BÀI TẬP THỂ TÍCH TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN NÂNG CAO 12

BÀI TẬP THỂ TÍCH TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN NÂNG CAO 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN THỂ TÍCH

1 Tính chất thể tích

Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau ;

Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ ;

Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1

2 Một số công thức tính thể tích khối đa diện

Thể tích khối lập phương cạnh a V=a3

Thể tích khối hộp chữ nhật V=abc

Thể tích khối lăng trụ V=Bh

Thể tích khối chóp V= Bh1

3Thể tích khối chóp cụt V= (B+B'+ BB')h1

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3

Đường chéo của hình hộp chữ nhật 3 kích thước a, b, c là a +b +c2 2 2

Đường cao của tam giác đều cạnh a là a 3

2Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều có các cạnh bên bằng nhau và có đỉnh chiếu vuông góc xuống mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của đa giác đáy ;

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều ;

Các dạng bài tập

Thể tích hình lăng trụ

1 Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy ;

2 Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;

3 Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng ;

4 Khối lăng trụ xiên

Thể tích khối chóp

1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ;

2 Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy ;

3 Khối chóp đều ;

4 Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ CHIỀU CAO HAY CẠNH ĐÁY

1 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC a= 2và biết A’B=3a Tính thể tích khối lăng trụ V=a3 2

2 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này

4 Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích hộp này.

7 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết BD'=a 6 Tính thể tích lăng trụ

HD : V=2a3

8 Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ

HD :V=24a3

11.Cho lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96cm2 Tính thể tích lăng trụ.

HD : V=64cm3

12.Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là

5, 10, 13 , tính thể tích khối hộp này HD :V=6

LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với AB=BC=a, biết A’B hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích lăng trụ V=a 33

3

a 6V=

3

4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và BAD=600, biết AB’ hợp với đáy một góc bằng 300 Tính thể tích hình hộp 1 3

V= a2

LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a, biết A’BC hợp với đáy ABC một góc bằng 600 Tính thể tích lăng trụ

3 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có đáy cạnh a và mặt phẳng BDC’ hợp với đáy ABCD.A'B'C'D' một góc bằng 600 Tính thể tích hình hộp chữ nhật

3

a 6

V=

2

4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA’=2a, mặt phẳng A’BC hợp với đáy ABCD một góc 600, A’C hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích khối hình hộp chữ nhật

3

16a 2V=

3

a Tính thể tích khối OBB’C’ V=a 33

12

b Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’ 2a 3

6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’

3

aV=

3

7 Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.

a Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

3

a 3V=

c (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300

HD: V=8a3 2; V=5a 11; V=16a3 3

10 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 600 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600

a Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600

b Tam giác BDC' là tam giác đều

c AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

3

4aV=

9

KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

1 Cho hình lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên là a 3 hợp với đáy một góc bằng 600 Tính thể tích lăng trụ

A’H chính là đường cao

V=3

4 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là ∆ vuông tại

A, AB=a ; AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC, tính theo a thể tích khối chóp A’ABCD và tính cos của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’(KA-2008)

4

Quan trọng khi ta vẽ hình một cách tương

đối tốt

A’H vuông góc với cả hai mặt đáy

Cần lưu ý rằng góc giữa hai đường thẳng

thì ta cần tìm trên đường thẳng đó một điểm rồi

vẽ song song với đường thẳng kia, góc nhọn

chính là góc giữa hai đường thẳng cần tìm

5 Cho lăng trụ ABCD A’B’C’có các cạnh đáy là 13 ;14 ;15 và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45 Tính thể tích lăng trụ

HD :

6 Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABCD một góc 30.Tính thể tích lăng trụ

HD :

7 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a ; AD =b ; AA’ = c và góc BAD=30

và biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABCD một góc 60.Tính thể tích lăng trụ

9 Cho lăng trụ ABCD A’B’C’ có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’

có hình chiếu trên (ABCD) nằm trên đường cao AH của tam giác ABCD biết mặt bên BB’C’C hợp với đáy ABCD một góc 60

1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’

HD:

12 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có cạnh bên BB’=a; BB’ tạo với mặt phẳng đáy ABC một góc bằng 600, giả sử ABC là ∆ vuông tại C và góc BAC=600, hình chiếu của B’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của ∆ABC, tính thể tích tứ diện A’ABC.(KB-2009)

39aV=

4 3tanα-1

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI CẠNH ĐÁY

1 Cho hình chóp SABC có SB=SC=BC=CA, hai mặt ABC và ASC cùng vuông góc với SBC, tính thể tích hình chóp

3

a 3V=

4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD ; Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD.

3

Tính thể tích của khối chóp MBCD

3

2a 6V=

Cách 1 Chọn mặt phẳng đáy là AOO’ và đường cao BH

Cách 2 Hạ B vuông góc xuống đường tròn tâm O tại F rồi chứng minh thể tích

F

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD=ABCD=900 , AB=BC=a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a (CĐ-2008)

HD :

3

aV=

3

8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2 ,

SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB (KB-2006)

HD :

3

a 2V=

36

Chứng minh SAC vuông góc SMB

9 Cho hình chóp ∆ S.ABC có đáy là ∆ đều cạnh a, SA=2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M, N tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BMNC (KD-2006)

10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông trong đó có góc ABC= góc BAD=900 ; BA=BC=a ; AD=2a ; Giả sử SA vuông góc với đáy ABCD và SA=a 2 , Gọi H là hình chiếu của A trên SB ;

a Chứng minh SCD là ∆ vuông ;

b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ;

ad=

3

11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với đáy (ABC) ; giả sử BC=a ; hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABD) sao cho thể tích khối chóp là lớn nhất

Vmax= ; sinα=

KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Những điều chú ý khi làm bài tập dạng này là ta phải xác định giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với nhau, sau đó xác định góc giữa hai mặt phẳng đó, chính những đường thẳng vuông góc với giao tuyến sẽ giúp ta giải quyết bài toán tốt hơn

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là

∆ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm AB Tính thể tích khối chóp

4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp.

Dễ dàng nhận thấy H là tâm đường tròn nội tiếp

5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a

3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN? (KB-2008)

5

Kẻ ME song song với DN, tính

các cạnh của tam giác SME, tính được

SE bài toán được giải quyết

Tính AE có thể bằng tính cosAEM=cosADN

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP (KA-2007)

3

a 3

V=

96

7 Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC

HD:

3

aV=

12

9 Cho hình chóp SABC có BAC=900 ;ABC =300 ; SBC là tam giác đều cạnh a

và (SAB) vuông góc (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC

HD: V=a2 2

24

10 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao SH =h và (SBC) vuông góc (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 300 Tính thể tích hình chóp SABC

HD:

3

4h 3V=

9

11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông cạnh A và D; AB=AD=2a; CD=a; góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600, gọi I là trung điểm của cạnh AD,biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp (KA-2009)

3

3a 15V=

5

KHỐI CHÓP ĐỀU

1 Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của ∆ đều, tính thể tích hình chóp đều

3 ABCD

a 12

12

a 6MH=

6

3 MABC

a 2

24

4 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC (KB-2007)

Ở đây cần chú ý MP//NC

a 2

d=

4

Nếu học sinh vẽ hình khó nhìn yêu cầu học sinh vẽ hình

5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng φ (0< φ < 90) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với (ABCD) theo φ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và φ (KB-2004)

tan= 2 tanϕ

3

2V= a tan

6 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 2α , tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp

2 2

3 2

7 Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, chứng minh rằng SABCD là 1 hình chóp đều, tính các cạnh của hình chóp nếu thể tích của nó bằng 3

3(3-4sinα)2

2 6d=

3

KHỐI CHÓP VÀ PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH

1 Cho hình chóp S.ABC có ∆ ABC vuông cân ở B, AC=a 2 , SA vuông góc với đáy ABC, SA=a Tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng α qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M và N Tính thể tích khối chóp S.AMN VSAMN= V4 SABC= 2 a3

2 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, AB=a, trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng ABC lấy điểm D sao cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc BD và cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD

3

aV=

6 , chứng

minh CE vuông góc ABD, tính thể tích khối tứ diện CDEF

3

aV=

36.

3 Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm

M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.

Hãy xác định mp(AEMF)

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

3

a 6V=

6

Tính thể tích khối chóp S.AEMF

3

a 6V=

18

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA=a 2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

3

a 2V=

9

6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho SM

SA =x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau

HD: x= 5-1

2

7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này

HD: k=1

2

8 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N

là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M

và P Tính thể tích khối chóp SAMNP

HD:

2

a hV=

9

9 Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diện ABCDMN

HD: V = 4m3

10 Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 Lấy A'trên SA sao cho SA

=3SA' Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'

HD: V=1m3

11 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA=a 3 Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K Tính thể tích hình chóp SAHK

HD:

3

a 3V=

40

12 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA,

SB, SC, SD tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh hệ thức sau

SA' SC' SB' SD'Bài này thực chất là tính tỉ số thể tích quay vòng

13 Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm ở trong, AM cắt BCD tại A’, BM cắt ACD tại B’, CM cắt ABD tại C’ và DM cắt ABC tại D’, chứng minh rằng MBCD

Ta chỉ cần làm tương tự đối với trường hợp như

hình vẽ còn các trường hợp còn lại ta làm tương tự

Nhận thấy hai tứ diện này đều có chung đáy,

bằng phương pháp đã thực hiện nhiều lần ta kẻ AH

vuông góc với mặt phẳng đáy, kéo dài AM cắt mặt

phẳng BCD ở A’, trong tam giác AA’H ta kẻ MK song

song với AH Ở đây ta có hai tam giác đồng dạng và từ

đó ta có thể tính tỉ lệ và suy ra đây là hai đường cao

của hai hình chóp cần so sánh suy ra đpcm