BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP - DANKO - TẬP 2

BẠN ĐANG HỌC TOÁN CAO CẤP? NẾU BẠN CHƯA ĐỌC QUYỂN CỦA DANKO ĐÓ LÀ MỘT THIỆT THÒI LỚN CHO CÁC BẠN ĐẤY, BẢN TIẾNG NGA DỄ HIỂU GIÚP BẠN TIẾP CẬN MỘT CÁCH DỄ HƠN MÔN HỌC KHÓ NÀY

П Е ДАН КО, А Г ПОПОВ, Т Я КОЖЕВНИКОВА

Высшая

математика

в упражнениях изадачах

ДJ7 Высшая математик;) В упрюкненнях н З:JД;JЧ;)Х 13 2 ч Ч 2: Учеб

пособие дЛЯ RУЗОН / П Е Данко , А "' Попов, Т Я КожС'вник()ва 6-е изд - М.: 000 «ИЗЛ,атеЛЬСКИfl дом "ОНИКС 2 1 ВСЮ> 000 "ИЗДil­тельств() «Мир И Образование), 2(ЮЗ - · 116 с.: 11Л

-ISBN 5-З29-00327-Х (000 «ИЗДilн'льскиii д()м «ОНИКС 21 B('I(»)

ISBN 5-94666-009-8 (000 «Издательств() «Мир И Образnвание») Содержание второй части OX8aTы~aeT слt'i\ующие рзздеЛhl программы: кратные.и криволинейные интегралы, РЯ,lЫ, ЮlффереНЦНilЛhНЫ(' уравнения, теорию вероятностей, те()рию функций к()мпяексноrn персм"ннnго, операци­онное исчисление, методы вычисленин, ОСНОВЫ ваРlJilЦИ()~НОГО ИС'lнсления

В каждом параграфе ПРИВОi\ЯТСЯ нео6ХОЛ,ИМhlС трореТИЧССКliе свеi\ения Типовые заl1.ачи даются с пол,робнымн rН'UlеН'IЯМИ ИМРЕ'ТСЯ бол шое I(ОЛИ­

чество задач ДЛЯ самостоятельной работы

.V'lебн,ос lI.здание Данко ПаВЕ'JJ Ефимович, Попов ДлеКСilllДР ГеОРГIIС'RНЧ

Кожевникова Татьяна ЯК()JJлевна

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ

В двух частях Ч~СТЬ 2 Р<,Доктор А М Cyxn(JrKlIli

УДК 516+517 ББК 22.lя73

Изд ЛfIЦ ИД .'J', 02795 от IIЛ9.20nО 1O;,()бб ,\10сква, ул Добросл()бо"ская 5а

Отдел реалнзаuин: тел (095) 310·7.5·25, 150·~2·11 IlIlсгпеl: \\'\V\\'.ОПУХ.ГII; ('·mail: mail@<>nyx.ru

000 ,,11здаП' 1ЬСТI\О « Мllр н 06ращнаннс ""

Изд л 1111 11Д N 050138 от 18.0б.2(ЮI 109193 Москна 5· КОЖУХОUСКiI" ул., д 13 СТр 1

Тм./факс (095) 928-78·26 Е·тэil: mi"-I)Ьгаzоvаlli<-@>гаmt:>lсгл,

ИздаllНС IJсущеСТВЖ : 11O I/rи учаСТl1l-l

Общая формула обращения

Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений ыатематнческой физики

В более общем случае область интеГРИРОЕаН:iЯ путем разбиения на чаСТII сводится к основным областям

_ ВЫЧИСЛИТЬ ИХ In у dx dy, есJlИ облзCiЬ D-прямоуroльник

13 Вычислить И (cos 2x+siny) dxdy, если область D ограни­

= р sln в, осуществляется по формуле

И f (х, у) dx dy = И f (р cos е, Р sln е) р dp de

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами 6=а, e=~ (а < ~), выходящими из полюса, и двумя кривыми Р = Pl (6) И р= p~ (е), где

Pl (6) И Р9 (в)-одноэначные функции при а"; 6.,.;; ~ и Рl (e).s;;; Р (6), то двой­ной интеграл вычисляется по формуле

fJ р,(О)

И F (р, в) р dp dO= ~ dO ~ F (р, 8) Р dp,

10

CВOllМВ 'IACПIЬDOI провзводllЬDl1l первого пор.u;п YC1'8.В8.ВJ111В8 взаимно одво­

12

а IJ',(х)

Если область D в полярных координатах определена неравенствамн a~6.;;;;~; CjJ(6)~pE;;;f(6), то

39 Найти площадь, ограниченную ле~1Нискатой (x +yS)2=2a xy

6 Полагая х= р cos 8 у = р sln О, преобразуем уравнение крввоА к по· лярным J<оординатам В результате гюлуч.им р2 = 2а3 51п е cos е = а2 sln 28

координат фигуры)

48 х=4-у·, х+2у-4=О

15

где D - проекция поверхности на плоскость уОг; ецlП же уравнеНllе поверх­НОСПI имеет вид у = ! (х, г), то

D

где D - проекцня nOBepXHOCTII 113 поверхность xOz

17

68 Вычислить площадь поверхности цилиндра х = 2г, отсе­ ченной плоскостями х- 2у = О, У = 2х, х = 2V-2 (рис 15)

85 Найти центр тяжести ПЛОЩJДИ, ограниченной параБОJIaМИ

у2=х, х2=у

86 НаЙТII центр тяжести площади, ограНIiЧСl-il-Ю{1 параболой у2 = 2рх и прямой х = 2р

90 Вычислить момент инерции площадн, ограниченной ЛИНИЯМИ у=4-х2, у=о, относительно оси Ох

91 Вычислить момент инерции площади эллипса х"/а2 + у2/Ь2 = 1

относительно его большой оси

92 Вычислить массу квадратной плаСТИI-IJ\И со стороной а, ПЛОТНОСТЬ которой в любой точке пропорциональна квадрату рас­СТОЯНИЯ этой ТОЧI\И от одной из вершин квадрата

93 ВЫЧИСЛИТЬ массу круглой пластинки радиуса г, если плот­ НОСТЬ ее обратно пропорциональна расстоянию точки от центра

и раЩIa б на краю пластинки

94 ВЫЧИСЛИТЬ статический момент пластинки, имеющей форму

прямоугольного треугольника с катетами I ОА 1= а, I ОВ I = Ь,

относительно катета ОА, если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА

§ 7 ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f (х, у, г) определена в ограниченной замкнутой простран­ствеВНОIr области Т Разобьем область Т произвольныы образом на n элемен­тарных областей T1 , Т2, •.• , Т" с диаметрами d!, и2, ••• , dn и объемами 6У!,

ДУ2, ••• , д У, в каждой элементарной области IJОЗЬ~fе.\1 пронзвольную точку Р" (Sk; fJk; ~l,) и умножим значение ФУIIКЦИli D точке P k на объем этой об­

Если [(х, у, г) > О в области Т, то тройной интеграл ~ ~ ~ f (х, у, г) dV

т

f!редставляет соЕой ;,taccy тела, занимающего область Т и И.\iеюше~о перемен­вую плотность 'V =f (х, у, г) (физическое IIСТОJIкование тройного интеграла)

Основные свойства тройных интеграЛОD анаЛОГИ'lllЫ свойствам двойных

I!нтегралов

24

х=р 5Ш 6 соэ <р у=р 51п 6 эln <р z=p cos 8 (О ;р ;;;;+оо

о .,;;; q> ,;;; 2п О,.;;;;; 6 ,.;;;; п) якобиан преобразования J = р' sln О и формула преобразованuя тройного ин­теграла к сферическим координатам имеет вид

25

99 Вычислить ~ ~ ~ z V х 2 + у2 dx dy dz, если область Т ограни­

т

чена цилиндром ха + уЗ = 2х и плоскостями У = О, z = О, z = а

t; Перейдем к цилиндрическим координатам Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид рЗ cos2 ер + р2 sin2 ер = 2р С05 ер или р2 (С052 ер + 5ln2 ер)=

= 2р cos ер, т е р = 2 cos Ij) Следовательно, в области Т коордннаты р Ij) и z

27

Большое З1lаче1lие имеет вопрос о производной функции 1 (л) по пара­

д! (х, л.) метру л Пусть функция f (х, л) и частная производная дГ непрерывны

а и Ь не зависят от параметра л Если же а и Ь завнсят QT л, 10

ЬЩ d/d~) = S д! (;~ л) dx+b' (л) {[Ь (л), лJ-а' (л) f[a (л), л] (3)

а (л)

30

Подробное изложение УСЛОIJИЙ: прнменения формул ДИфференцирования и И\1тегрированиЯ несобствеИНblХ интегралов по параметру можно найти в • Курсе высшей Математики» В И Смнрнова (том 11)

d~ S xmdx= S х т Inxdx=- (т~1)2'

31

d/ ~ Следовательно, 1 = - 2dл, 'П / = - 2л+ 'п С, / = Се - 2 Для' ЩlхождеИИR С

00 положим Л =0; тогда / (О) = ~ е- Х: dx= Уn/2 (интеграл Эйлера-Пуассона),

f(n+I)=n! (4)

Ес.IJ:И n=О, то O!=f(I)=I

50 Функция Г (р) дает возможность распространить понятие факториз.'1З

n!, определенного лишь для натуральных значении n, на область любых по­ложительных значений аргумента ИЗ формулы (2) с.'1едует, что ес.IJ:И р r О,

r (а.-n) (_1)11 r (rx.)

(5)

(I-a.) (2-а.) (n-а.) Н ддя -n < р < -(n-I) знак Г (р) определяется множителем (_1)11

l:: По формуле (4) находим:

1) (-1/2)I=Г (-1/2+ 1) =г (1/2)= yn= 1,772;

2) (1/2)1 = Г (1/2+ 1) =г (3/2) = (1(2) Г (1/2) = Уп/2= 0,886;

3) (3/2)! =г (3/2+1)=(3/2) Г (3/2)=(3/2).(1/2) Г (1/2)=3Vn/4= 1,329; 4) (0,21)I=Г(О,21+1)=Г(I,21)=О,9156 (из табл 1) •

Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками

А = Ай, A1 , А2, , Аn = В; пусть ~Sk-длина дуги Ak-1A k На каждой ЭJlе­ментарной дуге выберем произвольную точку Мп (~k; 'l'Jk) и умножим э.начение функции f (~п, 'l'Jk) в этой точке на длину ~Sk соответствующей дуги

~словии, что rnах ~Sk -+ О:

n

~ {(х, y)ds= Нт ~ !(Sk,'l'Jk).1Sk

АВ max~sk->-°k=1 (ds-дифференциал дуги)

Криволинейный интеграл 1 рода в случае, если кривая задана уравнением у=ЧJ (х) (а о< хо< Ь), вычисляется по формулам

185 l:Iайти координаты центра тяжести дуги окруж'iюсти

f\ Так как по условию задана четверть дуги окружностн, то ее длина s=лR/2 В силу того, что биссектриса 1 координатного угла является осью симметрии, _имеем х=и Теперь находим

, J9~ Найти ~оординаты центра тяжести однородной дуги кри­ вой x=etcost, y=esirit, z=e t (-оо~t::;;;;О)

Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвяэной области D и контур l( целиком находится в этой области

и Оу

Подынтег ральное выражение Р (х, у) dx+ Q (х, у) dy при указанных уело· виях является п о л н ы м Д и Ф Ф е р е н ц и а л о м некоторой однозначной функции U = U (х, у)' т е

dU (х, у) = р (х, у) dx+ Q (х, у) dy

Фуикцию U (х, у) (лервообразную) можно найти, вычисляя соответствую­щий криволинейный интеграл по ломаной АоА1В, где Ао (хо; уо)-произволь-

- -Здесь в качестве точки (хо; уо) не:1ЬЗЯ взять нача.10 координат, так 'Как при х'= О и у = о функции Р (х, у) и Q (х, у) не определены ПОЭ'IО~IУ в ка­

;J.нф-206 , dU = [eNY -1:- соз (х- у)] dx+ CeX+Y-соs (х-у) +2] dy

207 dU = O-еХ-У + созх) dx+ (е-'-У + cos у) dy

208 dU = (x2-2х у 2+З) dx+(y2-2x2y+3) dy

215 Вычислить f х dy + у dx по различным замкнутым кон­

к

турам: 1) по окружности х= cos {, У= sin (; 2) по контуру огра­ ниченному дугой параболы у = х2 И отрезком прямой у = 1

11т ' i: F ~k, 'lk ~k) ).Sk = 5 5 F (х, у, z) dS

где tJ.Sj, -площаДl, k - ro элемента поверхности S, точка (~k; 1]k: ~H) принад,~е­

жит этому элементу, dk-диаметр этого Э,lемента, F (х, у' z) опреде.~ена в каж­дой точке поверхности S

Значение этого интегра.~а не зависит от выбора стороны поверхности S,

по которой ПРОИЗВОДIIТСЯ иитегрирование

52

ПоверXJlOCПlЫЙ вВтerpaп I рода 1IЫ'IIICJUIet"CS по формуле

S S F (К У г) ~S = S S F [х у f (х у)] -V 1+ ( ~; у + ( ~; у (/х dy

Расс-мотрим двустороннюю поверхность S и выбере~1 на Ht""' опое.1е,lенн\,ю сторону S+ Функция F (х у г) опреде.1ена в TO'fKaX данной поверхносТн

Если Р (х У г), Q (х У, г) R (х У z) -непрерывные ФУНКЦИИ и S+ ~ сторона гладкой поверхнqcти S, характеризуемаjl налраВJ:\ением нормали

Если повер;хиость , S задаиа уравненliеМ в яеявном виде Ф (х У г) ~O то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам

дфlдх cos<X= ±}r(д ф lдх)2+(дф/ду)2+(д ф lдZ)2 •

cos ~= ± ,Г (дФlдк)2 + (дФlду) 2 + (дФlдz)2

дФlдz cosy= ± у (дФjдх) 2 + (дФlду)2 + (дФlдz) 2 '

где зиак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхиости МОо!U!Н'JШ инерции части nОlИ!рхности относительно осей координат выра­

Статические Iюменnш 'ЮlИ!рхн.ости ОТlIоситеЛl,но :координатных скостей определяются по фОР:\lу.1Jа~1

пло-Mxy=~ ~Z7dS Myz=~ ~xydS, Mzx=~ ~yydS

53

= YR2_ x '_y2; следовательно, 1= ~ ~ XSyl YRI_x 2_y2dxxy Переходя:

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, Т.е круг х2+у2.,.;;;а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим

231 Найти массу поверхности сферы и статический момент Мху верхней полусферы, если' поверхностная плотность в каждой

точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра

6 Совместим начало координат с uентром сферы, напраВИ!>1 ось Oz по вер­тикали и переi!дем к сферическим координатам: х = R 51п 8cos <р, у = R 51п 8 sln <р,

Если каждой точке М области V поста6лена в соответствие скалярная

и = и (М) [векторная F = F (М)] величина, то говорят, что в области V задано скалярное (беЮnОРное) поле

Q = (х, у, г), R (х, у' г) являются непрерывно дифференцируемыми в области 1 ' Векторной линией иазывается кривая, направление которой в каждой ее

точке М совпадает с направлением вектора F, соответствующего этой точке Векторная линия определяется системой дифференциальных уравнений

J =-3 ~ ~ х 2 у 2 dx dy,

D

t (xcos a+ycos ~+zcos 1') dS=

= SSS (дд~) + ai;) + aa~Z») dxdydz=3 SSS dxdydz=3V,

= S [~ 16 (1-у)II-16 о-у)'] dy+ S [~ (4-Z)I+2: (4-Z>] dz+

6 Имеем rot v=rot«(a)xr), где r=xl+uJ+zk Далее, находим

257 Найти поток векторного поля F = (у-х) i + (х + у) j + yk через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости

b=i-j-k

267 Показать, что div (а х Ь) = Ь rot а-а rot Ь

268 Показать что div (fA) = t div А + А grad t

ГЛАВА 111

РЯДbI

§ t ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Пусть UI, и2, ИЗ, • , lLn , ••• , где иn = f (n),-бесконечная числоваll по­следовательность Выражение

Sп=Ul+U2+UЗ+··· +И п • Ряд называется сходЯЩИАtся, если его n-я частичиая сумма Sn при неогра­ниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т е если Нт Sn =S

п-+оо

Число S называют суммой ряда Если же n-я частичная сумма ряда при

n - -о() не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящuмся Ряд

составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, яв­ляется сходящимся и имеет сумму a/(l-q)

Л е р 13 Ы Й при з н а к с р а в н е н и я Пусть даны два ряда

111 +112+11з+ +иn + - (1)

и

(2) nриче~1 каждый член ряда (1) не nревосходит соответствующего члена ряда (2),

m е иn';;;;;иn (n=1, 2, 3, ) Тогда если сходится ряд (2), то сходится

и ряд (1); если расходится ряд (1), mo расходится и ряд (2)

Этот признак остается в силе, если неравенства иn < иn выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N

n-+ОО

67

n=1

псрel:тановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет

ту же сумму, что и первоначальный ряд

00 Если ряд ~ 1In у с л о вно сходится, то пrи перестановке бесконечного

,,=1

множества его членов сумма ряда может измениться В частности, при соот­ветствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превра­

1 2 3 4 п+wт+ 1001 + 10001 + '" А

разуют геометрическую прогрессию 2, 23, 23, 2', ; n-й член этой прогрессии

ЬП = 2п• Следовательно, общи й член ряда ип = (2n - 1 )/2П•

Вообще иужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью ряд не определяют А

271 Найти общий член ряда

~ + ( ;)3 + (141)3 + (155)· + ••

6 Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого ·члена, поэтому показатель степени n-го члена равен n Числители дробей 2/3, 3/7, 4/11, 5/15, 06разуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и

разностью 1 Поэтому n-й числитель равен n+ 1 Знаменатели образуют

арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4 Следовательио, n-й знаменатель равен 411-1 Итак, общим членом ряда является

убывающая гео~{етрическая про'грессия Следовате.1ЬНО, сходится и данный ряд

279 Исследовать сходимость ряда

/) Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих чле­нов гармонического ряда Следовательно, ряд расходится А

71

ЭТОТ ряд есть бr.cк~е~н~ у~ывающая геометрическая прогрессия и, следова­тельно, сходится 3начит, и даНIIЫЙ ряд сходится, причем абсолютно

73

Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака сравнения:

311 2-5+8-11+'" +(-1) 3n-l +

312 1,1-1,02+ 1,003-1,0004+ +(_1)n-l (1 +1~1I) +

71