Lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức

2 Một số kết quả liên quanTrong toàn bộ luận văn, chúng ta ký hiệuJ Rlà căn Jacobson của vành R và U R là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vànhR có đơnvị.. Chú ý: Các định lý Ro

LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG CHO ĐA THỨC VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Năm 1936, G Birkhoff đã giới thiệu nhóm tôpô (xem [6]) Sau đó, khônggian cầu trường được đã được M M Choban đưa ra vào năm 1987 (xem[7]) Đến năm 1989, V V Uspenskij đã chứng minh rằng nhóm tôpô làkhông gian cầu trường được nhưng không gian cầu trường được không

là nhóm tôpô (xem [21]) Tiếp đó, A V Arhangel’skii và M Tkachenko

đã giới thiệu khái niệm nhóm paratôpô, chứng minh một số tính chấtcủa nhóm tôpô và nhóm paratôpô, đồng thời chỉ ra rằng nhóm tôpô là

2 Một số kết quả liên quan

Trong toàn bộ luận văn, chúng ta ký hiệuJ (R)là căn Jacobson của vành

R và U (R) là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vànhR có đơnvị

Trong [?], các tác giả đã định nghĩa một vành R được gọi là U J-vànhnếu 1 + J (R) = U (R)

Cho S là một vành, không nhất thiết phải có đơn vị, khi đó vị nhóm

S◦= (S, ◦) của S là tập hợp S với phép toán

◦ : S × S → S (x, y) 7→ x ◦ y = x + y − xy.

Mặt khác, nếu S là vành có đơn vị, khi đó S◦ là đẳng cấu với vị nhóm

(S, ) củaR với đẳng cấu

S là đẳng cấu với nhóm U◦(S) các phần tử tựa khả nghịch của S Phần

tử nghịch đảo của y trong S◦ được gọi là tựa nghịch đảo của y Ta biếtrằng I = J (S) là iđêan lớn nhất của S thỏa mãn U◦(I) = I

Bổ đề 1 ([?], Bổ đề 1.1) Các điều kiện sau là tương đương đối với mộtvành R đã cho:

(1) U (R) = 1 + J (R), hay R là U J-vành;

(2) U (R/J (R)) = {1};

(3) C(R) là iđêan của R (khi đó C(R) = J(R)), với C(R) là tập các phần

tử tựa chính quy của R;

(4) rb − cr ∈ J (R), r ∈ R và b, c ∈ C(R);

(5) ru − vr ∈ J (R), u, v ∈ U (R) và r ∈ R;

Hệ quả 1 ([?], Hệ quả 1.7) Cho R là một vành Khi đó, các điều kiệnsau là tương đương

sinh bởi a chứa hệ n2 các ma trận khả nghịch

3 So sánh giữa không gian vector hữu hạn chiều và không gian vector vô hạn chiều.

Chúng ta sẽ nhắc lại sơ qua những điểm khác nhau giữa không gianvector hữu hạn chiều và không gian vector vô hạn chiều từ cách nhìncủa đại số và của topo

Định nghĩa 1 (i) Cho E và F là hai không gian vector Ta nói E và

F là đẳng cấu tuyến tính nếu tồn tại ánh xạ T : E → F là ánh xạtuyến tính 1 − 1 đi từ E vào F

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu topo nếu tồn tại ánh xạ liên tục T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 với ánh xạ ngược cũng liên tục T−1: F → E

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu metric nếu tồn tại một ánh xạ T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 từ E vào F với ∥T (x)∥F = ∥x∥E với mỗi x ∈ E

Ta nhớ lại khái niệm không gian đối ngẫu của không gian vector địnhchuẩn

Định nghĩa 2 Cho (E, ∥.∥) là không gian vector định chuẩn Khônggian đối ngẫu E′ của E là không gian tuyến tính được định nghĩa bởi:

Định lý 3 (E′, ∥.∥E′ ) là không gian Banach

Chứng minh Ta sẽ chứng minh mọi dãy Cauchy trong E′ đều hội tụ.Giả sử {fn} là một dãy Cauchy của E′, tức là

Ta suy ra f n (x) là dãy Cauchy trong R, do đó f n (x) hội tụ, nghĩa là

sẽ tồn tại f (x) sao cho

Ta có điều phải chứng minh

Lưu ý: Nếu f ∈ E′ và x ∈ E ta viết ⟨f, x⟩E′ ×E thay cho f (x) và tagọi ⟨., ⟩E′ ×E là tích vô hướng trên không gian đối ngẫu E, E′ Ký hiệunày chỉ chung các không gian đối ngẫu thực khi E là không gian Hilbert

4 Nhóm quaternion suy rộng

Mệnh đề 4 Cho nhóm quaternion suy rộng

Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn = 1, s−1rs = r−1⟩ với n⩾2

và H là một nhóm con của Q4n Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k|2n, 1 ⩽k ⩽2n thì

4n nếu k ∤n.

(ii) Nếu H = Ui,j với i|n, 1⩽i⩽n, 0⩽j ⩽i − 1 thì

Pr(H, Q4n) = n + i + 2

4n .

0⩽i⩽ 2n

k − 1



.

Ta xét hai trường hợp của k như sau

Trường hợp 1: k | n Khi đó, theo Mệnh đề 43 ta có

X

x∈R k

|CQ4n(x)| = |CQ4n(1)| + |CQ4n(rn)| + X

1 ⩽i⩽2nk −1 i̸= n k

Trường hợp 2: k ∤n Khi đó, theo Mệnh đề 43, ta có

(ii) Giả sử H = Ui,j với i|n, 1 ⩽i ⩽ n, 0⩽ j ⩽i − 1 Theo Mệnh đề 42

Trong ví dụ sau ta sẽ tính lại độ giao hoán tương đối của các nhómcon trong nhóm quaternion Q8, và tính độ giao hoán tương đối của cácnhóm con của nhóm Q12 bằng cách áp dụng Mệnh đề 7.

5 Không gian hữu hạn chiều

Định nghĩa 3 (i) Một không gian vector E trên trường số thực đượcgọi là hữu hạn chiều nếu nó chỉ bao gồm hữu hạn vector độc lậptuyến tính

(ii) Số lớn nhất của các vector độc lập tuyến tính trong không gian vectorhữu hạn chiều E được gọi là chiều và được ký hiệu là dimRE Hệ

B ⊂ E được sinh bởi dimRE các vector độc lập tuyến tính gọi là cơsở

Định lý 4 Giả sử E là không gian vector hữu hạn chiều và dimRE = n.(i) Nếu B ⊂ E là cơ sở, khi đó thì B sinh ra E, cụ thể là spanRB = E.(ii) E và Rn là đẳng cấu tuyến tính

(iii) Giả sử ∥.∥1 và ∥.∥2 là hai chuẩn trên E Khi đó (E, ∥.∥1) và (E, ∥.∥2)

là đẳng cấu topo

(iv) Giả sử∥.∥ là chuẩn trên E Khi đó (E, ∥.∥) và (E′, ∥.∥E′ ) là đẳng cấutopo.

Theo các bài tập trước, không gian định chuẩn hữu hạn chiều (E, ∥.∥)

là đẳng cấu topo với không gian Hilbert Rn Đây là một đặc trưng rấtmạnh, nhưng nó không còn đúng cho không gian định chuẩn vô hạnchiều

6 ĐỊNH LÝ CAUCHY

Định lý 5 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm số f và g liên tục trên

[a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và g′(x) ̸= 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi đó tồntại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a) g(b) − g(a) =

F′(x) = [f (a) − f (b)]g′(x) − [g(a) − g(b)]f′(x)

Suy ra

F′(c) = [f (a) − f (b)]g′(c) − [g(a) − g(b)]f′(c) = 0

Từ đó ta nhận được điều phải chứng minh

Nhận xét 1 Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lýCauchy khi g(x)=x

Chú ý: Các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy sẽ không còn đúng nữanếu một trong các điều kiện của giả thiết không được thỏa mãn Nghĩa

là nếu các hàm f và g không khả vi trên khoảng (a, b) hay không liêntục trên đoạn [a, b] thì các định lý sẽ không đúng

7 ĐẠI SỐ VÀ SIGMA ĐẠI SỐ

Định nghĩa 4 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa ba tiên đề sau:

1 X ∈ A∗

2 ∀A ∈ A∗⇒ Ac ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán lấy phần bù)

3 ∀A, B ∈ A∗, A ∪ B ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán hợp)

Định nghĩa 5 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một σ - đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa mãn ba tiên đề sau:

Dựa vào hai định nghĩa trên ta có nhận xét

Nhận xét 2 Khái niệm "đại số các tập con của tập X" và khái niệm

"σ - đại số các tập con của X" rất gần với nhau Điều đó thể hiện qua

sự giống nhau giữa hai tiên đề đầu tiên Sự khác biệt cơ bản giữa haikhái niệm này là ở tiên đề số 3 Đối với "đại số các tập con của X thìhợp "HỮU HẠN" các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗ Còn

"σ - đại số các tập con của X" hợp "VÔ HẠN" các phần tử của A∗ làmột phần tử thuộc A∗

Mệnh đề 5 Cho X là một tập tùy ý khác rỗng Gọi A∗ là một "đại sốcác tập con của X" Khi đó:

1 ∅ ∈ A∗

2 Hợp hữu hạn các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗

4 Đóng kín với phép toán hiệu nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A\B ∈ A∗

5 Đóng kín với phép toán lấy hiệu đối xứng nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A△B ∈ A∗

toán α Phép toán α được gọi là đóng kín với tập X nếu ta lấy hai phần

tử bất kỳ thuộc X, thao tác qua phép toán ta được một phần tử mới vàphần tử này cũng thuộc X

Để dễ hiểu ta lấy một ví dụ đơn giản Trên tập N có phép toán cộngthông thường Ta lấy hai phần tử bất kỳ thuộc N (lấy hai số tự nhiên)

Dễ thấy rằng cộng hai số tự nhiên là một số tự nhiên và số tự nhiên nàycũng thuộc N Như vậy ta nói N đóng kín với phép cộng

Trong trường hợp tổng quát thì nó sẽ là một tập X bất kỳ

Tiếp theo ta sẽ chứng minh từng ý trong mệnh đề 1

Chứng minh:

1 Vì X ∈ A∗ (Tiên đề 1) nên Xc = ∅ ∈ A∗ (Tiên đề 2)

2 Ta quy nạp dựa theo tiên đề 2 sẽ có điều phải chứng minh

3.∀A, B ∈ A∗ ta có Ac, Bc ∈ A∗ Khi đó(Ac∪ Bc) ∈ A∗ ⇒ [(Ac∪ Bc)]c∈ A∗

ϱ ∗ f → f đều trên tập compact của Rn.

Chứng minh Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho K′ := K + B(0, 1).Theo tính liên tục đều của f trên tập compact K′, ∀ϵ > 0 tồn tại 0 <

δ = δ(ϵ, K′) < 1 thỏa mãn

|f (x − y) − f (x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ). (1)Mặt khác, nếu h ∈N thỏa 1/h < δ và x ∈ K, theo (17),

|(f ∗ ϱh)(x) − f (x)| =

Z

Rn

f (x − y)ϱh(y)dy − f (x)

=