ) = 0 với mọi i < n và với mọi R-môđun hữu hạn sinh N màSupp(N ) ⊆ V (I);

ii) Exti (R/I, M ) = 0 với mọi i < n;

iii) Tồn tạiR-môđun hữu hạn sinhN với Supp(N ) ⊆ V (I)sao cho Exti R (N, M ) =

0 với mọi i < n;

iv) Tồn tại một M-dãy a1, , a n trong I có độ dài n

Từ Định lý trên ta thấy khi M là R-môđun hữu hạn sinh thì haiM-dãy cực

đại bất kỳ trong I đều có cùng độ dài

Định nghĩa 1.3.5 ChoR là một vành giao hoán Noether, M là một môđun hữuhạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM 6= M Khi đó độ dài của các

M-dãy cực đại trong I đ-ợc gọi là I-độ sâu của M và ký hiệu là depthI (M ).Khi (R, m)là một vành địa ph-ơng ta ký hiệu depth(M ) hay depthR (M ) thay chodepthm(M ) và gọi là độ sâu của M

Định lý 1.3.6 Cho (R, m)là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M 6= 0

là một môđun hữu hạn sinh Khi đó

depth(M ) ≤dim(R/p) với mọi p ∈Ass(M )

Bổ đề 1.3.7 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng, M là mộtmôđun hữu hạn sinh và (a1, , a r) là một M-dãy Khi đó

dimM/(a1, , a r )M = dimM − r

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo

[14, ch-ơng6]

Định nghĩa 1.3.8 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và

M là một môđun hữu hạn sinh Một R-môđun M đ-ợc gọi là môđun Macaulay nếu M = 0 hoặc dimM =depthM

Cohen-Vành R đ-ợc gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun Macaulay

Cohen-Định lý 1.3.9 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M làmột R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

i) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay và p ∈Ass(M ) thì depthM =dimR/p;ii) Nếu (a1, , a r) là một M-dãy trong m và M0 = M/aM thì M là môđunCohen-Macaulay khi và chỉ khi M0 là môđun Cohen-Macaulay;

iii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì với mọi p ∈ Spec(R) thì Mp là Rpmôđun Cohen-Macaulay và nếu Mp 6= 0 thì depthpM =depthRpMp

-Định lý 1.3.10 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d và (R, m)

là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng Khi đó các điều kiện sau là t-ơng

đ-ơng:

i) M là môđun Cohen-Macaulay;

ii) Tồn tại một iđêan tham số p của M sao cho e(p; M ) = ` R (M/pM );

iii) e(p; M ) = ` R (M/pM ) với mọi iđêan tham số p của M;

iv) Tồn tại một hệ tham số của M là M-dãy;

v) Mọi hệ tham số của M đều là M-dãy;

1.4 Lý thuyết kiểu đa thức

Trong mục này chúng tôi trình bày lại các kết quả có liên đến kiểu đa thứccủa một môđun theo [5]

Ký hiệu (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là R-môđunhữu hạn sinh có chiều d Cho x = (x1, , x d) là một hệ tham số của M và

n = (n1, , n d) là một bộ d số nguyên d-ơng Xét hiệu

I M (n; x) = `(M/(x n1

1 , , x nd

d )M ) − n1 n d e(x; M ).nh- một hàm theo n, ở đây e(x; M ) là bội Serre của M ứng với hệ (x1, , x d ).

Bổ đề 1.4.1 Cho x = (x1, , x d) là một hệ tham số của M Khi đó

`(M/(x(n))M ) ≤ n1 n d `(M/(x)M )

với mọi số nguyên d-ơng n1, , n d

Đặt I M (x) = I M (n; x) khi n1= = n d = 1 Bổ đề cho ta hệ quả sau

Hệ quả 1.4.2 I M (n; x) ≤ n1 n d I M (x)

Hệ quả 1.4.2 nói lên rằng nếu hàm I M (n; x) không phải là một đa thức thì

ít nhất hàm đó cũng bị chặn trên bởi một đa thức n1 n d I M (x) Định lý sau đâykhái quát tính chất trên

Định lý 1.4.3 Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số I M (n; x)

không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x

Định nghĩa1.4.4 Bậc nhỏ nhất của các đa thức theonchặn trên hàm sốI M (n; x)

là một bất biến của M Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M và kí hiệu là

p(M )

Chú ý 1.4.5 (i) Nếu xem bậc của đa thức 0 là −∞ thì khi đó

M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M ) = −∞

M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M ) ≤ 0.

(ii) Nếu M không là môđun Cohen-Macaulay thì ta có bất đẳng thức

0 ≤ p(M ) ≤ dim M − 1.

Định nghĩa1.4.6 Một phần hệ tham sốx1, , x j củaM đ-ợc gọi là dãy thu gọnnếu điều kiện sau đ-ợc thoả mãn: x j ∈ p/ với mọi p ∈Ass(M/(x1, , x i−1 )M ) với

dim(R/p) ≥ d − i, i = 1, , j

Đặtr(M ) = inf{k/ mọi phần của một hệ tham số có (d − k − 1) phần tử đều

là một dãy thu gọn của M }

Kí hiệu nCM(M ) là quỹ tích không Cohen - Macaulay tức là

nCM(M ) = {p ∈SuppM : Mp không Cohen - Macaulay }

Định lý 1.4.7 Giả sử R là vành th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và k

là một số nguyên d-ơng Khi đó các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:

i) p(M ) ≤ k;

ii) Một phần của một tham số có (d − k − 1) phần tử là dãy thu gọn;

iii) Với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SuppM sao cho dim R/p > k, ta có Mp làCohen - Macaulay và dim Mp+ dim(R/p) = d;

iv) Với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SuppM sao cho dim R/p = k + 1, ta có Mp làCohen - Macaulay và dim Mp+ dim(R/p) = d

Hệ quả 1.4.8 Giả sử R là vành th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và M

là đẳng chiều Khi đó p(M ) = r(M ) = dimnCM(M )

Ch-ơng 2 Lọc chiều và hệ tham số tốt

Nh- sẽ trình bày trong ch-ơng 3 thì bất biến pF(M ) có liên quan có liênquan chặt chẽ đến lọc chiều và hệ tham số tốt, mặt khác lọc chiều và hệ tham

số tốt cũng là một công cụ mới hữu hiệu để nghiên cứu cấu trúc của các môđun

Do đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày lại một số kết quả về lọc chiều

và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệ tham

số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá sẽ

đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng tiếp theo

Từ đây ta ký hiệu (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là

R-môđun hữu hạn sinh có chiều d

thoả mãn điều kiện chiều nếu dimM i−1 <dimM i với i = 1, 2, , t.

(ii) Một lọc D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ D t = M đ-ợc gọi là lọc chiều của M nếu(1) D0 = H0

m(M ) là môđun đối đồng điều thứ không của M ứng với iđêancực đại m

(2) D i−1 là môđun con lớn nhất của D i mà dimD i−1 < dimD i với i =

t, t − 1, , 1.

Vì tính Noether của M nên mệnh đề sau sẽ cho ta thấy lọc chiều của M

luôn tồn tại và duy nhất

Mệnh đề 2.1.2 (theo [18, 2.2]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ D t = M là lọc chiềucủa M với dim D i = d i và T

p∈ AssM

N (p) = 0 là phân tích nguyên sơ rút gọn củamôđun con không của M, khi đó D i = T

AssD i = {p ∈AssM |dimR/p ≤ d i} ;

AssM/D i = {p ∈AssM |dimR/p > d i} ;

AssD i /D i−1= {p ∈AssM |dimR/p = d i} với mọi 0 ≤ i ≤ t

Chứng minh Ta biết AssH0

a i(M ) = {p ∈ AssM | p ∈ V (a i)} Do đó từ Mệnh đề2.1.2 ta suy ra AssD i = {p ∈AssM |dimR/p ≤ d i}

Vì AssM/D i =AssM \V (a i) nên AssM/D i = {p ∈ AssM |dimR/p > d i}

Từ dãy khớp ngắn 0 −→ D i−1 −→ D i −→ D i /D i−1 −→ 0 ta có

AssD i ⊆AssD i−1∪AssD i /D i−1.Hơn nữa vì D i /D i−1 ⊆ M/D i−1 nên ta dễ suy ra đ-ợc

AssD /D = {p ∈AssM |dimR/p = d} với 1 ≤ i ≤ t

Lọc chiều cũng thoả mãn điều kiện chiều Trong ch-ơng này ta luôn kýhiệu lọc chiều bởi

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ D t = M

Định nghĩa 2.1.4 (theo [9, 2.3]) Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ M t = M là một lọcthoả mãn điều kiện chiều và đặt d i = dimM i Một hệ tham số x = (x1, , x d)

đ-ợc gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nếu M i ∩ (x di+1, , x d )M = 0

với i = 1, 2, , t − 1 Một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc chiều đ-ợc gọi là một

hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc bất kỳ thoả mãn điều kiện chiều

Bổ đề 2.1.6 (theo [7, 2.4]) Hệ tham số tốt của M luôn tồn tại

Chứng minh Giả sử D là lọc chiều của M với d i = dim D i

dim(M/N i) =dim(R/Ann(M/N i)) =dim(R/Ann(D i )) = d i

Theo Định lý tránh nguyên tố tồn tại một hệ tham số x = (x1, , x d) sao cho

Chứng minh Giả sử x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F.Vì (x n1

Bổ đề2.1.8 (theo[9, 2.4]) Nếuxlà một hệ tham số tốt củaM thìx j ∈ T

p∈ AssDi

pvớimọi j >dimD i Ng-ợc lại, nếu x là một hệ tham số củaM sao cho x j ∈ T

p∈ AssDi

p

với mọi j >dimD i thì (x s1, , x s d) là một hệ tham số tốt của M với s đủ lớn

Chứng minh Theo Hệ quả 2.1.3 thì AssD i = {p ∈AssM |dimR/p ≤ d i}

dim R/p≤di

p, với mọi j >dimD i Khi đó với mỗi j >dimD i

và x j ∈ p, tồn tại n j sao cho x nj

Chứng minh Vì D i ∩ (x di+1, , x d )M = 0 nên D i ⊆ 0 :M x j với mọi j ≥ d i+ 1

Ta cần chứng minh 0 : x ⊆ D với mọi d < j ≤ d

Thật vậy, giả sử0 :M x j 6⊆ D i Gọislà số nguyên lớn nhất sao cho0 :M x j 6⊆ D s−1.Khi đó t ≥ s > i và 0 :M x j = 0 :Ds x j.

Vì d s ≥ d i+1 ≥ j nên x j là phần tử tham số của D s và vì vậy dim 0 :M x j < d s

Do đó 0 :M x j ⊆ D s−1 theo tính cực đại của D s−1 Điều này mâu thuẫn với cáchchọn s Vì vậy D i = 0 :M x j

Bổ đề2.1.11 (theo[12, 2.2]) ChoN là môđun con củaM sao chodim N < dim M

và M/N là môđun Cohen - Macaulay Nếu x1, , x i, 1 ≤ i ≤ d là một phần của

hệ tham số của M thì

(x1, , x i )M ∩ N = (x1, , x i )N

Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp theo i

Tr-ờng hợp i = 1 là hiển nhiên Giả sử i > 1 Lấy a ∈ (x1, , x i )M ∩ N

Hệ quả 2.1.12 (theo [12, 2.3]) Nếu x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt củamôđun Cohen - Macaulay dãy M thì

(x1, , x d )M ∩ D i = (x1, , x di)D i

với mọi i = 1, , t − 1

Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ M t = M là một lọc các môđun con của M thoảmãn điều kiện chiều với d i = dim M i và x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốtt-ơng ứng với F Khi đó (x1, , x di) là một hệ tham số của M i Xét hiệu

với e(x1, , x di; M i) là bội Serre và đặt e(x1, , x d0; M0) = `(M0 ) nếu dim M0 = 0

Bổ đề 2.1.13 Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và x = (x1, , x d) làmột hệ tham số tốt t-ơng ứng với F Khi đó lọc F /x dF :

(M0+ x d M )/x d M ⊂ (M1+ x d M )/x d M ⊂ ⊂ (M s + x d M )/x d M ⊂ M/x d M

với s = t − 1 nếu d t−1 < d − 1 và s = t − 2 nếu d t−1 = d − 1 cũng là lọc thoả mãn

điều kiện chiều Hơn nữa hệ x0 = (x1, , x d−1) là một hệ tham số tốt t-ơng ứngvới lọc F /x dF

Chứng minh Vì M i ∩ x d M = 0 nên (M i + x d M )/x d M ∼ = M i với i ≤ s, do đó lọc

F /x dF thoả điều kiện chiều và dễ chứng minh rằng

(M i + x d M )/x d M ∩ (x di+1, , x d−1 )M/x d M = 0,với mọi i ≤ s Vậy x0 là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F /x dF

Bổ đề 2.1.14 (theo [7, 2.6]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và

x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F Khi đó I F ,M (x) ≥ 0.

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.13 thì lọc F /x dF thoả điều kiện chiều và x0 =

Nếu d t−1 = d − 1 thì vì M t−1 ∩ x d M = 0 nên M t−1 ⊆ 0 :M x d

Do đó I F ,M (x) − I F /xdF ,M/xdM (x0) = e(x0 ; 0 :M x d ) − e(x0; M t−1) ≥ 0

Vì vậy trong mọi tr-ờng hợp ta đều có I F ,M (x) ≥ I F /xdF ,M/xdM (x0 )và Bổ đề đ-ợcchứng minh bằng quy nạp theo d

Hệ quả 2.1.15 (theo [7, 2.7]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và

x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F Khi đó

I F ,M (x) ≥ I F /xdF ,M/xdM (x1, , x d−1 ).

Hệ quả 2.1.16 (theo [7, 2.8]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và

x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F Khi đó

Mệnh đề 2.1.17 (theo [7, 2.9]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và

x = (x1, , x d) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F Khi đó hàm I F ,M (x(n))

không giảm, tức là I F ,M (x(n)) ≤ I F ,M (x(m)) với mọi n i ≤ m i, i = 1, , d

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh hàm I F ,M (x1, , x r−1 , x n

r , x r+1 , , x d) làkhông giảm theo n với mỗi r ∈ {1, 2, , d}

2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay

dãy qua hệ tham số tốt

Tr-ớc tiên chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất của dd-dãytrong [6]

Định nghĩa 2.2.1 (theo [6, 3.1]) Cho x = (x1, , x s) là một dãy các phần tử của

m Khi đó x đ-ợc gọi là một d-dãy của R-môđun M nếu

(x1, , x i−1 )M : x j = (x1, , x i−1 )M : x i x j

với mọi i = 1, , s và với mọi j ≥ i

Định nghĩa 2.2.2 (theo [6, 3.2]) Một dãy (x1, ã ã ã , x s) đ-ợc gọi là dd - dãy của

M nếu với mọi số nguyên d-ơng n1, ã ã ã , n s và i = 1, 2, ã ã ã , s, dãy (x n1

Bổ đề 2.2.3 (theo [6, 3.6]) Cho x là hệ tham số của M Khi đó x là dd-dãy của

M nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên a0, a1, ã ã ã , a d sao cho

với mọi số nguyên d-ơng n1, ã ã ã , n d Trong đó,

a i = e(x1, ã ã ã , x i ; (x i+2 , ã ã ã , x d )M : x i+1 /(x i+2 , ã ã ã , x d )M ).

Mệnh đề 2.2.4 ( theo [6, 1.5]) Cho M là một môđun Cohen - Macaulay dãy và

x là một hệ tham số của M Khi đó x là một hệ tham số tốt nếu và chỉ nếu

I D,M (x(n)) = 0 với mọi số nguyên d-ơng n1, ã ã ã , n d Khi đó, x là một dd- dãy

Tiếp theo chúng tôi trình bày đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãyqua hệ tham số tốt trong [7]

Bổ đề 2.2.5 ( theo [7, 3.5]) Cho x = (x1, , x d) là một hệ tham số của M và

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ D t = M là lọc chiều của M với dim D i = d i Giả sử x là

một dd - dãy của M Khi đó D i = 0 :M x di+1 với i = 0, 1, ã ã ã , t − 1 và x là một

hệ tham số tốt của M

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo d Tr-ờng hợp d = 1

là hiển nhiên đúng Giả sử rằng d > 1 Theo [6, 6.3] vì x là một dd - dãy nên

D t−1= 0 :M x d, vì vậy D i ∩ x d M ⊆ D t−1 ∩ x d M = 0 với mọi i = 0, ã ã ã , t − 1. Giả

là một dd - dãy của môđun M/x nd

d M và dim D = d i nên theo giả thiết quy nạpthì D = (0 : x di+1 )M/xnd

Suy ra dim(0 :M x di+1) = dim R/Ann(0 :M x di+1) ≤ dim R/(x di+1, , x d ) = d i

Nh- vậy D i ⊆ 0 :M x di +1 và dim(0 :M x di +1) ≤ d i, do tính cực đại của D i ta có

D i = 0 :M x di+1

Hơn nữa, cũng theo giả thiết quy nạp ta có x0 là một hệ tham số tốt của M/x d M.Khi đó x0 là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc

D/x d D : (D0+ x d M )/x d M ⊂ (D1 + x d M )/x d M ⊂ ⊂ (D s + x d M )/x d M ⊂ M/x d M

trong đó s = t − 1 nếu d t−1 < d − 1 và s = t − 2 nếu d t−1 = d − 1. Vì vậy

(D i + x d M ) ∩ (x di+1, ã ã ã , x d−1 , x d )M = x d M với mọi i = 0, ã ã ã , s. Ta đã biết

D t−1= 0 :M x d nếu d t−1 = d − 1 Do đó

D i ∩ (x di+1, ã ã ã , x d−1 , x d )M ⊆ D i ∩ x d M = 0

với mọi i = 0, 1, ã ã ã , t − 1 và x là một hệ tham số tốt của M

Bổ đề 2.2.6 (theo [7, 3.6]) Cho (x1, ã ã ã , x s) là một d - dãy của M Khi đó với

Tr-ờng hợp i < s đ-ợc chứng minh bằng quy nạp giảm Giả sử

Bổ đề 2.2.7 (theo[7, 3.7]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ã ã ã ⊂ D t = M là lọc chiều của M

và F : M0 ⊂ M1 ⊂ ã ã ã ⊂ M t0 = M là một lọc thỏa mãn điều kiện chiều Giả sử

x là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F và I F ,M (x(n)) = 0 với mọi số nguyênd-ơng n1, ã ã ã , n d Khi đó I D,M (x(n)) = 0, t = t0 và dim M i = dim D i = d i Hơnnữa, ta có D i + x1M = x1M : x di+1 với i = 1, ã ã ã , t − 1.

Chứng minh VìI F ,M (x(n)) = 0 nên theo Bổ đề 2.2.3 thì x là dd - dãy , do đóx

là hệ tham số tốt của M theo Bổ đề 2.2.5 Từ Nhận xét 2.1.5, ta cóI F ,M (x(n)) ≥

I D,M (x(n)) với mọi số nguyên d-ơng n1, ã ã ã , n d Vì vậyI D,M (x(n)) = 0, t = t0 và