Một số tính chất của đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số

ta suy ra điều kiện compact trong LpΩ, ∥.∥Lp Nếu f : Ω →R, ta ký hiệu ef :Rn →R là hàm được định nghĩa như rằng bây giờ thìFelà compact dãy tương đối trong LpRn, ∥.∥Lp khi vàchỉ khi F l

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI

SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

2 Các đặc trưng của ∆U -vành

Ta biết rằng 1 + J (R) ⊆ U (R) Vành R được gọi là U J-vành nếu U (R) ⊆

1 + J (R), nghĩa là 1 + J (R) = U (R) Lưu ý nếu R là U J-vành khi đó

U (R) + U (R) = ∆(R))

∆(R), 1 − v ∈ ∆(R), do đó u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R)

(1) 2 ∈ ∆(R);

(2) Nếu R là division ring, khi đó R ∼ =F2;

(3) Nếu x2 ∈ ∆(R) khi đó x ∈ ∆(R);

(4) R là Dedekind finite;

(5) Cho I ⊆ J (R) là iđêan của R Khi đó R là ∆U-vành khi và chỉ khi

i∈I

Ri là ∆U khi và chỉ khi các vành Ri là ∆U, với mọi i ∈ I

Chứng minh (1) Hiển nhiên

(2)

tức là1+x ∈ U (R) VìRlà∆U-vành,1+x ∈ 1+∆(R), do đóx ∈ ∆(R).(4) Giả sử a, b ∈ R với ab = 1 Khi đó 1 − ba là lũy đẳng của R,

[b(1 − ba)2] = 0 = [(1 − ba)a]2∈ ∆(R).

Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) và (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy ra

1 − ba = (1 − ba)2= [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆

Từ đó, ba ∈ U (R) hoặc ba = 1

-vành

u + I ∈ 1 + ∆(R)/I Ta có thể kiểm tra u ∈ 1 + ∆(R) Do đó, R là

Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên.

(⇒:) Giả sử rằng Mn (R) là ∆U-vành và n > 1 Đầu tiên ta sẽ chứng

minhRlà division Lấy bất kỳa ∈ R, a ̸= 0, ta cóX =

khả nghịch trong Mn (R), hay a ∈ U (R) Do đó, R là division

Tiếp theo, ta chứng minh R ∼ = F2 Lấy a ∈ R, a ̸= 0 và a ̸= 1 Lấy

Chứng minh Lấyu ∈ U (eRe) Khi đóu + 1 − e ∈ U (R) Vì R là ∆U-vành

u−e+v+1−e ∈ U (R)theo định nghĩa của∆, đặtu−e+v+1−e = t ∈ U (R)

Ta kiểm tra được et = te = ete = u − e + v, do đó ete ∈ U (eRe) Suy ra

u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), hoặc u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy,u ∈ e + ∆(eRe) hay

Tn (R) là ∆U-vành, n ≥ 1

2.2 Một vài tính chất đại số của các ∆U -vành

nó bằng N (R)

∆(R) + J (R[x]) Mặt khác ta cũng có J (R[x]) = I[x] với I là iđêan lũy

U (R) ⊆ U (R[x]) = 1 + ∆(R[x]) = 1 + ∆(R) + I[x],

điều đó có nghĩa làU (R) ⊆ 1 + ∆(R) + I = 1 + ∆(R) ⊆ U (R), vì I là iđêanlũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do đó U (R) = 1 + ∆(R), hayR là ∆U-vành

(1) R là ∆U-vành khi và chỉ khi R[x]/xmR[x] là ∆U-vành

(2) R là ∆U-vành khi và chỉ khi vành chuỗi lũy thừa R[[x]] là ∆U-vành

J (R[x]/xmR[x]) và (R[x]/xmR[x])/(xR[x]/xmR[x]) ∼ = R

(2) Ta xét(x) = xR[[x]] như là iđêan của R[[x]] Khi đó (x) ⊆ J (R[[x]]),

do R ∼ = R[[x]]/(x), kết quả này suy ra từ Mệnh đề 2.4(5)

thỏa ϵi = idR

(1) ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

Chứng minh (1) Dễ thấy, ϵ(U (S)) ⊆ U (R)và U (R) = ϵi(U (R)) ⊆ ϵ(U (S)).Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), vì vậy ϵ(a) + ϵ(U (S)) ⊆ ϵ(U (S))

hoặc ϵ(a) + U (R) ⊆ U (R) Điều đó có nghĩa là ϵ(a) ∈ ∆(R) Do đó,

ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

(2) Cho S là ∆U-vành Khi đó U (S) = 1 + ∆(S), theo(1)

U (R) = ϵ(U (S)) = 1 + ∆(S) ⊆ 1 + ∆(R).

Do đó U (R) = 1 + ∆((R)

(3) Giả sử R là ∆U-vành Ta phải chỉ ra ϵ−1(U (R)) ⊆ 1 + ∆(S), điều

ϵ(y) ∈ U (R) = 1 + ∆(R), vì R là ∆U-vành Suy ra y − 1 = i(x) + v, trong

Lưu ý rằng x + U (R) ⊆ U (R) Ta có ϵ(i(x) + u) = x + ϵ(u) ∈ x + ϵ(U (S)) =

x + U (R) ⊆ U (R) = ϵ(U (S)) và i(x) + u = u′ + a trong đó u′ ∈ U (S) và

a ∈ ker(ϵ) Suy ra y − 1 + u = u′+ a + v ∈ U (S) + ker(ϵ) ⊆ U (S) + ∆(S)

theo giả thuyết Từ U (S) + ∆(S) ⊆ U (S) với mọi vành có đơn vị S, ta có

y − 1 + u ∈ U (S) với mọi u ∈ U (S) Điều đó có nghĩa là y − 1 ∈ ∆(S)hay

y ∈ 1 + ∆(S) Ta có điều phải chứng minh

2.3 Tính chất ∆U trong các lớp vành

Lp(A) := {f : A →R: f đo được Lebesgue và ∥f ∥Lp < +∞}

Số ∥f ∥Lp được gọi là chuẩn Lp của f trên A

Định lý 6 (Fisher - Riesz) (Lp(A), ∥.∥Lp ) là không gian Banach nếu

1 ≤ p ≤ ∞ Hơn nữa L2(A) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(ii) |fhk(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω, ∀k

hầu khắp nơi x ∈ Ω

tập mở bị chặn, nếu không thì quan hệ bao hàm không được giữ trongkhi đó nó giữ được quan hệ bao hàm C0c(Ω) ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞]

Trong mục này chúng ta sẽ thảo luận về một kết quả compact trong

(τ v f )(x) := f (x + v)

Định lý 8 (M.Riesz - Fréchét - Kolmogorov) Cho F là tập con bị chặntrong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) với 1 ≤ p < ∞ Giả sử rằng lim

v→0 ∥τ v f − f ∥Lp = 0 đềuvới mỗi f ∈ F, nghĩa là

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 : ∥τ v f − f ∥Lp < ϵ, ∀v ∈Rn với |v| < δ, ∀f ∈ F (N EF)

Khi đó F |Ω := {f |Ω : f ∈ F } là compact tương đối trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ),nghĩa là bao đóng của nó là compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ), với mỗi tập mở

Ω ⊂ Rn với độ đo Lebesgue hữu hạn

Từ định lý ?? ta suy ra điều kiện compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

Nếu f : Ω →R, ta ký hiệu ef :Rn →R là hàm được định nghĩa như

rằng bây giờ thìFelà compact dãy tương đối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp )khi vàchỉ khi F là compact dãy tương đối trong(Lp(Ω), ∥.∥Lp ) Do đặc tính củatập compact trong không gian metric (Định lý ??) có điều phải chứngminh

Cuối cùng, hãy nhớ lại các đặc tính của compact trong(Lp(Rn), ∥.∥Lp ).Định lý 9 Cho F ⊂ Lp(Rn) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F là compact tươngđối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) khi và chỉ khi

(i) F là bị chặn trên (Lp(Rn), ∥.∥Lp );

(ii) với mỗi ϵ > 0, tồn tại rϵ > 0 thỏa mãn

∥f ∥Lp (R n \B(0,r )) < ϵ ∀f ∈ F ;

(iii) lim

v→∞ ∥τ v f − f ∥Lp = 0 đều f ∈ F

vậy, xét họ F := {fh : h ∈N} ở đây fh :R→R được định nghĩa là

còn đúng nữa Thật vậy, xét họ F := {fh: h ∈N} ở đây fh:R→R được

định nghĩa fh(x) := f (x + h) ở đây f ∈Lip(R) với spt(f ) = [−a, a], a > 0,

và f không triệt tiêu Khi đó

tương đối trên (L1(R), ∥.∥L1 ) Ngược lại mâu thuẫn nảy sinh bởi (??), từ

fh(x) → 0 với mỗi x ∈R.

Tính tách được của (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

L∞(Ω) là chặt Hơn thế nữa, với mỗi f ∈C0(Ω)

∥f ∥∞,Ω= ∥f ∥L∞ (Ω) (∗)

Thật vậy

∥f ∥L∞ (Ω) := inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M, x ∈ Ω} ≤ sup

x∈Ω

|f (x)| := ∥f ∥∞,Ω.

Ω \ N ⊇ Ω.

Vì thế, theo tính liên tục của f, nếu tồn tại M > 0 sao cho

|f (x)| < M, x ∈ Ω ⇒ |f (x)| ≤ M ∀x ∈ Ω.

Đặc biệt, từ (∗), C0(Ω) hóa ra là đóng trong (L∞(Ω), ∥.∥L∞ (Ω) )

Chứng minh Ta chia chứng minh thành ba bước

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ = ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (2)Theo bất đẳng thức Holder, suy ra bất đẳng thức

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≤ ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (3)

Ta chỉ ra bất thức ngược lại Đầu tiên, giả sử 1 < p < ∞, điều này cũng

có nghĩa là 1 < p′ < ∞ Nếu ∥u∥Lp′ (Ω) = 0, khi đó, u = 0 hầu khắp nơi

trong Ω bất đẳng thức này là rõ ràng Giả sử 0 < ∥u∥Lp′ (Ω) < ∞, khi đó

ta cần giả sử rằng 0 < |u(x)| < ∞ hầu khắp nơi x ∈ Ω Định nghĩa

fu(x) := |u(x)|p′−2u(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω.

Điều này cũng có nghĩa là

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≥ ∥u∥Lp′ (Ω) ∀u ∈ Lp′(Ω). (5)

p′= ∞, giả sử 0 < M < ∥u(x)∥L∞ (Ω) Khi đó tập hợp

nghĩa là ∀ϕ ∈ (Lp(Ω))′, ∃u ∈ Lp′(Ω) sao cho

=

=