Lý-Thuyết-giải tích-12

MỤC LỤC

PH N I HÀM S Ầ Ố 4

1 S Đ NG BI N NGH CH BI N C A HÀM S Ự Ồ Ế Ị Ế Ủ Ố 4

1.1 Đ nh nghĩa ị 4

1.2 Quy t c và công th c tính đ o hàm ắ ứ ạ 4

1.3 B ng công th c tính đ o hàm ả ứ ạ 5

1.4 Công th c tính nhanh đ o hàm hàm phân th c ứ ạ ứ 5

1.5 Đ o hàm c p 2 ạ ấ 5

2 C C TR HÀM S Ự Ị Ố 7

2.1 Đ nh nghĩa ị 7

2.2 Đi u ki n c n đ hàm s đ t c c tr ề ệ ầ ể ố ạ ự ị 8

2.3 Đi u ki n đ đ hàm s đ t c c tr ề ệ ủ ể ố ạ ự ị 8

2.4 Quy t c tìm c c tr ắ ự ị 8

3 M T S D NG TOÁN LIÊN QUAN Đ N C C TR HÀM S Ộ Ố Ạ Ế Ự Ị Ố 9

3.1 C c tr c a hàm đa th c b c ba ự ị ủ ứ ậ 9

3.2 C c tr c a hàm b c 4 trùng ph ự ị ủ ậ ươ ng 12

4 GIÁ TR L N NH T - GIÁ TR NH NH T Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ 14

4.1 Đ nh nghĩa ị 14

4.2 Ph ươ ng pháp tìm GTLN,GTNN 14

5 Đ ƯỜ NG TI M C N C A Đ TH HÀM S Ệ Ậ Ủ Ồ Ị Ố 15

5.1 Đ ườ ng ti m c n ngang ệ ậ 15

5.2 Đ ườ ng ti m c n đ ng ệ ậ ứ 15

6 KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V Đ TH HÀM S Ả Ự Ế Ẽ Ồ Ị Ố 16

6.2 M t s phép bi n đ i đ th ộ ố ế ổ ồ ị 17

7 TI P TUY N Ế Ế 20

7.1 Ti p tuy n ế ế 20

7.2 Đi u ki n ti p xúc ề ệ ế 20

8 T ƯƠ NG GIAO Đ TH Ồ Ị 20

9 ĐI M Đ C BI T C A H Đ Ể Ặ Ệ Ủ Ọ ƯỜ NG CONG 20

9.1 Bài toán tìm đi m c đ nh c a h đ ng cong ể ố ị ủ ọ ườ 20

9.2 Bài toán tìm đi m có t a đ nguyên ể ọ ộ 21

9.3 Bài toán tìm đi m có tính ch t đ i x ng ể ấ ố ứ 21

9.4 Bài toán tìm đi m đ c bi t, kho ng cách ể ặ ệ ả 22

PH N II MŨ VÀ LOGARIT Ầ 24

1 LŨY TH A VÀ HÀM S LŨY TH A Ừ Ố Ừ 24

1.1 Khái ni m lũy th a ệ ừ 24

1.2 Ph ng trình ươ 24

1.3 M t s tính ch t c a căn b c ộ ố ấ ủ ậ 25

1.4 Hàm s lũy th a ố ừ 25

1.5 Kh o sát hàm s mũ ả ố 26

2 LOGARIT 27

2.1 Khái ni m Logarit ệ 27

2.2 B ng tóm t t công th c Mũ-logarit th ng g p ả ắ ứ ườ ặ 27

3 B T PH Ấ ƯƠ NG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 28

3.1 B t ph ng trình mũ c b n ấ ươ ơ ả 28

3.2 B t ph ng trình logarit c b n ấ ươ ơ ả 28

4 BÀI TOÁN LÃI SU T NGÂN HÀNG Ấ 29

4.1 Lãi đ n ơ 29

4.2 Lãi kép 29

4.3 Ti n g i hàng tháng ề ử 30

4.4 G i ngân hàng và rút ti n g i hàng tháng ử ề ử 30

4.5 Vay v n tr góp ố ả 30

4.6 Bài toán tăng l ng ươ 31

4.7 Bài toán tăng tr ng dân s ưở ố 31

4.8 Lãi kép liên t c ụ 31

PH N III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - NG D NG TÍCH PHÂN Ầ Ứ Ụ 32

1 NGUYÊN HÀM 32

1.1 Đ nh nghĩa ị 32

1.2 Tính ch t c a nguyên hàm ấ ủ 32

1.3 S t n t i c a nguyên hàm ự ồ ạ ủ 32

1.4 B ng nguyên hàm các hàm s th ng g p ả ố ườ ặ 32

1.5 B ng nguyên hàm m r ng ả ở ộ 33

2 CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 34

2.1 Ph ng pháp đ i bi n ươ ổ ế 34

2.2 Ph ng pháp nguyên hàm t ng ph n ươ ừ ầ 35

3 TÍCH PHÂN 36

3.1 Công th c tính tích phân ứ 36

3.2 Tính ch t c a tích phân ấ ủ 36

4 PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 37

4.1 Ph ng pháp đ i bi n ươ ổ ế 37

4.2 Ph ng pháp tích phân t ng ph n ươ ừ ầ 38

5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM S S C P C B N Ố Ơ Ấ Ơ Ả 38

5.1 Tích phân hàm h u t ữ ỉ 38

5.2 Tích phân hàm vô tỉ 40

5.3 Tích phân hàm l ng giác ượ 43

6 NG D Ứ Ụ NG TÍCH PHÂN 46

6.1 Di n tích hình ph ng ệ ẳ 46

6.2 Th tích v t th và th tích kh i tròn xoay ể ậ ể ể ố 46

PH N IV S PH C Ầ Ố Ứ 48

1 S PH C Ố Ứ 48

1.1 Khái ni m s ph c ệ ố ứ 48

1.2 Hai s ph c b ng nhau ố ứ ằ 48

1.3 Bi u di n hình h c s ph c ể ễ ọ ố ứ 48

1.4 S ph c liên h p ố ứ ợ 48

1.5 Môđun c a s ph c ủ ố ứ 48

2 PHÉP C NG TR NHÂN CHIA S PH C Ộ Ừ Ố Ứ 49

2.1 Phép c ng và phép tr s ph c ộ ừ ố ứ 49

2.2 Phép nhân s ph c ố ứ 49

2.3 Chia hai s ph c ố ứ 49

3 T P H P ĐI M BI U DI N S PH C Ậ Ợ Ể Ể Ễ Ố Ứ 49

4 PH ƯƠ NG TRÌNH B C HAI V I H S TH C Ậ Ớ Ệ Ố Ự 50

4.1 Căn b c hai c a s th c âm ậ ủ ố ự 50

4.2 Ph ng trình b c hai v i h s th c ươ ậ ớ ệ ố ự 50

5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N MAX – MIN MÔ ĐUN S PH C Ế Ố Ứ 50

 Hàm s ố đ c g i là ượ ọ đ ng bi n ồ ế (tăng) trên n u: ế

 Hàm s ố đ c g i là ượ ọ ngh ch bi n ị ế (gi m) ả trên n u: ế

Hàm s đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên ố ồ ế ặ ị ế đ c g i chung là ượ ọ đ n đi u ơ ệ trên

* Nh n xét: ậ

th c a hàm s ị ủ ố đi lên t trái sang ph i ừ ả

th c a hàm s ị ủ ố đi xu ng ố t trái sang ph i.ừ ả

 N u ế hàm s ố đ ng bi ồ êń trên kho ng ả

 N u ế hàm s ố ngh ch bi n ị ế trên kho ng ả

N u ế hàm s ố không đ i ổ trên kho ng ả

 N u ế đ ng bi ồ êń trên kho ng ả

 N u ế ngh ch bi n ị ế trên kho ng ả

 N u thay ế đôi kho ng ̉ ả b ng m t ằ ộ đo n ạ ho c ặ n a kho ng ử ả thì ph i ả b sung ổ

thêm gi thi t ả ế “hàm số liên t c ụ trên đo n hoạ ăc n a kho ng đó”.̣ ử ả

1.2 Quy t c và công th c tính đ o hàm ắ ứ ạ

Gia t c t c th i c a chuy n đ ng ố ứ ờ ủ ể ộ t i th i đi m ạ ờ ể là:

(Đ ng th ng song song ho c trùng v i tr c ườ ẳ ặ ớ ụ Ox thì không đ n đi u)ơ ệ

* V i d ng toán tìm tham s m đ hàm s b c ba ớ ạ ố ể ố ậ đơn đi u m t chi u trên kho ng có ệ ộ ề ả

đ dài b ng ộ ằ ta gi i nh sau: ả ư

B c 1 ướ : Tính

B c 2ướ : Hàm s đ n đi u trên ố ơ ệ có nghi m phân bi tệ ệ

 là đi m c c ti u ể ự ể c a hàm s ủ ố n u t n t i m t kho ng ế ồ ạ ộ ả ch a ứ sao cho

và Khi đó đ c g i là ượ ọ giá tr c c ti u ị ự ể

c a hàm sủ ố

 là đi m c c đ i ể ự ạ c a hàm s ủ ố n u t n t i m t kho ng ế ồ ạ ộ ả ch a ứ sao cho

và Khi đó đ c g i là ượ ọ giá tr c c đ i ị ự ạ

c a hàm sủ ố

 Đi m c c đ i và đi m c c ti u g i chung là ể ự ạ ể ự ể ọ đi m c c tr ể ự ị

 Giá tr c c đ i và giá tr c c ti u g i chung là ị ự ạ ị ự ể ọ c c tr ự ị.

 Đi m c c đ i và đi m c c ti u đ c g i chung là ể ự ạ ể ự ể ượ ọ đi m c c tr c a hàm s ể ự ị ủ ố và đi mể

c c tr ph i là m t đi m trong t p h p ự ị ả ộ ể ậ ợ K.

 Giá tr c c đ i và giá tr c c ti u đ c g i chung là ị ự ạ ị ự ể ượ ọ giá trị c c tr (hay c c tr ) ự ị ự ị c a ủ

hàm số.

 N u ế là đi m c c tr c a hàm s thì đi m ể ự ị ủ ố ể đ c g i là ượ ọ đi m c c tr c a ể ự ị ủ

đ th ồ ị hàm s ố

* Nh n xét: ậ

 Giá tr c c đ i (c c ti u) ị ự ạ ự ể nói chung không ph i là giá tr l n nh t (nh nh t)ả ị ớ ấ ỏ ấ

c a hàm s ủ ố trên t p D; ậ ch là giá tr l n nh t (nh nh t) c a hàm s ỉ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố trên

m t kho ng ộ ả nào đó ch a ứ hay nói cách khác khi đi m c c đ i ( c c ti u)ể ự ạ ự ể

s t n t i kho ng (a;b) ch a ẽ ồ ạ ả ứ sao cho là giá tr l n nh t (nh nh t) c a hàmị ớ ấ ỏ ấ ủ

s ố trên kho ng ả

 Hàm s ố có th đ t c c đ i ho c c c ti u t i nhi u đi m trên t pể ạ ự ạ ặ ự ể ạ ề ể ậ Hàm s cóố

th không có c c tr trên m t t p cho tr c.ể ự ị ộ ậ ướ

 N u ế trên kho ng ả và trên kho ng ả thì là

m t ộ điêm c̉ ưc tị êu c a hàm s ̉ ủ ố

3.1.1 Tìm đi u ki n đ hàm s có c c đ i, c c ti u th a mãn hoành đ cho tr ề ệ ể ố ự ạ ự ể ỏ ộ ướ c

Bài toán t ng quát ổ :

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi tệ ệ

 Đi u ki n đ hàm s có c c tr cùng d u, trái d u ề ệ ể ố ự ị ấ ấ

 Hàm s có 2 c c tr trái d u ố ự ị ấ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t trái d uệ ệ ấ

 Hàm s có hai c c tr cùng d u ố ự ị ấ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t cùng d uệ ệ ấ

Cho 2 đi m ể và đ ng thườ ăng ̉

hai phía so vơi ́đương th̀ ăng ̉

 Các đi m c c tr c a đ th n m ể ự ị ủ ồ ị ằ cùng v 1 phía đ i v i tr c Ox ề ố ớ ụ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t và ệ ệ

Đ c bi t: ặ ệ

 Các đi m c c tr c a đ th n m ể ự ị ủ ồ ị ằ cùng v phía trên đ i v i tr c Ox ề ố ớ ụ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t và ệ ệ

 Các đi m c c tr c a đ th n m ể ự ị ủ ồ ị ằ cùng v phía d i đ i v i tr c Ox ề ướ ố ớ ụ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t và ệ ệ

 Các đi m c c tr c a đ th n m ể ự ị ủ ồ ị ằ v 2 phía đ i v i tr c Ox ề ố ớ ụ

ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t và ệ ệ

(áp d ng khi không nh m ụ ẩ đươc nghi ̣ êm v ̣ à vi t đ c ph ng trình đ ng th ng đi ế ượ ươ ườ ẳ qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s ể ự ị ủ ồ ị ố)

Ho c: Các đi m c c tr c a đ th n m ặ ể ự ị ủ ồ ị ằ v 2 phía đ i v i tr c Ox ề ố ớ ụ

đ th c t tr c ồ ị ắ ụ Ox t i 3 đi m phân bi tạ ể ệ

ph ng trình hoành ươ đô giao ̣ điêm ̉ có 3 nghi m phệ ân biêt (̣ áp

d ng khi nh m ụ ẩ đ c ượ nghiêm ̣ )

3.1.3 Ph ươ ng trình đ ườ ng th ng qua các đi m c c tr ẳ ể ự ị

3.1.4 Kho ng cách gi a hai đi m c c tr c a đ th hàm s b c 3 là ả ữ ể ự ị ủ ồ ị ố ậ

v i ớ

Tam giác vuông cân t i ạ

Tam giác có đ dài c nhộ ạ

Tam giác có đ dài ộ

Tam giác có c c tr ự ị

Tam giác có góc nh nọ

Tam giác có tr ng tâm ọ

Tam giác có tr c tâm ự

Tam giác cùng đi m ể t o thành hìnhạ

Tam giác có đi m c c tr cách đ u tr cể ự ị ề ụ

di n tích ph n trên và ph n d i b ng nhau.ệ ầ ầ ướ ằ

Ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p ươ ườ ạ ế là:

 B c 1 ướ : Tính và tìm các đi m ể mà t i đó ạ ho c hàm sặ ốkhông có đ o hàm ạ

 B c 2 ướ : L p b ng bi n thiên và t đó suy ra giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c aậ ả ế ừ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủhàm s ố

4.2.2 Tìm GTLN, GTNN c a hàm s trên m t đo n ủ ố ộ ạ

 B c 1 ướ :

 Hàm s đã cho ố xác đ nh và liên t c trên đo n ị ụ ạ

 Tìm các đi m ể trên kho ng ả , t i đó ạ ho c ặ khôngxác đ nh.ị

 B c 2: ướ Tìm t t c các nghi m ấ ả ệ c a ph ng trình ủ ươ và t t c cácấ ả

đi m ể làm cho không xác đ nh.ị

 B c 3 ướ Tính , , ,

 B c 4 ướ So sánh các giá tr tính đ c và k t lu n ị ượ ế ậ ,

N u giá tr l n nh t (nh nh t) là A ho c B thì ta k t lu n không có giá tr l n nh t (nh nh t) ế ị ớ ấ ỏ ấ ặ ế ậ ị ớ ấ ỏ ấ

Chú ý:

Cho hàm s ố xác đ nh trên m t kho ng vô h n (là kho ng d ng ị ộ ả ạ ả ạ

ho c ặ ) Đ ng th ng ườ ẳ là đ ng ườ ti m c n ngang ệ ậ (hay ti m c n ngang) c a đệ ậ ủ ồ

th hàm s ị ố n u ít nh t m t trong các đi u ki n sau đ c th a mãn:ế ấ ộ ề ệ ượ ỏ

5.2 Đ ườ ng ti m c n đ ng ệ ậ ứ

Đ ng th ng ườ ẳ đ c g i là đ ng ượ ọ ườ ti m c n đ ng ệ ậ ứ (hay ti m c n đ ng) c a đ thệ ậ ứ ủ ồ ị

hàm s ố n u ít nh t m t trong các đi u ki n sau đ c th a mãn:ế ấ ộ ề ệ ượ ỏ

L u ý: ư V i đ th hàm phân th c d ng ớ ồ ị ứ ạ luôn có ti m c nệ ậ

ngang là và ti m c n đ ng ệ ậ ứ

 Gi nguyên ữ ph n ầ đ th phía trên ồ ị Ox c a đ th (C):ủ ồ ị

 B ỏ ph n đ th ầ ồ ị phía d i ướ Ox c a (C), ủ l y đ i x ng ph n đ th ấ ố ứ ầ ồ ị b b ị ỏ qua Ox.

Cho hai hàm s ố và Đ th ồ ị và ti p xúc nhau ế khi chỉ

khi h ph ng trình: ệ ươ có nghi m.ệ

8 T ƯƠ NG GIAO Đ TH Ồ Ị

Cho hàm s ố có đ th ồ ị và có đ th ồ ị

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a ươ ộ ể ủ và là Khi đó:

 S giao đi m c a ố ể ủ và b ng v i s nghi m c a ph ng trình ằ ớ ố ệ ủ ươ

 Nghi m ệ c a ph ng trình ủ ươ chính là hoành đ ộ c a giao đi m.ủ ể

 Đ tính tung đ ể ộ c a giao đi m, ta thay hoành đ ủ ể ộ vào ho c ặ

 Đi m ể là giao đi m c a ể ủ và

9 ĐI M Đ C BI T C A H Đ Ể Ặ Ệ Ủ Ọ ƯỜ NG CONG

9.1 Bài toán tìm đi m c đ nh c a h đ ể ố ị ủ ọ ườ ng cong

Xét h đ ng cong ọ ườ có ph ng trình ươ , trong đó là hàm đa th c theoứ

bi n ế v i ớ là tham s sao choố b c c a ậ ủ m không quá 2 Tìm nh ng đi m c đ nh thu c hữ ể ố ị ộ ọ

đ ng cong khi ườ thay đ i? ổ

- N u h có nghi m thì nghi m đó là đi m c đ nh c a ế ệ ệ ệ ể ố ị ủ

9.2 Bài toán tìm đi m có t a đ nguyên ể ọ ộ

Cho đ ng cong ườ có ph ng trình ươ (hàm phân th c) Hãy tìm nh ng đi m cóứ ữ ể

t a đ nguyên c a đ ng cong?ọ ộ ủ ườ

Nh ng đi m có t a đ nguyên là nh ng đi m sao cho c hoành đ và tung đ c a đi m đó đ u ữ ể ọ ộ ữ ể ả ộ ộ ủ ể ề

là s nguyên ố

 B c 1: ướ Th c hi n phép chia đa th c chia t s cho m u s ự ệ ứ ử ố ẫ ố

 B c 2: ướ L p lu n đ gi i bài toán.ậ ậ ể ả

9.3 Bài toán tìm đi m có tính ch t đ i x ng ể ấ ố ứ

Cho đ ng cong ườ có ph ng trìnhươ Tìm nh ng đi m đ i x ng nhau qua m tữ ể ố ứ ộ

đi m, qua đ ng th ng.ể ườ ẳ

Bài toán 1: Cho đ th ồ ị trên đ th ồ ị tìm nh ng c p đi m đ i ữ ặ ể ố

x ng nhau qua đi m ứ ể

x ng nhau qua đi m ứ ể

Gi i h ph ng trình tìm đ c ả ệ ươ ượ t đó tìm đ c to đ ừ ượ ạ ộ M, N

Bài toán 2: Cho đ th ồ ị Trên đ th ồ ị tìm nh ng c p đi m đ i ữ ặ ể ố

x ng nhau qua g c t a đ ứ ố ọ ộ

Ph ươ ng pháp gi i: ả

x ng nhau qua g c t a đ ứ ố ọ ộ

 Gi i h ph ng trình tìm đ cả ệ ươ ượ t đó tìm đ c to đ ừ ượ ạ ộ

Bài toán 3: Cho đ th ồ ị trên đ th ồ ị tìm nh ng c p đi m đ i ữ ặ ể ố

x ng nhau qua đ ng th ng ứ ườ ẳ

nhau qua đ ng th ng ườ ẳ

 Ta có: (v i ớ là trung đi m c a ể ủ và là vect ch ph ng c aơ ỉ ươ ủ

đ ng th ng ườ ẳ )

 Gi i h ph ng trình tìm đ c ả ệ ươ ượ M, N

9.4 Bài toán tìm đi m đ c bi t, kho ng cách ể ặ ệ ả

9.4.1 Lý thuy t: ế

 Cho hai đi m ể

 Cho đi m ể và đ ng th ng ườ ẳ , thì kho ng cách t ả ừ đ nế

 Cho hàm phân th c: ứ ti p tuy n t i ế ế ạ M c t ắ TCĐ, TCN ở A và B thì M là

trung đi m c a ể ủ AB Thì di n tích tam giác ệ không đ i: ổ

9.4.2 Các bài toán th ườ ng g p ặ

và thu c hai nhánh đ th hàm s sao cho kho ng cách ộ ồ ị ố ả ng n nh t ắ ấ

 Xét các kho ng cách t ả ừ đ n hai tr c t a đ khi ế ụ ọ ộ n m các v trí đ c bi t: Trênằ ở ị ặ ệ

tr c hoành, trên tr c tung.ụ ụ

 Sau đó xét t ng quát, nh ng đi m ổ ữ ể có hoành đ , ho c tung đ l n h n hoành độ ặ ộ ớ ơ ộ

ho c tung đ c a ặ ộ ủ khi n m trên hai tr c thì lo i đi không xét đ n.ằ ụ ạ ế

 Nh ng đi m còn l i ta đ a v tìm giá tr nh nh t c a đ thi hàm s d a vào đ oữ ể ạ ư ề ị ỏ ấ ủ ồ ố ự ạ

đ đi m ộ ể trên sao cho đ dài ộ ng n nh t (v i I là giao đi m hai ti m c n) ắ ấ ớ ể ệ ậ

 Ti m c n đ ng ệ ậ ứ ; ti m c n ngang ệ ậ

 Ta tìm đ c t a đ giao đi m ượ ọ ộ ể c a hai ti m c n.ủ ệ ậ

 G i ọ là đi m c n tìm, thì:ể ầ

 S d ng ph ng pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm s ử ụ ươ ố đ thu đ c k t qu ể ượ ế ả

Bài toán 5: Cho đ th hàm s ồ ị ố có ph ng trình ươ và đ ng th ng ườ ẳ

Tìm đi m ể trên sao cho kho ng cách t ả ừ đ n ế là ng n nh t ắ ấ

 Kho ng cách t ả ừ đ n ế là

 Kh o sát hàm s ả ố đ tìm ra đi m ể ể th a mãn yêu c u.ỏ ầ

 Khi xét lũy th a v i s mũ ừ ớ ố và s mũ nguyên âm thì c s ố ơ ố ph i khác ả

 Khi xét lũy th a v i s mũ không nguyên thì c s ừ ớ ố ơ ố ph i d ng.ả ươ

T p xác đ nh c a hàm s lũy th a ậ ị ủ ố ừ luôn ch a kho ng ứ ả v i m i ớ ọ

Trong tr ng h p t ng quát, ta kh o sát hàm s ườ ợ ổ ả ố trên kho ng này.ả

1 T p xác đ nh: ậ ị

2 S bi n thiênự ế

1 T p xác đ nh: ậ ị

2 S bi n thiênự ế

Không có logarit c a s âm và s 0 ủ ố ố

2.2 B ng tóm t t công th c Mũ-loarrit th ả ắ ứ ườ ng g p ặ

 Tr ng h p ườ ợ : khi và ch khiỉ

 Tr ng h p ườ ợ : khi và ch khi ỉ

4 BÀI TOÁN LÃI SU T NGÂN HÀNG Ấ

Khách hàng g i vào ngân hàng ử đ ng v i lãi đ n ồ ớ ơ /kì h n thì s ti n khách hàngạ ố ề

nh n đ c c v n l n lãi sau ậ ượ ả ố ẫ kì h n ( ạ ) là:

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi su t và các bài toán liên quan, ta nh ấ ớ là .

Khách hàng g i vào ngân hàng ử đ ng v i lãi kép ồ ớ /kì h n thì s ti n khách hàngạ ố ề

nh n đ c c v n l n lãi sau ậ ượ ả ố ẫ kì h n ( ạ ) là:

Đ u m i tháng khách hàng g i vào ngân hàng s ti n ầ ỗ ử ố ề đ ng v i lãi kép ồ ớ /tháng thì

s ti n khách hàng nh n đ c c v n l n lãi sau ố ề ậ ượ ả ố ẫ tháng ( ) ( nh n ti n cu i tháng,ậ ề ố

khi ngân hàng đã tính lãi) là

Vay v n tr góp là vay ngân hàng s ti n là ố ả ố ề đ ng v i lãi su t ồ ớ ấ /tháng Sau đúng

m t tháng k t ngày vay, b t đ u hoàn n ; hai l n hoàn n cách nhau đúng m t tháng,ộ ể ừ ắ ầ ợ ầ ợ ộ