Lý thuyết nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012... Mục lục1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN KHẮC HIẾU

LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN

HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Divisor trong mặt phẳng phức 3

1.1.2 Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình 4

1.2 Định lý cơ bản thứ nhất 6

1.2.1 Một số kí hiệu 6

1.2.2 Công thức Jenssen 8

1.2.3 Định lí cơ bản thứ nhất 13

1.2.4 Một số ví dụ 14

1.3 Định lí cơ bản thứ hai 15

1.3.1 Bổ đề Borel và bổ đề về đạo hàm Logarit 15

1.3.2 Định lí cơ bản thứ hai 19

2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán xác định duy nhất hàm phân hình 23 2.1 Định lý Picard 23

2.2 Định lý 5 điểm Nevanlinna 23

2.3 Định lý 4 điểm Nevanlinna 25

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn luận văn

Lí thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là lí thuyết phân bố giá trị,được xây dựng đầu tiên bởi R.Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợpmột biến phức Sau khi bài báo của ông được công bố, lí thuyết này đã được

mở rộng và nghiên cứu sâu sắc bởi nhiều nhà toán học Đầu tiên lí thuyếtNevanlinna được tổng quát lên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiềubiến bởi các tác giả A Bloch, H Cartan, H J Weyles và L Ahlfors.Sau

đó nó được W Stoll phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từkhông gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Đồng thời, lí thuyết Nevanlinnacòn được xây dựng cho trường hợp hàm bởi công trình của D Masson, J

F Voloch, J Noguchi và J Wang Đây có thể xem như một công cụ hữuhiệu để nghiên cứu giả thiết ABC và xấp xỉ Diophantine

Sự phát triển của lí thuyết Nevanlinna đã mang đến một công cụ vôcùng hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau trong hình học giảitích phức như vấn đề duy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình, tínhchuẩn tắc và thác triển của ánh xạ phân hình Đặc biệt là một số ứngdụng trong bài toán về xác định duy nhất hàm phân hình Vì thế, tôi lựachọn luận văn này là muốn được tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn

đề này

2 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tếliên quan đến lý thuyết Nevanlinna Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu vềvấn đề này

3 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật

về lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và một số ứng dụng trong bàitoán xác định duy nhất hàm phân hình.

4 Nội dung của Luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, kết luận

và tài liệu tham khảo

Chương 1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình

Chương 2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toánxác định duy nhất hàm phân hình

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảocủa PGS.TSKH Trần Văn Tấn Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắcđến Thầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu,phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên

đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạnnên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012

Tác Giả

Nguyễn Khắc Hiếu

λνzν, λν ∈ Z, {zν} rời rạc trong U

Định nghĩa 1.2 Một hàm f xác định trên tập con mở U ⊂ C với giá trị

phức được gọi là hàm phân hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại lân cận mở liênthông V ⊂ U chứa a và tồn tại các hàm chỉnh hình g, h trên V, h 6≡ 0, saocho f = g

h trên V.

Giả sử f là hàm phân hình trên U Khi đó, với mỗi a ∈ U ta có

f (z) = (z − a)m.g(z), m ∈ Z, g(z) là hàm chỉnh hình trên U và g(a) 6= 0.+) Nếu m > 0 ta nói rằng a là không điểm bậc m của f

+) Nếu m < 0 ta nói rằng a là cực điểm bậc m của f

Định nghĩa 1.3 Giả sử f là hàm phân hình trên U, {aν}∞ν=1, {bν}∞ν=1 lầnlượt là các không điểm, cực điểm của f trên U, aν có bậc λν, bν có bậc

−µν với µν < 0 Ta định nghĩa các divisor không điểm, divisor cực điểm

và divisor sinh bởi hàm f lần lượt như sau:

Ta sử dụng các kí hiệu n(t, D) và N (r, D) thay cho n+∞(t, D) và

N+∞(r, D)− hàm đếm với bội không bị chặn, và khi đó ta có

(b) |logx| = log+x + log+1

x.

(c) log+

nPi=1

xi ≤

nPi=1

log+xi+ logn.(d) log+

nQi=1

xi ≤

nPi=1

log+xi.ii) Tính chất của hàm đặc trưng

Giả sử f1, f2, , fn là các hàm phân hình Khi đó:

(a) T (r,

nPi=1

fi) ≤

nPi=1

T (r, fi) + logn.(b) T (r,

nQi=1

fi) ≤

nPi=1

T (r, fi).(c) N (r, (

nQi=1

fi)∞) ≤

nPi=1

N (r, (fi)∞).(d) N (r, (

nQi=1

fi)0) ≤

nPi=1

N (r, (fi)0)

Chứng minh (a) Ta có

m(r,

nX

i=1

fi|dθ ≤ 1

2π

nX

i=1

m(r, fi) + logn (1.1)Mặt khác

n



r, (

nX

i=1

N (r, (fi)∞) (1.2)Cộng vế với vế của (1.1) và (1.2) ta có kết luận ii.(a)

(b) Ta có:

m(r,

nY

i=1

fi|dθ

≤ 12π

nX

Ta định nghĩa các toán tử ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, dcϕ như sau:

i2π

∂2ϕ

∂z∂zdz ∧ dz.

Trong hệ tọa độ cực z = r.eiθ, z = r.e−iθ

Ta có r2 = z.z = x2 + y2, r.cosθ = x, r.sinθ = y, cho nên:



r∂ϕ

∂rdθ −

1r

∂ϕ

∂θdr



Giả sử ϕ : C → C = R ∪ {−∞; +∞} là một hàm sao cho tập hợp

Z = {z : ϕ(z) ∈ {−∞; +∞}}là rời rạc ( có thể hữu hạn phần tử ) Giả sử

ϕ ∈ C2 trên C/Z và tại mỗi điểmaν ∈ Z có mộtC2−hàmψν trên một lâncận của aν và có các số thực tương ứng λν để ϕ(z) = λνlog|z − aν| + ψν(z)

Khi đó ta có :

∂∂log|z − aν| = 1

2∂∂log(z − aν)(z − aν)

= 12

∂2

∂z∂zlog(z − aν)(z − aν)dz ∧ dz

= 12

∂

∂z



z − aν(z − aν)(z − aν)



= 12

∂

∂z

1(z − aν)dz ∧ dz = 0

Vậy ta có thể thác triển liên tục (1; 1)−dạng ∂∂ϕ(z) tới các điểm aν ∈ Z,bằng cách đặt ∂∂ϕ(aν) = ∂∂ψν(aν)

Định lý 1.7 ( Công thức Jensen ) Giả sử ϕ là hàm xác định trên C vàthỏa mãn điều kiện đã nêu ra ở trên Khi đó nếu ϕ(0) 6= {−∞; +∞} với

0 ≤ s < r và các trường hợp còn lại với 0 < s < r thì ta có :

2

Z r

s

dtt

Z

∆(t)

i2π∂∂ϕ +

Z r

s

dtt

X

|aν|<t

λν



= 12π

Chứng minh Ta chứng minh định lí theo bốn trường hợp sau :

(a) Giả sử {aν} = ∅ Khi đó ϕ là hàm thuộc lớp C2 trên một lân cận của

∆(r) và

Z r

s

dtt

X

|a ν |<t

λν



= 0

Với tọa độ cực z = t.eiθ, trên mặt cầu S(r), (r > 0), ta có

∂

∂θ(logt)dt



= 14πdθ vì dt = 0



t∂ϕ

∂tdθ −

1t

Z

S(t)

14π(t

∂ϕ

∂tdθ −

1t

= 2

Z r

s

dtt

Z

∆(t)

i2π∂∂ϕ +

Z r

s

dtt

X

|a ν |<t

λν



Định lí được chứng minh trong trường hợp này

(b) Giả sử {aν} = {a} và ϕ(z) = λlog|z − aν|, a ∈ ∆(r)/∆(s) Khi đó,

2

Z t

s

dtt

Z

∆(0,t)

i2π∂∂ϕ = 0

X

Z 2π

0

λlog|r − ae−iθ|dθ

= 12π

∆(0,t)

i2π∂∂ϕ = 0

và

Z t

s

dtt

X

λilog|z − ai|, hay ϕ(z) = Ψ(z) +

nPi=1

λνlog|z − ai|.Khi đó ψ(z) là hàm thuộc lớp C2 trên một lân cận của ∆(r)

Áp dụng kết quả của các trường hợp (a), (b) và (c) cho các hàm ψ(z) và

λilog|z − ai| Thực hiện cộng vế với vế của các kết quả, ta được điều phảichứng minh của định lí trong trường hợp này

Định lý 1.8 Giả sử f là hàm phân hình trên C Khi đó

N (r, (f )) = N (r, (f )0) − N (r, (f )∞)

= 12π

Vậy hàm log|f (z)| thỏa mãn giả thiết của định lí Jensen, và do đó ta có :

12π

Z r

1

dtt

X

Z

|z|=1

log|f (z) − a|dθ

+ log+|a| + log2

Chứng minh Áp dụng công thức Jenssen cho hàm ϕ(z) = log |f (z) − a|

ngoài những điểm z sao cho ϕ(z) = ±∞ , ∂∂ϕ(z) ≡ 0 và do đó ta có :

Q(z) là hàm phân thức trên C, với P (z) và Q(z)

là các đa thức một biến trên C không có điểm chung và có bậc tương ứng

là p và q.Khi đó ta có kết luận sau:

1/ n(t, (f )∞) = q nên N (r, (f )∞) =

rR1

n(t, (f )∞)

t dt = qlogr + O(1).

2/ m(r, f ) = max{0, p − q}logr + O(1)

3/ T (r, f ) = N (r, (f )∞) + m(r, f ) = max{p, q}logr + O(1)

Giả sử rằng f (z) là một hàm phân hình trong |z| < R, và

Như thế T (r, f ) = T (r, f0) = T (r, f1) + O(1) = T (r, f2) + O(1) =

T (r, f3) + O(1) = T (r, f4) + O(1) = T (r, f5) + O(1) = T (r, g) + O(1)

Ta được điều phải chứng minh

1.3 Định lí cơ bản thứ hai

1.3.1 Bổ đề Borel và bổ đề về đạo hàm Logarit

Ta dùng kí hiệu ||P để nói rằng kết luận P đúng ngoài một tập E ⊂[0; +∞} có độ đo Lebesgue hữu hạn

Bổ đề 1.12 (Bổ đề Borel) Giả sử hàm Φ(r) ≥ 0(r ≥ 1) là đơn điệutăng Khi đó với mỗi δ > 0 ta có :|| d

drΦ(r) ≤



Φ(r)

1+δ

Chứng minh Vì Φ(r) là hàm đơn điệu tăng cho nên đạo hàm d

dΦ(r)Φ(r)1+δb > dr

Z ∞

r1

dΦ(r)Φ(r)1+δ ≤ 1

δΦ(r1)δ

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit) Giả sử f là hàm phân hình Khi đóvới mỗi δ > 0 ta có :



(f (z) − ai1)0

f (z) − ai1 − (f (z) − ai2)0

f (z) − ai2

|f0(z)| dθ+

+

qX

i=1

12π

Z

S(r)

log+

(f (z) − ai)0

f (z) − ai

|f0(z)| dθ + o(T (r, f ))(Theo bổ đề đạo hàm logarit).

(1.7)Mặt khác ta có:

Đặt h(z) :=

qQi=1

|f (z) − ai|

f0(z) , theo định lí 1.8 ta có

12π

Z

S(r)

log

qQi=1

|f (z) − ai|

f0(z) dθ = N (r, (h)0) − N (r, (h)∞) + O(1) (1.9)

Ta dễ dàng nhận thấy, nếuz0 là một không điểm củah thìz0 phải là khôngđiểm của duy nhất một (f − ai0) nào đó với bội m, khi đó z0 sẽ là khôngđiểm bội ít nhất là m − 1 của f0 Do vậy

(h)0(z0) ≤ 1 =

qX

i=1

N1(r, (f − ai)0) (1.10)

Mặt khác nếu z0 là một cực điểm bậc nhiều nhất là m + 1 của f0 Do vậy

z0 là cực điểm bậc ít nhất là mq − m − 1 ≥ (q − 2)m của h Vậy ta có

Năm 2004, Yamanoi, mở rộng định lý cơ bản thư hai cho trường hợp cáchàm phân hình bé như sau

Định lý 1.15 Chof là một hàm phân hình trên C Ký hiệu a1, , aq là

q hàm phân biệt thuộc Rf Khi đó với mỗi  > 0, ta có

(q − 2 − )Tf(r) ≤

qX

i=1

N1(r, (f − ai)0)

với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn

Năm 1933, Cartan mở rộng định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna sangtrường hợp chiều cao như sau:

Định lý 1.16 Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vàokhông gian xạ ảnh CPn và H1, , Hq (q > n + 1) là các siêu phẳng trong

CPn ở vị trí tổng quát Khi đó

(q − n − 1)Tf(r) 6

qX

j=1

Nn(r, (f − Hj)0) + o Tf(r)

với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn

Chứng minh Giả sử f 6≡ g lấy c ∈ C là một điểm sao cho c 6= ai, ∀i =

1, , 5 Dễ thấy nếu z là một không điểm của (f − ai) thì f (z) = g(z),

do vậy z là không điểm của 1

Cho G là một nhóm aben tự do, xoắn và A = (x1, , xq) là một bộ

q−phần tử xi trong G Ký hiệu 1 < s < r ≤ q Ta nối A có tính chất

Pr,s nếu với mọi bộ r phần tử xp1, , xpr trong A thỏa mãn điều kiện:với mọi I ⊂ {p1, , pr} với #I = s, tồn tại một tập J ⊂ {p1, , pr},

J 6= I, #J = s sao cho Q

i∈I

xi = Qj∈J

xj Kết quả sau được chứng minh bởiFujimoto

Bổ đề 2.3 Nếu A có tính chất Pr,s, khi đó tồn tại {i1, , iq−r+2} trong

{1, , q} sao cho xi1 = = xiq−r+2

Ký hiệu Af là tập tất cả các hàm a ∈ Rf sao cho δf[1](a) = 1 Rõ ràngrằng #Af ≤ 2

2.3 Định lý 4 điểm Nevanlinna

Định lý 2.4 Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng trên

C và cho a1, a2, a3, a4 4 hàm phân hình thuộc Rf Giả sử

min{ν(f,aj), 2} = min{ν(g,aj), 2}với mọi1 ≤ j ≤ 4.Khi đó{a1, a2, a3, a4}∩

Af chứa đúng 2 phần tử, gọi chúng làa3, a4 hơn nữa tỷ số kép(a1, a2, a3, a4)

đồng nhất bằng −1 và (f,a1 )

(f,a 2 ) = −(g,a1 )

(g,a 2 ).Chứng minh Từ min{ν(f,aj), 2} = min{ν(g,aj), 2} với mọi 1 ≤ j ≤ 4, vàtheo Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai ta có Tf(r) = O(Tg(r)) Vậy

Rf = Rg Giả sử (f0 : f1), (g0 : g1), (aj0 : aj1) là các biểu diễn rút gọncủa f, g, aj Từ f 6≡ g và a1 6≡ a2, ta có β := (f,a1 )

(f,a 2 ) − (g,a1 )

(g,a 2 ) 6≡ 0 Thật vậy,giả sử trái lại tồn tại hàm phân hình u trên C sao cho (f, a1) ≡ u · (g, a1)

1 ≤ i < j ≤ 4 Do đó, từ min{ν(f,ai), 2} = min{ν(g,ai), 2}, (1 ≤ i ≤ 4), ta

có νβ ≥ 1 trên Zero(f, a3) ∪ Zero(f, a4)
\Zero (a2 − a3)(a2 − a4)
và

νβ ≥ min{ν(f,a1), 2} trên C\Zero(a1 − a2) Mặt khác, ai − aj ∈ Rf (1 ≤

!

Khi đó,

f0 ≡

... data-page="28">

2.3 Định lý điểm Nevanlinna< /p>

Định lý 2.4 Cho f g hai hàm phân hình phân biệt khác

C cho a1, a2, a3, a4 hàm phân hình thuộc Rf... định lý thư hai cho trường hợp cáchàm phân hình bé sau

Định lý 1.15 Chof hàm phân hình C...

δΦ(r1)δ

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit) Giả sử f hàm phân hình Khi đóvới δ > ta có :

và

Z

b C