Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng ma trận

Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng ma trận

¤i sè, gi£i t½ch v  ùng döng

Nguy¹n Thà Nhung

Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long

Ng y 15 th¡ng 12 n«m 2011

Giîi thi»u mæn håc

ành ngh¾a

To¡n kinh t¸ l  mët ng nh khoa håc giîi thi»u mët h÷îng ti¸p cªn c¡c ph¥nt½ch trong kinh t¸ b¬ng to¡n håc Trong To¡n kinh t¸ c¡c nh  kinh t¸ sûdöng nhúng k½ hi»u to¡n håc khi tr¼nh b y c¡c v§n · kinh t¸ v  vªn döngnhúng ành l½ to¡n håc ¢ bi¸t º hé trñ nhúng lªp luªn kinh t¸ cõa m¼nh.Mæn ¤i sè tuy¸n t½nh, gi£i t½ch v  ùng döng l  mët ph¦n trong mæn To¡nKinh t¸ v  nhúng ki¸n thùc to¡n håc ÷ñc sû döng ð ¥y l  ¤i sè tuy¸nt½nh v  gi£i t½ch

Giîi thi»u mæn håc

ành ngh¾a

To¡n kinh t¸ l  mët ng nh khoa håc giîi thi»u mët h÷îng ti¸p cªn c¡c ph¥nt½ch trong kinh t¸ b¬ng to¡n håc Trong To¡n kinh t¸ c¡c nh  kinh t¸ sûdöng nhúng k½ hi»u to¡n håc khi tr¼nh b y c¡c v§n · kinh t¸ v  vªn döngnhúng ành l½ to¡n håc ¢ bi¸t º hé trñ nhúng lªp luªn kinh t¸ cõa m¼nh

Mæn ¤i sè tuy¸n t½nh, gi£i t½ch v  ùng döng l  mët ph¦n trong mæn To¡nKinh t¸ v  nhúng ki¸n thùc to¡n håc ÷ñc sû döng ð ¥y l  ¤i sè tuy¸nt½nh v  gi£i t½ch

Giîi thi»u mæn håc

ành ngh¾a

To¡n kinh t¸ l  mët ng nh khoa håc giîi thi»u mët h÷îng ti¸p cªn c¡c ph¥nt½ch trong kinh t¸ b¬ng to¡n håc Trong To¡n kinh t¸ c¡c nh  kinh t¸ sûdöng nhúng k½ hi»u to¡n håc khi tr¼nh b y c¡c v§n · kinh t¸ v  vªn döngnhúng ành l½ to¡n håc ¢ bi¸t º hé trñ nhúng lªp luªn kinh t¸ cõa m¼nh.Mæn ¤i sè tuy¸n t½nh, gi£i t½ch v  ùng döng l  mët ph¦n trong mæn To¡nKinh t¸ v  nhúng ki¸n thùc to¡n håc ÷ñc sû döng ð ¥y l  ¤i sè tuy¸nt½nh v  gi£i t½ch

Giîi thi»u mæn håc

Nhúng ÷u iºm khi ti¸p cªn kinh t¸ b¬ng to¡n håc:

Ngæn ngú ÷ñc sû döng ng­n gån v  ch½nh x¡c hìn;

Câ thº düa tr¶n mët h» thèng phong phó c¡c ành l½ to¡n håc;

Gióp chóng ta tr¡nh khäi nhúng nh¦m l¨n khi hiºu sai nhúng gi£ ànhkhæng rã r ng;

Gi£i quy¸t ÷ñc c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t n-bi¸n

Giîi thi»u mæn håc

Nhúng ÷u iºm khi ti¸p cªn kinh t¸ b¬ng to¡n håc:

Ngæn ngú ÷ñc sû döng ng­n gån v  ch½nh x¡c hìn;

Câ thº düa tr¶n mët h» thèng phong phó c¡c ành l½ to¡n håc;

Gióp chóng ta tr¡nh khäi nhúng nh¦m l¨n khi hiºu sai nhúng gi£ ànhkhæng rã r ng;

Gi£i quy¸t ÷ñc c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t n-bi¸n

Giîi thi»u mæn håc

Nhúng ÷u iºm khi ti¸p cªn kinh t¸ b¬ng to¡n håc:

Ngæn ngú ÷ñc sû döng ng­n gån v  ch½nh x¡c hìn;

Câ thº düa tr¶n mët h» thèng phong phó c¡c ành l½ to¡n håc;

Gióp chóng ta tr¡nh khäi nhúng nh¦m l¨n khi hiºu sai nhúng gi£ ànhkhæng rã r ng;

Gi£i quy¸t ÷ñc c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t n-bi¸n

Giîi thi»u mæn håc

Nhúng ÷u iºm khi ti¸p cªn kinh t¸ b¬ng to¡n håc:

Ngæn ngú ÷ñc sû döng ng­n gån v  ch½nh x¡c hìn;

Câ thº düa tr¶n mët h» thèng phong phó c¡c ành l½ to¡n håc;

Gióp chóng ta tr¡nh khäi nhúng nh¦m l¨n khi hiºu sai nhúng gi£ ànhkhæng rã r ng;

Gi£i quy¸t ÷ñc c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t n-bi¸n

T i li»u tham kh£o

Alpha C.Chang,Fundanmental Methodological Mathematical

Economics, McGraw-Hill Book company

Micheal Sampson, An Introduction to Mathematical Economics,

Giîi thi»u v· nëi dung gi£ng d¤y

Ch֓ng I

Ma trªn, ành thùc v  h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

Nëi dung tr¼nh b y

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Dáng i cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû ai1,ai2, ,ain v  A câ m dáng

Cët j cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû a1j,a2j, ,amj v  A câ n cët.Ph¦n tû aij ÷ñc gåi l  ph¦n tû ð dáng i cët j v  ma trªn A th÷íng

÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng thu gån l  A  paijqmn

Khi m  n ma trªn A câ sè dáng b¬ng sè cët v  ÷ñc gåi l  ma trªnvuæng c§p n

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Dáng i cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû ai1,ai2, ,ain v  A câ m dáng.Cët j cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû a1j,a2j, ,amj v  A câ n cët

Ph¦n tû aij ÷ñc gåi l  ph¦n tû ð dáng i cët j v  ma trªn A th÷íng

÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng thu gån l  A  paijqmn

Khi m  n ma trªn A câ sè dáng b¬ng sè cët v  ÷ñc gåi l  ma trªnvuæng c§p n

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Dáng i cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû ai1,ai2, ,ain v  A câ m dáng.Cët j cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû a1j,a2j, ,amj v  A câ n cët.Ph¦n tû aij ÷ñc gåi l  ph¦n tû ð dáng i cët j v  ma trªn A th÷íng

÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng thu gån l  A  paijqmn

Khi m  n ma trªn A câ sè dáng b¬ng sè cët v  ÷ñc gåi l  ma trªnvuæng c§p n

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Dáng i cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû ai1,ai2, ,ain v  A câ m dáng.Cët j cõa ma trªn gçm c¡c ph¦n tû a1j,a2j, ,amj v  A câ n cët.Ph¦n tû aij ÷ñc gåi l  ph¦n tû ð dáng i cët j v  ma trªn A th÷íng

÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng thu gån l  A  paijqmn

Khi m  n ma trªn A câ sè dáng b¬ng sè cët v  ÷ñc gåi l  ma trªnvuæng c§p n

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Khi m  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët dáng v  ÷ñc gåi l  ma trªndáng

Khi n  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët cët v  ÷ñc gåi l  ma trªn cët.Khi t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A ·u b¬ng 0 th¼ A ÷ñc gåi l  ma trªnkhæng v  k½ hi»u l  0

Tªp hñp c¡c ma trªn c§p m  n ÷ñc k½ hi»u l  Mm,n; tªp hñp c¡c matrªn vuæng c§p n ÷ñc k½ hi»u l  Mn

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Khi m  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët dáng v  ÷ñc gåi l  ma trªndáng

Khi n  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët cët v  ÷ñc gåi l  ma trªn cët

Khi t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A ·u b¬ng 0 th¼ A ÷ñc gåi l  ma trªnkhæng v  k½ hi»u l  0

Tªp hñp c¡c ma trªn c§p m  n ÷ñc k½ hi»u l  Mm,n; tªp hñp c¡c matrªn vuæng c§p n ÷ñc k½ hi»u l  Mn

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Khi m  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët dáng v  ÷ñc gåi l  ma trªndáng

Khi n  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët cët v  ÷ñc gåi l  ma trªn cët.Khi t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A ·u b¬ng 0 th¼ A ÷ñc gåi l  ma trªnkhæng v  k½ hi»u l  0

Tªp hñp c¡c ma trªn c§p m  n ÷ñc k½ hi»u l  Mm,n; tªp hñp c¡c matrªn vuæng c§p n ÷ñc k½ hi»u l  Mn

Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Khi m  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët dáng v  ÷ñc gåi l  ma trªndáng

Khi n  1 ma trªn A ch¿ gçm câ mët cët v  ÷ñc gåi l  ma trªn cët.Khi t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A ·u b¬ng 0 th¼ A ÷ñc gåi l  ma trªnkhæng v  k½ hi»u l  0

Tªp hñp c¡c ma trªn c§p m  n ÷ñc k½ hi»u l  Mm,n; tªp hñp c¡c matrªn vuæng c§p n ÷ñc k½ hi»u l  Mn

Nëi dung tr¼nh b y

Hai ma trªn b¬ng nhau

ành ngh¾a

Hai ma trªn A v  B ÷ñc gåi l  b¬ng nhau n¸u chóng câ còng c§p v  c¡cph¦n tû ð còng mët và tr½ t÷ìng ùng b¬ng nhau, tùc l  vîi A  paijqmnv 

B  pbijqmn th¼ aij  bij vîi måi i v  måi j

Khi A v  B b¬ng nhau ta vi¸t A  B

Ph²p cëng ma trªn

ành ngh¾a

Cho A, B hai ma trªn A  paijqmn,B  pbijqmn còng c§p m  n.Têng cõa A v  B l  mët ma trªn còng c§p m  n, kþ hi»u l  A B

÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

A B  paij bijqmn

Cho ma trªn A  paijqmnc§p mn Ma trªn èi cõa ma trªn A, k½ hi»u

A l  mët ma trªn còng c§p m  n v  ÷ñc cho bði
A  p
aijqmn.Cho A, B l  ma trªn còng c§p mn Hi»u cõa A v  B, k½ hi»u l  A
B

l  mët ma trªn còng c§p m  n ÷ñc ành ngh¾a l  A
B  A p
Bq

Ph²p cëng ma trªn

ành ngh¾a

Cho A, B hai ma trªn A  paijqmn,B  pbijqmn còng c§p m  n.Têng cõa A v  B l  mët ma trªn còng c§p m  n, kþ hi»u l  A B

÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

A B  paij bijqmn

Cho ma trªn A  paijqmnc§p mn Ma trªn èi cõa ma trªn A, k½ hi»u

A l  mët ma trªn còng c§p m  n v  ÷ñc cho bði
A  p
aijqmn

Cho A, B l  ma trªn còng c§p mn Hi»u cõa A v  B, k½ hi»u l  A
B

l  mët ma trªn còng c§p m  n ÷ñc ành ngh¾a l  A
B  A p
Bq

Ph²p cëng ma trªn

ành ngh¾a

Cho A, B hai ma trªn A  paijqmn,B  pbijqmn còng c§p m  n.Têng cõa A v  B l  mët ma trªn còng c§p m  n, kþ hi»u l  A B

÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

A B  paij bijqmn

Cho ma trªn A  paijqmnc§p mn Ma trªn èi cõa ma trªn A, k½ hi»u

A l  mët ma trªn còng c§p m  n v  ÷ñc cho bði
A  p
aijqmn.Cho A, B l  ma trªn còng c§p mn Hi»u cõa A v  B, k½ hi»u l  A
B

l  mët ma trªn còng c§p m  n ÷ñc ành ngh¾a l  A
B  A p
Bq

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B, C l  c¡c ma trªn còng c§p m  n v  k, l l  c¡c sè thüc Ph²pcëng ma trªn v  ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè thäa m¢n mët sè t½nhch§t sau:

Ph²p nh¥n ma trªn vîi ma trªn

ành ngh¾a

Cho ma trªn A  paijqmp c§p m  p v  ma trªn B  pbijqpn c§p p  n,tùc l  sè cët cõa ma trªn A b¬ng sè dáng cõa ma trªn B T½ch cõa A v 

Líi gi£i cho v½ dö

Líi gi£i cho v½ dö

Líi gi£i cho v½ dö

Ph²p chuyºn và

ành ngh¾a

Cho ma trªn A  paijqmn c§p m  n Ma trªn chuyºn và cõa A, k½ hi»u l 

At l  ma trªn c§p n  m câ ÷ñc tø A b¬ng c¡ch êi c¡c dáng cõa A th nhc¡c cët cõa A:

At  pa1

ijqnm, vîi a1

ij  aji

Cho A 
1 2 5 l  ma trªn dáng Khi â At 




125

ma trªn cët

Nhªn x²t: Ph²p chuyºn và bi¸n mët ma trªn dáng th nh mët ma trªncët v  ng÷ñc l¤i bi¸n mët ma trªn cët th nh mët ma trªn dáng

Cho A 
1 2 5 l  ma trªn dáng Khi â At 




125

ma trªn cët

Nhªn x²t: Ph²p chuyºn và bi¸n mët ma trªn dáng th nh mët ma trªncët v  ng÷ñc l¤i bi¸n mët ma trªn cët th nh mët ma trªn dáng

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B l  hai ma trªn sao cho c¡c ph²p to¡n d÷îi ¥y v· hai ma trªn

n y thüc hi»n ÷ñc, k l  mët sè thüc Khi â

1 pAtqt  A

2 pA Bqt  At Bt

3 pkAqt kpAqt

4 pABqt  BtAt

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B l  hai ma trªn sao cho c¡c ph²p to¡n d÷îi ¥y v· hai ma trªn

n y thüc hi»n ÷ñc, k l  mët sè thüc Khi â

1 pAtqt  A

2 pA Bqt  At Bt

3 pkAqt kpAqt

4 pABqt  BtAt

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B l  hai ma trªn sao cho c¡c ph²p to¡n d÷îi ¥y v· hai ma trªn

n y thüc hi»n ÷ñc, k l  mët sè thüc Khi â

1 pAtqt  A

2 pA Bqt  At Bt

3 pkAqt kpAqt

4 pABqt  BtAt

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn

Cho A, B l  hai ma trªn sao cho c¡c ph²p to¡n d÷îi ¥y v· hai ma trªn

n y thüc hi»n ÷ñc, k l  mët sè thüc Khi â

1 pAtqt  A

2 pA Bqt  At Bt

3 pkAqt kpAqt

4 pABqt  BtAt

Nëi dung tr¼nh b y

InA  AIn A, @A P Mn.

InA  AIn A, @A P Mn.

Ma trªn ÷íng ch²o

ành ngh¾a

Ma trªn vuæng D  pdijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn ÷íng ch²o n¸u t§tc£ c¡c ph¦n tû n¬m ngo i ÷íng ch²o ch½nh ·u b¬ng 0, tùc l  dij  0n¸u i  j

Ma trªn tam gi¡c tr¶n, tam gi¡c d÷îi

0 0 ann





Ma trªn tam gi¡c tr¶n, tam gi¡c d÷îi

an1 an2 ann





Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn tam gi¡c n¸u A

l  ma trªn tam gi¡c tr¶n ho°c ma trªn tam gi¡c d÷îi

Ma trªn tam gi¡c tr¶n, tam gi¡c d÷îi

an1 an2 ann





Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn tam gi¡c n¸u A

l  ma trªn tam gi¡c tr¶n ho°c ma trªn tam gi¡c d÷îi

V½ dö ma trªn tam gi¡c tr¶n, tam gi¡c d÷îi

V½ dö ma trªn tam gi¡c tr¶n, tam gi¡c d÷îi

Ma trªn èi xùng, ph£n èi xùng

ành ngh¾a

Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn èi xùng n¸u c¡cph¦n tû èi xùng vîi nhau qua ÷íng ch²o ch½nh th¼ b¬ng nhau, tùc

l  aij  aji vîi måi i, j N¸u A l  ma trªn èi xùng th¼ At  A

Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn ph£n èi xùngn¸u c¡c ph¦n tû èi xùng vîi nhau qua ÷íng ch²o ch½nh l  sè èi cõanhau, tùc l  aij 
aji vîi måi i, j N¸u A l  ma trªn ph£n èi xùngth¼ At 
A Ma trªn A l  ph£n èi xùng th¼ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íngch²o ch½nh b¬ng 0 v¼ aii 
aii n¶n aii  0

Ma trªn èi xùng, ph£n èi xùng

ành ngh¾a

Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn èi xùng n¸u c¡cph¦n tû èi xùng vîi nhau qua ÷íng ch²o ch½nh th¼ b¬ng nhau, tùc

l  aij  aji vîi måi i, j N¸u A l  ma trªn èi xùng th¼ At  A

Ma trªn vuæng A  paijqn c§p n ÷ñc gåi l  ma trªn ph£n èi xùngn¸u c¡c ph¦n tû èi xùng vîi nhau qua ÷íng ch²o ch½nh l  sè èi cõanhau, tùc l  aij 
aji vîi måi i, j N¸u A l  ma trªn ph£n èi xùngth¼ At 
A Ma trªn A l  ph£n èi xùng th¼ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íngch²o ch½nh b¬ng 0 v¼ aii 
aii n¶n aii  0

Lôy thøa cõa mët ma trªn

ành ngh¾a

Cho A l  mët ma trªn vuæng c§p n Lôy thøa bªc k, k P N cõa A, k½ hi»u

l  Ak ÷ñc ành ngh¾a b¬ng qui n¤p nh÷ sau:

Lôy thøa cõa mët ma trªn

ành ngh¾a

Cho A l  mët ma trªn vuæng c§p n Lôy thøa bªc k, k P N cõa A, k½ hi»u

l  Ak ÷ñc ành ngh¾a b¬ng qui n¤p nh÷ sau:

Nëi dung tr¼nh b y

Ph²p bi¸n êi sì c§p

ành ngh¾a

Cho A l  ma trªn c§p m  n vîi c¡c dáng k½ hi»u l  R1,R2, Rm v  c¡ccët k½ hi»u l  C1,C2, ,Cn C¡c ph²p bi¸n êi tr¶n A sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p:

êi ché hai dáng (cët) cõa ma trªn;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè k  0;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè rçi cëng v o mët dáng (cët) kh¡c.N¸u êi ché dáng i vîi dáng j ta k½ hi»u Ri Ø Rj; êi ché cët i vîicët j ta k½ hi»u Ci Ø Cj

Nh¥n dáng i vîi k  0, ta k½ hi»u Ri Ñ kRi, nh¥n cët i vîi k  0 tak½ hi»u Ci Ñ kCi

Nh¥n dáng j vîi k rçi cëng v o dáng i, k½ hi»u R Ñ R kR; nh¥n

Ph²p bi¸n êi sì c§p

ành ngh¾a

Cho A l  ma trªn c§p m  n vîi c¡c dáng k½ hi»u l  R1,R2, Rm v  c¡ccët k½ hi»u l  C1,C2, ,Cn C¡c ph²p bi¸n êi tr¶n A sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p:

êi ché hai dáng (cët) cõa ma trªn;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè k  0;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè rçi cëng v o mët dáng (cët) kh¡c.N¸u êi ché dáng i vîi dáng j ta k½ hi»u Ri Ø Rj; êi ché cët i vîicët j ta k½ hi»u Ci Ø Cj

Nh¥n dáng i vîi k  0, ta k½ hi»u Ri Ñ kRi, nh¥n cët i vîi k  0 tak½ hi»u Ci Ñ kCi

Nh¥n dáng j vîi k rçi cëng v o dáng i, k½ hi»u R Ñ R kR; nh¥n

Ph²p bi¸n êi sì c§p

ành ngh¾a

Cho A l  ma trªn c§p m  n vîi c¡c dáng k½ hi»u l  R1,R2, Rm v  c¡ccët k½ hi»u l  C1,C2, ,Cn C¡c ph²p bi¸n êi tr¶n A sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p:

êi ché hai dáng (cët) cõa ma trªn;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè k  0;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè rçi cëng v o mët dáng (cët) kh¡c.N¸u êi ché dáng i vîi dáng j ta k½ hi»u Ri Ø Rj; êi ché cët i vîicët j ta k½ hi»u Ci Ø Cj

Nh¥n dáng i vîi k  0, ta k½ hi»u Ri Ñ kRi, nh¥n cët i vîi k  0 tak½ hi»u Ci Ñ kCi

Nh¥n dáng j vîi k rçi cëng v o dáng i, k½ hi»u R Ñ R kR; nh¥n

Ph²p bi¸n êi sì c§p

ành ngh¾a

Cho A l  ma trªn c§p m  n vîi c¡c dáng k½ hi»u l  R1,R2, Rm v  c¡ccët k½ hi»u l  C1,C2, ,Cn C¡c ph²p bi¸n êi tr¶n A sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p:

êi ché hai dáng (cët) cõa ma trªn;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè k  0;

Nh¥n mët dáng (cët) vîi mët sè rçi cëng v o mët dáng (cët) kh¡c

N¸u êi ché dáng i vîi dáng j ta k½ hi»u Ri Ø Rj; êi ché cët i vîicët j ta k½ hi»u Ci Ø Cj

Nh¥n dáng i vîi k  0, ta k½ hi»u Ri Ñ kRi, nh¥n cët i vîi k  0 tak½ hi»u Ci Ñ kCi

Nh¥n dáng j vîi k rçi cëng v o dáng i, k½ hi»u R Ñ R kR; nh¥n

2 pA Bqt  At Bt

3 pkAqt kpAqt

4 pABqt  BtAt